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专题04 导数及其应用
易错点一：忽略切点所在位置及求导简化形式（导数的概念及应用）
一、导数的概念和几何性质
1．概念函数
在
处瞬时变化率是
，我们称它为函数
在
处的导数，记作
或
．
诠释：①增量
可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．
的意义：
与0 之间距离要
多近有多近，即
可以小于给定的任意小的正数；
②当
时，
在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即
．
2．几何意义函数
在
处的导数
的几何意义即为函数
在点
处的切
线的斜率．
3．物理意义函数s=s(t )在点t0 处的导数s
'(t0)是物体在t0 时刻的瞬时速度v ，即v=s
'(t0)；
1
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v=v(t )在点t0 的导数v
'(t0)是物体在t0 时刻的瞬时加速度a ，即a=v
'(t0)．
二、导数的运算
1．求导的基本公式
基本初等函数
导函数
（c 为常数）
2．导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：
；
（2）函数积的求导法则：
；
（3）函数商的求导法则：
，则
．
3．复合函数求导数
复合函数
的导数和函数
，
的导数间关系为
：
应用1．在点的切线方程
切线方程
的计算：函数
在点
处的切线方程为
，抓住关键
．
2
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应用2．过点的切线方程
设切点为
，则斜率
，过切点的切线方程为：
，又因为切线方
程过点
，所以
然后解出
的值．（
有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
易错提醒：1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：
连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，
再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外
向内逐层求导，必要时可换元
2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
（3）曲线
“在”点
处的切线与“过”点
的切线的区别：曲线
在点
处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为
，是唯一的一条切线；曲线
过点
的切线，是指切线经过点P，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线
可能有多条．
3．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式
（组），进而求出参数的值或取值范围．
4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
（1）注意曲线上横坐标的取值范围；
（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．
例 ．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，都有
，求
的取值范围．
3
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【详解】（1）解：当
时，
，
因为
，
所以，曲线
在
处的切线方程是
，即
．
（2）因为
，都有
，所以
．
设
，则
．
记
，设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以
，所以
在
上单调递减．
因为
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以，
．
变式1．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
4
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(2)若
有两个不等的实根，求实数
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，即
.
（2）显然
，要使方程
有两个不等的实根，
只需当
时，
有且仅有一个实根，
当
时，由方程
，得
.
令
，则直线
与
的图象有且仅有一个交点.
.
又当
时，
单调递减，
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
所以当
时，
取得极小值
，
又当
时，
，所以
，即
，
当
时，
，即
，
所以作出
的大致图象如图所示.
5
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由图象，知要使直线
与
的图象有且仅有一个交点，
只需
或
.
综上，若
有两个不等的实根，则
的取值范围为
.
变式2．已知函数
.
(1)当
时，求过原点且与
的图象相切的直线方程；
(2)若
有两个不同的零点
，不等式
恒成立，求实数
的
取值范围.
【详解】（1）易知
的定义域为
，
设切点坐标
，则切线方程为：
，
把点
带入切线得：
，所以，
的切线方程为：
；
（2）
，
又
有两个不同零点，
则
有两个不同零点，
构造函数
，
6
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则
为
增函数，且
，
即方程
有两个不等实根
，
令
，则
， 则
，
设
，
方法一、原不等式恒成立等价于
恒成立，
令
，
由
单调递增，即
，
若
单调递增，即
恒成立，此时
符合题意；
若
有解
，此时有
时，
单调递减，则
，不符合题意；综上所述：
的取值范围为
.
方法二、
，
设
，
在
恒成立，
在
单调递增，
，则
在
单调递增，所以
，
，
所以
的取值范围为
.
变式3．已知函数
．
7
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(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若对
，
恒成立．求实数
的取值范围．
【详解】（1）解：
，
所求切线斜率为
，切点为
，
故所求切线方程为
，即
.
（2）方法一：分离变量
由
得
在
恒成立，令
，则
，
， 当
时，
，即：
，
当
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故当
时，
取最大值为
，故
，即
的取值范围是
.
方法二：分类讨论
由
得
在
恒成立，
令
，则
，
①当
时，
恒成立，
在
上单调递减，
又
，故当
时，
，不合题意；
②当
时，令
得
，
令
得
，令
得
，
8
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故
在
上单调递减，
在
上单调递增，
故当
时，
取最小值
，
故
，即
的取值范围是
，综上所述，
的取值范围是
.
方法三：数形结合
由
得
在
恒成立，
令
，
，则当
时，
恒成立，
，
,
若
，当
时，
，
，
，不合题意；
若
，
，
曲线
与曲线
有且只有一个公共点，且在该公共点处的切线相同．
设切点坐标为
，
则
，解得
，
故当
时，
，即
的取值范围是
.
9
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1．已知函数
与
的图象关于直线
对称，直线与
的图象均相切，则
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
与
的图象关于直线
对称，得到
，设直线与函数
的图
象的切点坐标为
，与函数
的图象的切点坐标为
，由斜率相等得到
，然后再利用斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】解：因为函数
与
的图象关于直线
对称，
所以
与
互为反函数，所以
，
则
．由
，得
，
设直线与函数
的图象的切点坐标为
，
与函数
的图象的切点坐标为
，
则直线的斜率
，故
，
显然
，故
，
所以直线的倾斜角为
，
故选：B．
2．若曲线
存在与直线
垂直的切线，则k 的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对
求导后根据题意可得
在
上有解. 令
，
求导判断单调性求得值域，从而可得不等式
，求解即可.
【详解】对
求导得
，
当
时，曲线
不存在与直线
垂直的切线，
当
时，若曲线
存在与直线
垂直的切线，
只需
在
上有解.
令
，求导得
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，且当
时，
，
所以
，解得
，
所以k 的取值范围是
.
故选：D.
3．过点
作曲线
的切线有且只有两条，切点分别为
，
，则
（ ）
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A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】设切点坐标为
，根据导数的几何意义列式可得
，再根据韦达定理即可得
答案.
【详解】由题意得
，
过点
作曲线
的切线，设切点坐标为
，
则
，即
，
由于
，故
，
因为过点
作曲线
的切线有且只有两条，
所以
为
的两个解，且
，
所以
，
所以
.
故选：A.
4．曲线
在点
处的切线在y 轴上的截距的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义得到切线方程
，即可得到纵截距
，然后构造函
数
，求导，根据单调性求值域即可.
【详解】因为
，所以所求切线方程为
，
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令
，则
，
令
，则
.
