文档文本内容
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第01 讲菱形的性质与判定（知识点+8 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 利用菱形的性质求角度
题型2 利用菱形的性质求线段长
题型3 利用菱形的性质求面积
题型4 利用菱形的性质证明
题型5 证明四边形是菱形
题型6 根据菱形的性质与判定求角度
题型7 根据菱形的性质与判定求线段长
题型8 根据菱形的性质与判定求面积
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
菱形的边、角、对角线、
菱形的对称性、菱形的
性质、菱形的判定、菱
形的面积计算
1. 理解菱形的定义，认识菱形的边、内角、对角线，能用符号语言表示菱形，
明确菱形与平行四边形的从属关系。
2. 掌握菱形的性质定理（四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角、轴
对称性），能运用菱形的性质进行线段长度、角度大小的计算和相关几何证
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明。
3. 掌握菱形的三个判定定理（定义法、四条边相等的四边形是菱形、对角线
互相垂直的平行四边形是菱形），能运用判定定理证明一个四边形或平行四
边形是菱形，并能准确区分菱形的性质与判定。
4. 掌握菱形的两种面积计算公式（底×高、对角线乘积的一半），能解决与
菱形相关的实际问题，体会转化与数形结合的数学思想。
学习重点：菱形的概念与表示方法、菱形的性质定理、菱形的判定定理、菱形面积的计算。
学习难点：菱形性质与判定的综合应用，菱形与平行四边形，分类讨论思想在菱形边长、对角线问题
中的应用。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 菱形的定义
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定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
几何语言：
∵四边形ABCD 是平行四边形，且AB=BC
∴四边形ABCD 是菱形
即时即练如图，ܣ쳌䁩ܦ的对角线ܣ䁩与쳌ܦ交于点ܱ
，点ܧ、ܨ分别在ܱ
쳌、ܱܦ上，且쳌ܧൌܦܨ，连接ܣܧ、
ܣܨ、䁩ܧ、䁩ܨ，若再添加一个条件，使得四边形ܣܧ䁩ܨ为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一
个即可）
【易错提醒】
定义必须同时满足两个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等。缺少任何一个都不能判定为菱形。
知识点02
菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，同时还有以下独特性质：
性质类别
具体内容
几何语言
对应易错提醒
边的性质
菱形的四条边都相等
∵四边形ABCD 是菱形
∴AB=BC=CD=DA
不要与"平行四边形对边相等"
混淆，菱形是四条边都相等，不
只是对边。
对角线性质
1
菱形的两条对角线互相垂直
∵四边形ABCD 是菱形
∴AC⊥BD
这是菱形独有的性质，一般平行
四边形对角线只互相平分，不垂
直。
对角线性质
2
菱形的每一条对角线平分一
组对角
∵四边形ABCD 是菱形
∴AC 平分∠BAD 和∠
BCDBD 平分∠ABC 和∠ADC
只有菱形和正方形的对角线平
分对角，矩形和平行四边形都不
具备这个性质。
对称性
菱形是轴对称图形，有2 条对
称轴，分别是两条对角线所在
的直线；同时也是中心对称图
形，对称中心是两条对角线的
交点
-
对称轴是对角线所在的直线，不
是对角线本身；不要误以为菱形
有4 条对称轴。
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即时即练（2026·河南周口·三模）如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，对角线ܣ䁩ǡ쳌ܦ相交于点O，若ܣ䁩ൌൌǡ쳌ܦൌͺ，
则菱形的边长为___________．
所以菱形的边长为5．
知识点03
菱形的判定定理
满足以下任意一个条件，即可判定一个四边形是菱形：
判定方法
具体内容
几何语言
对应易错提醒
定义判定
有一组邻边
相等的平行
四边形是菱
形
∵四边形ABCD 是平行四边
形，且AB=BC
∴四边形ABCD 是菱形
必须先证明是平行四边形，再证明一组邻边相等，
顺序不能颠倒。
边判定
四条边都相
等的四边形
是菱形
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD 是菱形
这是唯一一个不需要先证明是平行四边形的判定
方法。
对角线判
定
对角线互相
垂直的平行
四边形是菱
形
∵四边形ABCD 是平行四边
形，且AC⊥BD
∴四边形ABCD 是菱形
最容易出错的判定！"对角线互相垂直的四边形是
菱形"是错误的，必须加上平行四边形前提。
即时即练如图，在ᇞܣ쳌䁩中，ܱ
是ܣ䁩上一点，ᇞܦܧܨ和ᇞܣ쳌䁩关于点ܱ
对称，连接쳌ܨ，䁩ܧ．
(1)求证：四边形쳌䁩ܧܨ是平行四边形；
(2)已知ܣ쳌ൌܣ䁩ൌͷ，쳌䁩ൌ⸷ͷ，当ܣܱ
的长为时四边形쳌䁩ܧܨ是菱形．
【易错提醒】
"互相垂直平分"已经包含了"互相平分"（即平行四边形），所以可以直接判定为菱形。
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知识点04 菱形的面积计算
1. 通用方法：S=底×高（与平行四边形面积公式相同）
2. 特殊方法：S=
×两条对角线的乘积
几何语言：
∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 相交于点O
∴S 菱形ABCD=
×AC×BD
即时即练小成同学按如下步骤作四边形ܣ쳌䁩ܦ：①画סܯܣ䁡；②以点ܣ为圆心，ͷcm 长为半径画弧，分别
交ܣܯ，ܣ䁡于点쳌，ܦ，连结쳌ܦ；③分别以点쳌，ܦ为圆心，大于
ͳ
⸷쳌ܦ的长为半径画弧，两弧在סܯܣ䁡内
交于点ܧ；④作射线ܣܧ交쳌ܦ于点ܱ
，在射线ܣܧ上截取ܱ
䁩ൌܣܱ；⑤连结쳌䁩、ܦ䁩．
(1)求证：四边形ܣ쳌䁩ܦ是菱形；
(2)若쳌ܦൌ⸰cm，求四边形ܣ쳌䁩ܦ的面积．
【易错提醒】
1.
