73.空间曲率问题与应用
一．引言
空间曲率新定义问题“火”于2021 年八省联考，这是第一次大范围的新高考适应性考
试，也是近年新定义的“开山鼻祖”，颇具代表性.因此，这里的引言就以该题为例，逐次
展开.
1.定义：（2021 年教育部八省联考）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的
运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体
顶点的曲率等于
与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面
2
角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各
顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3 个面角，每个面角是
，所以正四面体
3
在各顶点的曲率为
，故其总曲率为
．
2
3
3
4
二．典例分析
1．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶
点的曲率等于
与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，
2π
角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3 个面角，每个面角均为
，则其各个顶点
π
3
的曲率均为
.若正四棱锥
的侧面与底面所成角的正切值为
，则四
π
2π
3
π
3
S
ABCD
2
棱锥
在顶点处的曲率为（ ）
S
ABCD
S
A．
B．
C．
D．
π
4π
3
5π
6
2π
3
解析：如图，连接
，
，设
，连接
，则
平面
，
AC
BD
AC
BD
O
SO
SO
ABCD
取
的中点
，连接
，
，
BC
M
OM
SM
则由正四棱锥的结构特征可知
，所以
为侧面与底面所成的角，
,
OM
BC SM
BC
SMO
设
，则
，在
中，
，所以
AB
BC
a
2
a
OM
Rt
SOM
△
tan
2
SO
SMO
OM
，又
，所以
，
2
2
2
SO
OM
a
2
2
OB
a
2
2
SB
SO
OB
a
所以正四棱锥
的每个侧面均为正三角形，所以顶点的每个面角均为
，
S
ABCD
S
π
3
故正四棱锥
在顶点处的曲率为
.故选：D.
S
ABCD
S
π
2π
2π
4
3
3
2．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶
点的曲率等于
与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角
2π
度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的
曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2π
4π
6π
8π
解析：正八面体每个面均为等边三角形，且每个面的面角和为
，该正面体共
个顶点，
π
6
因此，该正八面体的总曲率为
.故选：B.
6 2π
8π
4π
3．设
为多面体
的一个顶点，定义多面体
在点
处的离散曲率为
P
M
M
P
，其中
为多面体
1
2
2
3
1
1
1
1
2
k
k
k
Q PQ
Q PQ
Q
PQ
Q PQ
1,2,
, ,
3
i
Q i
k k
的所有与点
相邻的顶点，且平面
，平面
，…，平面
和平面
M
P
1
2
Q PQ
2
3
Q PQ
1
k
k
Q
PQ
1
k
Q PQ
为多面体
的所有以
为公共点的面．已知在直四棱柱
中，底面
M
P
1
1
1
1
ABCD
A B C D
ABCD
为菱形，
，则下列结论正确的是（ ）
1
AA
AB
A．直四棱柱
在其各顶点处的离散曲率都相等
1
1
1
1
ABCD
A B C D
B．若
，则直四棱柱
在顶点
处的离散曲率为
AC
BD
1
1
1
1
ABCD
A B C D
A
1
4
C．若
，则直四棱柱
在顶点
处的离散曲率为
AB
BD
1
1
1
1
ABCD
A B C D
A
2
3
D．若四面体
在点
处的离散曲率为
，则
平面
1A ABD
1A
7
12
1
AC
1A BD
解析：A 项，当直四棱柱
的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率
1
1
1
1
ABCD
A B C D
都相等，当直四棱柱
的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个
1
1
1
1
ABCD
A B C D
顶点处的离散曲率不相等，故选项A 错误；
B 项，若
，则菱形
为正方形，因为
平面
，所以
，
AC
BD
ABCD
1
AA
ABCD
1
AA
AB
，所以直四棱柱
在顶点
处的离散曲率为
1
AA
AD
1
1
1
1
ABCD
A B C D
A
1
1
1
2
2
2
2
4
，选项B 正确；
C 项，若
，则
，又
，
，所以直四棱柱
AB
BD
3
BAD
1
AA
AB
1
AA
AD
1
1
1
1
ABCD
A B C D
在顶点
处的离散曲率为
，选项C 错误；
A
1
1
1
2
2
2
3
3
D 项，在四面体
中，
，
，
，所以
1
A ABD
1
AA
AB
1
AA
AD
1
AA
AB
AD
，所以四面体
在点
处的离散曲率为
1
1
4
AA B
AA D
1
A ABD
1A
，解得
，易知
，所以
1
1
7
1
2
4
4
12
BA D
1
3
BA D
1
1
2
A B
A D
AB
，所以
，所以直四棱柱
为正方体，结合正方体的结
2
BD
AB
AB
AD
1
1
1
1
ABCD
A B C D
构特征可知
平面
，选项D 正确．
1
AC
1A BD
故选：BD
4．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体
的一个顶点，定义多面体
在点P 处的离散曲率为
，其中
1
2
2
3
1
1
1
1
2π
P
k
k
k
Q PQ
Q PQ
Q
PQ
Q PQ
i
Q
（
，2，……，k，
）为多面体
的所有与点P 相邻的顶点，且平面
，平面
1
i
3
k
1
2
Q PQ
，…，平面
和平面
为多面体
的所有以P 为公共点的面.如图，四棱
2
3
Q PQ
1
k
k
Q
PQ
1
k
Q PQ
锥
的底面
是边长为2 的菱形，且
，顶点S 在底面的射影O 为
S
ABCD
ABCD
2
AC
AC
的中点.若该四棱锥在S 处的离散曲率
，则直线
与平面
所成角的正弦值
1
3
S
OS
SAB
为
.