所以当
时，
，此时
单调递减，
当
时，
，此时
单调递增，
所以
.
因为
，
，所以该切线在y 轴上的截距的取值范围为
.
故选：B.
5．已知函数
，则（ ）
A．函数
在
处的切线方程为
B．函数
有两个零点
C．函数
的极大值点在区间
内
D．函数
在
上单调递减
【答案】ACD
【分析】利用导函数求出
在
处的切线斜率，从而求切线方程，即可判断选项A；令
，由单调性和极值可判断选项C、D；由零点存在定理可判断选项B.
【详解】由
得
，所以
，又
,
所以函数
在
处的切线方程为
，即
，所以A 正确；
令
，显然
在
上单调递减，且
，
，
所以存在
使得
，即
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处有极大值，极大值点
，所以C 正确；
因为
，所以函数
在
上单调递减，所以D 正确
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因为
，函数
在
上单调递增，所以在
上，函数
有一个零点，
因为
，所以当
时，
，所以函数
在
上无零点，所以函数
只有一个零点，所以B 错误.
故选：ACD
6．已知直线l 与曲线
相切，则下列直线中可能与l 平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据导数的几何意义和平行关系的斜率关系对选项一一分析即可.
【详解】
，
，则
，当且仅当
即
等号成立，
根据导数的几何意义知，切线的斜率
，因为切线与直线l 平行，所以l 的斜率
，
选项A 中直线的斜率为
，符合题意；
选项B 中直线的斜率为
，不符合题意；
选项C 中直线的斜率为
，符合题意；
选项D 中直线的斜率为
，符合题意；
故选：ACD.
7．已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于原点中心对称
B．
在区间
上的最小值为
C．过点
有且仅有1 条直线与曲线
相切
D．若过点
存在3 条直线与曲线
相切，则实数的取值范围是
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【答案】AD
【分析】根据奇函数的定义即可判断A，求导得函数的单调性，即可求解函数的最值，进而判断B，求解
切点处的切线方程，将经过的点代入，利用方程的根即可判断DC.
【详解】
的定义域为
，且
，
所以
为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确，
，令
得
或
，
故
在
单调递增，在
单调递减，
故
在区间
单调递增，在
单调递减，在
单调递增，
又
，最小值为
，故B 错误，
设切点为
，则切点处切线方程为
，
若切线经过
，则将
代入可得
，
所以
或
，故经过
会有两条切线，C 错误，
若切线经过
，则将
代入
得
，
令
，
则当
因此
在
单调递增，在
和
单调递减，
作出
的图象如下：
，
要使过点
存在3 条直线与曲线
相切，则直线过点
与
的图象有三个不同的交点，
故
，D 正确，
故选：AD
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8．已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线；
(2)讨论
的单调性；
(3)当
时，若对任意实数
，
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析(3)
【分析】（1）
代入函数解析式，利用导数的几何意义求曲线
在点
处的切线；
（2）利用导数，对
分类讨论，求
的单调区间；
（3）由
恒成立，结合函数的极值，求
的取值范围.
【详解】（1）
时，函数
，则
，切点坐标为
，
，则曲线
在点
处的切线斜率为
，
所求切线方程为
，即
.
（2）
，函数定义域为R，
①
，
解得
或
，
解得
，
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所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
②
，
解得
或
，
解得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
③
，
恒成立，
在
上单调递增.
（3）当
时，由（2）可知
为
在
上的极小值，也是最小值.
于是
，所以
当
且
时，
由于函数
的图像抛物线开口向上，对称轴大于0，
因此
，此时
，符合题意.
所以
的取值范围为
.
9．已知函数
，
且
，
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，
，
，讨论函数
的零点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义，结合直线方程的求法，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得
，然后化简，换元，求导，由函数
的值
域，即可判断零点个数.
【详解】（1）当
时
，定义域为R，
，
所以
，又
，
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所以曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）由
，得
，得
，
所以
，
，
于是
，
，
由
，得
．
当
时，
，与题意不符，所以
．
对
两端同时取自然对数，得
，得
．
设
，则
，设
，
则
，令
，得
，所以当
时，
，
在
上单调递增，当
时，
，
在
上单调递减，
且当
时，
，
，当
时，
，
所以当
或
，即当
或
时，函数
有一个零点；
当
，即
或
时，函数
有两个零点．
综上，当
或
时，函数
有一个零点；
当
或
时，函数
有两个零点．
10．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，若关于x 的不等式
恒成立，求实数a 的取值范围.
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得
，求得
，
，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）根据题意，把不等式
转化为
，设
，求得
，转化为存在唯一的
，使
，求得
，得到
，设
，利用导数求得函数
的单调性，
再设
，求得
在
上单调递增，进而求得
的取值范围.
【详解】（1）解：当
时，
，可得
，
则
，
，即切线的斜率为
，
所以切线方程为
，即
.
（2）解：由题意，函数
的定义域为
，
，
即
，
设
，则
，
因为
，所以
在
上为增函数，当
时，
，
当
时，
，所以存在唯一的
，使
，
且当
时，
，当
时，
.
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由
，得
，则
，
所以
因为
，所以
.
设
，可得
，
所以
在区间
上为减函数，
又由
，所以
，
又因为
，设
，则
，
可知
在
上单调递增，则
，即实数a 的取值范围是
.
11．已知
，函数
，
．
(1)当
时，若斜率为0 的直线l 是
的一条切线，求切点的坐标；
(2)若
与
有相同的最小值，求实数a．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）由
得切点的横坐标，再代入计算出纵坐标即得切点坐标；
（2）首先由导数求得
与
的最小值，由两最小值相等求
，为此方程变形后引入新函数
，利
用导数确定单调性得出零点．
【详解】（1）由题意
，
，由
得
，此时
，
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所以切点为
；
（2）
，
时，
，
在
上是增函数，无最小值，所以
，
，
时，
，
递减，
时，
，
递增，
所以
有唯一的极小值也是最小值
，
，
，
，
，
递减，
时，
，
递增，
所以
有唯一的极小值也是最小值为
，
由题意
，
，
设
，则
，
设
，则
，
时，
，
递增，
时，
，
递减，
所以
，所以
，即
，
是减函数，
又
，因此
是
的唯一零点，
所以由
得
．
易错点二：转化为恒成立后参变分离变号的前提条件（利用导数研究函数
的单调性）
1．求可导函数单调区间的一般步骤
第一步：确定函数
的定义域；
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第二步：求
，令
，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
第三步：把函数
的间断点（即
的无定义点）的横坐标和
的各实根按由小到大的
顺序排列起来，然后用这些点把函数
的定义域分成若干个小区间；
第四步：确定
在各小区间内的符号，根据
的符号判断函数
在每个相应小区间内的增
减性.