计算面积时千万不要忘记乘以½，这是最常见的计算错误
2.
两种面积公式可以互相转化，已知底和高可以求对角线，已知对角线也可以求高
3.
对角线互相垂直的四边形面积都可以用"½×对角线乘积"计算，不只是菱形
4.
两种面积公式可以互相转化，已知底和高可以求对角线，已知对角线也可以求高
5.
对角线互相垂直的四边形面积都可以用"½×对角线乘积"计算，不只是菱形
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题型1 利用菱形的性质求角度
【例1】如图，菱形ܣ쳌䁩ܦ中，∠ܣ쳌䁩ൌͳൌൌιǡܣ쳌ൌ쳌ܧ，求ס쳌ܣܧ的度数为（
）
A．ൌൌι
B．ൌͷι
C．ͷι
D．ͷൌι
【技巧归纳】
对角线平分一组对角，相邻两角被分成的四个小角相等
邻角互补，对角相等
有60°角时，短对角线将菱形分成两个等边三角形
有90°角时，菱形变为正方形
【变式1-1】如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，点ܲ
为对角线ܣ䁩上一点，ܣܲ
ൌܣܦ．若סܦܣ쳌ൌ⸷ι．则סܣܲ쳌ൌ（
）
A．͵ൌι
B．⸰ͺι
C．ͷ⸰ι
D．⸷ι
【变式1-2】如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，对角线ܣ䁩与쳌ܦ相交于点O，ܱܧ٣ ܣ쳌，垂足为E，若ס쳌䁩ܦൌൌൌι，
则ס쳌ܱܧ的大小为（
）
A．33 度
B．34 度
C．57 度
D．67 度
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题型2 利用菱形的性质求线段长
【例2】如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，按如下步骤作图：①分别以点䁩和点ܦ为圆心，大于
ͳ
⸷䁩ܦ长为半径作弧，
两弧交于点ܯ，䁡；②作直线ܯ䁡，与䁩ܦ交于点ܧ，连接쳌ܧ，若ܣܦൌ⸷，直线ܯ䁡恰好经过点ܣ，则쳌ܧ
的长为_________．
【技巧归纳】
已知一边长，即知所有边长
两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形
勾股定理必用：(݀
ͳ
⸷)⸷+ (݀
⸷
⸷)⸷ൌܽ
⸷（݀
ͳǡ݀
⸷为对角线，ܽ
为边长）
60°角菱形：短对角线=边长，长对角线= ͵ ×边长
【变式2-1】如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，对角线ܣ䁩，쳌ܦ相交于点O，M、N 分别是边ܣܦ、䁩ܦ的中点，连接
ܯ䁡，ܱܯ．若ܯ䁡ൌ͵，ܵ菱形ܣ쳌䁩ܦൌ⸷⸰，则ܱ
ܯ的长为_____________．
【变式2-2】如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，点E、F 分别在边ܣ쳌、쳌䁩上，将ᇞ쳌ܧܨ沿ܧܨ翻折后，点B 的对应
点G 恰好落在边䁩ܦ上，如果ܧܩ٣ 䁩ܦ，쳌ܧൌͳൌ，ܦܩൌൌ，那么ܣܧ的长为______．
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题型3 利用菱形的性质求面积
【例3】如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，ܣ쳌ൌͳൌ，ܣ䁩+ 쳌ܦൌ⸷ͺ，则菱形ܣ쳌䁩ܦ的面积为（
）
A．48
B．80
C．96
D．192
【技巧归纳】
公式1：ܵ
ൌ底×高（同平行四边形）
公式2：ܵ
ൌ
ͳ
⸷݀
ͳ݀
⸷（菱形特有，优先使用）
面积也等于四个直角三角形面积之和
利用面积相等可求高或底
