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专题13 带电粒子在组（复）合场中运动的核心问题
目录
一．电偏转、磁偏转的区别与联系问题....................................................................................................................1
二．带电粒子在叠加场中的匀速直线与匀速圆周....................................................................................................2
三．带电粒子在叠加场中的复杂曲线运动及洛伦兹力的冲量................................................................................2
一．电偏转、磁偏转的区别与联系问题
1.组合场
电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，一般为两场相邻或在同一区域电场、磁场交替出现。
2.分析思路
带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场或从磁场到电场的运动。通常按时间的先后
顺序将粒子的运动过程分成若干个小过程，在每一运动过程中从粒子的受力性质、受力方向和速度方向的
关系入手，分析粒子在电场中做什么运动，在磁场中做什么运动。
3.运动分析及方法选择
4.“电偏转”与“磁偏转”的比较
项目
电偏转
磁偏转
偏转条件
垂直电场线进入匀强电场(不计
重力)
垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力)
受力情况
静电力F＝qE
大小、方向不变
洛伦兹力F 洛＝qvB
大小不变，方向时刻与v 垂直
运动类型
类平抛运动
匀速圆周运动
运动轨迹
抛物线
圆或圆的一部分
求解方法
x＝v0t，a＝，偏移距离y＝at2，
偏转角tan φ＝＝
偏移距离y 和偏转角θ 要结合圆的几
何关系通过圆周运动的规律求解，r
＝，T＝，t＝T
动能
变大
不变
二．带电粒子在叠加场中的匀速直线与匀速圆周
1.叠加场
电场、磁场、重力场叠加，或其中某两场叠加。
2.是否考虑粒子重力
对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；
而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。
3.带电粒子在叠加场中的常见运动
静止或匀速直线运动
当带电粒子在叠加场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直
线运动状态
匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与静电力大小相等、方向相反时，带电粒子
在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
三．带电粒子在叠加场中的复杂曲线运动及洛伦兹力的冲量
当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非
匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。解决该类问题初配速法以
外主要应用功能关系及洛伦兹力的冲量进行解决。
【典例1】某实验小组分别用匀强电场和匀强磁场设计电子偏转装置。一带正电的粒子，重力不计，电量
与质量之比为k，以平行于Ox 轴的速度v0从y 轴上的A 点水平射入第一象限区域，并从x 轴的B 点射出，
如图（甲）和（乙）所示。已知OA=s，∠ABO=α，
，
（1）若第一象限只存在平行于Oy 的电场，如图（甲），求该电场强度大小；
（2）若第一象限只存在垂直xOy 平面的匀强磁场，如图（乙），求该磁感应强度的大小。
（3）在第（1）问中，带电粒子到达B 点后撤销电场，同时在整个空间中施加垂直xOy 平面的匀强磁场，
要求粒子能回到A 点，求所施加磁场的磁感应强度B。（忽略磁场变化过程带来的电磁扰动）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，方向磁场垂直纸面向外
【详解】（1）正电子从A 点射入，做类平抛运动
解得
（2）设粒子在磁场中圆周运动的半径为R
根据勾股定理
解得
根据带电粒子在磁场中运动
所以
联立两式，得
所以
（3）第（1）问中粒子到达B 点时
入射角度为
θ=45°
合速度为
如果磁场垂直纸面向外，粒子轨迹如图，向下偏转，设圆周运动半径为R，则
解得
根据圆周运动动力学方程
解得
当磁场方向垂直平面向里，则粒子逆时针方向运动，跟y 轴的交点坐标一定大于OB，由于OA 小于OB，
故不可能经过A 点。
【典例2】现代科技可以利用电场、磁场对带电粒子的作用来控制其运动轨迹，让其到达所需的位置，在