注意①使
的离散点不影响函数的单调性，即当
在某个区间内离散点处为零，在其余点
处均为正（或负）时，
在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在
上，
，当
时，
；当
时，
，而显然
在
上是单调递
增函数.
②若函数
在区间
上单调递增，则
（
不恒为0），反之不成立.因为
，即
或
，当
时，函数
在区间
上单调递增.当
时，
在这个区间为常值函数；同理，若函数
在区间
上单调递减，则
（
不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间
上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
单调递增；
单调递增
；
单调递减；
单调递减
.
技巧：1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧
利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性
问题，再由单调性比较大小或解不等式．
2.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路
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第一步：由函数在区间
上单调递增(减)可知
(
)在区间
上恒成立列出不等
式；
第二步：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；
第三步：对等号单独检验，检验参数的取值能否使
在整个区间恒等于0，若
恒等于0，则
参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有
，则参数可取这个值．
易错提醒：一：研究单调性问题
1．函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数
在某个区间内可导，如果
，则
为增函数；
如果
，则
为减函数．
2．已知函数的单调性问题
①若
在某个区间上单调递增，则在该区间上有
恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足
，才能得出
在某个区间上单调递增；
②若
在某个区间上单调递减，则在该区间上有
恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足
，才能得出
在某个区间上单调递减．
二：讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或
恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0 的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函
数正负区间段已知，可直接得出结论)；
（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；
（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；
（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个
连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或
恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；
（5）导数图像定区间。
23
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例 ．已知函数
为函数
的导函数．
(1)若
，讨论
在
上的单调性；
(2)若函数
，且
在
内有唯一的极大值，求实数
的取值范围．
【详解】（1）因为
，所以
，
设
，
则
．
当
时，
，
当
时，
．
当
时，令
，则
．
当
时，
，则
即
单调递增；
当
时，
，则
即
单调递减；
当
时，
，则
即
单调递增．
综上，
在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）由（1）知，
，
．
24
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（ｉ）当
时，在
内，
恒成立，
当
时，令
，得
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
当
时，
在
内有唯一的极小值点
，不存在极大值，不符合题意．
（ⅱ）当
时，令
，得
，
当
时，
；当
时，
．
①当
，即
时，若
，即
，
则当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
故
在
处取得
内的唯一极大值，符合题意．
若
，即
，则当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
故
在
处取得
内的唯一极大值，符合题意．
②当
，即
时，
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若
，则
单调递减，若
，则
单调递减，
故
在
内无极值，不符合题意．
③当
，即
时，
在
内单调递减，
在
内单调递增，在
内单调递减，
故
在
处取得
内的唯一极大值，符合题意．
④当
，即
时，
在
内单调递减，在
内单调递增，
故
在
处取得
内的唯一极小值，不存在极大值，不符合题意．
综上，实数
的取值范围是
．
变式1．已知函数
．
(1)若
，判断函数
的单调性．
(2)若
有两个不同的极值点
（
），求证：
．
【详解】（1）解：当
时，
，
所以
，
设
，则
，
当
时，
，
单调递增；
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当
时，
，
单调递减，
所以
，所以
恒成立，
即
，所以
在
上单调递减．
（2）解：因为
，所以
，
因为
有两个不同的极值点
，
所以
有两个不同的实根
，
设
，则
，
设
，可得
，
所以
在
上是减函数，且
，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，所以
，
由
，
设
，则
，
所以
在
上是增函数，所以
，
所以
，即
，
因为
，所以
，
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因为
，
，
在
上是增函数，所以
，
所以
，可得
，所以
．
变式2．已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
，求
的取值范围．
【详解】（1）
．
由题可知：
，当
时，令
，解得
，
当
，
，
单调递减，当
，
，
单调递增；.当
时，
令
，解得
，所以当
，
，
单调递减，当
，
，
单调递增；
综上，当
时，单调递减区间为
，单调递增区间为
；
当
时，单调递减区间为
，单调递增区间为
．
（2）原不等式为
，即
．
因为
，所以
．
令
，则其在区间
上单调递增，
取
，则
；取
，则
，所以存在唯一
使得
，令
，则
．
28
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当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
所以
，即
，
．
故
．故
，
所以
．
当且仅当
即
时，等号成立，故
，解得
或
，
即
的取值范围为
.
变式3．设函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)若正数
，
满足
，证明：
.
【详解】（1）
的定义域是
，
.
令
，解得
；令
，解得
或
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调增.
（2）证明：因为
，所以
.
设
，定义域为
，则
，
当
时，
.
单调递增；当
时，
，
单调递减.
因此
，所以
对任意的
恒成立.
令
，有
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，当且仅当
时，等号成立.
因此
，即
，解得
，即
.
1．若方程
在
上有实根，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，化简得到
，设
，得到
，求得
，得到
为增函数，转化为方程
在
上有实根，设
，
利用导数求得函数
的单调性，结合
，进而求得
的范围.
【详解】由
，可得
，即
，
因为
，可得
，所以
，其中
，
设
，则
，
又因为
，所以
在
上为增函数，
所以
，即
，
所以问题转化为方程
在
上有实根，
设
（
），则
，所以
在
上是减函数，
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所以
，解得
．
故选：C．
2．已知函数
，则不等式
成立的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先判断的对称性，然后利用导数讨论其单调性，结合对称性即可求解，注意最后的范围要考虑定
义域..
【详解】由
得的定义域为
，
因为
，
，所以
，
所以
的图象关于
对称.
记
，
当
时，由复合函数单调性易知
单调递增，
记
，则
，
记
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，所以
，所以
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
综上，
在
上单调递增，图象关于
对称，
由此可知，要使
，必有
，两边平方整理得
，解得
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，
又
，得
或
，
所以
的解集为
.
故选：D.
3．设函数
是奇函数
的导函数，
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】观察
，可考虑构造函数
，求得
的奇偶性，再由
时，
的单调性确定整个
增减性，由
与
的正负反推
正负即可求解.
【详解】设
，则
，∵当
时，
，
∴当
时，
，即
在
上单调递减.
由于
是奇函数，所以
，
是偶函数，
所以
在
上单调递增.