【变式3-1】如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，ܣܧ٣ 쳌䁩于点ܧ，쳌䁩ൌͷ，ܣ䁩ൌൌ，则ܣܧ的长是（
）
A．
⸷⸰
ͷ
B．6
C．
⸰ͺ
ͷ
D．12
【变式3-2】如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，对角线ܣ䁩ǡ쳌ܦ相交于点ܱ
，点ܧ在线段쳌ܱ
上，连接ܣܧ，若ͷ쳌ܧൌ͵䁩ܦ，
סܦܣܧൌסܦܧܣ，ܧܱ
ൌͳ，则菱形ܣ쳌䁩ܦ的面积等于（
）
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A．12
B．24
C．48
D．96
题型4 利用菱形的性质证明
【例4】如图，菱形ܣ쳌䁩ܦ中，对角线ܣ䁩，쳌ܦ相交于点O，延长ܣܦ至点E 使得ܦܧൌܱ
ܦ，连接ܧܱ
并延
长交䁩쳌的延长线于点F．
(1)求证：ᇞܣܱܧ، ᇞ䁩ܱܨ；
(2)若䁩ܨൌͳͺ，ܱܣൌͳ⸷，求ܱ
ܦ的长．
【技巧归纳】
证线段相等：四边相等或对角线互相平分
证角相等：对角线平分对角或等腰三角形底角相等
证垂直：对角线互相垂直的性质
常用辅助线：连接对角线
【变式4-1】如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，ܯ为ܣܦ边的中点，点䁡在ܣ쳌边上，סܣ䁡ܦൌסܯ쳌䁩，ܦܧ٣ 쳌䁩交
쳌䁩的延长线于点ܧ，若ܣ䁡ൌ͵ǡ쳌ܧൌͺ，求ܦܧ的长．
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ܦܧൌ
䁩ܦ⸷െ䁩ܧ⸷ൌ⸰⸷．
【变式4-2】如图1，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，ܣ쳌ൌ⸷，ס쳌ൌൌൌι，点E 是ܣܦ边上一动点，F 是ܣ쳌边上一动点，
且ܣܧൌ쳌ܨ，连接䁩ܧ、䁩ܨ．
(1)求证：䁩ܧൌ䁩ܨ；
(2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边쳌䁩上作点G，使得ܣܧൌ䁩ܩ．（保留作图痕迹，不写作法）
题型5 证明四边形是菱形
【例5】如图，在
ܣ쳌䁩ܦ中，对角线ܣ䁩，쳌ܦ交于点O，点E，F 分别是ܣ쳌，ܣܦ的中点，连接ܧܨ交ܣ䁩
于点G，延长ܨܧ与䁩쳌的延长线交于点H，且ܣܧൌܣܨ．
(1)求证：四边形ܣ쳌䁩ܦ是菱形；
(2)若סܪൌ͵ൌι，쳌ܪൌ⸰，求䁩ܩ的长．
【技巧归纳】
已知是平行四边形：证一组邻边相等或对角线互相垂直
已知是任意四边形：证四条边都相等或对角线互相垂直平分
易错点：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须是平行四边形
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【变式5-1】如图，在平行四边形ܣ쳌䁩ܦ中，䁩ܧ٣ ܣ쳌，垂足为点ܧ，䁩ܨ٣ ܣܦ，垂足为点ܨ，且쳌ܧൌܦܨ．
(1)求证：四边形ܣ쳌䁩ܦ是菱形；
(2)若ס쳌䁩ܦൌͳͳൌι，求סܧ䁩ܨ的度数．
【变式5-2】如图，在四边形ܣ쳌䁩ܦ中，ܣܦצ 쳌䁩，ܣ쳌ൌܣܦ，对角线ܣ䁩平分ס쳌ܣܦ，过点ܦ作ܦܧ٣ 쳌䁩，
垂足为ܧ．
(1)求证：四边形ܣ쳌䁩ܦ为菱形；
(2)若쳌ܧൌͺ，ܦܧൌ⸰，求䁩ܦ的长．
题型6 根据菱形的性质与判定求角度
【例6】柯同学按如下步骤作四边形ܣ쳌䁩ܦ．第一步：画סܯܣ䁡；第二步：以点ܣ为圆心，ͳ 个单位长度为
半径画弧，分别交ܣܯ，ܣ䁡于点쳌，ܦ；第三步：分别以点쳌，ܦ为圆心，ͳ 个单位长度为半径画弧，两弧
交于点䁩；第四步：连结쳌䁩，䁩ܦ，쳌ܦ．
