文档文本内容
高中物理强基计划系统讲义
第一章：运动学
1.5 刚体平面运动与瞬心法
1.5.1 刚体平面运动描述
刚体平面运动指刚体内所有点都平行于某一固定平面运动。这种运动可分解为平动和转动。
平动：刚体上任意两点的连线在运动过程中保持平行。
转动：刚体绕某一轴旋转。
�Ԧሬ�= �Ԧሬ�+ �Ԧሬሬ× �Ԧሬ��
1.5.2 瞬时转动中心（瞬心）
定义：瞬心（瞬时转动中心）是指刚体在某一瞬间速度为零的点。瞬心法用于简化刚体平面运动的分析。
瞬心的性质：
–瞬心是刚体在该瞬间的转动中心。
–刚体上各点的速度方向垂直于该点与瞬心的连线。
–速度大小与距离瞬心的距离成正比：�= ��，其中�是刚体的角速度。
寻找瞬心的方法：
1. 已知刚体上两点的速度方向：瞬心是这两点速度垂线的交点。
2. 已知刚体上两点的速度大小和方向：使用几何关系确定。
3. 纯滚动：瞬心在接触点。
1.5.3 瞬心法应用
问题：一个半径为R 的圆盘在水平面上纯滚动，圆心速度为�。求圆盘边缘上一点P 的速度（P 点与
圆心连线与竖直方向成45°）。
解：
- 瞬心：圆盘与地面的接触点C。
- 角速度：�=
�
�
- P 点与瞬心的距离：��=
�2 + �2 −2�2cos135∘= �2（使用余弦定理）
- P 点速度大小：��= �⋅��=
�
�⋅�2 = �2 - 方向：垂直于CP 连线。
1.6 物系相关速度
物系相关速度问题涉及多个相互关联的物体的速度关系分析。这类问题的核心是约束关系——物体之间
通过刚性连接、绳连接或接触等方式相互约束，导致它们的速度之间存在特定关系。
1.6.1 刚性连接物系
当两个物体通过刚性杆连接时，它们在杆方向的速度分量必须相等。
例题：(单一杆连接)如图，杆AB 两端分别靠在竖直和水平墙面上，A 端以速度��向下运动，求B 端的
速度。
解：设杆长为L，A、B 两端的速度分别为��和��，沿杆方向速度分量相等：��sin�= ��cos�，
解得：��= ��tan�。
例题：(多杆系统)例题4：四连杆机构如图，已知杆OA 以角速度ω绕O 点转动，求杆BC 的角速度。
解：
- A 点速度：��= �⋅��，方向垂直于OA
- B 点同时属于AB 杆和BC 杆
- 对AB 杆：��在AB 方向的投影等于��在AB 方向的投影
{#{QQABLQQg5wAwgoRACK6KBUkACAkYkJCwLCgEgVCaKAYrgQFIBAA=}#}
高中物理强基计划系统讲义
- 对BC 杆：��= ���⋅��，方向垂直于BC
- 联立求可得���。
1.6.2 绳连接物系
当物体通过不可伸长的绳连接时，沿绳方向的速度分量大小相等。
例题(单绳多物体系统)：如图，人用绳子通过定滑轮拉物体，人向右以速度�运动，求物体上升的速度。
解：
- 设物体上升速度为�0，绳子的速度为�绳
- 由于绳子不可伸长，绳子上各点沿绳方向的速度相等
- 人的速度�沿绳方向的分量为�cos�
- 物体上升速度等于绳子速度，故有�0 = �cos�
例题2(复杂绳系系统)：如图，物体A、B 通过滑轮系统连接。已知物体A 向下速度为�，求物体B 上升
的速度。
解：
- 设绳1 长度为�1，绳2 长度为�2
- 对绳1：��1/��=−�(A 下降)
- 对绳2：��2/��= ��(B 上升)
- 通过几何关系找到�1和�2的关系
- 一般情况：��= �⋅�，其中�为与滑轮布置有关的系数
1.6.3 接触物系
两物体接触点处，沿接触面法线方向的速度分量相等。
例题(纯滚动接触)：半径为R 的圆盘以角速度�在水平面上纯滚动，求盘心速度。
解：圆盘纯滚动，接触点C 的速度为零，盘心速度��= ��
例题5：半径为R 的圆盘在水平面上纯滚动，盘心速度为�。求圆盘边缘上一点P 的速度（P 点与盘心连
线与竖直方向成�角）。
解：
- 接触点C 为瞬心，角速度�= �/�
- P 点相对于瞬心的速度：��= �⋅��
- 方向垂直于CP 连线
- 大小：��= (�/�) ⋅
�2 + �2 −2�2cos(�−�) = �2(1 + cos�)
1.6.4 齿轮啮合
例题6：两个齿轮啮合，半径分别为�1和�2。已知齿轮1 以角速度�1转动，求齿轮2 的角速度。
解：啮合点处线速度相等：�1�1 = �2�2 ，解得：�2 = (�1/�2)�1 - 转向相反
1.6.5 关联速度求解常用方法
（1）速度投影定理
对于刚性连接的两点，它们在连线方向的速度分量相等。
证明：设A、B 两点距离为L，则�2 = (��−��)2 + (��−��)2，对时间求导：2�
��
��= 2(��−��)(���−
���) + 2(��−��)(���−���) ，由于刚性连接，
��
��= 0，得：(��−��)(���−���) + (��−��)(���−���) = 0 即
��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅(�Ԧሬ�−�Ԧሬ�) = 0，说明A、B 两点在AB 方向的速度分量相等。
{#{QQABLQQg5wAwgoRACK6KBUkACAkYkJCwLCgEgVCaKAYrgQFIBAA=}#}
高中物理强基计划系统讲义
应用步骤：1. 确定系统中的刚性连接部分2. 对每个刚性连接，写出速度投影方程3. 联立求解各点速
度
（2）瞬心法
对于平面运动的刚体，找到瞬心后可以简化速度计算。（如例5）
应用步骤：1. 确定各刚体的瞬心位置2. 计算刚体绕瞬心转动的角速度3. 利用�= ��计算各点速度
（3）相对运动法
应用步骤：1. 选取合适的动点和动系2. 写出速度合成公式：�Ԧሬ�= �Ԧሬ�+ �Ԧሬ�/�3. 根据具体问题确定各项
大小和方向
（4）综合例题
问题：图示机构中，OA 杆以角速度�绕O 点转动，通过铰链A 带动BC 杆水平运动。已知OA = r，求
当OA 与水平方向成θ角时，BC 杆的速度。
解：
1. A 点速度：��= �⋅��= ��，方向垂直于OA
2. 将A 点速度分解：
- 水平分量：���= ��cos�= ��cos�
- 竖直分量：���= ��sin�= ��sin�
3. 由于BC 杆只能水平运动，A 点的水平速度即为BC 杆速度4. 因此���= ��cos�
解题技巧与注意事项：
确定约束类型：先判断是绳约束、杆约束还是接触约束
选择合适方法：根据问题特点选择投影法、瞬心法或相对运动法
注意方向判断：速度方向要准确判断，特别是相对运动中的方向
建立几何关系：多数问题需要建立长度、角度等几何关系
检查结果合理性：通过特殊位置检验结果的正确性
特殊情况的处理：
瞬时重合点：当两物体在某瞬时重合时，使用点的复合运动方法
多约束系统：系统中有多个约束时，要同时满足所有约束条件
变约束系统：约束条件随时间变化时，需要建立参数方程
{#{QQABLQQg5wAwgoRACK6KBUkACAkYkJCwLCgEgVCaKAYrgQFIBAA=}#}