又
，
当
或
时，
；
当
或
时，
，
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所以当
或
时，
.
即不等式
的解集为
.
故选：B.
4．已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为偶函数，
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构建
，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.
【详解】令
，则
，
因为
，则
，且
，
可知
，且仅当
时
，则
在
上单调递增，
又因为
为偶函数，
，
可得
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令
，可得
，
注意到
，
不等式
，等价于
，
可得
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：D.
5．定义在
上的函数
的导函数为
，且
恒成立，则下列结论正确的
有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】构造函数
，利用导数得出其单调性，然后由单调性比较大小，从而判断各选项．
【详解】令
，则
．
∵
在
上恒成立，∴
，
故
在
单调递增．由
，得
，即
，故A 正确；
由
，得
，即
，故B 错误；
由
，得
，即
，故C 正确；
34
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由
得
，即
，故D 错误．
故选：AC．
6．已知
是定义域为
的函数
的导函数，
，
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
（为自然对数的底数，
）
C．存在
，
D．若
，则
【答案】ABD
【分析】由原函数和导函数的对称性判断A；令
，结合题设条件判断其单调性后可判断B，
C，D.
【详解】因为
是定义域为
的函数
的导函数，所以
是定义域为
的可导函数，
因为
，所以
的图像关于点
对称，
所以
，而
，故
，
所以
的图像关于
对称，
因为
，故
时，
，
所以
，设
，
故
时，
，故
在
上为增函数，
同理
在
上为减函数，
35
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对于A，因为
，故
，故A 正确；
对于B，
，故
，故B 正确；
对于C，当
时，
；
当
时，
，而
时，
，
故
恒成立，故C 错误；
对于D，当
时，
单调递减，
，
， 所以
，
故
时，
，而
，故
，故D 正确；
故选：ABD
7．设
，若
，
，
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
无极值点
C．
的对称中心是
D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，建立三元方程组，结合函数解析式，利用代入法，求导研究单调性、函数对称性判断、
倒序相加法，可得答案.
【详解】由题意可得
，解得
，
则
，
对于A，
，故A 错误；
对于B，
，则函数
在
上单调递增，故B 正确；
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对于C，由
，故C 正确；
对于D，由
，
则
与
关于
对称，
所以
，
设
，
，两式相加可得：
，解得
，故D 正确.
故选：BCD.
8．已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．若
是增函数，则
D．若
和
的零点总数大于2，则这些零点之和大于5
【答案】ABD
【分析】直接代入即可判断A，令
，利用导数说明函数的单调性，即可判断B，由
在
上恒成立，利用导数求出
，即可求出
的取值方程，即可判断C，首先说明
，得到
在
和
上各有一个零点
，
，利用对数均值不等式得到
，即可得到
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，再说明
在
和
上各有一个零点
、
且
，最后利用基本不等式证明即
可.
【详解】对于A：当
时
，
则
，
，
所以
，故A 正确；
对于B：
，
令
，
则
，
令
，
则
，
所以
在
上单调递减，又
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以当
时，
，故B 正确；
对于C：
在
上恒成立，
令
，则
，
所以当
时
，当
时
，
38
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所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，解得
，故C 错误；
对于D：因为
，即为
的一个零点，
当
时
，
有且仅有一个根，此时
在
上单调递增，
所以
和
都只有个零点，不符合题意；
当
时
，则
无零点，
只有一个零点，不符合题意；
当
时
在
和
上各有一个零点
，
，
所以
，所以
，所以
，
所以
，且
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，所以
，
，
所以
在
和
上各有一个零点
、
，
又
，
所以
，
所以
，故D 正确.
其中：不等式
的证明如下：
要证
，只需证
，令
，只需证
，
39
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，设
，
，
则
，可得
在
上单调递减，
∴
，得证.
故选：ABD
9．已知函数
且
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若不等式
恒成立，求实数
的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先确定函数
的定义域，求得
，再构造函数并求导，对
分类讨论，即可得函数
的单调性；
（2）不等式
恒成立，即
恒成立，接下来研究
的值域，从而分离参数
，利用构造函数法，并结合导数求得
的最大值．
【详解】（1）函数
且
的定义域为
，
．
记
，
则
，
若
，则当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
则
，
40
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所以
在
上单调递减；
若
，则当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
则
，
所以
在
上单调递增．
综上所述，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减．
优解：由题意设
，则
，
令
，则
，
令
，则
；令
，则
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
，即
在
上恒成立，所以
在
上单调递增，而
且
，
所以当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减．
（2）
恒成立，即
恒成立．
记
，则
，
41
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在
上
单调递减，在
上
单调递增，
则
，所以
在
上恒成立．
所以
恒成立．设
，则
．
，
因为
恒成立，所以
恒成立，当
时取等号，
所以当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，所以
．
所以
，故实数
的最大值为．
优解:不等式
恒成立，即
恒成立，即
恒成立，
即
恒成立． 令
，则
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
．
即
，即
，
令
，则
单调递增，所以
，
所以
，故实数
的最大值为．
10．已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性．
(2)若关于
的方程
有两个实数根，求实数
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
42
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(2)
【分析】（1）分
，
，
，
四种情况讨论，分别求出对应单调性．
（2）运用同构和换元，再通过分离参数求出实数
的取值范围.
【详解】（1）由题意函数
的定义域为
．
当
时，若
，则
单调递增；
若
，则
单调递减．
当
时，令
，得
或
．
①当
时，
，则
在
上单调递增．
②当
时，
，则当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．
③当
时，
，则当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．
综上，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）由
，得
，
即
．
43
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设
，则
，
所以
为增函数，且
的值域为
．
令
，
所以
可化为
，则
．
令
．
因为关于
的方程
有两个实数根，
所以直线
与函数
的图像有两个不同的交点．
因为
，
所以当
时，
，则
单调递增；
当
时，
，则
单调递减．
所以
，且当
时，
，
当
时，
，
所以
，
即实数
的取值范围为
．
11．已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调递增区间；
(2)若
存在极小值点
，且
，求
的取值范围．
【答案】(1)
，
44
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(2)
【分析】（1）直接利用求导求解函数单调区间即可；
（2）求导得到
，然后对
分类讨论，利用导数研究函数
的极值即可.
