文档文本内容
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第01 讲菱形的性质与判定（知识点+8 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 利用菱形的性质求角度
题型2 利用菱形的性质求线段长
题型3 利用菱形的性质求面积
题型4 利用菱形的性质证明
题型5 证明四边形是菱形
题型6 根据菱形的性质与判定求角度
题型7 根据菱形的性质与判定求线段长
题型8 根据菱形的性质与判定求面积
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
菱形的边、角、对角线、
菱形的对称性、菱形的
性质、菱形的判定、菱
形的面积计算
1. 理解菱形的定义，认识菱形的边、内角、对角线，能用符号语言表示菱形，
明确菱形与平行四边形的从属关系。
2. 掌握菱形的性质定理（四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角、轴
对称性），能运用菱形的性质进行线段长度、角度大小的计算和相关几何证
明。
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3. 掌握菱形的三个判定定理（定义法、四条边相等的四边形是菱形、对角线
互相垂直的平行四边形是菱形），能运用判定定理证明一个四边形或平行四
边形是菱形，并能准确区分菱形的性质与判定。
4. 掌握菱形的两种面积计算公式（底×高、对角线乘积的一半），能解决与
菱形相关的实际问题，体会转化与数形结合的数学思想。
学习重点：菱形的概念与表示方法、菱形的性质定理、菱形的判定定理、菱形面积的计算。
学习难点：菱形性质与判定的综合应用，菱形与平行四边形，分类讨论思想在菱形边长、对角线问题
中的应用。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 菱形的定义
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定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
几何语言：
∵四边形ABCD 是平行四边形，且AB=BC
∴四边形ABCD 是菱形
即时即练如图，ܣ쳌䁩子的对角线ܣ䁩与쳌子交于点ܱ
，点ܧ、ܨ分别在ܱ
쳌、ܱ子上，且쳌ܧൌ子ܨ，连接ܣܧ、
ܣܨ、䁩ܧ、䁩ܨ，若再添加一个条件，使得四边形ܣܧ䁩ܨ为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一
个即可）
【答案】ܣܧൌ䁩ܧ（答案不唯一）
【详解】解：∵四边形ܣ쳌䁩子是平行四边形，
∴ܱܣൌܱ
䁩ܱܱ
쳌ൌܱ
子，
∵쳌ܧൌ子ܨ，
∴ܱܧൌܱ
ܨ，
∴四边形ܣܧ䁩ܨ是平行四边形，
当ܣܧൌ䁩ܧ或ܣܧൌܣܨ或䁩ܧൌ䁩ܨ或ܣܨൌ䁩ܨ时，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形
ܣܧ䁩ܨ为菱形；
当ܣ䁩٣ ܧܨ时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得四边形ܣܧ䁩ܨ为菱形．
【易错提醒】
定义必须同时满足两个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等。缺少任何一个都不能判定为菱形。
知识点02
菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，同时还有以下独特性质：
性质类别
具体内容
几何语言
对应易错提醒
边的性质
菱形的四条边都相等
∵四边形ABCD 是菱形
∴AB=BC=CD=DA
不要与"平行四边形对边相等"
混淆，菱形是四条边都相等，不
只是对边。
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性质类别
具体内容
几何语言
对应易错提醒
对角线性质
1
菱形的两条对角线互相垂直
∵四边形ABCD 是菱形
∴AC⊥BD
这是菱形独有的性质，一般平行
四边形对角线只互相平分，不垂
直。
对角线性质
2
菱形的每一条对角线平分一
组对角
∵四边形ABCD 是菱形
∴AC 平分∠BAD 和∠
BCDBD 平分∠ABC 和∠ADC
只有菱形和正方形的对角线平
分对角，矩形和平行四边形都不
具备这个性质。
对称性
菱形是轴对称图形，有2 条对
称轴，分别是两条对角线所在
的直线；同时也是中心对称图
形，对称中心是两条对角线的
交点
-
对称轴是对角线所在的直线，不
是对角线本身；不要误以为菱形
有4 条对称轴。
即时即练（2026·河南周口·三模）如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，对角线ܣ䁩ܱ쳌子相交于点O，若ܣ䁩ൌൌܱ쳌子ൌͺ，
则菱形的边长为___________．
【答案】5
【分析】根据菱形的性质得ܣܱ
ൌൌܱ쳌ܱ
ൌͶ，再根据勾股定理ܣ쳌ൌ
ܣܱ
ʹ 쳌ܱ
ʹ得出答案．
【详解】解：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ䁩٣ 쳌子ܱܣܱ
ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ܱ쳌ܱ
ൌ
ͳ
ʹ 쳌子．
∵ܣ䁩ൌൌܱ쳌子ൌͺ，
∴ܣܱ
ൌൌܱ쳌ܱ
ൌͶ．
在Rt ᇞܣ쳌ܱ
中，סܣܱ쳌ൌͻൌι，
根据勾股定理，得ܣ쳌ൌ
ܣܱ
ʹ 쳌ܱ
ʹ ൌ
ൌʹ Ͷʹ ൌͷ，
所以菱形的边长为5．
知识点03
菱形的判定定理
满足以下任意一个条件，即可判定一个四边形是菱形：
判定方法
具体内容
几何语言
对应易错提醒
定义判定
有一组邻边
相等的平行
四边形是菱
∵四边形ABCD 是平行四边
形，且AB=BC
∴四边形ABCD 是菱形
必须先证明是平行四边形，再证明一组邻边相等，
顺序不能颠倒。
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判定方法
具体内容
几何语言
对应易错提醒
形
边判定
四条边都相
等的四边形
是菱形
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD 是菱形
这是唯一一个不需要先证明是平行四边形的判定
方法。
对角线判
定
对角线互相
垂直的平行
四边形是菱
形
∵四边形ABCD 是平行四边
形，且AC⊥BD
∴四边形ABCD 是菱形
最容易出错的判定！"对角线互相垂直的四边形是
菱形"是错误的，必须加上平行四边形前提。
即时即练如图，在ᇞܣ쳌䁩中，ܱ
是ܣ䁩上一点，ᇞ子ܧܨ和ᇞܣ쳌䁩关于点ܱ
对称，连接쳌ܨ，䁩ܧ．
(1)求证：四边形쳌䁩ܧܨ是平行四边形；
(2)已知ܣ쳌ൌܣ䁩ൌͷ，쳌䁩ൌʹ ͷ，当ܣܱ
的长为时四边形쳌䁩ܧܨ是菱形．
【答案】(1)证明：∵ᇞ子ܧܨ和ᇞܣ쳌䁩关于点ܱ
对称，
∴ܱ
䁩ൌܱ
ܨ，ܱܧൌܱ
쳌，
∴四边形쳌䁩ܧܨ是平行四边形．
(2)ൌ
【分析】（1）利用对称性质，得到ܱ
䁩ൌܱ
ܨ，ܱܧൌܱ
쳌，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”完
成证明；
（2）连接ܱ
쳌，设ܱ
䁩ൌܱ
ܨൌܽ
，再根据菱形的性质和勾股定理表示出ܱ
쳌，列方程求出ܽ
，进而求出ܣܱ．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接ܱ
쳌，
据（1）可知쳌ܧ与ܨ䁩交于点ܱ
，
∵四边形쳌䁩ܧܨ是菱形，
∴쳌ܧ٣ ܨ䁩，ܱܨൌܱ
䁩，
设ܱ
䁩ൌܱ
ܨൌܽ
，
∵ܣ쳌ൌܣ䁩ൌͷ，
∴ܣܱ
ൌͷ െܽ
，
∴在Rt ᇞܣܱ쳌中，ܱ쳌ʹ ൌܣ쳌ʹ െܱ
ܣʹ ൌʹͷ െͷ െܽ
ʹ，
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∵쳌䁩ൌʹ ͷ，
∴在Rt ᇞ䁩ܱ쳌中，ܱ쳌ʹ ൌ쳌䁩ʹ െܱ
䁩ʹ ൌʹൌെܽ
ʹ，
∴ʹͷ െͷ െܽ
ʹ ൌʹൌെܽ
ʹ，
解得ܽ
ൌʹ，
∴ܣܱ
ൌͷ െܽ
ൌൌ．
【易错提醒】
"互相垂直平分"已经包含了"互相平分"（即平行四边形），所以可以直接判定为菱形。
知识点04 菱形的面积计算
1. 通用方法：S=底×高（与平行四边形面积公式相同）
2. 特殊方法：S=
×两条对角线的乘积
几何语言：
∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 相交于点O
∴S 菱形ABCD=
×AC×BD
即时即练小成同学按如下步骤作四边形ܣ쳌䁩子：①画סܯܣ䁡；②以点ܣ为圆心，ͷcm 长为半径画弧，分别
交ܣܯ，ܣ䁡于点쳌，子，连结쳌子；③分别以点쳌，子为圆心，大于
ͳ
ʹ 쳌子的长为半径画弧，两弧在סܯܣ䁡内
交于点ܧ；④作射线ܣܧ交쳌子于点ܱ
，在射线ܣܧ上截取ܱ
䁩ൌܣܱ；⑤连结쳌䁩、子䁩．
(1)求证：四边形ܣ쳌䁩子是菱形；
(2)若쳌子ൌͶcm，求四边形ܣ쳌䁩子的面积．
【答案】(1)证明：由作图步骤可知：ܣ쳌ൌܣ子ൌͷcm，ܣܧ平分ס쳌ܣ子，ܱ䁩ൌܣܱ，쳌、ܱ、子在同一条直线
上，
∵ܣܧ平分ס쳌ܣܱ，
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∴ס쳌ܣܱ
ൌס子ܣܱ，
在ᇞܣ쳌ܱ
和ᇞܣ子ܱ
中，
∵
ܣ쳌ൌܣ子
ס쳌ܣܱ
ൌס子ܣܱܱ
ܣൌܱ
ܣ
，
∴ᇞܣ쳌ܱ، ᇞܣ子ܱ
SAS ，
∴ܱ쳌ൌܱ
子，סܣܱ쳌ൌסܣܱ子，
∵쳌、ܱ、子在同一条直线上，
∴סܣܱ쳌סܣܱ子ൌͳͺൌι，
∴סܣܱ쳌ൌסܣܱ子ൌͻൌι，即쳌子٣ ܣ䁩，
∵ܱ쳌ൌܱ
子，ܱ䁩ൌܣܱ，
∴四边形ܣ쳌䁩子是平行四边形，
∵쳌子٣ ܣ䁩，
∴平行四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
即四边形ܣ쳌䁩子是菱形
(2)Ͷ ʹͳcmʹ
【分析】（1）先由作图条件得ܣ쳌ൌܣ子、ܣܧ平分ס쳌ܣ子，证ᇞܣ쳌ܱ، ᇞܣ子ܱ，推出对角线互相平分且垂直，
从而判定ܣ쳌䁩子为菱形；
（2）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求对角线ܣ䁩的长度，再用菱形面积公式ܵ
ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ڄ
쳌子计算面积．
【详解】（1）略；
（2）∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，쳌子ൌͶcm，
∴ܱ子ൌܱ
쳌ൌ
ͳ
ʹ 쳌子ൌ
ͳ
ʹ ൈͶ ൌʹ cm ，ܣ䁩٣ 쳌子，ܱܣൌܱ
䁩，
在Rt ᇞܣܱ子中，ܣ子ൌͷcm，ܱ子ൌʹcm，
∴ܣܱ
ൌ
ܣ子ʹ െܱ
子ʹ ൌ
ͷʹ െʹʹ ൌ
ʹͳ cm ，
∴ܣ䁩ൌʹܣܱ
ൌʹ ʹͳ cm ，
∴ܵ菱形ܣ쳌䁩子ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ڄ 쳌子ൌ
ͳ
ʹ ൈʹ ʹͳ ൈͶ ൌͶ ʹͳ cmʹ ，
即四边形ܣ쳌䁩子的面积为Ͷ ʹͳcmʹ．
【点睛】通过全等证对角线垂直平分，再利用勾股定理求对角线长，进而计算菱形面积．
【易错提醒】
1.
计算面积时千万不要忘记乘以½，这是最常见的计算错误
2.
两种面积公式可以互相转化，已知底和高可以求对角线，已知对角线也可以求高
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3.
对角线互相垂直的四边形面积都可以用"½×对角线乘积"计算，不只是菱形
4.
两种面积公式可以互相转化，已知底和高可以求对角线，已知对角线也可以求高
5.
