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十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—函数解答题
目录
题型一：函数概念及其性质............................................1
题型二：函数的零点问题..............................................2
题型三：函数的应用..................................................3
题型一：函数概念及其性质
1．(2020 江苏高考·第19 题)已知关于
的函数
与
在区间
上恒有
．
(1)若
，求
的表达式；
(2)若
，求
的取值范围；
(3)若
求证：
．
2．(2014 高考数学上海理科·第20 题)设常数
，函数
．
(1)若
，求函数
的反函数
；
(2)根据
的不同取值，讨论函数
的奇偶性，并说明理由．
3．(2014 高考数学广东理科·第21 题)设函数
，其中
，
(1)求函数
的定义域
；(用区间表示)
(2)讨论
在
上的单调性；
(3)若
，求
上满足条件
的
的集合(用区间表示)．
4．(2015 高考数学浙江理科·第18 题)(本题满分15 分)已知函数
，记
是
在区间
上的最大值．
(1)证明：当
时，
；
(2)当
，
满足
，求
的最大值．
1
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5．(2015 高考数学上海理科·第23 题) 对于定义域为
的函数
，若存在正常数
，使得
是
以
为周期的函数，则称
为余弦周期函数，且称
为其余弦周期．已知
是以
为余弦周期
的余弦周期函数，其值域为
，设
单调递增，
，
；
(1)验证
是以
为余弦周期的余弦周期函数；
(2)设
，证明对任意
，存在
，使得
；
(3)证明：“
为方程
在
上的解”的充要条件是“
为方程
在
上的解”，并证明对任意
都有
．
6．(2017 年高考数学上海(文理科)·第21 题)设定义在R 上的函数
( )
f x 满足:对于任意的
1x 、
2x R ,
当
1
2
x
x
时,都有
1
2
(
)
(
)
f x
f x
．
(1)若
3
( )
1
f x
ax
,求a 的取值范围;
(2)若
( )
f x 为周期函数,证明:
( )
f x 是常值函数;
(3)设
( )
f x 恒大于零, ( )
g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数, M 是
( )
g x 的最大值．函数
( )
( ) ( )
h x
f x g x
．证明:“ ( )
h x 是周期函数”的充要条件是“
( )
f x 是常值函数”．
7 ．(2016 高考数学浙江理科· 第18 题)( 本题满分15 分) 已知
，函数
，其中
．
(Ⅰ)求使得等式
成立的
的取值范围；
(Ⅱ)(ⅰ)求
的最小值
；
(ⅱ)求
在区间
上的最大值
．
8．已知
，函数
．
(1)当
时，解不等式
；
(2)若关于
的方程
的解集中恰好有一个元素，求
的取值范围；
(3)设
，若对任意
，函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过1，求
的取值范围．
题型二：函数的零点问题
1．(2020 年浙江省高考数学试卷·第22 题)已知
，函数
，其中e=2．71828…
为自然对数的底数．
(Ⅰ)证明：函数
在
上有唯一零点；
2
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(Ⅱ)记x0为函数
在
上的零点，证明：
(ⅰ)
；
(ⅱ)
．
2．(2019·上海·第18 题)已知
.
(1)当
时，求不等式
的解集；
(2)若
时，
有零点，求
的范围.
3．(2016 高考数学江苏文理科·第19 题)已知函数
．
(1)设
，
．
① 求方程
的根；
② 若对于任意
，不等式
恒成立，求实数
的最大值；
(2)若
，
，函数
有且只有1 个零点，求
的值．
题型三：函数的应用
1．(2020 江苏高考·第17 题)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底
在
水平线
上、桥
与
平行，
为铅垂线(
在
上)．经测量，左侧曲线
上任一点
到
的距离
(米)与
到
的距离
(米)之间满足关系式
；右侧曲线
上任一点
到
的距离
(米)与
到
的距离
(米)之间满足关系式
．已知点
到
的距
离为
米．
(1)求桥
的长度；
3
A
B
C
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(2)计划在谷底两侧建造平行于
的桥墩
和
，且
为
米，其中
在
上(不包括端
点)．桥墩
每米造价
(万元)、桥墩
每米造价
(万元)(
)．问
为多少米时，桥墩
与
的总造价最低?
2．(2018 年高考数学上海·第19 题)(本题满分14 分，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分)
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族
中的
成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当
中
的成员自驾时，自驾群体的人均
通勤时间为：
，
而公交群体的人均通勤时间不受
影响，恒为40 分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当
在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族
的人均通勤时间
的表达式；讨论
的单调性，并说明其实际意义．
3．(2015 高考数学上海理科·第20 题)(本题满分14 分)本题共2 个小题，第1 小题6 分，第2 小题8 分
如图，
、
、
三地有直道相通，
千米，
千米，
千米，现甲、乙两警员同时
从
地出发匀速前往
地，经过小时，他们之间的距离为
(单位：千米)．甲的路线是
，速
度是
千米/小时，乙的路线是
，速度为
千米/小时．乙到达
地后在原地等待，设
时，乙
到达
地．
(1)求
与
的值；
(2)已知警员的对讲机的有效通话距离为
千米．
当
时，求
的表达式，并判断
在
上的最大值是否超过
？说明理由．
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