【详解】（1）
，
当
时，
，
由
得
或
，
所以函数
的单调递增区间为
和
．
（2）
．
当
时，令
，得
，
则当
时，
，当
时，
，
所以函数
仅有唯一的极小值点
，
此时
，显然符合题意．
当
时，令
，得
或
，
若
，即
，则
，
此时
单调递增，无极值点，不符合题意；
若
，即
，
则当
时，
，
当
时，
，
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所以函数
的极小值点
，
由
得
，所以
；
若
，即
，
则当
时，
，
当
时，
，
所以函数
的极小值点
，
由
得
．
综上所述，
的取值范围为
．
易错点三：误判最值与极值所在位置（利用导数研究函数的极值与最
值）
1．函数的极值
函数
在点
附近有定义，如果对
附近的所有点都有
，则称
是函数的一个极
大值，记作
．如果对
附近的所有点都有
，则称
是函数的一个极小值，记
作
．极大值与极小值统称为极值，称
为极值点．
求可导函数
极值的一般步骤
第一步：先确定函数
的定义域；
第二步：求导数
；
第三步：求方程
的根；
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第四步：检验
在方程
的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近
为负，那么函数
在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数
在这个根处取得极小值．
2．函数的最值
函数
最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数
最小值为极小值与靠近极
大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当
时，最大值是
与
中的最大者；最小值是
与
中的最小者．
（2）当
时，最大值是
与
中的最大者；最小值是
与
中的最小者．
一般地，设
是定义在
上的函数，
在
内有导数，求函数
在
上的最大值与最小值可分为两步进行：
第一步：求
在
内的极值（极大值或极小值）；
第二步：将
的各极值与
和
比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
技巧：
1．由图象判断函数
的极值，要抓住两点：（1）由
的图象与x 轴的交点，可得函数
的可能极值点；（2）由导函数
的图象可以看出
的值的正负，从而可得函数
的单调性．两者结合可得极值点．
2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：（1）根据极值点的导数为0 和极值这两个
条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）因为导数值等于0 不是此点为极值点的充要条件，所以用待定
系数法求解后必须检验．
3．求函数
在闭区间
内的最值的思路
（1）若所给的闭区间
不含有参数，则只需对函数
求导，并求
在区间
内的根，
再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与
，
比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值．
（2）若所给的闭区间
含有参数，则需对函数
求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调
性，从而得到函数
的最值．
结论：1、若函数
在区间D 上存在最小值
和最大值
，则
不等式
在区间D 上恒成立
；
47
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不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
2、若函数
在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为
，则
不等式
在区间D 上恒成立
．
不等式
在区间D 上恒成立
．
3、若函数
在区间Ｄ上存在最小值
和最大值
，即
，则对不等式有解
问题有以下结论：
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
4、若函数
在区间D 上不存在最大（小）值，如值域为
，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式
在区间D 上有解
不等式
在区间D 上有解
5、对于任意的
，总存在
，使得
；
6、对于任意的
，总存在
，使得
；
7、若存在
，对于任意的
，使得
；
8、若存在
，对于任意的
，使得
；
9、对于任意的
，
使得
；
10、对于任意的
，
使得
；
11、若存在
，总存在
，使得
12、若存在
，总存在
，使得
易错提醒：（1）①可导函数
在点
处取得极值的充要条件是：
是导函数的变号零点，即
48
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，且在
左侧与右侧，
的符号导号．
②
是
为极值点的既不充分也不必要条件，如
，
，但
不是极值点．
另外，极值点也可以是不可导的，如函数
，在极小值点
是不可导的，于是有如下结论：
为可导函数
的极值点
；但
为
的极值点．
（2）①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的
最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
例 ．已知函数
存在两个极值点
，且
.
(1)求
的取值范围；
(2)若
，求
的最小值.
【详解】（1）函数
的定义域为
，且
.
因为函数
存在两个极值点
，且
，
所以方程
在区间
上有两个不等根.
所以有
，解得
.所以
的取值范围为
.
（2）由（1）知
，即
，
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所以
可化为
.因为
，
所以
，所以
令
，
设
，则
，
所以函数
在
上单调递增.因为
，所以
，
所以若
恒成立，则
，即实数
的最小值为0.
变式1．已知函数
，其中
．
(1)若
是函数
的极值点，求a 的值；
(2)若
，讨论函数
的单调性．
【详解】（1）
，
因为
是函数
的极值点，所以
，解得
，
当
时，
，
若
，则
，若
，则
或
.
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即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，即
是函数
的极值点.
故
．
（2）
，
，
当
时，令
，解得
或
，当
，即
时，
当
时，
，当
或
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减．
当
时，
当
时，
，当
或
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减．
当
，即
时，
，所以
在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上递减，在
上递增，在
上递减；
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减．
变式2．若函数
，
为函数
的极值点.
(1)求
的值；
(2)求函数的极值.
【详解】（1）因为
，所以
.
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因为
是
的一个极值点，所以
，即
，则
，
当
时，
，
令
，得
或
；令
，得
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
是
的极小值点，满足题意，故
.
（2）由（1）知
，且
是
的极小值点，
是
的极大值点，所以
的极
小值为
，
的极大值为
.
变式3．已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若
有两个极值点
，求证：
.
【详解】（1）当
时，函数
，
易知
在定义域上单调递增，且
，
所以当
时，
，即此时
单调递减，
当
时，
，即此时
单调递增，
故
在
时取得极小值，
；
（2）由
，
令
，即
，
52
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由题意可知
是方程
的两个根，则
，
欲证
，
即证
，即证
，
令
，
若
，
定义域上单调递增，不存在两个零点，舍去；
则
，可知在
时，
单调递减，
在
时，
单调递增，
要符合题意则需
，
又
时，
，
时，
，此时不妨令
，
构造函数
，
即
在定义域内单调递增，即
，
所以
，因为
，所以
，
且在
时，
单调递增，故
，得证.
53
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1．已知函数
，在
有且只有一个极值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出导函数
，问题转化为
在
上只有一个变号零点，再求导数确定单调性，
利用零点存在定理求解．
【详解】
，由题意
在
上只有一个变号零点，
设
，
，
时，
在
上没有极值点，
，
时，
恒成立，
递减，
时，
，因此
，
，所以
，
时，
恒成立，
递增，
时，
，因此
，
，所以
，
时，
时，
，
递增，
时，
，
递减，
，
时，
，
，
因此若
，则
在
上至多只有一个不变号零点，所以
且
，由
得
，此时
满足题意．
综上，
的范围是
．
54
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故选：C．
2．已知
是函数
的一个极值点，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据极值点的定义求解即可.
