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题型5 电场、磁场新情境与电磁仪器问题
1.(11 分)某研究团队设计了一种粒子加速器,其模型如图甲所示。“加速装置”为一对平行金属板,
两极板间的电势差为U;“循环部分”由4 个圆形磁场区域组成(其磁感应强度大小可调);“测速装置”
用于测量粒子是否达到预期速度。一束质量为m、电荷量为e 的负电粒子流,通过“引入装置”无
初速度飘入加速装置,经加速装置加速n 次后从“引出装置”引出,并保持速度大小不变从AD 中点
O 进入一边长为L 的正方形匀强磁场(边界处无磁场),磁感应强度大小B1=kB0(其中k>0 且可调节,
B0= 1
L√
2mU
e
),如图丙所示,不计粒子重力、粒子间的相互作用,计算结果可以保留根号。
甲
乙
丙
(1)求粒子离开“引出装置”时的速度大小v0。
(2)“测速装置”是一个长、宽、高分别为a、d、c 的长方体中空装置,如图乙所示,其中上、下两面为
导电板,前、后两面为绝缘板,左、右两面开放,两导电板间有磁感应强度为B2、方向向里的匀强磁场。
调节加在两导电板上的电压,可以使粒子每次经过“测速装置”时均做匀速直线运动。求粒子最后
一次经过装置时,加在两导电板上的电压U1。
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(3)由于干扰,导致粒子流以发散角∠POQ(在纸面内)从O 点进入正方形匀强磁场(速度大小相等),如
图丙所示,其中∠POD=∠QOA=30°。若要求所有粒子均能从AB 边射出(不含A、B 点),求k 的取值
范围。
2.(11 分)(2024 浙江杭州高三阶段练习)一种质谱仪的原理图如图甲所示,P1和P2两板间有相互垂直的
匀强电场和匀强磁场,两板间电压U=2 000 V,两板间距d=0.02 m,板间磁场的磁感应强度B1=0.1 T,下
方区域存在另一磁感应强度B2=0.1 T 的匀强磁场。大量质子沿P1和P2板间的中心线S1S2从小孔S1
进入该装置,后经狭缝S2以速度v0垂直进入下方磁场B2,在洛伦兹力的作用下粒子打到照相底片上。
已知质子的比荷q
m
=108 C/kg,其重力忽略不计,设中子和质子质量相同。求:
(1)速度v0的大小;
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(2)受到其他因素影响,发现从狭缝S2射入的质子速度方向有微小的发散角θ,测得cos θ=0.9,如图乙所
示,质子打在照相底片上会形成一条亮线,求该亮线的长度L;
(3)在分离氢元素的三种同位素离子(1
1 H 、1
2 H 、1
3H)时,各种离子除有微小的发散角θ(cos θ=0.9)外,
其速度还有波动,即v0-Δv≤v≤v0+Δv,要能有效区分出同位素离子,照相底片上亮线之间的间距应不
小于相邻较短亮线长度的十分之一,则Δv
v0
应满足什么条件?(结果保留两位小数)
(4)若质子(1
1H)以速度v0垂直进入磁场B2后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力Ff,且在大小
上满足Ff=0.1v,发现该粒子再次到达磁场上边界时与磁场上边界相切于点M(未画出),求M 点到入口
S2的距离x。
3.(11 分)一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子始终在同一水平面内运动,其速度可用图示直角坐
标系内的一个点P(vx,vy)表示,vx、vy分别为粒子速度在水平面内两个坐标轴上的分量。粒子出发时P
位于图中a(0,v0)点,粒子在水平方向的匀强电场作用下运动,P 点沿线段ab 移动到b(v0,v0)点;随后粒子
离开电场,进入方向竖直、磁感应强度大小为B 的匀强磁场,P 点沿以O 为圆心的圆弧移动至c(-v0,v0)
点;然后粒子离开磁场返回电场,P 点沿线段ca 回到a 点。已知任何相等的时间内P 点沿图中闭合曲
线通过的曲线长度都相等。不计重力。
(1)求粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期。
(2)求电场强度的大小。
(3)求P 点沿图中闭合曲线移动1 周回到a 点时,粒子位移的大小。
