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专题03 集合培优归类
题型1 判断集合元素个数
集合的元素个数，和其他知识结合的较多，属于中等偏难的题型，解决此类题型，要从集合的基本概
念、基本性质以及集合元素的不同形式的表述入手，主要是三种形式：
1.数集；2.点集（有序数对）；3.抽象型（韦恩图型）
集合中元素个数：
1.点集多是图像交点，与函数图象或者圆锥曲线图象等有关。
2.数集，多涉及到一元二次方程根、一元二次不等式以及分式不等式指数对数等不等式的解集。
1．（2024-2025 年陕西名校教育联盟）已知数列
满足
，
，记数列
的前
n 项和为
，设集合
，
对
恒成立
，则集合N 的元素个数是
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（24-25 高三下·上海·开学考试）设
与
是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合
出下列四个命题.
1
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①若
与
均为等差数列，则
中最多有1 个元素；
②若
与
均为等比数列，则
中最多有2 个元素；
③若
为等差数列，
为等比数列，则
中最多有3 个元素；
④若
为递增数列，
为递减数列，则
中最多有1 个元素.
则上述命题中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2025 高三·四川八省联盟适应性模拟卷）用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B＝
若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a 的所有可
能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
4．（24-25 高三上·上海杨浦·期中）设集合
，则集合
的元素个数为（ ）
A．1011
B．1012
C．2022
D．2023
5．（24-25 高三下·江西南昌·阶段练习）集合
且
，集合
且
，用
表
示集合X 中的元素个数，则
（ ）
A．100
B．200
C．260
D．300
题型2 集合元素个数最值型
集合元素个数型最值与参数，多涉及到数列，三角、解析几何与函数等知识交汇处出题，难度较大，注
意相关基础知识的积累和应用。
1．（23-24 高一上·上海浦东）已知
与
是集合
的两个子集，满足：
与
的元素个数相
同，且
为空集，若
时总有
，则集合
的元素个数最多为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·北京朝阳·期中）数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记
为集合的元素个数，
为集合的子集个数，若集合
满足：①
，
；②
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三·湖南长沙一中模拟）设集合A 的最大元素为M，最小元素为m，记A 的特征值为
2
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，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知
，
，
，…，
是集合
的元素个数
均不相同的非空真子集，且
，则n 的最大值为（ ）
A．14
B．15
C．16
D．18
4．（23-24 高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知有限集合
，定义集合
中的元素个数为集合
的“容量”，记为
．若集合
，
则
；若集合
，且
，则正整数
的值是
．
5．（23-24 高二下·江苏泰州·期中）已知集合
，
记集合
的元素个数为
.当
时，
（用数字表示）；当
（
且
）时，
.（用含有
的式子表示）.
题型3 异构同集型
以集合定义为核心的“异构同集”型，也就是集合“相同”的概念应用。立足于集合的基本性质，需要
从以下几方面来综合考虑、比较与计算：
（1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为
；不属于，记为
．
（3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法．
1．（24-25 高一下·北京·开学考试）已知集合
，
．则
（ ）
A．
B．
是
的真子集
C．
D．
2．（24-25 高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合
，
，
，则
的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
4．（23-24 高一上·湖北十堰·期末）集合
，
，
3
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的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（21-22 高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合
且
，定义集合
，若
，给出下列说法：①
；②
；
③
；其中所有正确序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
6．（2025·河北·模拟预测）已知集合
或
，若
，则
．
题型4 异构同集型最值与求参（难点） 5 空
异构同集型最值与求参，涉及到集合定义与集合关系的研究。
1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。
2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。
3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无
关）
1．（24-25 高三上·上海·期末）对于函数
，定义
.
（1）
且
，则实数a 的取值范围是 ；
（2）
，且
且
，则实数a 的取值范围是 .
2．（24-25 高三·上海·阶段练习）已知
，若
，则
的最小值为 .
3．（24-25 高三·上海虹口·模拟）设
，若非空集合
满足
，则实数
的取值范围是 .
4．（24-25 高一上·上海·期中）已知
，记集合
，
．若
，则a 的取值范围为 ．
5．（24-25 高三上·江苏扬州·期中）已知非空集合
，
.若
，
则
的值 .
4
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题型5 子集型最值与求参 5 单
元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论
的思想进行列举
公式法求有限集合的子集个数
(1)含n 个元素的集合有2n 个子集．
(2)含n 个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含n 个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含n 个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有
，则要讨论集合B 是否是空
集。
所以思考子集，要有“从空集开始到自身结束”这个“顺序感”：
子集是从“从空集开始，到自身结束”
1．（24-25 高三·辽宁辽阳·模拟）我们将集合S 的子集为元素的集合称为S 的一个子集族.例如集合
有3 个子集族：
.若集合B 中有3 个元素，则B 的不同子集族有（ ）
A．128 个
B．127 个
C．256 个
D．255 个
2．（2025·江西萍乡·三模）已知集合
，
，
，若集
合C 有3 个真子集，则实数m 的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合
，若
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高一上·山东烟台·阶段练习）若集合
，
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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题型6 交集型最值与求参 5 单
交集运算时，要注意交集运算的一些基本性质：
①A∩B
_A；
②A∩B
B；
③A∩A＝A；
④A∩＝
；
⑤A∩B=B∩A.