【详解】据题意，
应是
的一个变号零点，
由于
，
所以
，解得
，
当
时，
时，
，当
时，
，符合题意.
故选：C.
3．若函数
在
处取得极小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】依题意，求出导函数，可求得极值点分别为
或
，再分类讨论，确定原函数的单调区间，
结合极小值的定义，从而可得实数
的取值范围.
【详解】因为
，则函数
的定义域为
，
则
，
令
，解得：
或
，
当
时，即
，令
，解得：
，令
，解得：
，此
时函数
在
处取得极大值，不符合题意，舍去；
当
时，即
，则
恒成立，此时函数
单调递增，没有极值，不符合
题意，舍去；
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当
时，即
，令
，解得：
，令
，解得：
，此
时函数
在
处取得极小值，符合题意.
故选：C.
4．设函数
在区间
内有零点，无极值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先得到
，根据题目条件得到不等式，求出
，故
，
，分两种情况，得到不等式，求出答案.
【详解】因为
，
，所以
，
因为函数在区间
内有零点，无极值点，
故
，解得
，
则
，
，
要想满足要求，则
或
，
解得
，或
，
故
的取值范围是
.
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故选：D
5．关于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．0 是
的极值点
C．
在
上有且仅有1 个零点D．
的值域是
【答案】C
【分析】利用偶函数的定义判断A，根据极值点定义判断B，根据函数的单调性判断C，取特殊值判断D.
【详解】
的定义域为
，关于原点对称，
又
，
所以函数
是奇函数，故A 错误；
，
，当
时
，当
时
，故不
是函数的极值点，故B 错误；
由B 知，当
时，
单调递增，又
，所以
在
上有且仅有1
个零点，故C 正确；
当
时，
，故D 错误.
故选：C
6．若函数
在其定义域内的一个子区间
内不是单调函数，则实数k 的取值范
围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】利用导数研究函数的极值点，令极值点属于已知区间即可.
【详解】
所以
时
递减，
时，
递增，
是极值点，
因为函数
在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，
所以
，即
，
故选：B.
7．已知函数
的极值点为
，函数
的最大值为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题目条件求出
，
，即可判断．
【详解】
的定义域为
，
在
上单调递增，且
，
，
所以
，
，
所以当
时
，当
时
，即
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
在
处取得极小值且
．
的定义域为
，由
，
当
时，
，当
时，
，
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故
在
处取得极大值，也是最大值，
，
即
．所以
．
故选：A
8．当
时，函数
取得极值，则
在区间
上的最大值为（ ）
A．8
B．12
C．16
D．32
【答案】C
【分析】先利用极值点的定义求得
，再利用导数求得
的最值，从而得解.
【详解】因为
，所以
，
又
在
取极值，所以
，
所以
，
，
，
令
，得
或
；令
，得
；
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，故
满足题意，
又
，故
，
故选：C．
9．已知函数
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，求
在
上的最小值；
(3)若
在
上存在零点，求
的取值范围.
【答案】(1)极大值为
，没有极小值.
(2)0
(3)
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【分析】（1）利用导函数求函数的极值；
（2）根据导函数求函数的最值；
（3）根据
的导数，对
进行分类，结合函数的单调性和极值可得
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，定义域：
，
，
令
，则
，
变化时，
，
的变化情况如下表：
0
单调递增
极大值
单调递减
则
的极大值为：
，
没有极小值；
（2）当
时，
，定义域：
，
，
令
，定义域：
，
，
则
在
上是增函数，则
，所以
，
即
在
上是增函数，则
.
（3）
，定义域：
，
，
令
，定义域：
，
，
（1）当
时，
，则
在
上是减函数，则
，
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当
时，
，则
在
上是减函数，
，不合题意；
当
时，
，
，则存在
，使
，即
，
变化时，
，
的变化情况如下表：
0
单调递增
极大值
单调递减
则
，只需
，即
；
（2）当
时，由（1）知
在
上是增函数，
，不合题意；
（3）当
时，
在
上是增函数，
在
上是增函数，
则
在
上是增函数，
，不合题意，
综上所述，
的取值范围是
.
10．已知函数
.
(1)若
为函数
的导函数，求
的极值；
(2)若
有两个不等的实根，求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导得到导函数，再次求导，考虑
和
两种情况，根据函数单调性计算极值即可.
（2）确定
，变换得到
，构造新函数，求导得到单调区间和极值，画出函数图像，根
据图像得到取值范围.
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【详解】（1）
，故
，则
，
当
时，
在
上单调递增，所以
无极值；
当
时，令
，得
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以当
时，
取得极小值，无极大值，
.
综上所述：
当
时，
无极值；
当
时，
有极小值
，无极大值.
（2）显然
，要使方程
有两个不等的实根，
只需当
时，
有且仅有一个实根.
当
时，由方程
，得
，令
，
则直线
与
的图象有且仅有一个交点，
.
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
所以当
时，
取得极小值
.
62
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又当
时，
，所以
，
当
时，
，
所以作出
的大致图象如图所示.
由图象知要使直线
与
的图象有且仅有一个交点，
只需
或
，
综上所述：
若
有两个不等的实根，则实数
的取值范围为
.
11．已知函数
在
处取得极值.
(1)求
的值；
(2)求
在
上的值域.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）对给定函数求导，利用函数极值点的意义求出
并验证即得.
（2）由（1）的结论，利用导数求出在指定区间上的最大最小值即可得解.
【详解】（1）函数
，求导得
，
由
在
处取得极值，得
，解得
，
63
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此时
，当
时，
，当
时，
，
即函数
在
处取得极值，
所以
.
（2）由（1）知
，
，当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，而
，即
，
所以函数
在
上的值域为
.
易错点四：零点不易求时忽略设零点建等式（利用导数研究函数零点问
题）
1．判断函数y=f（x）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断．首先看函
数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，然后看是否有
．若有，则函数
在区间
内必有零点．
2．判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法：
（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数；
（2）根据函数的性质结合已知条件进行判断；
（3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与
轴交点的个数来判断．
3．已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法：
方法1：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
方法2：分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．
方法3：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．
4．解决函数应用问题的步骤
第一步：审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
第二步：建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数
学模型；
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第三步：解模：求解数学模型，得出数学结论；
第四步：还原：将数学结论还原为实际问题的意义．
技巧：判断函数零点个数的方法：
方法1：利用零点存在性定理判断法；
方法2：代数法：求方程
的实数根；
方法3：几何法：对于不易求根的方程，将它与函数
的图象联系起来，利用函数的性质找出零点
或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决
2、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解
结论拓展：与
和
相关的常见同构模型
①
，构造函数
或
②
，构造函数
或
③
，构造函数
或
易错提醒：如果函数
在区间
上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
，那么
函数
在区间
内有零点，即存在
，使得
也就是方程
的根
例 ．已知函数
．
(1)若
在区间
上有极值，求实数
的取值范围；
(2)当
时，求证：
有两个零点
，
，且
．
【详解】（1）因为
，
，
65
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所以
.