对角线互相垂直的四边形面积都可以用"½×对角线乘积"计算，不只是菱形
题型1 利用菱形的性质求角度
【例1】如图，菱形ܣ쳌䁩子中，∠ܣ쳌䁩ൌͳൌൌιܱܣ쳌ൌ쳌ܧ，求ס쳌ܣܧ的度数为（
）
A．ൌൌι
B．ൌͷι
C．ͷι
D．ͷൌι
【答案】B
【分析】先根据菱形的性质求出סܣ쳌ܧ的度数，再结合쳌ܣൌ쳌ܧ，利用等腰三角形的内角和定理求出ס쳌ܣܧ
的度数．
【详解】解：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴쳌子平分סܣ쳌䁩，
∵סܣ쳌䁩ൌͳൌൌι，
∴סܣ쳌ܧൌ
ͳ
ʹ סܣ쳌䁩ൌͷൌι，
又∵쳌ܣൌ쳌ܧ，
∴ᇞܣ쳌ܧ是等腰三角形，ס쳌ܣܧൌס쳌ܧܣ，
∴ס쳌ܣܧൌ
ͳ
ʹ ͳͺൌι െסܣ쳌ܧൌ
ͳ
ʹ ͳͺൌι െͷൌι ൌൌͷι．
【技巧归纳】
对角线平分一组对角，相邻两角被分成的四个小角相等
邻角互补，对角相等
有60°角时，短对角线将菱形分成两个等边三角形
有90°角时，菱形变为正方形
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【变式1-1】如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，点ܲ
为对角线ܣ䁩上一点，ܣܲ
ൌܣ子．若ס子ܣ쳌ൌʹι．则סܣܲ쳌ൌ（
）
A．ൌൌι
B．Ͷͺι
C．ͷͶι
D．ʹι
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，根据菱形的性质可得ܣ子ൌ
ܣ쳌，ס쳌ܣ䁩ൌ
ͳ
ʹ ס쳌ܣ子ൌൌൌι，则可证明ܣܲ
ൌܣ쳌，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ子ൌܣ쳌，ס쳌ܣ䁩ൌ
ͳ
ʹ ס쳌ܣ子ൌൌൌι，
∵ܣܲ
ൌܣ子，
∴ܣܲ
ൌܣ쳌，
∴סܣܲ쳌ൌסܣ쳌ܲ
ൌ
ͳͺൌιെס쳌ܣܲ
ʹ
ൌʹι，
故选：D．
【变式1-2】如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，对角线ܣ䁩与쳌子相交于点O，ܱܧ٣ ܣ쳌，垂足为E，若ס쳌䁩子ൌൌൌι，
则ס쳌ܱܧ的大小为（
）
A．33 度
B．34 度
C．57 度
D．67 度
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，由菱形的性质可得סܣ쳌子ൌס䁩쳌子，ܣ䁩٣ 쳌子，ס쳌䁩ܱ
ൌ
ͳ
ʹ ס쳌䁩子ൌൌൌι，再结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形ܣ쳌䁩子为菱形，
∴סܣ쳌子ൌס䁩쳌子，ܣ䁩٣ 쳌子，ס쳌䁩ܱ
ൌ
ͳ
ʹ ס쳌䁩子ൌൌൌι，
∴סܣ쳌ܱ
ൌס䁩쳌ܱ
ൌͻൌι െס쳌䁩ܱ
ൌͷι，
∵ܱܧ٣ ܣ쳌，
∴ס쳌ܱܧൌͻൌι െסܱ쳌ܧൌൌൌι，
故选：A．
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题型2 利用菱形的性质求线段长
【例2】如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，按如下步骤作图：①分别以点䁩和点子为圆心，大于
ͳ
ʹ 䁩子长为半径作弧，
两弧交于点ܯ，䁡；②作直线ܯ䁡，与䁩子交于点ܧ，连接쳌ܧ，若ܣ子ൌʹ，直线ܯ䁡恰好经过点ܣ，则쳌ܧ
的长为_________．
【答案】
【分析】根据垂直平分线的性质可知䁩ܧൌܧ子ൌ
ͳ
ʹ 䁩子ܱסܣܧ子ൌͻൌι，再根据菱形的性质利用勾股定理可得
ܣܧൌ
ൌ，即可求出쳌ܧൌ
．
【详解】解：根据作图可知，直线ܯ䁡是线段䁩子的垂直平分线，
∴䁩ܧൌܧ子ൌ
ͳ
ʹ 䁩子ܱסܣܧ子ൌͻൌι，
∵在菱形ܣ쳌䁩子中，ܣ子ൌʹ，
∴ܣ쳌ൌ䁩子ൌܣ子ൌʹ，
∴䁩ܧൌܧ子ൌͳ，
∴在Rt ᇞܣ子ܧ中，ܣܧൌ
ܣ子ʹ െ子ܧʹ ൌ
ʹʹ െͳʹ ൌ
ൌ，
∵ܣ쳌∥䁩子，
∴ס쳌ܣܧൌסܣܧ子ൌͻൌι，
∴在Rt ᇞ쳌ܣܧ中，쳌ܧൌ
ܣܧʹ ܣ쳌ʹ ൌ
．
【技巧归纳】
已知一边长，即知所有边长
两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形
勾股定理必用：(݀
ͳ
ʹ )ʹ (݀
ʹ
ʹ )ʹ ൌܽ
ʹ（݀
ͳܱ݀
ʹ为对角线，ܽ
为边长）
60°角菱形：短对角线=边长，长对角线= ൌൈ边长
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【变式2-1】如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，对角线ܣ䁩，쳌子相交于点O，M、N 分别是边ܣ子、䁩子的中点，连接
ܯ䁡，ܱܯ．若ܯ䁡ൌൌ，ܵ菱形ܣ쳌䁩子ൌʹͶ，则ܱ
ܯ的长为_____________．
【答案】2.5
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线性质，直角三角形的性质、勾股定理，根据菱形的性质可
得ܣܱ
ൌ䁩ܱ
ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩，쳌ܱ
ൌ子ܱ
ൌ
ͳ
ʹ 쳌子，סܣܱ子ൌͻൌι，根据中位线定理可得ܣ䁩，由菱形的面积可得쳌子，
进而利用勾股定理可求出ܣ子，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求出ܱ
ܯ的长．
【详解】解：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ䁩٣ 쳌子，ܣܱ
ൌ䁩ܱ
ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩，쳌ܱ
ൌ子ܱ
ൌ
ͳ
ʹ 쳌子，
∴סܣܱ子ൌͻൌι，
∵ܯ䁡ൌൌ，点M、N 分别是边ܣ子、䁩子的中点，
∴ܣ䁩ൌʹܯ䁡ൌൌ，
∴ܣܱ
ൌ䁩ܱ
ൌൌ，
∵ܵ菱形ܣ쳌䁩子ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ڄ 쳌子ൌʹͶ，
∴쳌子ൌͺ，
∴子ܱ
ൌ쳌ܱ
ൌͶ，
∴ܣ子ൌ
ܣܱ
ʹ 子ܱ
ʹ ൌ
ൌʹ Ͷʹ ൌͷ，
∴ܱܯൌ
ͳ
ʹ ܣ子ൌʹ䀀ͷ，
故答案为：2.5．
【变式2-2】如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，点E、F 分别在边ܣ쳌、쳌䁩上，将ᇞ쳌ܧܨ沿ܧܨ翻折后，点B 的对应
点G 恰好落在边䁩子上，如果ܧܩ٣ 䁩子，쳌ܧൌͳൌ，子ܩൌൌ，那么ܣܧ的长为______．
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【答案】
ͻ
ͺ
【分析】作쳌ܪ٣ 䁩子交子䁩的延长线于点H，由ܧܩ٣ 䁩子得쳌ܪ∥ܧܩ，由四边形ܣ쳌䁩子是菱形，得ܣ쳌∥
䁩子，ܣ쳌ൌ쳌䁩ൌ䁩子，则四边形쳌ܧܩܪ是平行四边形，所以ܩܪൌ쳌ܧൌͳൌ，由折叠得ܩܧൌ쳌ܧൌͳൌ，则
쳌ܪൌܩܧൌͳൌ，所以子ܪൌ子ܩܩܪൌͳൌ，由勾股定理得ͳൌʹ ͳൌെܣ쳌ʹ ൌܣ쳌ʹ，求得ܣ쳌ൌ
ͺͻ
ͺ ，所以ܣܧൌ
ܣ쳌െ쳌ܧൌ
ͻ
ͺ，于是得到问题的答案．
【详解】解：作쳌ܪ٣ 䁩子交子䁩的延长线于点H，则סܪൌͻൌι，
∵ܧܩ٣ 䁩子，
∴쳌ܪ∥ܧܩ，
∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ쳌∥䁩子，ܣ쳌ൌ쳌䁩ൌ䁩子，
∴쳌ܧ∥ܩܪ，
∴四边形쳌ܧܩܪ是平行四边形，
∴ܩܪൌ쳌ܧൌͳൌ，
由折叠得ܩܧൌ쳌ܧൌͳൌ，
∴쳌ܪൌܩܧൌͳൌ，
∵子ܩൌൌ，
∴子ܪൌ子ܩܩܪൌͳൌ，
∵쳌ܪʹ 䁩ܪʹ ൌ쳌䁩ʹ，䁩ܪൌͳൌെ䁩子ൌͳൌെܣ쳌，
∴ͳൌʹ ͳൌെܣ쳌ʹ ൌܣ쳌ʹ，
解得ܣ쳌ൌ
ͺͻ
ͺ ，
∴ܣܧൌܣ쳌െ쳌ܧൌ
ͺͻ
ͺ െͳൌൌ
ͻ
ͺ．
题型3 利用菱形的性质求面积
【例3】如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，ܣ쳌ൌͳൌ，ܣ䁩쳌子ൌʹͺ，则菱形ܣ쳌䁩子的面积为（
）
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A．48
B．80
C．96
D．192
【答案】C
【分析】由菱形的性质得ܱ
ܣൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩，ܱ쳌ൌ
ͳ
ʹ 쳌子，ܣ䁩٣ 쳌子，再由勾股定理得ܱ
ܣʹ ܱ
쳌ʹ ൌܣ쳌ʹ ൌͳൌൌ，然
后求出ܱ
ܣܱ
쳌ൌͳͶ，则ܱ
ܣܱ
쳌ʹ ൌͳͻൌ，得ʹܱܣڄܱ
쳌ൌͻൌ，进而可得出答案．
【详解】解：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܱ
ܣൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩，ܱ쳌ൌ
ͳ
ʹ 쳌子，ܣ䁩٣ 쳌子，
∴סܣܱ쳌ൌͻൌι，
∴ܱܣʹ ܱ
쳌ʹ ൌܣ쳌ʹ ൌͳൌൌ，
∵ܣ䁩쳌子ൌʹͺ，
∴ܱ
ܣܱ
쳌ൌͳͶ，
∴ܱ
ܣܱ
쳌ʹ ൌͳͶʹ ൌͳͻൌ，
即ܱ
ܣʹ ʹܣܱ
ڄܱ
쳌ܱ
쳌ʹ ൌͳͻൌ，
∴ʹܱܣڄܱ
쳌ൌͳͻൌെͳൌൌൌͻൌ，
∴ܵ菱形ܣ쳌䁩子ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ڄ 쳌子ൌʹܱܣڄܱ
쳌ൌͻൌ．
【技巧归纳】
公式1：ܵ
ൌ底ൈ高（同平行四边形）
公式2：ܵ
ൌ
ͳ
ʹ݀
ͳ݀
ʹ（菱形特有，优先使用）
面积也等于四个直角三角形面积之和
利用面积相等可求高或底
【变式3-1】如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，ܣܧ٣ 쳌䁩于点ܧ，쳌䁩ൌͷ，ܣ䁩ൌൌ，则ܣܧ的长是（
）
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A．
ʹͶ
ͷ
B．6
C．
Ͷͺ
ͷ
D．12
【答案】A
【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的性质成为解题的关键．
由菱形的性质可得ܱ
䁩ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ൌൌ、쳌䁩ൌܣ쳌ൌͷ，再运用勾股定理可得ܱ
쳌ൌͶ，然后运用等面积法求解即
可．
【详解】解：∵在菱形ܣ쳌䁩子中，ܣ䁩ൌൌ，
∴ܱ䁩ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ൌൌ，쳌䁩ൌܣ쳌ൌͷ
∵쳌䁩ൌͷ，
∴ܱ쳌ൌ
쳌䁩ʹ െܱ
䁩ʹ ൌͶ，
∵ܵ菱形ܣ쳌䁩子ൌ쳌䁩ڄ ܣܧൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ڄ ʹܱ쳌，
∴ͷܣܧൌ
ͳ
ʹ ൈൌൈͺ，解得：ܣܧൌ
ʹͶ
ͷ ．
故选A．
【变式3-2】如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，对角线ܣ䁩ܱ쳌子相交于点ܱ
，点ܧ在线段쳌ܱ
上，连接ܣܧ，若ͷ쳌ܧൌൌ䁩子，
ס子ܣܧൌס子ܧܣ，ܧܱ
ൌͳ，则菱形ܣ쳌䁩子的面积等于（
）
A．12
B．24
C．48
D．96
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．设쳌ܧൌൌݔ，䁩子ൌͷݔ，根据菱形的性质得子ܧൌܱ
子ܱ
ܧൌൌݔ
ʹ，由ס子ܣܧൌס子ܧܣ得到ܣ子ൌ子ܧൌൌݔʹ，据此列式计算求得ݔൌͳ，再根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵ͷ쳌ܧൌൌ䁩子，
∴
쳌ܧ
䁩子ൌ
ൌ
ͷ，
设쳌ܧൌൌݔ，䁩子ൌͷݔ，
∵四边形ܣ쳌䁩子为菱形，
∴ܣ쳌ൌܣ子ൌ䁩子ൌͷݔ，ܱ쳌ൌܱ
子，ܱܣൌܱ
䁩，ܣ䁩٣ 쳌子，
∵ܧܱ
ൌͳ，
∴쳌ܱ
ൌܱ
子ൌൌݔͳ，子ܧൌܱ
子ܱ
ܧൌൌݔʹ，
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∵ס子ܣܧൌס子ܧܣ，
∴ܣ子ൌ子ܧൌൌݔʹ，
∴ͷݔൌൌݔʹ，
解得ݔൌͳ，
∴ܣ쳌ൌܣ子ൌͷ，ܱ쳌ൌܱ
子ൌͶ，쳌子ൌʹܱ子ൌͺ，
∴ܣܱ
ൌ
ܣ쳌ʹ െܱ
쳌ʹ ൌൌ，
∴ܣ䁩ൌʹܣܱ
ൌൌ，
∴菱形ܣ쳌䁩子的面积等于
ͳ
ʹ 쳌子ൈܣ䁩ൌʹͶ．
故选：B．
题型4 利用菱形的性质证明
【例4】如图，菱形ܣ쳌䁩子中，对角线ܣ䁩，쳌子相交于点O，延长ܣ子至点E 使得子ܧൌܱ