现代科学技术、生产生活、仪器电器等方、面有广泛的应用。如图所示是此种仪器中电磁场的简化示意图。
以竖直向上为y 轴正方向建立直角坐标系，该真空中存在方向沿x 轴正方向、电场强度大小
的匀强电场和方向垂直xOy 平面向外、磁感应强度大小B=0.5T 的匀强磁场。原点O 处的粒子源连续不断
地发射速度大小和方向一定、质量
、电荷量q=2×10⁻6 C 的带正电的粒子束，粒子恰能在
平
面内做直线运动，重力加速度为
，不计粒子间的相互作用。
（1）求粒子发射的速度大小和方向；
（2）若保持粒子束的初速度不变，在粒子从O 点射出时立即撤去磁场，求粒子从O 点射出后再次运动到y
轴过程中，重力所做的功（不考虑磁场变化产生的影响）；
（3）若保持E、B 初始状态和粒子束的初速度不变，在粒子束运动过程中，突然将电场变为竖直向上、场
强大小变为
，求从O 点射出的所有粒子第一次打在x 轴上的坐标范围（不考虑电场变化产生的
影响）。
【答案】（1）20m/s，方向与y 轴负方向夹角30°；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子做匀速直线运动，如下图
则
解得
设粒子出射的速度方向与
轴负方向夹角为
，则
解得
（2）撤去磁场后，粒子做平抛运动，如下图
根据牛顿第二定律有
解得
重力所做的功
（3）由题意可得
粒子做匀速圆周运动，如下图。
根据洛伦兹力提供向心力
解得
由几何关系可知，当粒子在O 点时就改变电场，打在x 轴上的横坐标距O 点最近的点的坐标
当改变电场时粒子所在处与粒子打在x 轴上的位置之间的距离为2R 时，打在x 轴上的横坐标最远距离的坐
标
从O 点射出的所有粒子第一次打在x 轴上的坐标范围为
【典例3】如图所示，竖直平面内的直角坐标系xoy，第一象限内有竖直向上的匀强电场和垂直坐标平面向
里的匀强磁场
；第三、四象限有磁感应强度大小为
，方向垂直坐标平面向里的匀强磁场。
t=0 时刻，质量为m、带电量为+q 的绝缘小球，从x 轴的O 点，沿x 轴正方向以速度v0射入第一象限，在
第一象限做匀速圆周运动；小球过一段时间进入第三象限的磁场区域。不计空气阻力，重力加速度为g。
求：
（1）电场强度的大小E；
（2）小球第一次回到x 轴时的速度大小；
（3）在磁场B2内，小球离x 轴最远距离ym及对应的速度v 大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）在第一象限内做匀速圆周运动，则
得
（2）第一象限，根据洛伦兹力等于向心力
得
匀速圆周运动半周，其时间为
小球在第二象限做做平抛运动，则
得
则
则
与x 轴负方向夹角的正切值为
（3）在磁场B2内小球离x 轴最远距离ym，此时对应的速度为v，由动能定理
水平方向由动量定理
即
取向右为正方向，则
可得小球离x 轴最远距离及对应的速度大小分别为
，
1．如图所示的平面直角坐标系，第二象限内存在沿y 轴负方向、电场强度大小为E0的匀强电场，第三、
四象限存在沿着y 轴负方向、磁感应强度大小为B0的匀强磁场。现让质量为m、带电量为q 的粒子（忽略
重力）从A 点以斜向右上方的速度射入电场，经过一段时间
到达O 点时的速度与x 轴正方向的夹
角为37°，然后进入磁场，
。
(1)求粒子在O 点电场力的功率以及A、O 两点间的距离；
(2)粒子到达O 点时，假设经过一段时间
到达y 轴上的B 点，求A、B 两点的距离为多少；
(3)粒子到达O 点时，假设经过一段时间
到达C 点（未画出），求粒子从A 点到C 点对时间而言
所受的平均作用力为多少。
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【详解】（1）设粒子在A、O 两点的速度大小均为v，把v 分别沿着x 轴和y 轴分解，则有
，
粒子从A 到O 做类斜抛运动，由类斜抛运动的规律可得粒子从A 到O 的运动时间
结合
综合可得
、
、
粒子在O 点电场力的功率为
A、O 两点间的距离
（2）根据受力分析和运动分解可知把粒子在磁场中的运动看成沿y 轴负方向速度为
的匀速直线运
动与线速度为
的水平方向匀速圆周运动的合运动，匀速圆周运动的周期
时间
粒子运动到y 轴上的B 点，O、B 两点间的距离
由几何关系可得A、B 两点间的距离为
综合可得
（3）时间
内，粒子从O 点到达C 点，水平方向匀速圆周分运动速度的方向改变180°，则
A、C 两点的速度等大反向，粒子从A 到C，速度变化量的大小为
粒子从A 到C，由动量定理可得
综合可得
2．科学研究中，经常要收集高速运动的带电粒子，于是有人设计了一种粒子收集装置。如图所示，真空
中，固定在M 点的发射枪可以沿水平直线MN 射出速度大小为v、电荷量为q、质量为m 的带负电粒子，O
点在MN 上，粒子收集器固定在O 点的正上方K 点。已知M、O 间的距离为L，K、O 间的距离为d，不计
粒子受到的重力。在下列条件中，粒子都可以被粒子收集器收集。
(1)若在M、O 之间有一竖直方向的匀强电场，求匀强电场的方向和电场强度大小E；