解析：由题意可知， 四棱锥
的四个侧面三角形全等，则
S
ABCD
，因为四棱锥在处的离散曲率
，则
ASB
BSC
CSD
DSA
S
1
3
S
，
，设
，则
，又
，则
1
1
1
4
3
2π
ASB
π
3
ASB
SO
h
2
1
SA
h
3
OB
，而
，所以
，解得
2
3
SB
h
2
AB
2
2
2
2
2
2
4
2
4
1
cos
2
2
2 1
3
SA
SB
AB
h
ASB
SA SB
h
h
，
2
13
3
h
作
于
，则
为
的中点，因为
是正三角形，所以
，
CE
AB
E
E
AB
ABC
V
3
CE
作
于
，则
，且
，则
，
OF
AB
F
//
OF
CE
1
3
2
2
OF
CE
2
13
3
17
4 13
3
4
12
SF
连接
，由
平面
，
平面
，所以
，
，
SF
SO
ABCD
AB
ABCD
SO
AB
SO
OF
O
平面
，所以
平面
，
平面
，所以平面
平面
，
,
SO OF
SOF
AB
SOF
AB
SAB
SOF
SAB
又平面
平面
，作
于
，则
平面
，所以
即
SOF
SAB
SF
OG
SF
G
OG
SAB
OSG
OSF
是直线
与平面
所成角，则
.
OS
SAB
3
1
13
2
2
sin
3
3
17
4 13
17
4 13
12
OF
OSF
SF
故答案为：
.
13
2
3
5．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设
为多面体
的一个顶点，定义多面体
P
M
M
在点
处的离散曲率为
，其中
P
1
2
2
3
1
1
1
Φ
1
2
P
k
k
k
Q PQ
Q PQ
Q
PQ
Q PQ
为多面体
的所有与
相邻的顶点，且平面
，
，…平
1,2,
, ,
3)
i
Q i
k k
M
P
1
2
Q PQ
2
3
Q PQ
面
和平面
为多面体
的所有以
为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥
1
k
k
Q
PQ
1
k
Q PQ
M
P
．
P
ABC
(1)求三棱锥
在各个顶点处的离散曲率的和；
P
ABC
(2)若
平面
，
，三棱锥
在顶点
处的离散曲率为
PA
ABC
,
2
AC
BC AC
BC
P
ABC
C
．
3
8
①求直线
与直线
所成角的余弦值；
PC
AB
②点
在棱
上，直线
与平面
所成角的余弦值为
，求
的长度．
Q
PB
CQ
ABC
30
6
BQ
解析：（1）根据离散曲率的定义得
，
1
Φ
1
2π
P
APB
BPC
APC
，
，
1
Φ
1
2π
A
PAB
BAC
PAC
1
Φ
1
2π
B
PBA
ABC
PBC
，所以
1
Φ
1
2π
C
PCA
BCA
PCB
1
4
4π
2
2π
P
A
B
C
（2）①因为
平面
，
平面
，所以
，且
，
PA
ABC
BC
ABC
PA
BC
AC
BC
，
平面
,所以
平面
，
平面
,所以
PA
AC
A
,
PA AC
PAC
BC
PAC
PC
PAC
BC
PC
，
所以
，所以
，所
1
1
π
π
3
Φ
1
1
2π
2π
2
2
8
C
PCA
BCA
PCB
PCA
π
4
PCA
以
，如图，将三棱锥
补成正方体
，
2
PA
AC
BC
P
ABC
ADBC
PEFM
因为
，连结
，所以异面直线
与
所成的角为
或其补角，而
/ /
AB
PF
FC
PC
AB
FPC
PFC
△
是等边三角形，所以
，
，所以直线
与直线
所成
60
FPC
1
cos
cos60
2
FPC
PC
AB
角的余弦值为
；过点
作
交
于
，连结
，
1
2
Q
/ /
QG
PA
𝐀𝐁
G
CG
因为
平面
，所以
平面
，所以
为直线
与平面
所成的
PA
ABC
QG
ABC
GCQ
CQ
ABC
角，
依题意可得，
，
，
，所以
,
2
PA
2 2
AB
2
2
2 3
PB
PA
AB
3
sin
3
PA
PBA
PB
，设
，
，
6
cos
3
AB
PBA
PB
0
2 3
BQ