．
1．（2025·福建厦门·三模）已知集合
，
，若
，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三下·广西·开学考试）已知集合
，现将
中的元
素从小到大依次排列，则第20 个元素为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二上·陕西渭南·阶段练习）已知函数
的值域为
，
的值域为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（20-21 高一上·四川眉山·阶段练习）设
，
与
是
的子集，若
，则称
为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定
与
是两个不同的“理想配集”）的个
数是（ ）
A．16
B．9
C．8
D．4
5．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）设集合
，
，若
只含一个元
素，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型7 并集型最值与求参
6
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并集：
集合并集运算的一些基本性质：
(1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注
意A＝∅的情况．
(2)集合运算常用的性质：
A∪B＝B⇔A⊆B；
1．（24-25 高一上·上海·期中）设
是均含有2 个元素的集合，且
，记
，则B 中元素个数的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 高一上·全国·专题练习）若集合A 满足对任意
，
，都有
，则称A 为“S 集”．若
，
，
，
为四个S 集，且
，则正整数
的最大可能值为（ ）
A．66
B．67
C．68
D．69
5．（2023·上海普陀·一模）设
、
、
、
、
是均含有
个元素的集合，且
，
，记
，则
中元素个数的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7
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题型8 全集与补集型最值与求参
全集与补集运算的性质：
1．（24-25 高一上·湖北·期中）已知集合
，若
，且同时满足：①若
，则
；②若
，则
.则集合
的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）若全集
，集合
，
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·全国·模拟预测）已知集合
，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·新疆喀什·二模）已知集合
，
，
且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知集合
，若
，
则实数
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8
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题型9 韦恩图应用
韦恩图：
（1）表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn 图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
1．（24-25 高三·上海浦东新·阶段练习）定义
，设
、
、
是某集合的三个子集，
且满足
，则
是
的（ ）
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分也非必要条件
2．（24-25 高三上·上海·阶段练习）定义集合运算
；将
称
为集合A 与集合
的对称差，命题甲：
；命题乙：
则下列说法正确的是（ ）
A．甲乙都是真命题
B．只有甲是真命题
C．只有乙是真命题
D．甲乙都不是真命题
3．（2025 高三·全国·专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活
动的有
人，参加唱歌课外活动的有
人，参加体育课外活动的有
人，三种课外活动都参加的有
人，
选择两种课外活动参加的有
人，不参加其中任何一种课外活动的有
人．则接受调查的小学生共有
（ ）
A．
人
B．
人
C．
人
D．
人
4．（24-25 高三上·上海·阶段练习）对于非空集合
和
，把所有属于
但不属于
的元素组成的集合
称为
和
的差集，记为
，那么
总等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·辽宁·期中）已知集合
为全集，集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10 交并补集综合型
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知满足
（
且
）
的有序集合组（A，B）的个数为32，则
．
2．（23-24 高一上·北京·期中）定义集合
的“长度”是
，其中a，
R．已如集合
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，
，且M，N 都是集合
的子集，则集合
的“长度”
的最小值是 ；若
，集合
的“长度”大于
，则n 的取值范围是 .
3．（23-24 高三上·浙江金华·阶段练习）从集合
的非空子集中随机取出两个不同的集合
，
则在
的条件下，
恰有1 个元素的概率为 .
4．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
的定义域为
，集合
．当
时，
；若
，则实数
的取值范围是 ．
5．（24-25 高一上·四川绵阳·阶段练习）已知
或
，
，若
，则m 的取值范围是 .
题型11 集合新定义型综合
解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举
例”提供的分类情况.
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
1．（2024·广东广州·模拟预测）已知集合
，若集合
，且M 中的所有
元素之和为奇数，称M 为A 的奇子集，则A 的所有“奇子集元素之和”的总和为 .
2．（2015 高三·全国·练习）已知有限集
（
）．如果A 中的元素
（
）满
足
，就称A 为“复活集”，给出下列结论：
①集合
是“复活集”； ②若
，且
是“复活集”，则
；
③若
，则
不可能是“复活集”；④若
，则“复活集”A 有且只有一个，且
．
其中正确的结论是 ．（填上你认为所有正确的结论序号）
3．（2023·安徽合肥·模拟预测）设
，定义
的差分运算为
.用
表示对a 进行
次差分运算，显然，
10
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是一个
维数组.称满足
的最小非负整数
的值为
的深度.若这样的正整数
不存在，则称
的深度为
.
（1）已知
，则
的深度为 .
（2）
中深度为
的数组个数为 .
4．（2025 高三·全国·专题练习）我们把一些向量构成的集合称为线性空间，设
是线性空间
到自身的一
个变换，将
中所有能被
变换为零向量的向量组成的集合称为变换
在
上的核，记作
．已知线
性空间
，对任意
，变换
满足
，则
中的
元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．（2021·北京东城·一模）设A 是非空数集，若对任意
，都有
，则称A 具有性质P.
给出以下命题：
①若A 具有性质P，则A 可以是有限集；
②若
具有性质P，且
，则
具有性质P；
③若
具有性质P，则
具有性质P；
④若A 具有性质P，且
，则
不具有性质P.
其中所有真命题的序号是 .
11