(2)若在OK 右侧有一匀强磁场，求匀强磁场的方向和磁感应强度大小B；
(3)在粒子运动到P 点时，若在整个空间中加有大小为
[B 为第（2）问所求]、方向与第（2）问中相同的
匀强磁场，求O、P 间的距离x。
【答案】(1)电场方向竖直向下，
(2)磁场方向垂直纸面向外，
(3)
【详解】（1）在
、
之间有一匀强电场，由题意可知，粒子要向上偏转，故电场方向竖直向下。
粒子在电场中做类平抛运动，如图中①所示，有
解得
（2）在
右侧有一匀强磁场，粒子做匀速圆周运动到达
点，可知磁场方向垂直纸面向外。
运动轨迹如图中圆弧②所示，设轨迹半径为
，由洛伦兹力提供向心力，有
由几何关系有
解得磁感应强度大小
（3）由几何关系有
由洛伦兹力提供向心力，有
解得O、P 间的距离
3．如图所示，在xOy 平面内的第一、二象限内存在匀强磁场，磁场范围足够大，磁感应强度的大小为
，磁场方向与xOy 平面垂直向外，即垂直于纸面向外，坐标为
处的P 点有一粒子发射器，可
以向xOy 平面一二象限360°范围内发射带正电的同种粒子，粒子质量为m，电荷量为q，发射粒子速度大
小均为
。第四象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场，电场范围足够大。沿y 轴正方向发射的粒子经磁场
偏转后进入电场，最后恰好打到坐标原点O 处。粒子的重力不计，忽略粒子之间的相互作用。求：
(1)沿y 轴正方向发射的粒子从发射到第一次打到x 轴经历的时间t；
(2)匀强电场的电场强度E 的大小；
(3)沿x 轴正方向发射的粒子从匀强磁场进入匀强电场时经过x 轴上点位置的横坐标x。
【答案】(1)
(2)
(3)
，
，1，2，3，…
【详解】（1）带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
将
代入上式，解得带电粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为
设沿y 轴正方向发射的粒子从x 轴上的Q 点进入电场，进入电场时速度方向与x 轴方向的夹角为θ，作出粒
子的运动轨迹，如图所示
圆心为
，P 点坐标为
，根据几何关系有
则
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为
根据几何关系可知粒子在匀强磁场中转过的圆心角为210°，则粒子从发射到第一次打到x 轴上经历的时间
（2）根据几何关系可得QO 两点之间的距离为
粒子进入电场后做类斜抛运动，根据牛顿第二定律有
从Q 点运动到O 的时间为
从Q 点运动到O 的沿x 轴方向的位移为
以上各式联立解得电场强度大小为
（3）设沿x 轴正方向发射的粒子第一次经过x 轴上的
点，速度方向与x 轴方向的夹角为β，作出粒子的
运动轨迹如图所示
轨迹圆心为
，根据几何关系可得
，在三角形
中有
则
，
粒子从匀强磁场进入匀强电场后作类斜抛运动，设从N 点进入匀强磁场，运动的时间
，
联立解得
根据对称性可知粒子从匀强电场进入匀强磁场时速度方向与x 轴方向的夹角也为60°，设粒子从
点进入
匀强电场，根据几何关系可得
则粒子第一次从匀强磁场进入匀强电场与第二次从匀强磁场进入匀强电场经过x 轴上两点间的距离为
分析可得粒子第一次经过x 轴上点位置坐标为
，之后粒子运动具有周期性，每经过一个周期粒子
再次从匀强磁场进入匀强电场经过x 轴，相邻的两次从匀强磁场进入匀强电场经过x 轴上两点间的距离均
为
，则粒子从匀强磁场进入匀强电场经过x 轴上点位置的横坐标为
，
，1，2，3…
4．如图所示，平面内一电荷量为
、质量为
的带正电粒子（不计重力）从P 点
垂直于
轴发射，
发射速度为
。平面内第二象限存在水平向右的匀强电场（场强大小
未知），第一象限有垂直纸面向外
的匀强磁场。粒子发射后第一次经过
轴时的坐标为
，粒子第一次在匀强磁场中运动时恰好不从
轴射出磁场。求：
(1)粒子第一次进入磁场时的速度的大小及方向；
(2)磁感应强度
的大小；
(3)粒子第三次经过
轴时的位置与第二次经过
轴时的位置之间的距离；
(4)粒子第五次经过
轴时的位置的纵坐标。
【答案】(1)
，与
轴正方向成45°
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）第一次在电场中：
合速度
合速度与
轴正方向所成角
联立解得
，即速度与
轴正方向成45°
解法2：合速度与
轴正方向所成角
位移与
轴正方向所成角
类平抛
合速度
联立解得
，即速度与
轴正方向成45°
（2）在匀强磁场中
几何关系
联立解得
（3）第二次在电场中运动时间
竖直方向
联立解得
（4）此后粒子每在匀强磁场中运动一次，在
轴出磁场的位置都会比进磁场的位置下移
，每在电场中
运动一次，在
轴出电场的位置都会比进电场的位置上移
，故
联立解得
5．如图所示，在平面直角坐标系xOy 的y≥1.5L 区域内存在方向垂直于坐标平面向外的匀强磁场，y<1.5L
区域内存在平行于y 轴正方向的匀强电场。电荷量为q、质量为m 的带正电粒子从y 轴上坐标为（0，
4.5L）的P 点以方向平行于x 轴正方向、大小为v 的速度开始运动，第一次从Q 点进入电场时速度方向与x