(1)由以上作图可知，四边形ܣ쳌䁩ܦ的形状是________．
(2)若סܣൌ⸰ൌι，求ס䁩쳌ܦ的度数．
【技巧归纳】
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第一步：严格按题型5 的方法证明四边形是菱形
第二步：利用对角线平分对角、邻角互补、等腰三角形性质求角
出现30°、45°、60°时，直接用特殊三角形角度关系
【变式6-1】如图，按照以下步骤作四边形ܣ쳌䁩ܦ：ᬅ画סܧܣܨ；ᬆ以点ܣ为圆心，⸷ cm 为半径画弧，分别
交ܣܧ，ܣܨ于点쳌，ܦ；ᬇ分别以点쳌，ܦ为圆心，⸷ cm 为半径画弧，两弧交于点䁩；ᬈ连接쳌䁩，䁩ܦ，쳌ܦ．若
סܣ쳌ܦൌൌι，则ס䁩ൌ（
）
A．ൌൌι
B．ͷൌι
C．⸰ͷι
D．⸰ൌι
ס䁩ൌסܣൌ⸰ൌι．
【变式6-2】已知：如图，在ᇞܣ쳌䁩中，ܦ，ܧ分别是边ܣ쳌，ܣ䁩的中点，连接ܦܧ．ܣܨצ쳌䁩，且ܣܨൌ
ͳ
⸷쳌䁩，
连接ܦܨ．
(1)求证：四边形ܣܨܦܧ是平行四边形；
(2)如果ܣ쳌ൌܣ䁩，ס쳌ܣ䁩ൌൌൌι，求证：ܣܦ٣ ܧܨ．
题型7 根据菱形的性质与判定求线段长
【例7】如图，
ܣ쳌䁩ܦ中，点ܧ，ܨ分别在边쳌䁩，䁩ܦ上，且쳌ܧൌܦܨ，连接ܣܧ，ܣܨ．
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(1)请添加一个条件，使得ᇞܣ쳌ܧ، ᇞܣܦܨ，并加以证明．
(2)在（1）的条件下，连接ܧܨ，若ס䁩ൌͳ⸷ൌι，䁩ܧൌ⸷，求ܧܨ的长．
【技巧归纳】
第一步：证明四边形是菱形，得到四边相等和对角线垂直平分
第二步：在直角三角形中用勾股定理或特殊三角形性质计算
常见类型：已知两对角线求边长，已知边长和一条对角线求另一条
利用菱形的轴对称性找相等线段
【变式7-1】在
ܣ쳌䁩ܦ中，סܣ쳌䁩ൌ⸰ͷι，过ܣ作ܣܧ٣ 䁩ܦ于ܧ，连接쳌ܧ，延长ܧܣ至ܨ，使䁩ܧൌܣܨ，
连接ܦܨ．
(1)求证：ܦܨൌ쳌ܧ；
(2)若ܦܨൌ
͵⸰，ܣܦൌ͵ ⸷，求四边形ܣܦܧ쳌的周长．
四边形ܣܦܧ쳌的周长为：ܣܦ+ ܦܧ+ 쳌ܧ+ ܣ쳌ൌ͵ ⸷+ ͵ +
͵⸰+ ͷ ൌͺ + ͵ ⸷+
͵⸰．
【变式7-2】如图，ᇞܣ쳌䁩中，ܣ쳌ൌܣ䁩ൌͳ，ס쳌ܣ䁩ൌ⸰ͷι，ᇞܣܧܨ是由ᇞܣ쳌䁩绕点A 按顺时针方向旋转
得到的，连接쳌ܧ、䁩ܨ相交于点D．
(1)求证：쳌ܧൌ䁩ܨ；
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(2)若ܣ䁩צ쳌ܧ，求䁩ܨ的长．
䁩ܨൌ쳌ܧൌ
⸷．
题型8 根据菱形的性质与判定求面积
【例8】如图，在四边形ܣ쳌䁩ܦ中，ܣ쳌צ 䁩ܦ，ܣ쳌ൌ䁩ܦ，过点ܣ作ܣܧ٣ 쳌䁩，交䁩쳌的延长线于点ܧ，连
接ܦ쳌，쳌ܦ平分סܣ쳌䁩．
(1)求证：四边形ܣ쳌䁩ܦ是菱形；
(2)过点ܦ作ܦܨ٣ ܣ쳌于点ܨ，延长ܦܨ交ܣܧ于点ܩ．若ܣܦൌ⸰，ס쳌ܣܧൌ͵ൌι，求四边形ܣܧ䁩ܦ的面积．
【技巧归纳】
第一步：证明四边形是菱形
第二步：已知底和高用底×高，已知两条对角线用
ͳ
⸷݀
ͳ݀
⸷
技巧：对角线互相垂直的任意四边形，面积都等于
ͳ
⸷݀
ͳ݀
⸷
利用面积法可求斜边上的高
【变式8-1】如图，ᇞܣ쳌䁩中，쳌ܣൌ쳌䁩，쳌ܦ平分סܣ쳌䁩，点ܧ，ܨ分别是ܣ쳌，쳌䁩的中点．
(1)求证：四边形ܦܧ쳌ܨ是菱形；
(2)连接ܧܨ交쳌ܦ于点ܩ，如果四边形ܦܧ쳌ܨ的周长为⸷ൌǡܧܨ+ 쳌ܦൌͳ⸰，求四边形ܦܧ쳌ܨ的面积．
【变式8-2】如图，在Rt ᇞܣ쳌䁩中，ס쳌ൌ䁡ൌι，쳌䁩ൌͷ ͵，ס䁩ൌ͵ൌι．点D 从点C 出发沿䁩ܣ方向以每秒
2 个单位长度的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿ܣ쳌方向以每秒1 个单位长度的速度向点B