子，连接ܧܱ
并延
长交䁩쳌的延长线于点F．
(1)求证：ᇞܣܱܧ، ᇞ䁩ܱܨ；
(2)若䁩ܨൌͳͺ，ܱܣൌͳʹ，求ܱ
子的长．
【答案】(1)证明：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ子∥쳌䁩，ܱܣൌܱ
䁩，
∴סܧൌסܨ，
在ᇞܣܱܧ和ᇞ䁩ܱܨ中，
∵סܧൌסܨ，סܣܱܧൌס䁩ܱܨ，ܱܣൌܱ
䁩，
∴ᇞܣܱܧ، ᇞ䁩ܱܨAAS ．
(2)ܱ子ൌͷ
【分析】（1）利用菱形的性质、对顶角的性质等找到条件证明ᇞܣܱܧ، ᇞ䁩ܱܨ即可；
（2）利用菱形的性质得到ܣ䁩٣ 쳌子，设子ܧൌܱ
子ൌݔ，则ܣ子ൌͳͺ െݔ，在Rt ᇞܣܱ子中，由勾股定理得ܱ
ܣʹ ܱ
子ʹ ൌܣ子ʹ，列方程并解方程即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵ᇞܣܱܧ، ᇞ䁩ܱܨ，
∴ܣܧൌ䁩ܨൌͳͺ，
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∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ䁩٣ 쳌子，
设子ܧൌܱ
子ൌݔ，则ܣ子ൌͳͺ െݔ，
在Rt ᇞܣܱ子中，由勾股定理得ܱ
ܣʹ ܱ
子ʹ ൌܣ子ʹ，
即：ͳʹʹ ݔʹ ൌ(ͳͺ െݔ)ʹ，
解得ݔൌͷ，
∴ܱ
子ൌͷ．
【技巧归纳】
证线段相等：四边相等或对角线互相平分
证角相等：对角线平分对角或等腰三角形底角相等
证垂直：对角线互相垂直的性质
常用辅助线：连接对角线
【变式4-1】如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，ܯ为ܣ子边的中点，点䁡在ܣ쳌边上，סܣ䁡子ൌסܯ쳌䁩，子ܧ٣ 쳌䁩交
쳌䁩的延长线于点ܧ，若ܣ䁡ൌൌܱ쳌ܧൌͺ，求子ܧ的长．
【答案】Ͷ ʹ
【分析】本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形
的性质．
先证明ᇞܣ쳌ܯ، ᇞܣ子䁡，根据三角形全等的性质得出ܣܯൌܣ䁡ൌൌ，求出ܣ子ൌʹܣܯൌൌ，得出쳌䁩ൌ䁩子ൌ
ܣ子ൌൌ，求出䁩ܧൌ쳌ܧെ쳌䁩ൌͺ െൌൌʹ，根据勾股定理求出子ܧൌ
䁩子ʹ െ䁩ܧʹ ൌ
ൌʹ െʹʹ ൌͶ ʹ．
【详解】解：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ쳌ൌ쳌䁩ൌ䁩子ൌ子ܣܱܣ子∥쳌䁩，
∴סܣܯ쳌ൌסܯ쳌䁩，
∵סܣ䁡子ൌסܯ쳌䁩，
∴סܣ䁡子ൌסܣܯ쳌，
∵ܣ쳌ൌܣ子ܱסܣൌסܣ，
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∴ᇞܣ쳌ܯ، ᇞܣ子䁡AAS ，
∴ܣ䁡ൌܣܯൌൌ，
∵ܯ是ܣ子的中点，
∴ܣ子ൌൌ，
即ܣ쳌ൌ쳌䁩ൌ䁩子ൌ子ܣൌൌ，
∵쳌ܧൌͺ，
∴䁩ܧൌʹ，
∵子ܧ٣ 쳌䁩，
∴סܧൌͻൌι，
∴子ܧൌ
䁩子ʹ െ䁩ܧʹ ൌͶ ʹ．
【变式4-2】如图1，在菱形ܣ쳌䁩子中，ܣ쳌ൌʹ，ס쳌ൌൌൌι，点E 是ܣ子边上一动点，F 是ܣ쳌边上一动点，
且ܣܧൌ쳌ܨ，连接䁩ܧ、䁩ܨ．
(1)求证：䁩ܧൌ䁩ܨ；
(2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边쳌䁩上作点G，使得ܣܧൌ䁩ܩ．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】
（1）连接ܣ䁩，根据菱形的性质得到쳌ܣൌ쳌䁩ൌܣ子ൌ䁩子，ס쳌ൌס子ൌൌൌι，进而证明ᇞܣ쳌䁩和ᇞܣ䁩子
均为等边三角形，得到䁩ܣൌ䁩쳌，סܣ䁩쳌ൌס子ܣ䁩ൌൌൌι，证明ᇞܣܧ䁩، ᇞ쳌ܨ䁩SAS ，即可得到䁩ܧൌ䁩ܨ；
（2）连接ܣ䁩、쳌子交于点O，连接ܧܱ
并延长，交边쳌䁩于点G 即可．
【详解】（1）求证：连接ܣ䁩，如图所示：
∵四边形ܣ쳌䁩子为菱形，
∴쳌ܣൌ쳌䁩ൌܣ子ൌ䁩子，ס쳌ൌס子ൌൌൌι，
∴ᇞܣ쳌䁩和ᇞܣ䁩子均为等边三角形，
∴䁩ܣൌ䁩쳌，סܣ䁩쳌ൌס子ܣ䁩ൌൌൌι，
在ᇞܣ䁩ܧ和ᇞ䁩쳌ܨ中，
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ܣܧൌ쳌ܨ
סܧܣ䁩ൌס쳌
䁩ܣൌ䁩쳌
，
∴ᇞܣܧ䁩، ᇞ쳌ܨ䁩SAS ，
∴䁩ܧൌ䁩ܨ；
（2）解：如图所示，点ܩ即为所求：
证明：∵四边形ܣ쳌䁩子为菱形，
∴ܣܱ
ൌ䁩ܱ，ܣ子∥쳌䁩，
∴סܱܣܧൌסܱ䁩ܩ，
∵סܣܱܧൌס䁩ܱܩ，
∴ᇞܣܱܧ، ᇞ䁩ܱܩASA ，
∴ܣܧൌ䁩ܩ．
题型5 证明四边形是菱形
【例5】如图，在
ܣ쳌䁩子中，对角线ܣ䁩，쳌子交于点O，点E，F 分别是ܣ쳌，ܣ子的中点，连接ܧܨ交ܣ䁩
于点G，延长ܨܧ与䁩쳌的延长线交于点H，且ܣܧൌܣܨ．
(1)求证：四边形ܣ쳌䁩子是菱形；
(2)若סܪൌൌൌι，쳌ܪൌͶ，求䁩ܩ的长．
【答案】(1)证明：∵点E，F 分别是ܣ쳌，ܣ子的中点，
∴ܣܧൌ
ͳ
ʹ ܣ쳌，ܣܨൌ
ͳ
ʹ ܣ子，
∵ܣܧൌܣܨ，
∴
ͳ
ʹ ܣ쳌ൌ
ͳ
ʹ ܣ子，
∴ܣ쳌ൌܣ子，
又∵四边形ܣ쳌䁩子是平行四边形，
∴四边形ܣ쳌䁩子是菱形；
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(2)6
【分析】（1）由中点的定义得ܣܧൌ
ͳ
ʹ ܣ쳌，ܣܨൌ
ͳ
ʹ ܣ子，再由ܣܧൌܣܨ可得ܣ쳌ൌܣ子，再根据邻边相等的
平行四边形是菱形，即可得出结论；
（2）由中位线的性质得ܧܨ∥쳌子，证明四边形쳌子ܨܪ是平行四边形，则쳌ܪൌ子ܨൌͶ，ܣ子ൌʹ子ܨൌͺ，再
根据菱形的性质得쳌䁩ൌܣ쳌ൌͺ，쳌子٣ ܣ䁩，则ܧܨ٣ ܣ䁩，再根据含30 度角的直角三角形的性质求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ子∥ܪ䁩，
∵点E，F 分别是ܣ쳌，ܣ子的中点，
∴ܧܨ是ᇞܣ쳌子的中位线，
∴ܧܨ∥쳌子，
∴四边形쳌子ܨܪ是平行四边形，
∴쳌ܪൌ子ܨൌͶ，
∴ܣ子ൌʹ子ܨൌͺ，
∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴쳌䁩ൌܣ子ൌͺ，쳌子٣ ܣ䁩，
∴ܧܨ٣ ܣ䁩，
∴ס䁩ܩܪൌͻൌι，
∵סܪൌൌൌι，ܪ䁩ൌ쳌ܪ쳌䁩ൌͶ ͺ ൌͳʹ，
∴䁩ܩൌ
ͳ
ʹ ܪ䁩ൌൌ．
【技巧归纳】
已知是平行四边形：证一组邻边相等或对角线互相垂直
已知是任意四边形：证四条边都相等或对角线互相垂直平分
易错点：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须是平行四边形
【变式5-1】如图，在平行四边形ܣ쳌䁩子中，䁩ܧ٣ ܣ쳌，垂足为点ܧ，䁩ܨ٣ ܣ子，垂足为点ܨ，且쳌ܧൌ子ܨ．
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(1)求证：四边形ܣ쳌䁩子是菱形；
(2)若ס쳌䁩子ൌͳͳൌι，求סܧ䁩ܨ的度数．
【答案】(1)见解析
(2)ൌι
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到ס쳌ൌס子，证明ᇞ䁩ܧ쳌، ᇞ䁩ܨ子AAS ，得到쳌䁩ൌ䁩子，可知平行
四边形ܣ쳌䁩子是菱形；
（2）根据平行四边形的性质得到סܣൌס쳌䁩子ൌͳͳൌι，根据垂线的定义得到סܣܧ䁩ൌסܣܨ䁩ൌͻൌι，求出四
边形ܣܧ䁩ܨ内角和，即可求出סܧ䁩ܨ的度数．
【详解】（1）证明：∵四边形ܣ쳌䁩子是平行四边形，
∴ס쳌ൌס子，
∵䁩ܧ٣ ܣ쳌，䁩ܨ٣ ܣ子，
∴ס䁩ܧ쳌ൌס䁩ܨ子ൌͻൌι，
在ᇞ䁩ܧ쳌和ᇞ䁩ܨ子中，
ס쳌ൌס子
ס䁩ܧ쳌ൌס䁩ܨ子
쳌ܧൌ子ܨ
，
∴ᇞ䁩ܧ쳌، ᇞ䁩ܨ子AAS ，
∴쳌䁩ൌ䁩子，
又∵四边形ܣ쳌䁩子是平行四边形，
∴平行四边形ܣ쳌䁩子是菱形；
（2）解：∵四边形ܣ쳌䁩子是平行四边形，
∴סܣൌס쳌䁩子ൌͳͳൌι，
∵䁩ܧ٣ ܣ쳌，䁩ܨ٣ ܣ子，
∴סܣܧ䁩ൌסܣܨ䁩ൌͻൌι，
在四边形ܣܧ䁩ܨ中，内角和为Ͷ െʹ ൈͳͺൌι ൌൌൌൌι，
∴סܧ䁩ܨൌൌൌൌι െסܣെסܣܧ䁩െסܣܨ䁩ൌൌൌൌι െͳͳൌι െͻൌι െͻൌι ൌൌι．
【变式5-2】如图，在四边形ܣ쳌䁩子中，ܣ子∥쳌䁩，ܣ쳌ൌܣ子，对角线ܣ䁩平分ס쳌ܣ子，过点子作子ܧ٣ 쳌䁩，
垂足为ܧ．
(1)求证：四边形ܣ쳌䁩子为菱形；
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(2)若쳌ܧൌͺ，子ܧൌͶ，求䁩子的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)ͷ
【分析】（1）根据菱形的判定定理，先由题干条件证明四边形ܣ쳌䁩子为平行四边形，再结合ܣ쳌ൌܣ子即
可证明四边形ܣ쳌䁩子为菱形；
（2）设䁩子ൌݔ，由四边形ܣ쳌䁩子为菱形，可得䁩ܧൌͺ െݔ，再在Rt ᇞ子ܧ䁩中，用勾股定理列方程求解即
可．
【详解】（1）证明：∵ܣ子∥쳌䁩，
∴ס子ܣ䁩ൌס쳌䁩ܣ．
∵对角线ܣ䁩平分ס쳌ܣ子，
∴ס쳌ܣ䁩ൌס子ܣ䁩ൌס쳌䁩ܣ，
∴ܣ쳌ൌ쳌䁩．
∵ܣ쳌ൌܣ子，
∴쳌䁩ൌܣ子，且ܣ子∥쳌䁩，
∴四边形ܣ쳌䁩子为平行四边形，且ܣ쳌ൌܣ子，
∴四边形ܣ쳌䁩子为菱形．
（2）设䁩子ൌݔ，
由（1）得四边形ܣ쳌䁩子为菱形，
∴쳌䁩ൌ䁩子ൌݔ．
∵쳌ܧൌͺ，子ܧൌͶ，
∴䁩ܧൌ쳌ܧെ쳌䁩ൌͺ െݔ，
∵子ܧ٣ 쳌䁩，垂足为ܧ，
∴在Rt ᇞ子ܧ䁩中，子ܧʹ 䁩ܧʹ ൌ䁩子ʹ，即Ͷʹ ݔെͺ ʹ ൌݔʹ，
解得ݔൌͷ，
∴䁩子的长为ͷ．
题型6 根据菱形的性质与判定求角度
【例6】柯同学按如下步骤作四边形ܣ쳌䁩子．第一步：画סܯܣ䁡；第二步：以点ܣ为圆心，ͳ 个单位长度为
半径画弧，分别交ܣܯ，ܣ䁡于点쳌，子；第三步：分别以点쳌，子为圆心，ͳ 个单位长度为半径画弧，两弧
交于点䁩；第四步：连结쳌䁩，䁩子，쳌子．
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(1)由以上作图可知，四边形ܣ쳌䁩子的形状是________．
(2)若סܣൌͶൌι，求ס䁩쳌子的度数．
【答案】(1)菱形
(2)ൌι
【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱形的性质得到ܣ子∥쳌䁩ܱסܣ쳌子ൌס䁩쳌子，由平行得到סܯ쳌䁩ൌסܣൌͶൌι，再由邻补角即可求解．
【详解】（1）解：由作图可得ܣ쳌ൌܣ子ൌ쳌䁩ൌ子䁩，
∴四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
（2）解：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ子∥쳌䁩ܱסܣ쳌子ൌס䁩쳌子，
∵סܣൌͶൌι，
∴סܯ쳌䁩ൌסܣൌͶൌι，
∴ס䁩쳌子ൌ
ͳ
ʹ ͳͺൌι െסܯ쳌䁩ൌ
ͳ
ʹ ͳͺൌι െͶൌι ൌൌι．
【技巧归纳】
第一步：严格按题型5 的方法证明四边形是菱形
第二步：利用对角线平分对角、邻角互补、等腰三角形性质求角
出现30°、45°、60°时，直接用特殊三角形角度关系
【变式6-1】如图，按照以下步骤作四边形ܣ쳌䁩子：ᬅ画סܧܣܨ；ᬆ以点ܣ为圆心，ʹ cm 为半径画弧，分别
交ܣܧ，ܣܨ于点쳌，子；ᬇ分别以点쳌，子为圆心，ʹ cm 为半径画弧，两弧交于点䁩；ᬈ连接쳌䁩，䁩子，쳌子．若
סܣ쳌子ൌൌι，则ס䁩ൌ（
）
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A．ൌൌι
B．ͷൌι
C．Ͷͷι
D．Ͷൌι
【答案】D
【分析】根据作图步骤可得ܣ쳌ൌܣ子ൌ쳌䁩ൌ䁩子，判定四边形ܣ쳌䁩子为菱形，利用等腰三角形性质求出סܣ，
再根据菱形对角相等求解．
【详解】由作图步骤可知：ܣ쳌ൌܣ子ൌʹ，쳌䁩ൌ䁩子ൌʹ，
∴ܣ쳌ൌܣ子ൌ쳌䁩ൌ䁩子，סܣ子쳌ൌסܣ쳌子ൌൌι，
∴四边形ܣ쳌䁩子是菱形，סܣൌͳͺൌι െסܣ쳌子െסܣ子쳌ൌͳͺൌι െൌι െൌι ൌͶൌι，
∴ס䁩ൌסܣൌͶൌι．
【变式6-2】已知：如图，在ᇞܣ쳌䁩中，子，ܧ分别是边ܣ쳌，ܣ䁩的中点，连接子ܧ．ܣܨ∥쳌䁩，且ܣܨൌ
ͳ
ʹ 쳌䁩，
连接子ܨ．
(1)求证：四边形ܣܨ子ܧ是平行四边形；
(2)如果ܣ쳌ൌܣ䁩，ס쳌ܣ䁩ൌൌൌι，求证：ܣ子٣ ܧܨ．
【答案】(1)证明：∵子，ܧ分别是边ܣ쳌，ܣ䁩的中点，
∴子ܧ是ᇞܣ쳌䁩的中位线，
∴子ܧ∥쳌䁩，子ܧൌ
ͳ
ʹ 쳌䁩．
∵ܣܨ∥쳌䁩，ܣܨൌ
ͳ
ʹ 쳌䁩．
∴子ܧ∥ܣܨ，子ܧൌܣܨ．
∴四边形ܣܨ子ܧ是平行四边形．
(2)∵ܣ쳌ൌܣ䁩，ס쳌ܣ䁩ൌൌൌι．
∴ᇞܣ쳌䁩是等边三角形．
∴ܣ䁩ൌ쳌䁩．