轴负方向的夹角α=60°，粒子恰能过坐标原点O。不计粒子重力。求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)匀强电场的电场强度大小E；
(3)粒子从P 点开始运动到第一次返回P 点所用的时间t。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，由几何关系有
解得
对粒子受力分析，有
解得
（2）由几何关系可知，Q 点的横坐标
设粒子从Q 点第一次运动到O 点的时间为t1，平行于x 轴方向上有
垂直于y 轴方向上有
其中
，解得
，
（3）粒子从P 点开始运动到第一次过Q 点所用的时间
粒子运动至O 点时
由此可知粒子的运动轨迹关于y 轴对称，粒子从P 点开始运动到第一次返回P 点所用的时间
解得
6．如图所示，整个空间有沿
轴负方向的匀强电场，在第一象限内还存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。
一个质量为
、电荷量为
的带电粒子以初速度
从点
沿与
轴正方向成45°角射入第二象限，
粒子沿直线运动到
轴上的
点（图中未画出）后进入第一象限，之后粒子从
轴上的
点（图中未画
出）垂直进入第四象限，重力加速度大小为
，求：
(1)电场的电场强度大小
；
(2)磁场的磁感应强度大小
。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，带电粒子在第二象限做匀速直线运动，根据平衡条件可得
解得
（2）作出粒子在磁场中运动轨迹，如图所示
由几何关系可知
洛伦兹力提供向心力，则有
解得
7．钍核
发生衰变生成镭核
并放出一个粒子。设该粒子的质量为m、电荷量为q，它进入电势差
为U 的带窄缝的平行平板电极
和
间电场时，其速度为
，经电场加速后，沿ox 方向进入磁感应强度
为B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，ox 垂直平板电极
，当粒子从p 点离开磁场时，其速度方向与
ox 方位的夹角
，如图所示，整个装置处于真空中。
(1)写出钍核衰变方程；
(2)求粒子进入磁场时的速度；
(3)画出磁偏转的轨迹，同时计算粒子沿圆弧运动的轨道半径R；
(4)求粒子在磁场中运动所用时间t。
【答案】(1)
(2)
(3)
，
(4)
【详解】（1）由质量数与核电荷数守恒可知，钍核衰变方程式为
（2）设粒子离开电场时速度为v，对加速过程，由动能定理得
解得
（3）磁偏转的轨迹如图所示
粒子在磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
（4）粒子做圆周运动的周期
，由几何关系知粒子在磁场中转过的角度为
，则粒子在磁场中
运动的时间为
所以
8．一带负电的微粒放在光滑绝缘水平面上，俯视如图，第一象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场，在另外
三个象限充满大小相同、方向垂直水平面向下的匀强磁场。微粒从x 轴上的P 点以一定初速度进入第二象
限，OP 间距离为0.3m。初速度与x 轴负方向的夹角α=37°，之后恰能垂直于y 轴进入第一象限，再经一段
时间从第一象限进入第四象限，此时速度与x 轴正方向的夹角恰好也为α=37°。已知微粒的比荷
，电场强度E=0.05N/C，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
(1)微粒第一次在第一象限内的运动时间；
(2)微粒的初速度v0；
(3)微粒第2 次经过x 轴时的坐标。
【答案】(1)0.6s
(2)
(3)（1.65m，0）
【详解】（1）粒子运动轨迹如图
在第二象限磁场中，由几何关系可得，圆周半径
在第一象限电场中，由牛顿第二定律得
微粒在电场中做类平抛运动
解得
（2）微粒进入第四象限时，沿y 轴负方向上速度为
根据几何关系可知
解得
（3）微粒进入第四象限，速度
由
，
得
微粒做圆周运动在x 轴的弦长为
微粒第一次从第一象限进入第四象限的位置
微粒第二次经过x 轴的位置
微粒第二次经过x 轴的坐标为（1.65m，0）
9．如图所示，在平面直角坐标系
的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第二、三象限内存在
沿
轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为
、电荷量为
的带正电
粒子以初速度
自
轴上的
点射入电场，初速度方向与
轴正方向的夹角
，之后粒子经
轴上的
点进入第一象限，再经
轴上的
点进入第四象限，经过
点时粒子的速度方向与初速度
的方向相
反。粒子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场。已知
点到
点的距离为
，电场强度大小为
，不计粒子重力，
，
。求：
(1)粒子自
点进入第一象限匀强磁场时速度与
轴正方向的夹角；