①当
时，
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，
在
上无极值点；
②当
时，当
时，
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，所以
在
上单调递增．
所以
的极小值点为
，无极大值点.
因为
在
上有极值，所以
，所以
.
综上所述，当
时，
在区间
上有极值.
（2）由已知，
定义域为
.
当
时，
，
由（1）知：
，
因为
，所以
.令
，
，则
.
因为
在
上恒成立，所以
在
上单调递减，
所以
，即
.
因为，
，
由（1）知：
在
上单调递减，且
，
根据零点存在定理，可知
在
，即
上存在唯一的零点
，使
，.
因为
.
66
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令
，
，则
.
当
时，有
，所以
在
上单调递增；
当
时，有
，所以
在
上单调递减.
所以，
在
处取得唯一极大值，也是最大值
.因为
，所以
，
所以
，即
，所以
，所以
.
由（1）知
在
上单调递增，且
，
所以
在
上存在唯一的零点
，使
．
所以
有两个零点
，
.
下面证明
：
设
，则
．
两式相减：
，
即
，所以
.
因为
，
所以
.
67
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要证：
，即证：
，
只要证：
，即证：
.
令
，即证：
，
．令
，
，
则
在
上恒成立，所以
在
上单调递减，
所以
． 即
成立，
故
有两个零点
，
，且
.
变式1．已知函数
.
(1)试讨论
的单调区间；
(2)若
有两个零点，求
的取值范围.
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
在
上恒成立，即
在
上单调递减；
当
时，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
因此
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
在
上单调递减；
68
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当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由（1）知，当
时，
在
上单调递减，
最多只有1 个零点，
当
时，
的最小值为
，若
有两个零点，则
，
由
，得
，
，
令函数
，则
在
上单调递减，
又
，即当
时，
，则当
，即
时，
，
令函数
，
当
时，
，当
时，
，
因此
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，即
，
，
令函数
，
由二次函数的图象及性质得，
，
即
，
于是当
，即
时，
有2 个零点，
所以若
有两个零点，则
的取值范围为
.
变式2．若函数
在
处有极小值．
(1)求c 的值．
69
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(2)函数
恰有一个零点，求实数a 的取值范围．
【详解】（1）因为
，所以
，
又因为函数
在
处有极小值，
所以
，解得
或
，
当
时，
，
则
时，
，
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
可得函数
在
处取得极小值；当
时，
，
则
时，
，
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
可得函数
在
处取得极大值，不合题意，舍去．所以c 的值为3.
（2）
，
函数定义域为R，
，
当
时，
恒成立，
在R 上单调递增，
时，
有一个零点-1；
时，
，
，
恰有一个零点.
当
时，
解得
或
，
解得
，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
时，
有极大值，
时，
有极小值，
70
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恰有一个零点，
或
解得
，
综上可知，函数
恰有一个零点，实数a 的取值范围为
.
变式3．已知函数
.
(1)求
的极值：
(2)若
有两个零点，求a 的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为
，
令
，解得
，
当
时，则
，当
时，则
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
所以当
时，
有极小值
，无极大值.
（2）因为函数
有两个零点，
所以直线
与函数
有两个交点，
，令
，解得
，
当
时，则
，当
时，则
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
因为
，
，当
时，
，当
时，
当
时，
，当
时，
，
，
所以函数的大致图象如图所示，
71
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结合图象可知，当
时，
有两个零点，故a 的取值范围为
.
1．已知函数
（
）.
(1)求
在
上的最大值；
(2)若函数
恰有三个零点，求a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数明确函数的单调性，求出极值和端点值，可得答案；
（2）根据函数的单调性，求得其极大值和极小值，结合零点存在性定理，可得答案.
【详解】（1）
，
可知
时，
单调递增，
时，
单调递减，
时，
单调递增，
由
，
，
，
，
则
.
（2）由（1）知
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
72
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所以
，
，
因为
有三个零点，所以
，即
，
解得
，故
的取值范围为
.
2．已知函数
有两个零点.
(1)求
的取值范围；
(2)设
，
为
的两个零点，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分析函数
的单调性，结合
有两个零点可得解；
（2）分析法转化要证问题，只要证
，即证
，即证
，即证
，构造函数
，利用导数求出最值判断证明.
【详解】（1）因为
，则
，
当
时，
恒成立，则
在
上单调递增，不符合题意，
当
时，
的解集为
，
的解集为
，
即
的单调增区间为
，单调减区间为
，
因为函数
有两个零点，且
时，
，
，依题意
，解得
，
73
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即
的取值范围为
.
（2）不妨设
，则
，要证
，则只要证
，
即证
，即证
，
即证
，
，
而
即
，即证
，
，
令
，
，则
，
设
，
，则
，
即
在
上单调递增，则有
，
即
，
在
上单调递减，而
，
当
时，
，
则当
时，
成立，
故有
成立.
3．已知
是函数
的一个极值点．
(1)求
的值；
(2)若
有3 个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）函数的极值点为导函数的零点，可求
的值并检验；
74
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（2）利用导数求函数的单调区间和极值点，由函数极值的符号确定零点的个数.
【详解】（1）因为
，所以
．
因为
是
的一个极值点，所以
，解得
．
经检验知，当
时，
是
的一个极值点，故
．
（2）由（1）可知
，
．
当
或
时，
；当
时，
．
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
因为
有3 个零点，所以
解得
，故
的取值范围为
．
4．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
在
上存2 个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数的正负与函数单调性的关系，即可求解；
（2）讨论当
时，方程变形为
，设函数
，转化为
与
有2 个交点，利用
导数求参数的取值范围.
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【详解】（1）函数
的定义域为
，且
.
当
时，
在
上恒成立，故
在
上单调递减；
当
时，令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
综上所述，当
时，
在
上单调递减；当
时，
在
上单调递增，在
上
单调递减.