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参考答案
题型5 电场、磁场新情境与电磁仪器问题
1.【答案】 (1)√
2neU
m
(2)B2c
m √2neUm (3)(2+√3)√n
2
<k<2√n
【解析】 (1)粒子在粒子加速器中加速的全过程,有neU=1
2 m v0
2-0
解得v0=√
2neU
m
。
(2)粒子最后一次经过测速装置,有ev0B2=eU 1
c
解得U1=B2c
m √2neUm。
(3)设k 的最小值为k1,此时磁场最小,只要满足沿OP 方向射入磁场的粒子的轨迹与BC 边界相切
(如图甲所示),则沿其他方向射入磁场的粒子均能从AB 边界射出。轨迹与BC 边界相切时,有
r1+r1cos 30°=L
甲
解得r1=2(2-√3)L
又k1B0ev0=mv0
2
r1
解得k1=(2+√3)√n
2
设k 的最大值为k2,此时磁场最大,只要满足沿OQ 方向射入磁场的粒子的轨迹经过A 点(如图乙
所示),则沿其他方向射入磁场的粒子均能从AB 边界射出。轨迹经过A 点时,有r2= L
2
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乙
又k2B0ev0=mv0
2
r2
解得k2=2√n
综上所述,要求所有的粒子均从AB 边射出磁场,k 值应满足(2+√3)√n
2
<k<2√n。
2.【答案】 (1)1×106 m/s (2)0.02 m (3) Δv
v0
≤0.13 (4)0.1 m
【解析】 (1)带电粒子在P1和P2两金属板间运动时,所受电场力与洛伦兹力平衡,有qv0B1=qU
d
解得v0=1×106 m/s。
(2)在磁场中,根据牛顿第二定律,有qv0B2=mv0
2
R
解得R=0.1 m
亮线长度为L=2R-2Rcos θ
解得L=0.02 m。
(3)推知各离子做圆周运动的最大和最小半径分别为
Rmax=m(v0+ Δv )
e B2
Rmin=m(v0- Δv )
e B2
各离子最远位置到S2的距离为2Rmax,最近位置到S2的距离为2Rmincos θ,通过作图可知,要使第二
个亮线间距不小于第二条亮线长度的十分之一,第二条亮线长度为
L2=4 m0(v0+ Δv )
e B2
- 4 m0(v0- Δv )
e B2
cos θ
第二个亮线间距为
d2=6m0(v0- Δv )
e B2
cos θ-4 m0(v0+ Δv )
e B2
由题意可知要能在荧光屏上分辨出质子,则d2≥L2
10
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解得Δv
v0
≤16cosθ -11
16cosθ+11
联立解得Δv
v0
≤0.13。
(4)取一小段时间Δt,粒子在y 方向上由动量定理(取向下为正方向),有-kv0cos θ·Δt-qv0B2sin
θ·Δt=mvy
两边同时对过程求和可得-ky-qB2x=-mv0
由于y=0
则有qB2x=mv0
解得x=m v0
q B2
=0.1 m。
3.【答案】 (1)√2m v0
qB
2π m
qB
(2)√2v0B
(3)(2-√2) m v0
qB
【解析】 根据题中信息,作出粒子的运动轨迹,如图所示。从a 点到b 点,粒子做类平抛运动;从
b 点到c 点,粒子做匀速圆周运动,转过的角度为270°;从c 点到a'点,粒子做反向的类平抛运动。
(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律,有qvB=mv
2
r
其中v=√2v0
联立解得r=√2m v0
qB
粒子做圆周运动的周期为T=2π m
qB
。
(2)已知任何相等的时间内P 点沿题图中闭合曲线通过的曲线长度都相等,由a= Δv
Δt
可知任意点
的加速度大小相等,于是有qE
m = qvB
m
联立解得E=√2v0B。
(3)从a 点到b 点,粒子做类平抛运动,则有l=v0t,v0=qE
m
t
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由粒子两次在电场中运动的对称性可知,移动1 周回到a 点时,粒子位移的大小为aa'=√2r-2l
联立解得aa'=(2-√2) m v0
qB
。