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匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E 运动的时间是t 秒（ݐR ൌ）．过
点D 作ܦܨ٣ 쳌䁩于点F，连接ܦܧ，ܧܨ．
(1)ܣܧ的长为，ܦܨ的长为（用含t 的代数式表示）；
(2)四边形ܣܧܨܦ能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由；
(3)当t 为何值时，ᇞܦܧܨ为直角三角形？请说明理由．
一、单选题
1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，若סܣ쳌䁩ൌͳൌൌιǡ쳌ܣൌ쳌ܧ，则ס쳌ܧܣ的度数为（
）
A．ൌൌι
B．ൌͷι
C．ൌι
D．ͷι
2．（2026·广东深圳·二模）小馨同学按如下步骤作四边形ܣ쳌䁩ܦ；（1）画סܯܣ䁡；（2）以点ܣ为圆心，1
个单位长为半径画弧，分别交ܣܯ，ܣ䁡于点쳌，ܦ；（3）分别以点쳌，ܦ为圆心，1 个单位长为半径画弧，
两弧交于点䁩；（4）连接쳌䁩，䁩ܦ，쳌ܦ．若סܣൌ⸰ͺι，则ס䁩쳌ܦ的大小是（
）
A．ൌ⸰ι
B．ൌͷι
C．ൌൌι
D．ൌι
3．（2026·广东深圳·二模）如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案．根据国家标准《道
路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度ܣ䁩为ͳ‸ͷm，纵向长度쳌ܦ为͵m，则菱形ܣ쳌䁩ܦ
的边长是(
)
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A．
͵ ͷ
⸷m
B．
͵ ͷ
⸰m
C．
͵ ͵
⸰m
D．͵ ͷm
4．（2026·河南开封·二模）如图，在
ܣ쳌䁩ܦ中，ܣ䁩与쳌ܦ交于点ܱ
，点ܧ为ܣܦ的中点．若סܣܱܧൌסܱܣܧ，
对角线쳌ܦൌൌ，
ܣ쳌䁩ܦ面积为24，则
ܣ쳌䁩ܦ的周长为（
）
A．20
B．24
C．28
D．30
5．（2026·河北邢台·模拟预测）按照下列步骤作图，得到下图：
①任意画两条相交直线݉
，n，记交点为ܱ
；
②以点ܱ
为圆心，分别在直线m，n 上截取ܱ
쳌与ܱ
ܦ，ܱܣ与ܱ
䁩．使ܱ
쳌ൌܱ
ܦǡܱܣൌܱ
䁩；
③顺次连接A，B，C，D 得到四边形ܣ쳌䁩ܦ．
若添加下列一个条件后，使得四边形ܣ쳌䁩ܦ是菱形，则这个条件是（
）
A．ܣ쳌٣ 쳌䁩
B．סܣܱ쳌ൌൌൌι
C．݉
٣݊
D．ܱܣൌܱ
쳌
6．（2026·湖北孝感·三模）如图，菱形ܣ쳌䁩ܦ的顶点B，D 在y 轴上，若ܣ͵ǡͳ ，则点C 的坐标为（
）
A．͵ǡ െͳ
B．െ͵ǡͳ
C．ͳǡ െ͵
D．െͳǡ͵
7．（2026·河北·二模）问题：如图，四边形ܣ쳌䁩ܦ是菱形，ܧ，ܨ是直线ܣ䁩上两点，ܣܨൌ䁩ܧ．求证：四
边形ܨ쳌ܧܦ是菱形．甲、乙两名同学对这个问题，给出了如下解题思路：
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甲：利用全等三角形的知识，证明四边形ܨ쳌ܧܦ的四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接쳌ܦ，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形ܨ쳌ܧܦ是菱形．
其中正确的是（
）
A．甲、乙都对
B．甲对、乙错
C．甲错、乙对
D．甲、乙都错