由子，ܧ分别是边ܣ쳌，ܣ䁩的中点，得子ܧൌ
ͳ
ʹ 쳌䁩ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ൌܣܧ．
∵四边形ܣܨ子ܧ是平行四边形，
∴四边形ܣܨ子ܧ是菱形．
∴ܣ子٣ ܧܨ．
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【分析】（1）根据中位线的性质得出子ܧ∥쳌䁩，子ܧൌ
ͳ
ʹ 쳌䁩，然后结合题意及平行四边形的判定即可证明；
（2）根据题意得出ᇞܣ쳌䁩是等边三角形，再由中位线的性质确定子ܧൌ
ͳ
ʹ 쳌䁩ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ൌܣܧ，结合菱形的判
定和性质即可证明
题型7 根据菱形的性质与判定求线段长
【例7】如图，
ܣ쳌䁩子中，点ܧ，ܨ分别在边쳌䁩，䁩子上，且쳌ܧൌ子ܨ，连接ܣܧ，ܣܨ．
(1)请添加一个条件，使得ᇞܣ쳌ܧ، ᇞܣ子ܨ，并加以证明．
(2)在（1）的条件下，连接ܧܨ，若ס䁩ൌͳʹൌι，䁩ܧൌʹ，求ܧܨ的长．
【答案】(1)ܣ쳌ൌܣ子，见解析
(2)ܧܨൌʹ ൌ
【分析】（1）可添加ܣ쳌ൌܣ子，然后利用平行四边形的性质即可证明结论；
（2）先证明
ܣ쳌䁩子是菱形，进而可得䁩쳌ൌ䁩子，得到䁩ܧൌ䁩ܨ，求出ס䁩ܧܨൌס䁩ܨܧൌൌൌι，作䁩ܯ٣ ܧܨ
于点M，再利用等腰三角形的性质结合勾股定理即可得解．
【详解】（1）解：可添加：ܣ쳌ൌܣ子，
证明：∵
ܣ쳌䁩子，
∴ס쳌ൌס子，
在ᇞܣ쳌ܧ，ᇞܣ子ܨ中，
ܣ쳌ൌܣ子
ס쳌ൌס子
쳌ܧൌ子ܨ
∴ᇞܣ쳌ܧ، ᇞܣ子ܨSAS ；
（2）解：∵ܣ쳌ൌܣ子，四边形ܣ쳌䁩子是平行四边形，
∴
ܣ쳌䁩子是菱形，
∴䁩쳌ൌ䁩子，
∵쳌ܧൌ子ܨ，
∴䁩ܧൌ䁩ܨ，
∵ס䁩ൌͳʹൌι，
∴ס䁩ܧܨൌס䁩ܨܧൌൌൌι，
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作䁩ܯ٣ ܧܨ于点M，如图，
则ܧܯൌܨܯൌ
ͳ
ʹ ܧܨ，䁩ܯൌ
ͳ
ʹ 䁩ܧൌͳ，
在直角三角形䁩ܧܯ中，ܧܯൌ
ʹʹ െͳʹ ൌ
ൌ，
∴ܧܨൌʹܧܯൌʹ ൌ．
【技巧归纳】
第一步：证明四边形是菱形，得到四边相等和对角线垂直平分
第二步：在直角三角形中用勾股定理或特殊三角形性质计算
常见类型：已知两对角线求边长，已知边长和一条对角线求另一条
利用菱形的轴对称性找相等线段
【变式7-1】在
ܣ쳌䁩子中，סܣ쳌䁩ൌͶͷι，过ܣ作ܣܧ٣ 䁩子于ܧ，连接쳌ܧ，延长ܧܣ至ܨ，使䁩ܧൌܣܨ，
连接子ܨ．
(1)求证：子ܨൌ쳌ܧ；
(2)若子ܨൌ
ൌͶ，ܣ子ൌൌʹ，求四边形ܣ子ܧ쳌的周长．
【答案】(1)见解析
(2)ͺ ൌʹ
ൌͶ
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得ܣ쳌ൌܧܨ，子ܧൌܣܧ，
是解决问题的关键．
（1）由已知证得ܣ쳌ൌܧܨ，子ܧൌܣܧ，根据全等三角形的判定证得ᇞܨ子ܧ، ᇞ쳌ܧܣ，根据全等三角形的性
质可得结论；
（2）由勾股定理得求得子ܧൌൌ，ܧܨൌͷ，由（1）知，ܣ쳌ൌܧܨ，쳌ܧൌ子ܨ，即可求得结论．
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【详解】（1）证明：∵ܣܧ٣ 䁩子，
∴סܨܧ子ൌͻൌι，
∵四边形ܣ쳌䁩子是平行四边形，סܣ쳌䁩ൌͶͷι，ܣ쳌ൌ子䁩，
∴ס쳌ܣܧൌסܨܧ子ൌͻൌι，סܣ子ܧൌסܣ쳌䁩ൌͶͷι，
∴ܣܧൌ子ܧ，
∵䁩ܧൌܣܨ，
∴ܣ쳌ൌܧܨ，
在ᇞܨ子ܧ和ᇞ쳌ܧܣ中，
子ܧൌܣܧ
סܨܧ子ൌס쳌ܣܧ
ܧܨൌܣ쳌
，
∴ᇞܨ子ܧ، ᇞ쳌ܧܣ(SAS)，
∴子ܨൌ쳌ܧ；
（2）解：在Rt ᇞܣ子ܧ中，ܣܧൌ子ܧ，ܣ子ൌൌʹ，
∴子ܧൌ
ʹ
ʹ ܣ子ൌൌ，
在Rt ᇞܨ子ܧ中，子ܧൌൌ，子ܨൌ
ൌͶ，
∴ܧܨൌ
子ܨʹ െ子ܧʹ ൌ
( ൌͶ)ʹ െൌʹ ൌͷ，
由（1）知，ܣ쳌ൌܧܨൌͷ，쳌ܧൌ子ܨൌ
ൌͶ，
∴四边形ܣ子ܧ쳌的周长为：ܣ子子ܧ쳌ܧܣ쳌ൌൌʹ ൌ
ൌͶ ͷ ൌͺ ൌʹ
ൌͶ．
【变式7-2】如图，ᇞܣ쳌䁩中，ܣ쳌ൌܣ䁩ൌͳ，ס쳌ܣ䁩ൌͶͷι，ᇞܣܧܨ是由ᇞܣ쳌䁩绕点A 按顺时针方向旋转
得到的，连接쳌ܧ、䁩ܨ相交于点D．
(1)求证：쳌ܧൌ䁩ܨ；
(2)若ܣ䁩∥쳌ܧ，求䁩ܨ的长．
【答案】(1)见解析
(2) ʹ
【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，
熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）结合旋转的性质可得ܣܧൌܣ쳌，ܣܨൌܣ䁩，סܧܣܨൌס쳌ܣ䁩，进而证明סܧܣ쳌ൌסܨܣ䁩，然后利用“SAS”
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证明ᇞܣܧ쳌، ᇞܣܨ䁩，由全等三角形的性质即可证明结论；
（2）首先证明四边形ܣ䁩子ܧ为菱形，易得子ܧൌܣܧൌܣ䁩ൌܣ쳌ൌͳ，再证明ᇞܣ쳌ܧ为等腰直角三角形，然
后由勾股定理解得쳌ܧൌ
ʹ，即可获得答案．
【详解】（1）证明：∵ᇞܣܧܨ由ᇞܣ쳌䁩绕点ܣ按顺时针方向旋转得到，
∴ܣܧൌܣ쳌，ܣܨൌܣ䁩，סܧܣܨൌס쳌ܣ䁩，
∴סܧܣܨס쳌ܣܨൌס쳌ܣ䁩ס쳌ܣܨ，即סܧܣ쳌ൌסܨܣ䁩，
∵ܣ쳌ൌܣ䁩，
∴ܣ쳌ൌܣ䁩ൌܣܧൌܣܨ，
在ᇞܣܧ쳌和ᇞܣܨ䁩中，
ܣܧൌܣܨ
סܧܣ쳌ൌסܨܣ䁩
ܣ쳌ൌܣ䁩
，
∴ᇞܣܧ쳌، ᇞܣܨ䁩SAS ，
∴쳌ܧൌ䁩ܨ；
（2）解：∵ᇞܣܧ쳌، ᇞܣܨ䁩，
∴סܣܧ쳌ൌסܣܨ䁩ܱסܣ쳌ܧൌסܣ䁩ܨ，
∵ܣ쳌ൌܣ䁩ൌܣܧൌܣܨ，
∴סܣܧ쳌ൌסܣ쳌ܧൌסܣܨ䁩ൌסܣ䁩ܨ，
∵ܣ䁩∥쳌ܧ，
∴ס䁩ܣܧסܣܧ쳌ൌͳͺൌι，
∴ס䁩ܣܧסܣ䁩ܨൌͳͺൌι，
∴ܣܧ∥䁩子，
∴四边形ܣ䁩子ܧ为平行四边形，
又∵ܣ䁩ൌܣܧ，
∴四边形ܣ䁩子ܧ为菱形，
∵ܣ쳌ൌܣ䁩ൌͳ，
∴子ܧൌܣܧൌܣ䁩ൌܣ쳌ൌͳ，
∵ܣ䁩∥쳌ܧ，ס쳌ܣ䁩ൌͶͷι，
∴סܣ쳌ܧൌס쳌ܣ䁩ൌͶͷι，
∴סܣܧ쳌ൌסܣ쳌ܧൌͶͷι，
∴ᇞܣ쳌ܧ为等腰直角三角形，
∴쳌ܧൌ
ܣܧʹ ܣ쳌ʹ ൌ
ͳʹ ͳʹ ൌ
ʹ，
∴䁩ܨൌ쳌ܧൌ
ʹ．
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题型8 根据菱形的性质与判定求面积
【例8】如图，在四边形ܣ쳌䁩子中，ܣ쳌∥䁩子，ܣ쳌ൌ䁩子，过点ܣ作ܣܧ٣ 쳌䁩，交䁩쳌的延长线于点ܧ，连
接子쳌，쳌子平分סܣ쳌䁩．
(1)求证：四边形ܣ쳌䁩子是菱形；
(2)过点子作子ܨ٣ ܣ쳌于点ܨ，延长子ܨ交ܣܧ于点ܩ．若ܣ子ൌͶ，ס쳌ܣܧൌൌൌι，求四边形ܣܧ䁩子的面积．
【答案】(1)
证明：∵ܣ쳌∥䁩子，ܣ쳌ൌ䁩子，
∴四边形ܣ쳌䁩子是平行四边形，
∴ܣ子∥쳌䁩，
∴סܣ子쳌ൌס子쳌䁩，
∵쳌子平分סܣ쳌䁩，
∴סܣ쳌子ൌס子쳌䁩
∴סܣ子쳌ൌסܣ쳌子，
∴ܣ쳌ൌܣ子
∴四边形ܣ쳌䁩子是菱形；
(2)ͳൌൌ
【分析】（1）由ܣ쳌∥䁩子且ܣ쳌ൌ䁩子得四边形ܣ쳌䁩子为平行四边形，再通过导角证明סܣ子쳌ൌסܣ쳌子，得
ܣ쳌ൌܣ子，即可证明四边形ܣ쳌䁩子是菱形．
（2）由菱形得ܣ쳌ൌܣ子ൌͶ，在Rt ᇞܣܧ쳌中利用ൌൌι得쳌ܧൌʹ、ܣܧൌʹ ൌ，从而ܧ䁩ൌൌ，代入梯形面积
公式求四边形ܣܧ子䁩的面积．
【详解】（1）略
（2）解：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ쳌ൌ쳌䁩ൌܣ子ൌͶ，
∵ܣܧ٣ 쳌䁩，
∴סܧൌͻൌι，
在Rt ᇞܣܧ쳌中，ס쳌ܣܧൌൌൌι，
∴쳌ܧൌ
ͳ
ʹ ܣ쳌ൌʹ，ܣܧൌ
ܣ쳌ʹ െ쳌ܧʹ ൌʹ ൌ
∴ܧ䁩ൌ쳌ܧ쳌䁩ൌʹ Ͷ ൌൌ，
∴四边形ܣܧ䁩子的面积ܵ
ൌ
ͳ
ʹ (ܣ子ܧ䁩) ڄ ܣܧൌ
ͳ
ʹ ൈ(Ͷ ൌ) ൈʹ ൌൌͳൌൌ．
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【技巧归纳】
第一步：证明四边形是菱形
第二步：已知底和高用底×高，已知两条对角线用
ͳ
ʹ݀
ͳ݀
ʹ
技巧：对角线互相垂直的任意四边形，面积都等于
ͳ
ʹ݀
ͳ݀
ʹ
利用面积法可求斜边上的高
【变式8-1】如图，ᇞܣ쳌䁩中，쳌ܣൌ쳌䁩，쳌子平分סܣ쳌䁩，点ܧ，ܨ分别是ܣ쳌，쳌䁩的中点．
(1)求证：四边形子ܧ쳌ܨ是菱形；
(2)连接ܧܨ交쳌子于点ܩ，如果四边形子ܧ쳌ܨ的周长为ʹൌܱܧܨ쳌子ൌͳͶ，求四边形子ܧ쳌ܨ的面积．
【答案】(1)见解析
(2)ʹͶ
【分析】（1）根据中位线可知四条边相等，即可证明是菱形；
（2）设ܧܨൌʹݔܱ쳌子ൌʹݕ，根据勾股定理可构造等量关系，从而可得ʹݔݕൌʹͶ，即可得面积．
【详解】（1）证明：∵쳌ܣൌ쳌䁩ܱ쳌子平分סܣ쳌䁩，
∴쳌子٣ ܣ䁩，且点子是ܣ䁩的中点．
∵点ܧܱܨ分别是ܣ쳌ܱ쳌䁩的中点，
∴在Rt ᇞܣ쳌子中，子ܧൌ
ͳ
ʹ ܣ쳌ൌ쳌ܧ，
在Rt ᇞ䁩쳌子中，子ܨൌ
ͳ
ʹ 쳌䁩ൌ쳌ܨ．
又∵쳌ܣൌ쳌䁩，点ܧ，ܨ分别是ܣ쳌ܱ쳌䁩的中点，
∴쳌ܧൌ쳌ܨ，
∴쳌ܧൌ쳌ܨൌ子ܧൌ子ܨ，
∴四边形子ܧ쳌ܨ是菱形．
（2）解：∵菱形子ܧ쳌ܨ的周长为20，
∴쳌ܧൌͷ，
设ܧܨൌʹݔܱ쳌子ൌʹݕ，则ʹݔʹݕൌͳͶ，即ݔݕൌ．
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∴ݔʹ ʹݔݕݕʹ ൌͶͻᬅ，
∵쳌子٣ ܧܨ于点ܩ，
∴在Rt ᇞ쳌ܧܩ中，쳌ܩʹ ܧܩʹ ൌ쳌ܧʹ，
∴ݔʹ ݕʹ ൌʹͷᬆ，
把ᬆ代入ᬅ，可得ʹݔݕൌʹͶ，
∴菱形子ܧ쳌ܨ的面积为ܵ菱形子ܧ쳌ܨൌʹݔݕൌʹͶ．
【变式8-2】如图，在Rt ᇞܣ쳌䁩中，ס쳌ൌͻൌι，쳌䁩ൌͷ ൌ，ס䁩ൌൌൌι．点D 从点C 出发沿䁩ܣ方向以每秒
2 个单位长度的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿ܣ쳌方向以每秒1 个单位长度的速度向点B
匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E 运动的时间是t 秒（ݐ㈠ൌ）．过
点D 作子ܨ٣ 쳌䁩于点F，连接子ܧ，ܧܨ．
(1)ܣܧ的长为，子ܨ的长为（用含t 的代数式表示）；
(2)四边形ܣܧܨ子能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由；
(3)当t 为何值时，ᇞ子ܧܨ为直角三角形？请说明理由．
【答案】(1)t，t
(2)能，ݐൌ
ͳൌ
ൌ
(3)当ݐൌ
ͷ
ʹ或4 时，ᇞ子ܧܨ为直角三角形，理由见解析
【分析】
（1）首先根据题意得到ܣܧൌݐ，䁩子ൌʹݐ，然后根据含30 度角直角三角形的性质得到子ܨൌ
ͳ
ʹ 䁩子ൌݐ；
（2）首先得出四边形ܣܧܨ子为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出ܣܧൌܣ子时，求出t 的值，进
而得出答案；
（3）根据题意分三种情况讨论，ᬅ当סܧ子ܨൌͻൌι时；ᬆ当ס子ܧܨൌͻൌι时；ᬇ当סܧܨ子ൌͻൌι时，分别分
析得出即可．
【详解】（1）解：∵点E 从点A 出发沿ܣ쳌方向以每秒1 个单位长度的速度向点B 匀速运动
∴ܣܧൌݐ
∵点D 从点C 出发沿䁩ܣ方向以每秒2 个单位长度的速度向点A 匀速运动
∴䁩子ൌʹݐ
∵子ܨ٣ 쳌䁩，ס䁩ൌൌൌι
∴子ܨൌ
ͳ
ʹ 䁩子ൌݐ；
（2）解：能．理由如下：
∵ܣܧൌݐ，子ܨൌݐ
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∴ܣܧൌ子ܨ
∵ܣ쳌٣ 쳌䁩，子ܨ٣ 쳌䁩
∴ܣܧ∥子ܨ
∴四边形ܣܧܨ子为平行四边形
若使平行四边形ܣܧܨ子为菱形，则需ܣܧൌܣ子
∵쳌䁩ൌͷ ൌ，ס䁩ൌൌൌι，
∴ܣ쳌ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩，ܣ쳌ʹ 쳌䁩ʹ ൌܣ䁩ʹ
∴
ͳ
ʹ ܣ䁩
ʹ
ͷ ൌ
ʹ ൌܣ䁩ʹ
∴ܣ䁩ൌͳൌ
∴ܣ子ൌܣ䁩െ䁩子ൌͳൌെʹݐ
根据ܣܧൌܣ子，可得ݐൌͳൌെʹݐ，
解得ݐൌ
ͳൌ
ൌ．
即当ݐൌ
ͳൌ
ൌ时，四边形ܣܧܨ子为菱形；
（3）解：ᬅ当סܧ子ܨൌͻൌι时，即有ܧ子٣ 子ܨ，如图
∴סܧ子ܨൌס子ܨ䁩ൌͻൌι
∴子ܧ∥쳌䁩
∴סܣ子ܧൌס䁩ൌൌൌι
∴在Rt ᇞܣ子ܧ中，ܣܧൌ
ͳ
ʹ ܣ子
∵ܣܧൌݐ，ܣ子ൌͳൌെʹݐ
∴ݐൌ
ͳ
ʹ ͳൌെʹݐ，
∴ݐൌ
ͷ
ʹ；
ᬆ当ס子ܧܨൌͻൌι时，即ܧ子٣ ܧܨ，如图
由（2）得，四边形ܣܧܨ子为平行四边形，
∴ܧܨ∥ܣ子
∴סܧܨ쳌ൌס䁩ൌൌൌι
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∴ס쳌ܧܨൌͻൌι െൌൌι ൌൌൌι