（2）若
，在
上无零点，不合题意；
若
，由
，得
，
令
，则直线
与函数
在
上的图象有两个交点，
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以
，
又
，
所以要使直线
与
的图象有两个交点，则
，
所以
，即实数
的取值范围为
.
5．已知函数
.
(1)若存在实数
，使
成立，求实数
的取值范围；
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(2)若
有两个不同零点
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，转化为
在
有解，求导得最值，即可得到结果；
（2）根据题意，由函数
的单调性可得
，再构造函数
，由其单调性可得
，即可得
，再由函数
的单调性，即可证明.
【详解】（1）由
得
即
在
有解，
令
，只需
，
，当
时，
递增，
当
时，
递减，
.
（2）
有两个不同零点
有两个不同实根
，
令
，则
，又
，
当
时，
递增，当
时，
递减，
又
，不妨设
，
令
，
，
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在
递增，
，即
，
又
，
，
，
下证
，
设
，直线
的方程
在
处的切线为
，
设
，则
，
即
，
设
则
.
在
递增，
，
，
.综上
.
6．已知
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有两个零点，求整数
的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导可得
分
两种情况讨论，由导数与单调性的关系即
可得解；
（2）由（1）可知，当
时，
在
上单调递增，所以
至多有一个零点．要使函数
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有两个零点，则
，且
，令
，结合单调性即可得解.
【详解】（1）
．
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，令
，可得
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增．
（2）由（1）得，当
时，
在
上单调递增，所以
至多有一个零点，
要使函数
有两个零点，
则
，且
，
令
，则
，
令
，则
，
∴
即
在
上单调递减．
∵
，
，
∴
，使得
，
且
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
，
且
，
79
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且
，
所以函数有两个零点，符合题意；
当
时，
，不符合题意,所以整数a 的最大值为-2．
7．已知函数
.
(1)当
时，求函数的单调区间和极值
(2)若
在区间
内恰好有两个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
，极小值为
，无极大
(2)
【分析】（1）根据题意，求导得
，即可得到结果；
（2）根据题意，分
与
讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由
得
，且定义域为
∵
，令
，即
，解得
，
令
，解得
，
则
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
在
处的极小值为
，无极大值.
（2）当
，
恒成立，
在
上单调递增，
故
在区间
内至多只有一个零点；
当
时，由（1）得
在
上最小值为
，
80
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若
在区间
内恰有两个零点，则需满足
，整理得
.
8．已知函数
．
(1)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)若函数
有两个零点
且
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求函数的单调区间，由函数最小值解决不等式恒成立问题，列不等式求实数
的取
值范围；
（2）由函数的两个零点，可得
，令
，可得
，构
造函数利用导数求最值，可证得不等式.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
对其求导得
，
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减，
所以函数
的最大值为
，解得
，
因此实数
的取值范围是
．
（2）由题意可知
，所以
（*）
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因
，令
，则
，
于是由（*）式可得
，
构造函数
，
，
对其求导得
，
令
，
，对其求导得
，
所以函数
在
上单调递增，所以
，
于是
，函数
在
上单调递增，所以
，
因此
，
，
于是
，得证．
9．已知
．
(1)若当
时函数
取到极值，求
的值；
(2)讨论函数
在区间
上的零点个数．
【答案】(1)1(2)答案见解析
【分析】（1）求得
，由
，得到
，进而结合函数极值点的定义，
即可求解；
（2）当
时，求得
，令
，
利用导数的
单调性，结合
，得到
在区间
上没有零点；当
时，求得
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，令
，求得
，令
，利用
导数求得
在
单调递增．，结合
，
，得出函数
的单调区间，由
，得出
在
没有零点，在由
，得到存在唯一
，使得
，即可得到答
案.
【详解】（1）解：函数
，可得
因为
时函数
取到极值，可得
，解得
，
当
时，可得
，
令
，
可得
，
令
，可得
，所以
单调递增，
又因为
，所以在区间
上
，即
单调递增，
所以
是
的变号零点，所以当
时函数
取到极值．
（2）解：当
时，因为
，
所以
，
令
，
则
，
所以
在
单调递增，则
，
83
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所以，当
时，
在区间
上没有零点．
当
时，可得
，
令
，
可得
，
令
，则
，
所以
在
单调递增，
，则
，
所以
在
单调递增．
因为
，
，
当
时，
，
所以存在
使得
．则
在
单调递减，在
单调递增，
又因为
，所以当
时，
，故
在
没有零点，
因为在
单调递增，且
，而
，
所以
，
则
，
所以存在唯一
，使得
，
故
在
存在唯一零点
，因此当
时，
在
存在唯一零点，
综上所述，当
时，
在区间
上没有零点；
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当
时，
在
存在唯一零点．
10．设函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
存在两个极值点，设极大值点为
，
为
的零点，求证：
．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）先对函数求导得
，对
分类讨论，求出
和
的解，得出函数单调区间；
（2）分
和
两种情况讨论，
时，易得零点为0，直接比较即可，
时，
，再由
，可得
，再结合基本不等式即可证明.
【详解】（1）
，
当
时，
，
令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，令
，解得
或
，
所以
时，
或
，
时，
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
， 所以
在
上单调递增；
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当
时，令
，解得
或
，
所以
时，
或
，
时，
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
综上所述，
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
（2）根据题意结合（1）可知
时，
存在两个极值点，
由
为
的零点，则
，则
，故
，
若
，由（1）可知
，则
；
若
，则
，故
,化简得
即
，又
，所以
，
故
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
，
86
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故
，当且仅当
时取等号，
综上所述，
恒成立．
11．已知函数
(1)求
的单调区间和极值；
(2)讨论
的零点个数．
【答案】(1)
在
单调递增，在
单调递减；极大值
，无极小值
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的性质，结合极值的定义进行求解即可；
（2）根据
的正负性，结合导数的性质、函数零点存在原理分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）由题设，
，
．
令
，解得
；令
，解得
．
所以，
在
单调递增，在
单调递减．
当
时，
有极大值
；
无极小值．
（2）
．
当
时，
．
令
，则
．
因为
，所以
．
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又因为
，所以
，
在
单调递减．
，
．
所以
在
上存在唯一零点．
当
时，
．
由（1）知，
，当且仅当
时，“
”成立．
令
，
，则
．
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增．
所以
，即
，当且仅当
时，“
”成立．
所以
，当且仅当
且
时，“
”成立．
所以，当
时，
存在唯一零点；当
且
时，
不存在零点．
综上，当或时，存在唯一零点；当且时，不存在零点．
88