(2)第一、四象限内匀强磁场的磁感应强度大小的比值
；
(3)粒子自第1 次经过
轴（
点）到第3 次经过
轴的时间
。
【答案】(1)
(2)4:1
(3)
【详解】（1）粒子在第二象限运动只受电场作用，沿x 方向做匀速运动，其速度
沿y 方向做匀减速运动，其初速度
，其加速度
设粒子从P 点运动到M 点所需时间为t1，则
解得
则粒子运动到M 点时延y 方向的速度
所以粒子自
点进入第一象限匀强磁场时速度与
轴正方向的夹角
（2）由（1）可知，粒子进入第一象限的速度
OM 的距离
设粒子在第一、四象限中的运动轨迹半径分别为r1、r2，粒子经过
点时粒子的速度方向与初速度
的方
向相反，根据几何关系有
解得
根据洛伦兹力提供向心力有
解得
粒子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场，根据几何关系有
解得
根据洛伦兹力提供向心力有
解得
所以
（3）粒子从M 点运动到N 点所需时间为
粒子从N 点到第3 次经过
轴所需时间为
所以粒子自第1 次经过
轴（
点）到第3 次经过
轴的时间
解得
10．平面直角坐标系
中，第Ⅰ象限存在沿
轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向里
的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子从
轴负半轴上的P 点与
轴正方向成120°垂直磁场射入第Ⅳ象限，经
轴上的N 点与
轴正方向成120°角射入电场，最后从
轴正
半轴上的M 点以垂直于y 轴方向的速度射出电场，粒子从P 点射入磁场的速度为，不计粒子重力，求
(1)粒子在磁场中运动的轨道半径R；
(2)粒子从P 点运动到M 点的总时间t；
(3)匀强电场的场强大小E；
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有
可得粒子在磁场中运动的轨道半径
（2）作出粒子运动轨迹如图所示
由几何关系可知，粒子在磁场中转过的角度为150°，粒子在磁场中运动的周期
则粒子在磁场中运动的时间
由几何知识可得
从N 到M 运动的时间
则粒子从P 点运动到M 点的总时间
（3）在电场中竖直方向则有
解得
11．1934 年，约里奥－居里夫妇用
粒子（
）轰击铝箔（
）时，生成了磷30（
），
具有
天然放射性，释放出正电子（
），转变为硅（
）。如图是正电子穿过云室留下的径迹照片，中间是一
块厚度很小的铅板，整个云室处在垂直纸面方向的匀强磁场中。已知图中虚线圆的半径为
，正电子从
点沿
方向射入，经
点穿过铅板后速度方向不变，到达圆上的
点，点
、
、
在同一直线上，且
，正电子的质量为
，电荷量为，正电子进入云室的初动能为
。忽略相对论效应，忽略正电
子在云室中受到的阻力，求
(1)从
粒子轰击铝箔到产生正电子所经历的核反应方程式；
(2)云室中磁感应强度
的大小与方向；
(3)粒子在穿过铅板过程中产生的热量
；
(4)已知射入云室的正电子的等效电流为
，求此过程中铅板受到的水平向右的作用力
。
【答案】(1)
，
(2)
,方向垂直纸面向里
(3)
(4)
【详解】（1）从
粒子轰击铝箔到产生正电子所经历的核反应方程式
，
（2）由左手定则知，磁场方向垂直纸面向里。
由几何关系
，
求得
由
，
代入得
（3）由题意知，穿过铅板后，粒子的运动半径满足
即
由
，
求得
热量
（4）由于
，即单位时间经过铅板的正电子数为
由动量定理可得
可得
得
12．如图所示，直角坐标系xOy 的第一、四象限内存在垂直纸面向外、
的匀强磁场，第三象限内存
在与x 轴正向成45°角的匀强电场E（大小未知）。一质量为m，带电量为＋q 的粒子从点P（-L， -L）由
静止释放，粒子从点O 处射入磁场，经过点Q（2L，0）进入第四象限，不计粒子的重力。
(1)求匀强电场E 的大小；
(2)若将x=2L 右侧区域换作方向垂直纸面向里、大小为B0的匀强磁场，则该粒子返回时运动轨迹刚好与
OQ 间轨迹相切，试求
①匀强磁场B0的大小；
②粒子从P 点到再次回到y 轴所用的时间。
【答案】(1)
(2)①
；②
【详解】（1）在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系知
设进入磁场时速度为
，由
得
在电场中，位移
加速度
又
联立可解得
（2）①运动轨迹如图所示，在
中做匀速圆周运动，由几何关系可知
由几何关系
得
由
得
②在电场中，从P 到O，时间
在磁场B 中，时间
又
得
在磁场B0中，时间
又
得
运动的总时间
得
13．如图所示，在
直角坐标系第二象限内存在沿
轴正向的匀强电场，电场强度大小为
（未知）。
第一象限内分界线
与
轴夹角为
，
以上的区域Ⅰ中存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度
大小为
（未知），
以下的区域Ⅱ中存在大小和方向均未知的电场和垂直
平面向里的匀强磁场，
磁感应强度大小为
（未知）。一质量为
、电荷量为
的带正电粒子从
点以初速度
沿
轴