8．（2026·辽宁·一模）如图，在Rt ᇞܣ쳌䁩中，סܣ䁩쳌ൌ䁡ൌιǡܣ쳌ൌͷǡܣ䁩ൌ⸰，ܦ为ܣ쳌的中点，ܣܧצ 䁩ܦǡ䁩ܧצ ܣ쳌，
则四边形ܣܦ䁩ܧ的面积为（
）
A．
ͳ⸷
ͷ
B．6
C．10
D．12
9．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，ܯ，䁡，ܲ，ܳ
是菱形ܣ쳌䁩ܦ四边的中点，顺次连接点ܯ，䁡，ܲ，ܳ，
且ܯ䁡ൌ⸷ܯܳ，则下列结论正确的是（
）
A．ܯܳ
ൌ
ͳ
⸷ܣ쳌
B．ܯܳ
ൌ
ͷ
ͷ ܣ쳌
C．ܯܳ
ൌ
͵
͵ ܣ쳌
D．ܯܳ
ൌ
⸷
⸷ܣ쳌
10．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，菱形ܣ쳌䁩ܦ的对角线ܣ䁩，쳌ܦ相交于点ܱ
，点ܧ是䁩ܦ边的中点，
点ܨ在쳌䁩上且ܱ
ܨ٣ 쳌䁩，若ܱ
ܧڄܱ
ܨൌൌ，则ܣ䁩ڄ 쳌ܦൌ（
）
A．24
B．36
C．42
D．48
11．（2026·广东深圳·三模）如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，ס쳌ൌ⸰ͷι，ܣ쳌ൌͳ⸷，点E 在边쳌䁩上，连接ܣܧ，将
ᇞܣ쳌ܧ沿ܣܧ折叠，若点B 落在쳌䁩延长线上的点F 处，则䁩ܨ的长为（
）
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A．4
B．ͳ⸷െൌ⸷
C．⸰⸷
D．ͳ⸷⸷െͳ⸷
12．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，סܣ쳌䁩ൌൌൌι，点E 为边ܣܦ的中点，对角线ܣ䁩
与쳌ܦ相交于点O．动点P 从点A 出发，沿ܣ쳌՜ 쳌ܦ方向匀速运动，运动到点D 时停止．设点P 的运动
路程为x，ᇞܣܲܧ的面积为y，y 与x 的函数图象如图2 所示，当点P 运动到点O 时，ܲܧ的长为（
）
A．3
B．2
C．⸷͵
D．4
二、填空题
13．（2026·陕西咸阳·二模）如图，
ܣ쳌䁩ܦ的对角线ܣ䁩与쳌ܦ交于点ܱ
，点ܧ、ܨ分别在ܱ
쳌、ܱܦ上，
且쳌ܧൌܦܨ，连接ܣܧ、ܣܨ、䁩ܧ、䁩ܨ，若再添加一个条件，使得四边形ܣܧ䁩ܨ为菱形，则可以添加的条件
是_________．（添加一个即可）
14．（2026·河南周口·三模）如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，对角线ܣ䁩ǡ쳌ܦ相交于点O，若ܣ䁩ൌൌǡ쳌ܦൌͺ，则菱
形的边长为___________．
15．（2026·江苏盐城·一模）在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，对角线ܣ䁩ൌൌ，쳌ܦൌ⸰，则菱形ܣ쳌䁩ܦ的面积为______．
16．（2026·宁夏吴忠·一模）如图，菱形ܣ쳌䁩ܦ的对角线交点在原点，若ܣെ⸰ǡ͵ ，则点䁩的坐标是________．
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17．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在四边形ܣ쳌䁩ܦ中，对角线ܣ䁩与쳌ܦ互相垂直平分，ס쳌ܣ䁩ൌ͵ͳι，
则ס쳌䁩ܦൌ_____．
18．（2026·广东汕尾·模拟预测）如图，四边形ܣ쳌䁩ܦ是菱形，对角线ܣ䁩，쳌ܦ相交于点O，ܣ䁩ൌͺ，ܦ䁩ൌͷ，
ܦܪ٣ ܣ쳌，垂足为H．则ܦܪ的长为_________．
19．（2026·四川成都·三模）如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，סܣൌ⸰ൌι，分别以点ܣ，쳌为圆心，大于
ͳ
⸷ܣ쳌的长为