∴סܣܧ子ൌͳͺൌι െס쳌ܧܨെס子ܧܨൌൌൌι
∴ܣ子ൌ
ͳ
ʹ ܣܧ
∴ͳൌെʹݐൌ
ͳ
ʹ ݐ，
解得ݐൌͶ；
ᬇ当סܧܨ子ൌͻൌι时，此种情况不存在．
综上所述，当ݐൌ
ͷ
ʹ或ݐൌͶ 时，ᇞ子ܧܨ为直角三角形．
一、单选题
1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，若סܣ쳌䁩ൌͳൌൌιܱ쳌ܣൌ쳌ܧ，则ס쳌ܧܣ的度数为（
）
A．ൌൌι
B．ൌͷι
C．ൌι
D．ͷι
【答案】B
【分析】根据菱形的对角线平分每一组对角，以及等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴סܣ쳌子ൌס䁩쳌子ൌ
ͳ
ʹ סܣ쳌䁩ൌ
ͳ
ʹ ൈͳൌൌι ൌͷൌι
，
∵쳌ܣൌ쳌ܧ
∴ס쳌ܧܣൌס쳌ܣܧൌ
ͳ
ʹ ͳͺൌι െסܣ쳌子ൌ
ͳ
ʹ ൈͳͺൌι െͷൌι ൌൌͷι．
2．（2026·广东深圳·二模）小馨同学按如下步骤作四边形ܣ쳌䁩子；（1）画סܯܣ䁡；（2）以点ܣ为圆心，1
个单位长为半径画弧，分别交ܣܯ，ܣ䁡于点쳌，子；（3）分别以点쳌，子为圆心，1 个单位长为半径画弧，
两弧交于点䁩；（4）连接쳌䁩，䁩子，쳌子．若סܣൌͶͺι，则ס䁩쳌子的大小是（
）
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A．ൌͶι
B．ൌͷι
C．ൌൌι
D．ൌι
【答案】C
【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形ܣ쳌䁩子是菱形，进而根据菱形的
性质，即可求解．
【详解】解：作图可得ܣ쳌ൌܣ子ൌ쳌䁩ൌ子䁩，
∴四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ子∥쳌䁩ܱסܣ쳌子ൌס䁩쳌子，
∵סܣൌͶͺι，
∴סܯ쳌䁩ൌסܣൌͶͺι，
∴ס䁩쳌子ൌ
ͳ
ʹ ͳͺൌι െסܯ쳌䁩ൌ
ͳ
ʹ ͳͺൌι െͶͺι ൌൌൌι．
3．（2026·广东深圳·二模）如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案．根据国家标准《道
路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度ܣ䁩为ͳ䀀ͷm，纵向长度쳌子为ൌm，则菱形ܣ쳌䁩子
的边长是(
)
A．
ൌͷ
ʹ m
B．
ൌͷ
Ͷ m
C．
ൌൌ
Ͷ m
D．ൌͷm
【答案】B
【分析】由菱形的性质推出ܣ䁩٣ 쳌子，ܣܱ
ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ൌ
ൌ
Ͷ，ܱ子ൌ
ͳ
ʹ 쳌子ൌ
ൌ
ʹ，由勾股定理求出ܣ子，即可得到答
案．
【详解】解：连接ܣ䁩、쳌子交于ܱ
，
∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ䁩٣ 쳌子，ܣܱ
ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩，，
∵ܣ䁩ൌͳ䀀ͷm，쳌子ൌൌm ，
∴ܣܱ
ൌ
ൌ
Ͷ m，ܱ子ൌ
ൌ
ʹ m ，
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∵סܣܱ子ൌͻൌι，
∴ܣ子ൌ
ܣܱ
ʹ ܱ
子ʹ ൌ
ൌͷ
Ͷ
m ，
4．（2026·河南开封·二模）如图，在
ܣ쳌䁩子中，ܣ䁩与쳌子交于点ܱ
，点ܧ为ܣ子的中点．若סܣܱܧൌסܱܣܧ，
对角线쳌子ൌൌ，
ܣ쳌䁩子面积为24，则
ܣ쳌䁩子的周长为（
）
A．20
B．24
C．28
D．30
【答案】A
【分析】根据等边对等角得出ܣܧൌܱ
ܧ，根据平行四边形的性质得出子ܱ
ൌ쳌ܱ，根据三角形的中位线定理
得出ܱ
ܧൌ
ͳ
ʹ ܣ쳌，结合已知可得出ܣ쳌ൌܣ子，则
ܣ쳌䁩子是菱形，根据菱形的面积可求出ܣ䁩ൌͺ，进而求
出子ܱ
ൌൌ，ܣܱ
ൌͶ，根据勾股定理求出ܣ쳌ൌͷ，即可求解．
【详解】解：∵סܣܱܧൌסܱܣܧ，
∴ܣܧൌܱ
ܧ，
∵
ܣ쳌䁩子，
∴子ܱ
ൌ쳌ܱ
ൌ
ͳ
ʹ 쳌子，ܣܱ
ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩，
∵点ܧ为ܣ子的中点，
∴子ܧൌܣܧൌ
ͳ
ʹ ܣ子，
∴ܱܧൌ
ͳ
ʹ ܣ쳌，
∴ܣ쳌ൌܣ子，
∴
ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ䁩٣ 쳌子，
∵
ܣ쳌䁩子面积为24，쳌子ൌൌ，
∴
ͳ
ʹ ܣ䁩ൈൌൌʹͶ，
∴ܣ䁩ൌͺ，
∵子ܱ
ൌ쳌ܱ
ൌ
ͳ
ʹ 쳌子，ܣܱ
ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩，
∴子ܱ
ൌൌ，ܣܱ
ൌͶ，
∴ܣ쳌ൌ
ܣܱ
ʹ 子ܱ
ʹ ൌͷ，
∴菱形ܣ쳌䁩子的周长为ͷ ൈͶ ൌʹൌ．
5．（2026·河北邢台·模拟预测）按照下列步骤作图，得到下图：
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①任意画两条相交直线݉
，n，记交点为ܱ
；
②以点ܱ
为圆心，分别在直线m，n 上截取ܱ
쳌与ܱ
子，ܱܣ与ܱ
䁩．使ܱ
쳌ൌܱ
子ܱܱ
ܣൌܱ
䁩；
③顺次连接A，B，C，D 得到四边形ܣ쳌䁩子．
若添加下列一个条件后，使得四边形ܣ쳌䁩子是菱形，则这个条件是（
）
A．ܣ쳌٣ 쳌䁩
B．סܣܱ쳌ൌൌൌι
C．݉
٣݊
D．ܱܣൌܱ
쳌
【答案】C
【分析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可．
【详解】解：∵ܱܣൌܱ
䁩，ܱ쳌ൌܱ
子，
∴四边形ܣ쳌䁩子是平行四边形，
A、添加ܣ쳌٣ 쳌䁩，此时平行四边形变为矩形，不是菱形；
B、添加סܣܱ쳌ൌൌൌι，无法推出对角线垂直或邻边相等，不能判定为菱形；
C、添加݉
٣݊
，即ܣ䁩٣ 쳌子，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定为菱形；
D、添加ܱ
ܣൌܱ
쳌，则ܣ䁩ൌ쳌子，此时平行四边形是矩形，不是菱形；
所以正确条件是选项C．
6．（2026·湖北孝感·三模）如图，菱形ܣ쳌䁩子的顶点B，D 在y 轴上，若ܣൌܱͳ ，则点C 的坐标为（
）
A．ൌܱെͳ
B．െൌܱͳ
C．ͳܱെൌ
D．െͳܱൌ
【答案】B
【详解】解：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴菱形ܣ쳌䁩子是轴对称图形，
且B、D 在y 轴上，
∴A、C 关于y 轴对称，
∵ܣൌܱͳ ，
∴䁩െൌܱͳ ．
7．（2026·河北·二模）问题：如图，四边形ܣ쳌䁩子是菱形，ܧ，ܨ是直线ܣ䁩上两点，ܣܨൌ䁩ܧ．求证：四
边形ܨ쳌ܧ子是菱形．甲、乙两名同学对这个问题，给出了如下解题思路：
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甲：利用全等三角形的知识，证明四边形ܨ쳌ܧ子的四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接쳌子，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形ܨ쳌ܧ子是菱形．
其中正确的是（
）
A．甲、乙都对
B．甲对、乙错
C．甲错、乙对
D．甲、乙都错
【答案】A
【分析】通过菱形的性质求得ᇞ쳌ܣܨ، ᇞ子ܣܨSAS ，ᇞ子䁩ܧ، ᇞ쳌䁩ܧSAS ，ᇞ쳌ܣܨ، ᇞ쳌䁩ܧSAS ，即可求
得对应边相等，根据四条边都相等的四边形是菱形即可证明甲的方法正确；先求得四边形ܨ쳌ܧ子是平行四
边形，再利用菱形对角线互相垂直平分，即可证明乙的方法正确．
【详解】甲：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ס쳌ܣ子ൌס쳌䁩子，ܣ쳌ൌ쳌䁩ൌ䁩子ൌܣ子，
∴ס쳌ܣ䁩ൌס子ܣ䁩ൌס쳌䁩ܣൌס子䁩ܣ，
∴ס쳌ܣܨൌס子ܣܨൌס쳌䁩ܧൌס子䁩ܧ，
在ᇞ쳌ܣܨ和ᇞ子ܣܨ中，
ܣ쳌ൌܣ子
ס쳌ܣܨൌס子ܣܨ
ܣܨൌܣܨ
∴ᇞ쳌ܣܨ، ᇞ子ܣܨSAS ，
∴쳌ܨൌ子ܨ，
同理，ᇞ子䁩ܧ، ᇞ쳌䁩ܧSAS ，ᇞ쳌ܣܨ، ᇞ쳌䁩ܧSAS ，
∴쳌ܧൌ子ܧ，쳌ܨൌ쳌ܧ，
∴쳌ܨൌ子ܨൌ쳌ܧൌ子ܧ，
∴四边形ܨ쳌ܧ子是菱形．
乙：连接쳌子交ܣ䁩于ܱ
，如图所示．
∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܱ
ܣൌܱ
䁩，ܱ쳌ൌܱ
子，ܣ䁩٣ 쳌子．
∵ܣܨൌ䁩ܧ，ܱܣܣܨൌܱ
䁩䁩ܧ，即ܱ
ܨൌܱ
ܧ，
∴四边形ܨ쳌ܧ子是平行四边形．
又ܣ䁩٣ 쳌子，
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∴平行四边形ܨ쳌ܧ子是菱形．
综上所述，甲、乙都对．
8．（2026·辽宁·一模）如图，在Rt ᇞܣ쳌䁩中，סܣ䁩쳌ൌͻൌιܱܣ쳌ൌͷܱܣ䁩ൌͶ，子为ܣ쳌的中点，ܣܧ∥䁩子ܱ䁩ܧ∥ܣ쳌，
则四边形ܣ子䁩ܧ的面积为（
）
A．
ͳʹ
ͷ
B．6
C．10
D．12
【答案】B
【分析】根据ܣܧ∥䁩子ܱ䁩ܧ∥ܣ쳌，可得四边形 ܣ子䁩ܧ为平行四边形，根据סܣ䁩쳌ൌͻൌι， 子为 ܣ쳌的中点，
则平行四边形 ܣ子䁩ܧ为菱形，即可求解．
【详解】解：∵ܣܧ∥䁩子ܱ䁩ܧ∥ܣ쳌
∴四边形 ܣ子䁩ܧ为平行四边形，
又∵סܣ䁩쳌ൌͻൌι， 子为 ܣ쳌的中点，
∴䁩子ൌ
ͳ
ʹ ܣ쳌ൌܣ子，
∴平行四边形 ܣ子䁩ܧ为菱形，
∴子ܧ٣ ܣ䁩，
∴子ܧ∥쳌䁩
又ܧ䁩∥쳌子
∴四边形 쳌䁩ܧ子是平行四边形，
∴ܧ子ൌ쳌䁩，
∴סܣ䁩쳌ൌͻൌιܱܣ䁩ൌͶܱܣ쳌ൌͷ，
∴쳌䁩ൌ
ͷʹ െͶʹ ൌൌ，
∴子ܧൌ쳌䁩ൌൌ，
∴ܵ菱形ܣ子䁩ܧൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩子ܧൌ
ͳ
ʹ ൈͶ ൈൌൌൌ．
9．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，ܯ，䁡，ܲ，ܳ
是菱形ܣ쳌䁩子四边的中点，顺次连接点ܯ，䁡，ܲ，ܳ，
且ܯ䁡ൌʹܯܳ，则下列结论正确的是（
）
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A．ܯܳ
ൌ
ͳ
ʹ ܣ쳌
B．ܯܳ
ൌ
ͷ
ͷ ܣ쳌
C．ܯܳ
ൌ
ൌ
ൌܣ쳌
D．ܯܳ
ൌ
ʹ
ʹ ܣ쳌
【答案】B
【分析】连接ܣ䁩、쳌子，设ܣ䁩与쳌子交于点O，根据菱形的性质得出ܣ䁩٣ 쳌子，ܣܱ
ൌ䁩ܱ
ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩，쳌ܱ
ൌ子ܱ
ൌ
ͳ
ʹ 쳌子，根据三角形中位线定理得出ܯܳ
ൌ
ͳ
ʹ 쳌子，ܯ䁡ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩，设ܯܳ
ൌ쳌ܱ
ൌݔ，则ܯ䁡ൌܣܱ
ൌʹݔ，根据勾
股定理求出ܣ쳌ൌ
ܣܱ
ʹ 쳌ܱ
ʹ ൌ
ͷݔ，即可得出答案．
【详解】解：连接ܣ䁩、쳌子，设ܣ䁩与쳌子交于点O，如图所示；
∵四边形ܣ쳌䁩子为菱形，
∴ܣ䁩٣ 쳌子，ܣܱ
ൌ䁩ܱ
ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩，쳌ܱ
ൌ子ܱ
ൌ
ͳ
ʹ 쳌子，
∵ܯ，䁡，ܲ，ܳ
是菱形ܣ쳌䁩子四边的中点，
∴ܯܳ
ൌ
ͳ
ʹ 쳌子，ܯ䁡ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩，
∴ܯܳ
ൌ쳌ܱ
ൌ
ͳ
ʹ 쳌子，ܯ䁡ൌܣܱ
ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩，
设ܯܳ
ൌ쳌ܱ
ൌݔ，则ܯ䁡ൌܣܱ
ൌʹݔ，
∵ܣ䁩٣ 쳌子，
∴סܣܱ쳌ൌͻൌι，
在Rt ᇞܣܱ쳌中，根据勾股定理得：
ܣ쳌ൌ
ܣܱ
ʹ 쳌ܱ
ʹ ൌ
ͷݔ，
∴
ܯܳ
ܣ쳌ൌ
ݔ
ͷݔൌ
ͷ
ͷ ，
∴ܯܳ
ൌ
ͷ
ͷ ܣ쳌．
10．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，菱形ܣ쳌䁩子的对角线ܣ䁩，쳌子相交于点ܱ
，点ܧ是䁩子边的中点，
点ܨ在쳌䁩上且ܱ
ܨ٣ 쳌䁩，若ܱ
ܧڄܱ
ܨൌൌ，则ܣ䁩ڄ 쳌子ൌ（
）
A．24
B．36
C．42
D．48
【答案】D
【分析】根据菱形的性质可得ܣ䁩٣ 쳌子，ܱ
为쳌子中点，结合ܧ为䁩子中点可得ܱ
ܧ为ᇞ쳌䁩子的中位线，从