x
x
3
sin
3
QG
BQ
PBA
x
，在
中，
6
cos
3
BG
BQ
PBA
x
BCG
A
，
2
2
2
2
4 3
2
cos
4
3
3
CG
BC
BG
BC BG
CBG
x
x
又
，所以
，所以
30
cos
6
GCQ
2
6
sin
1 cos
6
GCQ
GCQ
，所以
，
sin
5
tan
cos
5
GCQ
GCQ
GCQ
2
3
5
3
tan
5
2
4 3
4
3
3
x
QG
GCQ
CG
x
x
解得：
或
（舍）故
.
2 3
3
x
2 3
x
2 3
3
BQ
6．定义：多面体
在点
处的离散曲率为
M
P
，其中
为多面体
的一个顶
1
2
2
3
1
1
1
Φ
1
2π
P
k
k
k
Q PQ
Q PQ
Q
PQ
Q PQ
P
M
点，
（
，
且
）为多面体
的所有与点
相邻的顶点，且平面
i
Q
1,2,
,
i
k
3
k
*
k N
M
P
、平面
、
、平面
和平面
为多面体
的所有以
为公共点的
1
2
Q PQ
2
3
Q PQ
L
1
k
k
Q
PQ
1
k
Q PQ
M
P
面．如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
为正方形，
，
P
ABCD
PD
ABCD
ABCD
2
CD
．
2 3
DP
(1)求四棱锥
在顶点
处的离散曲率；
P
ABCD
C
(2)求四棱锥
内切球的表面积；
P
ABCD
(3)若
是棱
上的一个动点，求直线
与平面
所成角的取值范围．
Q
PB
CQ
ABCD
解析：（1）因为
平面
，
平面
，所以
，因为
PD
ABCD
CD
ABCD
PD
CD
，则
．因为
平面
，
平面
，
2 3
tan
3
2
PD
DCP
CD
π
3
DCP
PD
ABCD
BC
ABCD
所以
，又
，
，
、
平面
，所以
平面
PD
BC
BC
CD
PD
CD
D
PD
CD
PCD
BC
PCD
，
又
平面
，所以
，即
，由离散曲率的定义得
PC
PCD
BC
PC
π
2
PCB
．
1
1
π
π
π
1
1
1
2π
2π
2
2
3
3
C
DCB
PCB
DCP
（2）因为四边形
为正方形，则
，因为
平面
，
平面
ABCD
AB
AD
PD
ABCD
AB
，则
，因为
，
、
平面
，所以，
平面
ABCD
AB
PD
AD
PD
D
I
AD
PD
PAD
AB
，
PAD
因为
平面
，所以
，设四棱锥
的表面积为
，
PA
PAD
AB
PA
P
ABCD
1S
则
1
2
2
PAD
PCD
PAB
PBC
PCD
PBC
ABCD
ABCD
S
S
S
S
S
S
S
S
S
正方形
正方形
△
△
△
△
△
△
．设四棱锥
的内切球的半径为，则
2
1
1
2
2 2 3
2
2 4
2
4 3
12
2
2
P
ABCD
r
，所以
，所以四棱
1
1
1
3
3
P ABCD
ABCD
V
S
PD
S
r
正方形
2
1
2
2 3
3
1
4 3
12
ABCD
S
PD
r
S
正方形
锥
内切球的表面积
．
P
ABCD
2
2
4π
16
8 3 π
S
r
（3）如图，过
点作
交
于点
，连接
，因为
平面
，所以
Q
//
QG PD
BD
G
CG
PD
ABCD
平面
，则
为直线
与平面
所成的角．易知，当
与
重合时，
QG
ABCD
GCQ
CQ
ABCD
Q
B
；
0
GCQ
当
与
不重合时，设
，在
中，由余弦定理得
Q
B
0
2 2
BG
x
x
BCG
A
2
2
2
2
cos
CG
BC
BG
BC BG
DBC
2
2
2
4
2 2
2 2
4,
2
x
x
x
x
因为
，所以
，所以
，则
，
//
QG PD
BGQ
BDP
∽
△
△
QG
BG
PD
BD
6
2
BG PD
QG
x
BD
所以
．
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
2
2
tan
2 2
4
2 2
4
2
2
1
1
2
2
x
QG
GCQ
CG
x
x