半径作弧相交于两点，过这两点的直线交ܣܦ边于点ܧ（作图痕迹如图所示），连接쳌ܧ，쳌ܦ．则סܦ쳌ܧ的
度数为______ι．
20．（2026·浙江金华·二模）如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，סܣ쳌䁩ൌൌൌι，点ܧ在边쳌䁩的延长线上，连接ܣܧ，
쳌ܦ交于点ܨ，连结䁩ܨ，若סܧൌߙ，则ס䁩ܨܧൌ__________（用含ߙ的式子表示）．
21．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，סܣൌൌൌι，ܣ쳌ൌͳ⸷．点P 为对角线쳌ܦ上的任一点，
作ܲ
ܧ٣ ܣ쳌，ܲܨ٣ ܣܦ．则ܲ
ܧ+ܲ
ܨ+ܲ
䁩之和的最小值为______．
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22．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，סܣ쳌䁩ൌൌൌι，䁩ܦൌͺ，连接쳌ܦ，点P 是쳌ܦ
上的一个动点，连接ܲ
ܣ、ܲ䁩，则ܲ
ܣ+ܲ
쳌+ܲ
䁩的最小值是______．
23．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，菱形ܣ쳌䁩ܦ的边长为4，对角线ܣ䁩、쳌ܦ相交于点O，点M，
N 分别是边쳌䁩、䁩ܦ上的动点，ס쳌ܣ䁩ൌסܯܣ䁡ൌൌൌι，连接ܯ䁡，ܱܯ，ܱ䁡．以下四个结论正确的有________
（填序号）．
①ᇞܣܯ䁡是等边三角形；②סܯܱ䁡ൌͳ⸷ൌι；③ܯ䁡的最小值是⸷͵；④当ܱ
ܯ٣ 쳌䁩时，ܱ䁡ൌ
．
三、解答题
24．（2026·重庆大足·一模）我们知道，通过对特殊三角形作图可以得到菱形．如图，ᇞܣ쳌䁩是等边三角形．
(1)尺规作图：作ס쳌的平分线쳌ܨ交ܣ䁩于点E，在射线쳌ܨ上截取ܧܦൌ쳌ܧ，连接ܣܦǡ䁩ܦ，则四边形ܣ쳌䁩ܦ
是菱形．
(2)根据下面的思路完成证明过程．
证明：∵ᇞܣ쳌䁩是等边三角形，쳌ܦ平分סܣ쳌䁩，
∴쳌ܦ٣ ܣ䁩且①
＝②
，（三线合一）
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又∵쳌ܧൌܦܧ，
∴四边形ܣ쳌䁩ܦ是菱形．（③）（填理由）
25．
（2026·江苏南京·一模）如图，在
ܣ쳌䁩ܦ中，סܣ쳌䁩的平分线交边ܣܦ于点E，F 是边쳌䁩上一点，ܧܨצ䁩ܦ．求
证：四边形ܣ쳌ܨܧ是菱形．
26．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，在菱形ܣ쳌䁩ܦ中，E 是边䁩ܦ的中点，连接ܣܧ并延长交쳌䁩的延
长线于点F．
(1)求证：쳌䁩ൌܨ䁩．
(2)若ܣ쳌ൌ⸷，且ܣܧ٣ 䁩ܦ，求ܣܨ的长．
27．
（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平行四边形ܣ쳌䁩ܦ中，点ܲ
是对角线ܣ䁩上的一点：ܲܧ٣ ܣ쳌ǡܲܨ٣ ܣܦ，
垂足分别为ܧ、ܨ，且ܲ
ܧൌܲ
ܨ，求证：平行四边形ܣ쳌䁩ܦ是菱形．
28．（2026·湖北武汉·二模）如图，在ᇞܣ쳌䁩中，ܦ为쳌䁩上一点，连接ܣܦ，ܧ为ܣܦ中点，过点ܣ作ܣܨצ 쳌䁩，
交쳌ܧ的延长线于点ܨ，连接䁩ܨ，ܦܨ．
(1)求证：四边形ܣ쳌ܦܨ是平行四边形；
(2)若ס쳌ܣ䁩ൌ䁡ൌι，请添加一个与ܨ䁩有关的条件，____________________使四边形ܣܦ䁩ܨ为菱形．
29．（2026·浙江杭州·二模）小成同学按如下步骤作四边形ܣ쳌䁩ܦ：①画סܯܣ䁡；②以点ܣ为圆心，ͷcm 长
为半径画弧，分别交ܣܯ，ܣ䁡于点쳌，ܦ，连结쳌ܦ；③分别以点쳌，ܦ为圆心，大于
ͳ