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而ܱ
ܧൌ
ͳ
ʹ 쳌䁩；利用等面积法在ܴ
ݐᇞܱ
쳌䁩中建立ܱ
쳌ܱܱ
䁩ܱ쳌䁩ܱܱ
ܨ之间的关系，结合已知条件ܱ
ܧڄܱ
ܨൌൌ，
即可求解ܣ䁩ڄ 쳌子的值
【详解】解：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ䁩٣ 쳌子，ܱ쳌ൌܱ
子ൌ
ͳ
ʹ 쳌子，ܱ䁩ൌܱ
ܣൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩，
∴ס쳌ܱ䁩ൌͻൌι，
∵点ܧ是䁩子边的中点，ܱ
是쳌子的中点，
∴ܱܧ是ᇞ쳌䁩子的中位线，
∴ܱܧൌ
ͳ
ʹ 쳌䁩，
∵ܱܨ٣ 쳌䁩，
∴ܵᇞܱ쳌䁩ൌ
ͳ
ʹܱ
쳌ڄܱ
䁩ൌ
ͳ
ʹ 쳌䁩ڄܱ
ܨ，
∴ܱ쳌ڄܱ
䁩ൌ쳌䁩ڄܱ
ܨ，
∵ܱܧڄܱ
ܨൌൌ，
∴
ͳ
ʹ 쳌䁩ڄܱ
ܨൌൌ，即쳌䁩ڄܱ
ܨൌͳʹ，
∴ܱ쳌ڄܱ
䁩ൌͳʹ，
∴ܣ䁩ڄ 쳌子ൌʹܱ䁩ڄ ʹܱ쳌ൌͶܱ쳌ڄܱ
䁩ൌͶ ൈͳʹ ൌͶͺ．
11．（2026·广东深圳·三模）如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，ס쳌ൌͶͷι，ܣ쳌ൌͳʹ，点E 在边쳌䁩上，连接ܣܧ，将
ᇞܣ쳌ܧ沿ܣܧ折叠，若点B 落在쳌䁩延长线上的点F 处，则䁩ܨ的长为（
）
A．4
B．ͳʹ െൌʹ
C．Ͷ ʹ
D．ͳʹ ʹ െͳʹ
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得סܣܧ쳌ൌסܣܧܨൌͻൌι，쳌ܧൌܧܨ，在Rt ᇞܣ쳌ܧ中利用勾股定理求出쳌ܧ的长，
进而求出쳌ܨ的长，再根据菱形的性质得出쳌䁩的长，最后利用线段的和差关系求解即可．
【详解】解：由折叠可知：סܣܧ쳌ൌסܣܧܨ，쳌ܧൌܧܨ，
∵点ܨ在쳌䁩延长线上，
∴סܣܧ쳌סܣܧܨൌͳͺൌι，
∴סܣܧ쳌ൌסܣܧܨൌͻൌι，
在Rt ᇞܣ쳌ܧ中，סܣܧ쳌ൌͻൌι，ס쳌ൌͶͷι，
∴ס쳌ܣܧൌͶͷι，
∴ܣܧൌ쳌ܧ，
由勾股定理得，ܣ쳌ʹ ൌܣܧʹ 쳌ܧʹ ൌʹ쳌ܧʹ，
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∵ܣ쳌ൌͳʹ，
∴ʹ쳌ܧʹ ൌͳͶͶ，解得쳌ܧൌൌʹ，
∴쳌ܨൌʹ쳌ܧൌͳʹ ʹ，
∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴쳌䁩ൌܣ쳌ൌͳʹ，
∴䁩ܨൌ쳌ܨെ쳌䁩ൌͳʹ ʹ െͳʹ．
12．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，在菱形ܣ쳌䁩子中，סܣ쳌䁩ൌൌൌι，点E 为边ܣ子的中点，对角线ܣ䁩
与쳌子相交于点O．动点P 从点A 出发，沿ܣ쳌՜ 쳌子方向匀速运动，运动到点D 时停止．设点P 的运动
路程为x，ᇞܣܲܧ的面积为y，y 与x 的函数图象如图2 所示，当点P 运动到点O 时，ܲܧ的长为（
）
A．3
B．2
C．ʹ ൌ
D．4
【答案】B
【分析】观察图2 可得，当点ܲ
运动到点쳌时，ᇞܣܲܧ的面积达到最大值，为ʹ ൌ，由菱形的性质可得ܣ쳌ൌܣ子，
쳌ܱ
ൌ子ܱ，ܣ子∥쳌䁩，作쳌ܨ٣ 子ܣ交子ܣ的延长线于点ܨ，则ס쳌ܣܨൌסܣ쳌䁩ൌൌൌι，求出쳌ܨൌ
ൌ
ʹ ܣ쳌，ܣܧൌ
ͳ
ʹ ܣ子ൌ
ͳ
ʹ ܣ쳌，当点ܲ
运动到点쳌时，根据ܵᇞܣܲܧൌ
ͳ
ʹ ܣܧڄ 쳌ܨ，计算得出ܣ쳌ൌͶ，当点P 运动到点O 时，由
点ܧ为ܣ子的中点，可得ܲ
ܧ为ᇞܣ쳌子的中位线，由此即可得出结果．
【详解】解：观察图2 可得，当点ܲ
运动到点쳌时，ᇞܣܲܧ的面积达到最大值，为ʹ ൌ，
∵四边形ܣ쳌䁩子为菱形，סܣ쳌䁩ൌൌൌι，
∴ܣ쳌ൌܣ子，쳌ܱ
ൌ子ܱ，ܣ子∥쳌䁩，
如图，作쳌ܨ٣ 子ܣ交子ܣ的延长线于点ܨ，则ס쳌ܣܨൌסܣ쳌䁩ൌൌൌι，
∴סܣ쳌ܨൌͻൌι െס쳌ܣܨൌൌൌι，
∴ܣܨൌ
ͳ
ʹ ܣ쳌，
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∴쳌ܨൌ
ܣ쳌ʹ െܣܨʹ ൌ
ൌ
ʹ ܣ쳌，
∵点ܧ为ܣ子的中点，
∴ܣܧൌ
ͳ
ʹ ܣ子ൌ
ͳ
ʹ ܣ쳌，
∴当点ܲ
运动到点쳌时，ܵᇞܣܲܧൌ
ͳ
ʹ ܣܧڄ 쳌ܨൌ
ͳ
ʹ ൈ
ͳ
ʹ ܣ쳌ൈ
ൌ
ʹ ܣ쳌ൌʹ ൌ，
∴ܣ쳌ൌͶ（负值不符合题意，舍去），
∴当点P 运动到点O 时，由点ܧ为ܣ子的中点，可得ܲ
ܧ为ᇞܣ쳌子的中位线，即此时ܲ
ܧൌ
ͳ
ʹ ܣ쳌ൌʹ．
二、填空题
13．（2026·陕西咸阳·二模）如图，
ܣ쳌䁩子的对角线ܣ䁩与쳌子交于点ܱ
，点ܧ、ܨ分别在ܱ
쳌、ܱ子上，
且쳌ܧൌ子ܨ，连接ܣܧ、ܣܨ、䁩ܧ、䁩ܨ，若再添加一个条件，使得四边形ܣܧ䁩ܨ为菱形，则可以添加的条件
是_________．（添加一个即可）
【答案】ܣܧൌ䁩ܧ（答案不唯一）
【详解】解：∵四边形ܣ쳌䁩子是平行四边形，
∴ܱܣൌܱ
䁩ܱܱ
쳌ൌܱ
子，
∵쳌ܧൌ子ܨ，
∴ܱܧൌܱ
ܨ，
∴四边形ܣܧ䁩ܨ是平行四边形，
当ܣܧൌ䁩ܧ或ܣܧൌܣܨ或䁩ܧൌ䁩ܨ或ܣܨൌ䁩ܨ时，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形
ܣܧ䁩ܨ为菱形；
当ܣ䁩٣ ܧܨ时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得四边形ܣܧ䁩ܨ为菱形．
14．（2026·河南周口·三模）如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，对角线ܣ䁩ܱ쳌子相交于点O，若ܣ䁩ൌൌܱ쳌子ൌͺ，则菱
形的边长为___________．
【答案】5
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【分析】根据菱形的性质得ܣܱ
ൌൌܱ쳌ܱ
ൌͶ，再根据勾股定理ܣ쳌ൌ
ܣܱ
ʹ 쳌ܱ
ʹ得出答案．
【详解】解：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ䁩٣ 쳌子ܱܣܱ
ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ܱ쳌ܱ
ൌ
ͳ
ʹ 쳌子．
∵ܣ䁩ൌൌܱ쳌子ൌͺ，
∴ܣܱ
ൌൌܱ쳌ܱ
ൌͶ．
在Rt ᇞܣ쳌ܱ
中，סܣܱ쳌ൌͻൌι，
根据勾股定理，得ܣ쳌ൌ
ܣܱ
ʹ 쳌ܱ
ʹ ൌ
ൌʹ Ͷʹ ൌͷ，
所以菱形的边长为5．
15．（2026·江苏盐城·一模）在菱形ܣ쳌䁩子中，对角线ܣ䁩ൌൌ，쳌子ൌͶ，则菱形ܣ쳌䁩子的面积为______．
【答案】ͳʹ
【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半计算即可求解．
【详解】解：∵菱形ܣ쳌䁩子的对角线ܣ䁩ൌൌ，쳌子ൌͶ，
∴ܵ菱形ܣ쳌䁩子ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩쳌子ൌ
ͳ
ʹ ൈൌൈͶ ൌͳʹ．
16．（2026·宁夏吴忠·一模）如图，菱形ܣ쳌䁩子的对角线交点在原点，若ܣെͶܱൌ，则点䁩的坐标是________．
【答案】Ͷܱെൌ
【分析】根据菱形的对角线互相平分且交点在原点，可知点ܣ与点䁩关于原点对称，利用关于原点对称的
点的坐标规律即可求解．
【详解】解：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，且对角线交点在原点ܱ
，
∴点ܣ与点䁩关于原点ܱ
对称
∵点ܣ的坐标为( െͶܱൌ)，且关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点䁩的坐标为(Ͷܱെൌ)．
17．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在四边形ܣ쳌䁩子中，对角线ܣ䁩与쳌子互相垂直平分，ס쳌ܣ䁩ൌൌͳι，
则ס쳌䁩子ൌ_____．
【答案】ൌʹι/62 度
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【分析】首先证明出四边形ܣ쳌䁩子是菱形，然后根据菱形的性质求解．
【详解】解：∵在四边形ܣ쳌䁩子中，对角线ܣ䁩与쳌子互相垂直平分，
∴四边形ܣ쳌䁩子是菱形
∴ܣ䁩平分ס쳌ܣ子和ס쳌䁩子
∴ס쳌䁩子ൌס쳌ܣ子ൌʹס쳌ܣ䁩ൌൌʹι．
18．（2026·广东汕尾·模拟预测）如图，四边形ܣ쳌䁩子是菱形，对角线ܣ䁩，쳌子相交于点O，ܣ䁩ൌͺ，子䁩ൌͷ，
子ܪ٣ ܣ쳌，垂足为H．则子ܪ的长为_________．
【答案】
ʹͶ
ͷ
【分析】根据菱形的性质以及勾股定理可得쳌子ൌൌ，再由ܵ菱形ܣ쳌䁩子ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ൈ쳌子ൌ子ܪൈܣ쳌，即可求解．
【详解】解：四边形ܣ쳌䁩子是菱形，ܣ䁩ൌͺ，子䁩ൌͷ，
∴ܣ쳌ൌ䁩子ൌͷܱܱ
ܣൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ൌͶܱܣ䁩٣ 쳌子，쳌子ൌʹܱ쳌
∴ܱ쳌ൌ
ܣ쳌ʹ െܱ
ܣʹ ൌൌ，
∴쳌子ൌൌ，
∵子ܪ٣ ܣ쳌，
∴ܵ菱形ܣ쳌䁩子ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ൈ쳌子ൌ子ܪൈܣ쳌，
∴
ͳ
ʹ ൈͺ ൈൌൌͷ子ܪ，
解得：子ܪൌ
ʹͶ
ͷ ．
19．（2026·四川成都·三模）如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，סܣൌͶൌι，分别以点ܣ，쳌为圆心，大于
ͳ
ʹ ܣ쳌的长为
半径作弧相交于两点，过这两点的直线交ܣ子边于点ܧ（作图痕迹如图所示），连接쳌ܧ，쳌子．则ס子쳌ܧ的
度数为______ι．
【答案】ʹͳ
【分析】根据菱形的性质得到ܣ쳌ൌܣ子，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出סܣ쳌子的度数；
根据作图痕迹判断出直线是线段ܣ쳌的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质得到ܧܣൌܧ쳌，进而求出
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סܣ쳌ܧ的度数；最后根据角的和差关系计算ס子쳌ܧ的度数．
【详解】解：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ쳌ൌܣ子，
∴סܣ쳌子ൌסܣ子쳌，
∵סܣൌͶൌι，
∴סܣ쳌子ൌ
ͳ
ʹ ͳͺൌι െסܣൌ
ͳ
ʹ ͳͺൌι െͶൌι ൌൌι，
由作图可知，点ܧ在线段ܣ쳌的垂直平分线上，
∴ܧܣൌܧ쳌，
∴סܣ쳌ܧൌסܣൌͶൌι，
∴ס子쳌ܧൌסܣ쳌子െסܣ쳌ܧൌൌι െͶൌι ൌʹͳι．
20．（2026·浙江金华·二模）如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，סܣ쳌䁩ൌൌൌι，点ܧ在边쳌䁩的延长线上，连接ܣܧ，
쳌子交于点ܨ，连结䁩ܨ，若סܧൌߙ，则ס䁩ܨܧൌ__________（用含ߙ的式子表示）．
【答案】ͳʹൌι െʹߙ
【分析】根据菱形的性质可得ᇞܣ쳌ܨ، ᇞ䁩쳌ܨSAS ，则有ס쳌ܣܨൌס쳌䁩ܨ，然后根据三角形内角和及外角的
性质可进行求解．
【详解】解：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，סܣ쳌䁩ൌൌൌι，
∴ܣ쳌ൌ䁩쳌ܱסܣ쳌ܨൌס䁩쳌ܨൌ
ͳ
ʹ סܣ쳌䁩ൌൌൌι，
∵쳌ܨൌ쳌ܨ，
∴ᇞܣ쳌ܨ، ᇞ䁩쳌ܨSAS ，
∴ס쳌ܣܨൌס쳌䁩ܨ，
∵סܧൌߙ，סܣ쳌䁩ൌൌൌι，
∴ס쳌ܣܨൌͳͺൌι െסܣ쳌䁩െסܧൌͳʹൌι െߙൌס쳌䁩ܨ，
∴ס䁩ܨܧൌס쳌䁩ܨെסܧൌͳʹൌι െߙെߙൌͳʹൌι െʹߙ．
21．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，סܣൌൌൌι，ܣ쳌ൌͳʹ．点P 为对角线쳌子上的任一点，
作ܲ
ܧ٣ ܣ쳌，ܲܨ٣ ܣ子．则ܲ
ܧܲ
ܨܲ
䁩之和的最小值为______．
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【答案】ͳʹ ൌ
【分析】连接ܣܲ，ܣ䁩，ܣ䁩交쳌子于点ܱ
，证明ᇞܣ쳌子ܱᇞ쳌䁩子均为等边三角形，等积法得到ܲ
ܧܲ
ܨൌܱ
ܣ，
进而得到当䁩ܲ
٣ 쳌子ܱ即点ܲ
与点ܱ
重合时，ܲܧܲ
ܨܲ
䁩之和最小为ܣ䁩的长，即可.