正向进入第二象限，由
点进入第一象限，后经
点垂直穿过分界线
，恰好在区域Ⅱ中做匀速直
线运动，不计空气阻力、粒子重力及电磁场的边界效应。求：
(1)第二象限内电场强度
的大小；
(2)区域Ⅰ中磁场的磁感应强度
的大小；
(3)区域Ⅱ中电场的电场强度
。
【答案】(1)
(2)
(3)
，方向沿
方向
【详解】（1）由牛顿第二定律
粒子在平行于电场方向上做匀变速直线运动
粒子在垂直于电场方向上做匀速直线运动
解得
（2）粒子经过
点时沿电场方向的分速度
此时速度大小
速度与
轴正向的夹角
满足
得
由几何关系可知，粒子在区域Ⅰ中做圆周运动的半径
由洛伦兹力提供向心力
解得
（3）粒子在区域Ⅱ中，受力平衡
解得
由左手定则，带正电的粒子所受洛伦兹力沿
方向，则其所受电场力沿
方向，故电场强度沿
方向。
14．如图所示，在直角坐标系
的第一象限内有沿
轴正方向的匀强电场，在第四象限内有垂直于纸面
向里的匀强磁场。一质量为
、电荷量为
的带负电的粒子从原点
以大小为
的速度沿
轴正方向射入，
通过磁场后到达
轴上的
点，不计粒子所受的重力。
(1)求匀强磁场的磁感应强度
；
(2)将该粒子改在
轴上的
点同样以速度
平行于
轴正方向射入电场中，从
处的
点
（图中未画出）进入磁场，求电场强度
的大小；
(3)在第（2）问情景下，粒子最后从
轴上
点（图中未画出）离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子从O 点进入磁场运动到P 点，洛伦兹力提供向心力，则有
由几何知识可得
解得，磁感应强度
（2）粒子在电场中做类平抛运动，沿
轴方向做匀速直线运动，则
解得
沿
轴方向做匀加速直线运动
解得
根据牛顿第二定律
解得
（3）粒子离开电场时的速度大小和速度方向与x 轴正方向的夹角θ 满足
，
即
粒子进入磁场运动，洛伦兹力提供向心力则有
解得半径
因为
所以圆周轨道的圆心A 在y 轴上，如图所示
则粒子在磁场中运动的圆心角为
粒子在磁场中运动的周期为
运动时间为
15．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在半径为R 的圆形区域，区域内有垂直坐标平面向外的匀
强磁场，磁场边界圆与两个坐标轴相切，与x 轴的切点为M 点。在第二象限内有沿y 轴负方向的匀强电场，
从x 轴上坐标为
的P 点向坐标平面内电场中射入一个质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，粒
子射入时的初速度大小为
、方向与x 轴正方向的夹角为60°，粒子经电场偏转后，从坐标为
的Q
点射出电场，一段时间后，经磁场偏转从M 点射出磁场，不计粒子的重力，求：
(1)粒子在电场中运动的时间t；
(2)匀强电场的电场强度E 的大小；
(3)匀强磁场的磁感应强度B 的大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据运动的分解可得，粒子沿x 方向的速度为
由题可知，粒子沿x 方向做匀速直线运动，其水平位移为
则粒子在电场中运动的时间为
（2）结合题意及上述分析可知，粒子沿y 方向的初速度
粒子沿y 方向做匀减速运动，设其加速度为
，其位移大小为
根据匀变速直线运动规律可得
联立解得粒子的加速度大小为
对粒子受力分析，根据牛顿第二定律可得
解得匀强电场的电场强度大小为
（3）根据上述分析可知，粒子到达Q 点时，粒子竖直方向的速度大小为
即粒子进入磁场中的速度大小为
方向沿水平方向，如图所示
由几何知识可知，粒子圆周运动的半径
洛伦兹力提供粒子圆周运动的向心力，则有
联立解得
16．如图所示，在平面直角坐标系y<0 的区域内存在沿y 轴正方向的匀强电场，在y>0 的区域内存在垂直
纸面向里的匀强磁场。t=0 时刻，一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子从A 点（0，-L）以初速度v0沿
x 轴正方向射出，之后粒子第一次通过x 轴时的速度方向与x 轴正方向的夹角为30°，第二次通过x 轴时刚
好经过原点O，不计粒子重力。求：
(1)匀强电场的电场强度大小E 和匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)若该粒子第一次通过x 轴时在第一象限施加一电场强度大小为
、方向沿y 轴负方向的匀强电场，
该粒子运动过程中距x 轴的最大距离和速度最小的时刻；
(3)若将匀强磁场改为非匀强磁场，磁感应强度满足
，要使粒子不从磁场上边界飞出，则磁场宽
度D 满足的条件。
【答案】(1)
，
(2)
，
（n=0，1，2…）
(3)
【详解】（1）粒子在电磁场中的运动轨迹如图所示
由几何关系有
其中
，
解得
粒子进磁场时有
由几何关系可知粒子在磁场中运动轨迹的半径
带电粒子在磁场中运动有
解得
（2）根据配速法，将粒子沿x 轴方向的速度分解为向左的v1，向右的v2，
解得
，则v1= 0
粒子竖直方向的速度大小为
粒子一边以速度v2沿x 轴正方形做匀速直线运动，一边以速度vy做匀速圆周运动
解得