⸷쳌ܦ的长为半径画弧，
两弧在סܯܣ䁡内交于点ܧ；④作射线ܣܧ交쳌ܦ于点ܱ
，在射线ܣܧ上截取ܱ
䁩ൌܣܱ；⑤连结쳌䁩、ܦ䁩．
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(1)求证：四边形ܣ쳌䁩ܦ是菱形；
(2)若쳌ܦൌ⸰cm，求四边形ܣ쳌䁩ܦ的面积．
30．（2026·江西新余·二模）请用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图1，点E 是菱形ܣ쳌䁩ܦ边ܣܦ上的一点．求作边上的点H，使䁩ܪൌܣܧ；
(2)如图2，点E 是菱形ܣ쳌䁩ܦ边ܣܦ上一点，连接쳌ܧǡ쳌䁩，求作ס䁩쳌ܩ，使ס䁩쳌ܩൌסܣ쳌ܧ，且点G 在䁩ܦ
边上．
31．（2026·江苏南京·二模）如图，在ᇞܣ쳌䁩中，ܱ是ܣ䁩上一点，ᇞܦܧܨ和ᇞܣ쳌䁩关于点ܱ
对称，连接쳌ܨ，
䁩ܧ．
(1)求证：四边形쳌䁩ܧܨ是平行四边形；
(2)已知ܣ쳌ൌܣ䁩ൌͷ，쳌䁩ൌ⸷ͷ，当ܣܱ
的长为时四边形쳌䁩ܧܨ是菱形．
32．（2026·安徽安庆·一模）我们将四个全等的小菱形按如图1 所示组合的图形称为一个基本图形，将此基
本图形（大菱形）向右平移，使其中一个小菱形重合，得到第2 个图案，第3 个图案，第4 个图案……
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(1)观察图1 并完成下表：
图案
第1 个图案
第2 个图案
第3 个图案
第4 个图案
…
大菱形的个
数
1
2
3
4
…
小菱形的个
数
4
7
10
______
…
(2)第5 个图案中菱形的总个数为______；第n 个图案中，菱形的总个数为______（用含n 的代数式表示）．
(3)如图2，将第n 个图案放在平面直角坐标系中，已知小菱形的锐角为ൌൌι，且基本图形的中心点ܣͳ的坐标
为ܽ
ͳǡ⸷，ܣ⸷的坐标为ܽ
⸷ǡ⸷，ܣ͵的坐标为ܽ
͵ǡ⸷，ܣ⸰的坐标为ܽ
⸰ǡ⸷，ܣͷ的坐标为ܽ
ͷǡ⸷，……，ܣ݊的坐标
为ܽ݊
ǡ⸷，则ܽͷ ൌ______，ܽ݊
ൌ______．根据以上分析，请将上述材料中横线上所缺内容补充完整．
33．（2026·山西长治·二模）综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在ᇞܣ쳌䁩中，ܣ쳌ൌ͵，סܣൌ
ൌൌι，סܣ쳌䁩ൌ䁡ൌι，ܣ̵ 为斜边ܣ䁩的中点，将与ᇞܣ쳌䁩全等的ᇞܣ̵ 쳌̵ 䁩̵ 绕点ܣ̵ 旋转得到ᇞܣ̵ ܦܧ．
操作发现：
(1)如图1，顺时针旋转一定角度，记ܣ̵ ܦ和ܣ̵ ܧ分别与쳌䁩交于点ܯ，䁡，当ܣ̵ ܧ٣ ܣ䁩时，试判断ᇞܣ̵ ܯ䁡的
形状，并证明你的结论；
(2)如图2，继续旋转一定角度，当线段ܣ̵ ܧ经过点쳌时，连接쳌ܦ，试判断四边形ܣܣ̵ ܦ쳌的形状，并证明你
的结论；
实践探究：
(3)在整个旋转过程中，当ᇞܣ̵ ܦܧ在ܣ䁩下方，且ᇞܣ̵ ܦܧ的边恰好与ܣ䁩垂直时，请直接写出ܣܦ的长．
34．（2026·浙江杭州·二模）【问题情境】数学课上，同学们以小组为单位用两个全等的三角形进行实验探
究．
如图ͳ，两个全等的直角三角形ܣ쳌䁩和ܦܧܨ的斜边ܣ䁩和ܦܨ在同一直线上，ܣ쳌ൌܦܧ．ᇞܦܧܨ可沿直线
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ܣ䁩平移，连接ܣܧ，쳌ܦ．
【实验探究】
(1)在ᇞܦܧܨ平移过程中，同学们发现四边形ܣ쳌ܦܧ是平行四边形，请证明此结论；
(2)当ᇞܦܧܨ沿ܣ䁩平移到某一个位置时，四边形ܣ쳌ܦܧ恰好为菱形，
①如图⸷，此时若ܣ쳌ൌͺ，ܣ䁩ൌͳൌ，试求ܣܨ的长；
②如图͵，连接쳌ܧ，若쳌ܧൌ䁩ܦ，求ס쳌ܣ䁩的度数．