【详解】解：连接ܣܲ，ܣ䁩，ܣ䁩交쳌子于点ܱ
，
在菱形ܣ쳌䁩子中，ס쳌ܣ子ൌൌൌι，ܣ쳌ൌͳʹ，
∴ܣ쳌ൌܣ子ൌ쳌䁩ൌ䁩子，ס쳌䁩子ൌס쳌ܣ子ൌൌൌι，ܣ䁩٣ 쳌子ܱܣ䁩ൌʹܱܣ，
∴ᇞܣ쳌子ܱᇞ쳌䁩子均为等边三角形，
∴ܣ쳌ൌ쳌子ൌܣ子ൌͳʹ，
∴ܱ쳌ൌ
ͳ
ʹ 쳌子ൌൌ，ܱܣൌ
ܣ쳌ʹ െܱ
쳌ʹ ൌൌൌ，
∴ܣ䁩ൌʹܱܣൌͳʹ ൌ，
∵ܲܧ٣ ܣ쳌，ܲܨ٣ ܣ子，ܵᇞܣ쳌子ൌܵ
ᇞܣܲ子ܵ
ᇞܣܲ쳌，
∴
ͳ
ʹ 쳌子ܱܣൌ
ͳ
ʹ ܣ子ܲܨ
ͳ
ʹ ܣ쳌ܲܧ，
∴ܲܧܲ
ܨൌܱ
ܣ，
∴ܲܧܲ
ܨܲ
䁩ൌܱ
ܣܲ
䁩，
∴当ܲ
䁩最小时，ܲܧܲ
ܨܲ
䁩之和最小，
∵点P 为对角线쳌子上的任一点，
∴当䁩ܲ
٣ 쳌子，即点ܲ
与点ܱ
重合时，ܲܧܲ
ܨܲ
䁩之和最小，为ܣ䁩的长，
∴ܲܧܲ
ܨܲ
䁩之和的最小值为ͳʹ ൌ．
22．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，סܣ쳌䁩ൌൌൌι，䁩子ൌͺ，连接쳌子，点P 是쳌子
上的一个动点，连接ܲ
ܣ、ܲ䁩，则ܲ
ܣܲ
쳌ܲ
䁩的最小值是______．
【答案】ͺ ൌ
【分析】将线段ܲ
ܣ绕点A 顺时针方向旋转ൌൌι，得到线段ܣ̵ܲ
，连接ܣ䁩，̵ܲܲ
，子̵ܲ
，可得ᇞܣ̵ܲܲ
是等边三
角形，则̵ܲܲ
ൌܣܲ，证明ᇞ子ܣ̵ܲ
، ᇞ䁩ܣܲ，可得子̵ܲ
ൌ䁩ܲ，则ܲ
ܣܲ
쳌ܲ
䁩ܲ
쳌ܲ
子ൌ쳌子，可得当쳌、
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、̵ܲ
、子四点共线时，ܲܣܲ
쳌ܲ
䁩取得最小值，最小值为쳌子的长，即可求解．
【详解】解：如图，将线段ܲ
ܣ绕点A 顺时针方向旋转ൌൌι，得到线段ܣ̵ܲ
，连接ܣ䁩，̵ܲܲ
，子̵ܲ
，则סܲܣ̵ܲ
ൌൌൌι，
ܣ̵ܲ
ൌܣܲ，
∴ᇞܣ̵ܲܲ
是等边三角形，
∴̵ܲܲ
ൌܣܲ，
∵在菱形ܣ쳌䁩子中，סܣ쳌䁩ൌൌൌι，
∴סܣ子䁩ൌסܣ쳌䁩ൌൌൌι，ܣ쳌ൌ쳌䁩ൌ子ܣൌ䁩子ൌͺ，
∴ᇞܣ쳌䁩和ᇞܣ䁩子均为等边三角形，
∴ס子ܣ䁩ൌסܲܣ̵ܲ
ൌൌൌι，ܣ䁩ൌܣ子，
∴ס子ܣ䁩െס̵ܲ
ܣ䁩ൌסܲܣ̵ܲ
െס̵ܲ
ܣ䁩，
∴ס子ܣ̵ܲ
ൌסܲܣ䁩，
∴在ᇞ子ܣ̵ܲ
和ᇞ䁩ܣܲ
中，
ܣ子ൌܣ䁩
ס子ܣ̵ܲ
ൌסܲܣ䁩
ܣ̵ܲ
ൌܣܲ
，
∴ᇞ子ܣ̵ܲ
، ᇞ䁩ܣܲ
SAS ，
∴子̵ܲ
ൌ䁩ܲ，
∴ܲܣܲ
䁩ൌ̵ܲܲ
子̵ܲ
ܲ
子，
∴ܲܣܲ
쳌ܲ
䁩ܲ
쳌ܲ
子ൌ쳌子，
当쳌、ܲ、̵ܲ
、子四点共线时，ܲܣܲ
쳌ܲ
䁩取得最小值，最小值为쳌子的长，
∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ䁩٣ 쳌子，ܱܣൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ൌͶ，쳌子ൌʹܱ쳌，
∴סܣܱ쳌ൌͻൌι，
∴在Rt ᇞܣܱ쳌中，ܱ쳌ൌ
ܣ쳌ʹ െܱ
ܣʹ ൌ
ͺʹ െͶʹ ൌͶ ൌ，
∴쳌子ൌʹܱ쳌ൌͺ ൌ，
∴ܲܣܲ
쳌ܲ
䁩的最小值是ͺ ൌ．
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23．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，菱形ܣ쳌䁩子的边长为4，对角线ܣ䁩、쳌子相交于点O，点M，
N 分别是边쳌䁩、䁩子上的动点，ס쳌ܣ䁩ൌסܯܣ䁡ൌൌൌι，连接ܯ䁡，ܱܯ，ܱ䁡．以下四个结论正确的有________
（填序号）．
①ᇞܣܯ䁡是等边三角形；②סܯܱ䁡ൌͳʹൌι；③ܯ䁡的最小值是ʹ ൌ；④当ܱ
ܯ٣ 쳌䁩时，ܱ䁡ൌ
．
【答案】ᬅᬇᬈ
【分析】根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质得出ס䁩ܣܯൌס子ܣ䁡，证得ᇞܣ䁩ܯ، ᇞܣ子䁡ASA ，可
得ܣܯൌܣ䁡，即可判断①；当M 与C 重合时，סܯܱ䁡ൌס䁩ܱ子ൌͻൌι്
ͳʹൌι，即可判断②；当ܯ䁡最小
值时，即ܣܯ为最小值，而当ܣܯ٣ 쳌䁩时，ܣܯ值最小，利用勾股定理求得ܣܯൌʹ ൌ，即可判断③；先
求出䁩ܯ、ܱܯ的长，证明ᇞ䁩ܯܱ، ᇞ䁩ܨܱ
AAS ，则䁩ܯൌ䁩ܨൌͳ，ܱܯൌܱ
ܨൌ
ൌ．在得出䁡ܨ的长，则
可得ܱ
䁡的长，即可判断④．
【详解】解：∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ쳌ൌ쳌䁩ൌ䁩子ൌܣ子，ܣ쳌∥子䁩，סܣ쳌䁩ൌסܣ子䁩．
∴ס쳌ܣ䁩ൌסܣ䁩子ൌൌൌι．
∴ᇞܣ쳌䁩、ᇞܣ子䁩为等边三角形．
∴סܣ䁩ܯൌסܣ子䁡ൌൌൌι，ܣ䁩ൌܣ子．
∴ס䁩ܣܯൌסܯܣ䁡െס䁩ܣ䁡ൌൌൌι െס䁩ܣ䁡，ס子ܣ䁡ൌס䁩ܣ子െס䁩ܣ䁡ൌൌൌι െס䁩ܣ䁡．
∴ס䁩ܣܯൌס子ܣ䁡．
在ᇞܣ䁩ܯ和ᇞܣ子䁡中
סܣ䁩ܯൌסܣ子䁡
ܣ䁩ൌܣ子
ס䁩ܣܯൌס子ܣ䁡
∴ᇞܣ䁩ܯ، ᇞܣ子䁡ASA ．
∴ܣܯൌܣ䁡．
∵סܯܣ䁡ൌൌൌι，
∴ᇞܣܯ䁡为等边三角形，故①正确；
当M 与C 重合时，
∵ס쳌ܣ䁩ൌסܯܣ䁡ൌൌൌι，
∴子与N 重合．
∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴סܯܱ䁡ൌס䁩ܱ子ൌͻൌι്
ͳʹൌι，故②错误；
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∵ᇞܣܯ䁡为等边三角形，
∴ܯ䁡ൌܣܯ．
当ܯ䁡最小值时，即ܣܯ为最小值，而当ܣܯ٣ 쳌䁩时，ܣܯ值最小．
∵ᇞܣ쳌䁩为等边三角形，
∴סܣ쳌䁩ൌൌൌι，쳌ܯൌ
ͳ
ʹ 쳌䁩ൌ
ͳ
ʹ ܣ쳌ൌʹ．
∴ܣܯൌ
ܣ쳌ʹ െ쳌ܯʹ ൌ
Ͷʹ െʹʹ ൌʹ ൌ．
∴ܯ䁡ൌܣܯൌʹ ൌ，故③正确；
作ܣܧ٣ 쳌䁩于E，作ܱ
ܨ٣ 䁩子于F，
∵ᇞܣ쳌䁩、ᇞܣ子䁩为等边三角形，
∴ܣ쳌ൌܣ䁩ൌ䁩子ൌͶ，סܱ䁩ܯൌסܱ䁩ܨൌൌൌι．
∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܱ
䁩ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ൌʹ．
∵ܱ
ܯ٣ 쳌䁩，
∴ס䁩ܱܯൌͻൌι െסܱ䁩ܯൌൌൌι．
∴䁩ܯൌ
ͳ
ʹܱ
䁩ൌͳ．
∴ܱ
ܯൌܱ
䁩ʹ െ䁩ܯʹ ൌ
ʹʹ െͳʹ ൌ
ൌ．
在ᇞ䁩ܯܱ
和ᇞ䁩ܨܱ
中
ס䁩ܯܱ
ൌס䁩ܨܱ
סܱ䁩ܯൌסܱ䁩ܨܱ
䁩ൌܱ
䁩
∴ᇞ䁩ܯܱ، ᇞ䁩ܨܱ
AAS ．
∴䁩ܯൌ䁩ܨൌͳ，ܱܯൌܱ
ܨൌ
ൌ．
∵ᇞܣ䁩ܯ، ᇞܣ子䁡ASA ，
∴䁩ܯൌ子䁡ൌͳ．
∴䁡ܨൌ䁩子െ䁩ܨെ子䁡ൌͶ െͳ െͳ ൌʹ．
∴ܱ
䁡ൌܱ
ܨʹ ܨ䁡ʹ ൌ
ൌ
ʹ ʹʹ ൌ
，故④正确．
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三、解答题
24．（2026·重庆大足·一模）我们知道，通过对特殊三角形作图可以得到菱形．如图，ᇞܣ쳌䁩是等边三角形．
(1)尺规作图：作ס쳌的平分线쳌ܨ交ܣ䁩于点E，在射线쳌ܨ上截取ܧ子ൌ쳌ܧ，连接ܣ子ܱ䁩子，则四边形ܣ쳌䁩子
是菱形．
(2)根据下面的思路完成证明过程．
证明：∵ᇞܣ쳌䁩是等边三角形，쳌子平分סܣ쳌䁩，
∴쳌子٣ ܣ䁩且①
＝②
，（三线合一）
又∵쳌ܧൌ子ܧ，
∴四边形ܣ쳌䁩子是菱形．（③）（填理由）
【答案】(1)见解析
(2)①ܣܧ；②䁩ܧ；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【详解】（1）解：如图，射线쳌ܨ即为所求．
以点E 为圆心，쳌ܧ的长为半径画弧，交射线쳌ܨ于点D，连接ܣ子ܱ䁩子，
则ܧ子ܱܣ子ܱ䁩子即为所求．
（2）解：证明：∵ᇞܣ쳌䁩是等边三角形，쳌子平分סܣ쳌䁩，
∴쳌子٣ ܣ䁩且ܣܧൌ䁩ܧ，（三线合一）
又∵쳌ܧൌ子ܧ，
∴四边形ܣ쳌䁩子是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）．
25．
（2026·江苏南京·一模）如图，在
ܣ쳌䁩子中，סܣ쳌䁩的平分线交边ܣ子于点E，F 是边쳌䁩上一点，ܧܨ∥䁩子．求
证：四边形ܣ쳌ܨܧ是菱形．
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【答案】见解析
【分析】先证明四边形ܣ쳌ܨܧ是平行四边形，接着根据角平分线的定义和平行线的性质证明סܣ쳌ܧൌסܣܧ쳌，
得到ܣ쳌ൌܣܧ，据此可证明结论．
【详解】证明：∵四边形ܣ쳌䁩子是平行四边形，
∴ܣ쳌∥䁩子，ܣ子∥䁩쳌，
∵ܧܨ∥䁩子，
∴ܧܨ∥ܣ쳌，
∴四边形ܣ쳌ܨܧ是平行四边形，
∵쳌ܧ是סܣ쳌䁩的平分线，
∴סܣ쳌ܧൌסܨ쳌ܧ，
∵ܣ子∥쳌䁩，
∴סܣܧ쳌ൌסܨ쳌ܧ，
∴סܣ쳌ܧൌסܣܧ쳌，
∴ܣ쳌ൌܣܧ，
∴四边形ܣ쳌ܨܧ是菱形．
26．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，在菱形ܣ쳌䁩子中，E 是边䁩子的中点，连接ܣܧ并延长交쳌䁩的延