由几何关系可知粒子离x 轴的最大距离
粒子在磁场中做圆周运动的时间
粒子经过最高点位置时，速度最小为
速度最小时有
（n=0，1，2…）
（3）由x 方向动量定理得
则
所以
其中
由题意有
，当
时，带电粒子竖直位移最大，此时
磁场宽度D 应满足的条件
。
17．如图所示，坐标平面与光滑绝缘水平面重合，在此空间存在磁感应强度大小为B=1T、方向垂直纸面
向里的匀强磁场，MN 是长为L=2.5m 的细长光滑玻璃空心薄管，初始时MN 在y 轴负半轴上且N 端与坐标
原点O 重合。管的M 端有一质量为m=0.1kg 且带正电荷量q=0.1C 的静止小球A（视为质点），现使管
MN 沿x 正方向以速度
匀速平移，小球A 将在管内向N 端运动，当它离开管时，N 端恰与x 轴上
的P 点重合，小球离开后立即取走薄管。
(1)小球从N 端离开管时的速度大小；
(2)小球离开管后经过x 轴负半轴的x 坐标值；
(3)若管从y 轴开始移动的同时，在x 轴负半轴上的Q 点（且距离满足（OQ=3OP）处释放一不带电的小球
B，小球B 以速度v2（大小方向未知）做匀速直线运动，已知球B 恰能迎面撞上小球A（相撞前瞬间二者
速度方向相反），求v2的最大值v2m。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）小球A 在y 方向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有
解得
根据位移时间公式有
解得
小球A 运动P 点时，沿y 方向的速度为
故小球从N 端离开管时的速度大小
（2）由上问可得
作出小球从 P 点离开管后做逆时针方向的圆周运动，交x 负半轴于
点，画出其运动轨迹如图所示
根据洛伦兹力提供向心力，则有
代入数据解得
根据几何关系有
可得
（3）从Q 点作轨迹圆的切线与圆相切于
点，根据切割线定理有
代入数据解得
根据几何关系可知
与
轴成
角
小球做圆周运动的周期为
小球B 运动时间与小球A 运动时间满足
当
时
有最大值为
，代入上式可得
18．如图所示，在平面直角坐标系
中，有沿
轴正方向的匀强电场和垂直坐标平面向外的匀强磁场，
电场强度大小为
，磁感应强度大小为
。从
点发射一比荷为
的带正电微粒，该微粒恰能在
坐
标平面内做直线运动。已知
轴正方向竖直向上，重力加速度为
。
(1)求微粒从
点发射时的速度大小和方向；
(2)若仅撤去磁场，微粒以（1）中的速度从
点射出后，求微粒在第三象限运动过程中距
轴的最远距离
；
(3)若仅撤去电场，微粒改为从
点由静止释放，求微粒运动过程中的最大动能。
【答案】(1)
，与
轴负方向成
角指向第三象限
(2)
(3)
【详解】（1）由题意知，微粒做匀速直线运动，受力分析如图甲，则
解得
微粒受洛伦兹力方向指向第二象限，则由左手定则判断其速度指向第三象限，设微粒发射的速度方向与
轴负方向夹角为
，则
解得
，即微粒速度方向与
轴负方向成
角指向第三象限
（2）撤去磁场后，微粒做类平抛运动，如图乙，将速度分解可得
微粒在
轴方向的加速度大小
微粒在第三象限距离
轴最远时
得
（3）由于洛伦兹力不做功，所以当微粒运动的轨迹与
轴的距离最大时，重力做功最大，微粒动能最大，
此时速度为
，方向与
轴平行，设最大距离为
，在
轴方向上，由动量定理得
即
由动能定理得
解得
19．边长为l 的正方形区域abcd 存在竖直方向的匀强电场和垂直纸面方向的匀强磁场，以区域边界ab 的
中点为坐标原点O，建立如图所示的直角坐标系Oxy。一带负电粒子以速度
从坐标原点O 沿x 轴方向进
入abcd 区域，恰好做匀速直线运动；若去掉电场，该带电粒子恰好从坐标为
的c 点离开正方形区
域。不计粒子重力。
(1)指出区域中磁场和电场的方向；
(2)若去掉磁场保留电场，求该粒子离开abcd 正方形区域时的位置坐标；
(3)区域同时存在磁场与电场，入射粒子速度调整为
，
时从O 点射入：
①求带电粒子在区域运动的坐标位置与时间的函数关系；
②指出粒子飞出区域的边界，并给出粒子出区域的时间
所满足的方程。
【答案】(1)磁场方向垂直纸面向里；电场方向竖直向下
(2)
(3)①见解析；②
【详解】（1）由题意知，带负电粒子向右运动时受到的洛仑兹力向下，根据左手定则可得，磁场方向垂
直纸面向里；
电场与磁场共存时，恰好做匀速直线运动，说明电场力与洛仑兹力方向相反，即负电粒子受到向上的电场
力
电场方向与负电荷受到的电场力方向相反，所以电场方向竖直向下。
（2）仅有磁场，设轨迹半径为R，则有
解得
电场、磁场同时存在时，有
，
仅有电场时，若从cd 出边界，有
，
即粒子从cd 边离开，坐标位置为
（3）①根据运动分解与叠加原理，有
其中分量
产生的磁场力与电场力平衡，其分运动保持匀速直线运动；另一分量
在磁场中做匀速圆周运
动；粒子的运动为两分运动叠加。
圆周运动角频率
则有
，
②由于沿x 方向叠加匀速直线运动，粒子碰到bc 之前已从cd 边界出
则
满足的方程为
20．质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择
器，匀强电场的电场强度大小为