x
x
x
当分母
最小时，
最大，即
最大，此时
（
与
重
2
2
2
1
2
2
x
2
tan
GCQ
GCQ
2 2
x
Q
P
合），
由
，得
，即
，所以
的最大值为
，
2
tan
3
GCQ
tan
3
GCQ
π
3
GCQ
GCQ
π
3
所以直线
与平面
所成角的取值范围为
．
CQ
ABCD
π
0, 3
三．习题
1．阅读数学材料：“
为多面体
的一个顶点，定义多面体
在点
处的离散曲率为
P
M
M
P
，其中
为多面体
1
2
2
3
1
1
1
1
2π
k
k
k
Q PQ
Q PQ
Q
PQ
Q PQ
1,2,
, ,
3
i
Q i
k k
的所有与点
相邻的顶点，且平面
，平面
，平面
和平面
M
P
1
2
Q PQ
2
3,
Q PQ
1
k
k
Q
PQ
1
k
Q PQ
为多面体
的所有以
为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱
中，
M
P
1
1
1
1
ABCD
A B C D
底面
为菱形，
，当直四棱柱
的底面为正方形时，其在各
ABCD
1
AA
AB
1
1
1
1
ABCD
A B C D
顶点处的离散曲率都相等，当直四棱柱
的底面不为正方形时，其在同一
1
1
1
1
ABCD
A B C D
底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等.
(1)若
，求直四棱柱
在顶点
处的离散曲率.
AC
BD
1
1
1
1
ABCD
A B C D
A
(2)若四面体
在点
处的离散曲率为
，证明
平面
.
1A ABD
1A
7
12
1
AC
1A BD
(3)若直四棱柱
在顶点
处的离散曲率为
，求
与平面
所成角的
1
1
1
1
ABCD
A B C D
A
1
3
1
BC
1
ACC
正弦值.
【详解】（1）若
，则菱形
为正方形，因为
平面
平面
AC
BD
ABCD
1
AA
,
,
ABCD AB AD
，所以
，所以直四棱柱
在顶点
处的离散曲率
ABCD
1
1
,
AA
AB AA
AD
1
1
1
1
ABCD
A B C D
A
为
．
1
π
π
π
1
1
2π
2
2
2
4
（2）在四面体
中，
，所以
1A ABD
1
1
1
,
,
AA
AB AA
AD AA
AB
AD
1
1
π
4
AA B
AA D
，
所以四面体
在点
处的离散曲率为
，
1A ABD
1A
1
1
π
π
7
1
2π
4
4
12
BA D
解得
，
1
π
3
BA D
易知
，所以
，所以
，
1
1
2
A B
A D
AB
1
1
2
BD
A B
A D
AB
AB
AD
所以直四棱柱
为正方体，
1
1
1
1
ABCD
A B C D
因为
平面
平面
，所以
，
1
1
C D
1
1
1
,
ADD A AD
1
1
ADD A
1
1
1
C D
A D
又
平面
，所以
平面
，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
,
,
AD
A D AD
C D
D AD C D
1
1
AC D
1A D
1
1
AC D
又
平面
，所以
，同理
，
1
AC
1
1
AC D
1
1
AC
A D
1
BD
AC
又
平面
，所以
平面
．
1
1
,
,
A D
BD
D A D BD
1A BD
1
AC
1A BD
（3）直四棱柱
在顶点
处的离散曲率为
，
1
1
1
1
ABCD
A B C D
A
1
π
π
1
1
2π
2
2
3
DAB
则
，即
是等边三角形， 则菱形
中，
，
π
3
DAB
DAB
A
ABCD
BD
AC
平面
，
面
，则
，
1
AA
ABCD
BD
ABCD
1
AA
BD
又
，
平面
，所以
平面
，
1
AA
AC
A
1,
AA AC
1
1
AAC C
BD
1
1
AAC C
设
，则
即为
与平面
的所成角，
．
AC
BD
O
1
BC O
1
BC
1
ACC
1
1
2
2
sin
4
2
AB
BC O
AB