，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向
里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里。从S 点释放初速度为零的带
电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动，再由O 点进入分离器做圆周运动，最后打到照
相底片的P 点处，运动轨迹如图中虚线所示。
(1)粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。
(2)求O 点到P 点的距离。
(3)若在偏转分离器Ⅲ加入水平向右的匀强电场
，电场强度大小
，粒子打在速度选择器右挡板的
点上（
未标出）。求粒子在偏转分离器Ⅲ中的最大速度以及
点的位置。
【答案】(1)正电；
(2)
(3)
；
点到O 点的距离
【详解】（1）由题可知，粒子进入Ⅲ区向上偏转，根据左手定则，可知粒子带正电；
设粒子经过加速器获得的速度为v，粒子经加速器加速，根据动能定理有
粒子经速度选择器做直线运动，根据平衡条件有
解得
（2）粒子经偏转分离器Ⅲ，根据洛伦兹力提供向心力有
根据几何关系可知，O 点到P 点的距离
解得
（3）粒子刚进入偏转分离器Ⅲ时，粒子受到向上的洛伦兹力
向右的电场力
根据配速法，将粒子的速度v 分解为大小为v1、v2的两个分速度，使v1对应的洛伦兹力与电场力等大反向，
即
可得
，方向竖直向上
根据速度的分解可得
，方向与v 的方向夹角为
斜向下
则粒子的运动可分解为线速度大小为v2的匀速圆周运动和速度大小为v1的匀速直线运动，粒子在偏转分离
器Ⅲ中的最大速度
粒子以v2做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有
周期
粒子打在速度选择器右挡板的
点上所需时间
根据几何关系，
点到O 点的距离
解得
。
21．如图所示，垂直x 轴的虚线边界MN 左侧空间存在水平向右的匀强电场
，右侧空间存在竖直向上的
匀强电场
和垂直纸面向外的匀强磁场B。左侧空间的竖直平面内有一半径为R 的圆周，O 为其圆心，直
径AB 与水平方向的夹角为60°，圆周上C 点与圆心O 等高。将一带电小球从A 点沿平面内某个方向抛出，
小球运动过程中经过圆周上的B 点时速率和从A 点抛出时的速率相等。将小球从A 点以某一初速度竖直向
上抛出后，小球从C 点离开圆周进入右侧空间。已知
，
，
，小球质量
，电荷量
，重力加速度g 取
。
(1)左侧空间中匀强电场的电场强度
的大小；
(2)小球经过C 点时的速度大小和方向；
(3)小球在虚线右侧空间运动过程中，第一次离x 轴的最大距离。
【答案】(1)
(2)
，方向水平向右
(3)0.8m
【详解】（1）根据题意可知，小球从A 点沿平面内某个方向抛出后到达B 点时速率不变，该过程只有重
力和电场力做功，则根据动能定理可得
代入数据解得
（2）小球从A 点以某一初速度竖直向上抛出后，小球从C 点离开圆周进入右侧空间，该过程中小球水平
方向做初速度为零的匀加速直线运动，则对小球水平方向有
，
，
解得
，
，
对小球竖直方向有
，
解得
，
则小球经过C 点时的速度大小为
方向水平向右。
（3）小球在虚线右侧空间运动过程中，受到的洛伦兹力大小为
受到的电场力大小为
受到的重力大小为
则有
粒子将会向右下角偏转，此后运动轨迹不可预测。需将速度进行分解，可将运动拆分为
其中
，
则v1部分做匀速直线运动，v2部分做匀速圆周运动。则粒子做匀速圆周运动的半径为
则小球在虚线右侧空间运动过程中，第一次离x 轴的最大距离为0.8m。
22．如图所示，在纸面内有一平面直角坐标系xOy，其第二象限内有一沿y 轴负方向的有界匀强电场，上
边界y＝0.25m，下边界如图中虚线所示，电场强度大小E＝4V/m；第四象限同时存在沿y 轴负方向的匀强
电场和垂直于纸面向里的磁场，电场强度大小也为E，磁感应强度大小为
，其中k＝4T/m。在P
（-1m，0）处有一粒子源，以v0=4m/s 速度均匀地向x 轴上方各个方向发射粒子，粒子电荷量q＝+8×10-
6C，质量m＝1×10-6 kg。过P 点有一圆形匀强磁场区域，能使占比
粒子平行于x 轴射入电场，经电场偏
转后，全部通过原点O 进入第四象限。不计粒子重力和粒子之间的相互作用力，求：
(1)写出匀强电场边界
段的边界方程（粒子入射点的坐标y 和x 间的关系式）；
(2)圆形磁场的半径和磁场强度大小；
(3)粒子从O 点进入第四象限时，其速度方向与x 轴正方向所成夹角的范围；粒子在第四象限运动的过程最
大速率。
【答案】(1)y＝x2 （y≤0.25）
(2)R=
m，B1=3T
(3)0°~ 45°，vm＝ 8m/s
【详解】（1）粒子在电场中的加速度
m/s2
x 方向﹣x＝v0t
y 方向y＝
解得 y＝
（y≤0.25）
（2）由几何关系可知
可得
由
解得
（3）从Q 点射入电场的粒子，到达O 点时
＝
＝
得
， 速度与x 轴夹角在0°~ 45°
水平方向动量定理
即
由动能定理
得ym=0.5m，vm=8m/s