长线于点F．
(1)求证：쳌䁩ൌܨ䁩．
(2)若ܣ쳌ൌʹ，且ܣܧ٣ 䁩子，求ܣܨ的长．
【答案】(1)见解析
(2)ʹ ൌ
【分析】（1）证明ᇞܣ子ܧ، ᇞܨ䁩ܧAAS ，再结合菱形的性质即可证明；
（2）先证明ᇞܣ쳌ܨ是直角三角形，再由勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵菱形ܣ쳌䁩子，
∴ܣ子ൌ쳌䁩ܱܣ子∥쳌䁩，
∴ס子ൌס子䁩ܨܱסܨൌס子ܣܧ，
又∵E 是边䁩子的中点，
∴䁩ܧൌ子ܧ，
∴ᇞܣ子ܧ، ᇞܨ䁩ܧAAS ，
∴ܣ子ൌܨ䁩，
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∴쳌䁩ൌܨ䁩；
（2）解：由题意，ܣ쳌ൌ쳌䁩ൌʹ，
∴ܨ䁩ൌ쳌䁩ൌʹ，
∴쳌ܨൌͶ，
∵ܣܧ٣ 䁩子，
∴סܣܧ子ൌͻൌι，
又∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，ܣ쳌∥子䁩，
∴ס쳌ܣܨൌסܣܧ子ൌͻൌι，
∴在Rt ᇞܣ쳌ܨ中， ܣܨൌ
쳌ܨʹ െܣ쳌ʹ ൌ
Ͷʹ െʹʹ ൌʹ ൌ．
27．
（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平行四边形ܣ쳌䁩子中，点ܲ
是对角线ܣ䁩上的一点：ܲܧ٣ ܣ쳌ܱܲ
ܨ٣ ܣ子，
垂足分别为ܧ、ܨ，且ܲ
ܧൌܲ
ܨ，求证：平行四边形ܣ쳌䁩子是菱形．
【答案】
证明：∵ܲܧ٣ ܣ쳌ܱܲ
ܨ٣ ܣ子，ܲܧൌܲ
ܨ，
∴ܣ䁩平分ס子ܣ쳌，
即ס子ܣ䁩ൌס䁩ܣ쳌，
∵四边形ܣ쳌䁩子是平行四边形，
∴ܣ쳌∥䁩子，
∴סܣ䁩子ൌס䁩ܣ쳌，
则סܣ䁩子ൌס子ܣ䁩，
∴ܣ子ൌ子䁩，
∴平行四边形ܣ쳌䁩子是菱形．
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，角平分线的判定，等角对等边，正确掌握相关性
质内容是解题的关键．先理解题意，根据ܲ
ܧ٣ ܣ쳌ܱܲ
ܨ٣ ܣ子，ܲܧൌܲ
ܨ，证明ס子ܣ䁩ൌס䁩ܣ쳌，又因为平行
四边形的性质，得ܣ쳌∥䁩子，故סܣ䁩子ൌס䁩ܣ쳌，即סܣ䁩子ൌס子ܣ䁩，得ܣ子ൌ子䁩，故平行四边形ܣ쳌䁩子是
菱形，即可作答．
【详解】略
28．（2026·湖北武汉·二模）如图，在ᇞܣ쳌䁩中，子为쳌䁩上一点，连接ܣ子，ܧ为ܣ子中点，过点ܣ作ܣܨ∥쳌䁩，
交쳌ܧ的延长线于点ܨ，连接䁩ܨ，子ܨ．
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(1)求证：四边形ܣ쳌子ܨ是平行四边形；
(2)若ס쳌ܣ䁩ൌͻൌι，请添加一个与ܨ䁩有关的条件，____________________使四边形ܣ子䁩ܨ为菱形．
【答案】(1)证明：∵ܣܨ∥쳌䁩，
∴סܨܣ子ൌס쳌子ܣ，
∵ܧ为ܣ子中点，
∴ܣܧൌܧ子，
∵在ᇞܣܧܨ和ᇞ子ܧ쳌中，
סܨܣ子ൌס쳌子ܣ
ܣܧൌܧ子
סܣܧܨൌס子ܧ쳌
，
∴ᇞܣܧܨ، ᇞ子ܧ쳌ASA ，
∴ܣܨൌ쳌子，
∵ܣܨ∥쳌䁩，ܣܨൌ쳌子，
∴四边形ܣ쳌子ܨ是平行四边形．
(2)ܨ䁩∥ܣ子
【分析】
（1）先根据平行性质证明סܨܣ子ൌס쳌子ܣ，再证明ᇞܣܧܨ، ᇞ子ܧ쳌ASA ，推出ܣܨൌ쳌子，结合ܣܨ∥쳌䁩，
即可证明四边形ܣ쳌子ܨ是平行四边形；
（2）添加的条件为：ܨ䁩∥ܣ子，先根据ܨ䁩∥ܣ子，ܣܨ∥쳌䁩，证明四边形ܣ子䁩ܨ是平行四边，再由（1）得
证明结果推出ܣ쳌∥子ܨ，最后根据ס쳌ܣ䁩ൌͻൌι，即ܣ쳌٣ ܣ䁩，推出子ܨ٣ ܣ䁩，即可证明四边形ܣ子䁩ܨ为菱
形．
【详解】（1）略；
（2）添加的条件为：ܨ䁩∥ܣ子，
∵ܣܨ∥쳌䁩，ܨ䁩∥ܣ子，
∴四边形ܣ子䁩ܨ是平行四边，
∵由（1）得四边形ܣ쳌子ܨ是平行四边形，
∴ܣ쳌∥子ܨ，
∵ס쳌ܣ䁩ൌͻൌι，
∴ܣ쳌٣ ܣ䁩，
∴子ܨ٣ ܣ䁩，
∴四边形ܣ子䁩ܨ为菱形．
29．（2026·浙江杭州·二模）小成同学按如下步骤作四边形ܣ쳌䁩子：①画סܯܣ䁡；②以点ܣ为圆心，ͷcm 长
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为半径画弧，分别交ܣܯ，ܣ䁡于点쳌，子，连结쳌子；③分别以点쳌，子为圆心，大于
ͳ
ʹ 쳌子的长为半径画弧，
两弧在סܯܣ䁡内交于点ܧ；④作射线ܣܧ交쳌子于点ܱ
，在射线ܣܧ上截取ܱ
䁩ൌܣܱ；⑤连结쳌䁩、子䁩．
(1)求证：四边形ܣ쳌䁩子是菱形；
(2)若쳌子ൌͶcm，求四边形ܣ쳌䁩子的面积．
【答案】(1)证明：由作图步骤可知：ܣ쳌ൌܣ子ൌͷcm，ܣܧ平分ס쳌ܣ子，ܱ䁩ൌܣܱ，쳌、ܱ、子在同一条直线
上，
∵ܣܧ平分ס쳌ܣܱ，
∴ס쳌ܣܱ
ൌס子ܣܱ，
在ᇞܣ쳌ܱ
和ᇞܣ子ܱ
中，
∵
ܣ쳌ൌܣ子
ס쳌ܣܱ
ൌס子ܣܱܱ
ܣൌܱ
ܣ
，
∴ᇞܣ쳌ܱ، ᇞܣ子ܱ
SAS ，
∴ܱ쳌ൌܱ
子，סܣܱ쳌ൌסܣܱ子，
∵쳌、ܱ、子在同一条直线上，
∴סܣܱ쳌סܣܱ子ൌͳͺൌι，
∴סܣܱ쳌ൌסܣܱ子ൌͻൌι，即쳌子٣ ܣ䁩，
∵ܱ쳌ൌܱ
子，ܱ䁩ൌܣܱ，
∴四边形ܣ쳌䁩子是平行四边形，
∵쳌子٣ ܣ䁩，
∴平行四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
即四边形ܣ쳌䁩子是菱形
(2)Ͷ ʹͳcmʹ
【分析】（1）先由作图条件得ܣ쳌ൌܣ子、ܣܧ平分ס쳌ܣ子，证ᇞܣ쳌ܱ، ᇞܣ子ܱ，推出对角线互相平分且垂直，
从而判定ܣ쳌䁩子为菱形；
（2）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求对角线ܣ䁩的长度，再用菱形面积公式ܵ
ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ڄ
쳌子计算面积．
【详解】（1）略；
（2）∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，쳌子ൌͶcm，
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∴ܱ子ൌܱ
쳌ൌ
ͳ
ʹ 쳌子ൌ
ͳ
ʹ ൈͶ ൌʹ cm ，ܣ䁩٣ 쳌子，ܱܣൌܱ
䁩，
在Rt ᇞܣܱ子中，ܣ子ൌͷcm，ܱ子ൌʹcm，
∴ܣܱ
ൌ
ܣ子ʹ െܱ
子ʹ ൌ
ͷʹ െʹʹ ൌ
ʹͳ cm ，
∴ܣ䁩ൌʹܣܱ
ൌʹ ʹͳ cm ，
∴ܵ菱形ܣ쳌䁩子ൌ
ͳ
ʹ ܣ䁩ڄ 쳌子ൌ
ͳ
ʹ ൈʹ ʹͳ ൈͶ ൌͶ ʹͳ cmʹ ，
即四边形ܣ쳌䁩子的面积为Ͷ ʹͳcmʹ．
【点睛】通过全等证对角线垂直平分，再利用勾股定理求对角线长，进而计算菱形面积．
30．（2026·江西新余·二模）请用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图1，点E 是菱形ܣ쳌䁩子边ܣ子上的一点．求作边上的点H，使䁩ܪൌܣܧ；
(2)如图2，点E 是菱形ܣ쳌䁩子边ܣ子上一点，连接쳌ܧܱ쳌䁩，求作ס䁩쳌ܩ，使ס䁩쳌ܩൌסܣ쳌ܧ，且点G 在䁩子
边上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接ܣ䁩、쳌子于点ܱ
，作射线ܧܱ
交쳌䁩于点ܪ，则䁩ܪൌܣܧ；
（2）连接쳌子、䁩ܧ交于点ܯ，作射线ܣܯ交䁩子于点ܩ，连接쳌ܩ，则ס䁩쳌ܩൌסܣ쳌ܧ．
【详解】（1）解：如图，点ܪ为所求；
∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܱܣൌܱ
䁩，ܣ子∥쳌䁩，
∴סܱܣܧൌסܱ䁩ܪ，
∵סܣܱܧൌס䁩ܱܪ，
∴ᇞܣܱܧ، ᇞ䁩ܱܪ（ASA）
∴䁩ܪൌܣܧ；
（2）解：如图，ס䁩쳌ܩ为所求；
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∵四边形ܣ쳌䁩子是菱形，
∴ܣ子ൌ䁩子ൌ쳌䁩ൌܣ쳌，סܣ子ܯൌס䁩子ܯ，ס쳌ܣܧൌס쳌䁩ܩ，
∵子ܯൌ子ܯ，
∴ᇞܣ子ܯ، ᇞ䁩子ܯ（SAS），
∴ס子ܣܯൌס子䁩ܯ，
又∵ܣ子ൌ䁩子，סܣ子ܩൌס䁩子ܧ，
∴ᇞܣ子ܩ، ᇞ䁩子ܧ（ASA），
∴子ܧൌ子ܩ，
∵ܣ子ൌ䁩子，
∴ܣ子െ子ܧൌ䁩子െ子ܩ，即ܣܧൌ䁩ܩ，
∵ܣ쳌ൌ䁩쳌，ס쳌ܣܧൌס쳌䁩ܩ，ܣܧൌ䁩ܩ，
∴ᇞܣ쳌ܧ، ᇞ䁩쳌ܩ（SAS），
∴סܣ쳌ܧൌס䁩쳌ܩ．
31．（2026·江苏南京·二模）如图，在ᇞܣ쳌䁩中，ܱ是ܣ䁩上一点，ᇞ子ܧܨ和ᇞܣ쳌䁩关于点ܱ
对称，连接쳌ܨ，
䁩ܧ．
(1)求证：四边形쳌䁩ܧܨ是平行四边形；
(2)已知ܣ쳌ൌܣ䁩ൌͷ，쳌䁩ൌʹ ͷ，当ܣܱ
的长为时四边形쳌䁩ܧܨ是菱形．
【答案】(1)证明：∵ᇞ子ܧܨ和ᇞܣ쳌䁩关于点ܱ
对称，
∴ܱ
䁩ൌܱ
ܨ，ܱܧൌܱ
쳌，
∴四边形쳌䁩ܧܨ是平行四边形．
(2)ൌ
【分析】（1）利用对称性质，得到ܱ
䁩ൌܱ
ܨ，ܱܧൌܱ
쳌，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”完
成证明；
（2）连接ܱ
쳌，设ܱ
䁩ൌܱ
ܨൌܽ
，再根据菱形的性质和勾股定理表示出ܱ
쳌，列方程求出ܽ
，进而求出ܣܱ．
【详解】（1）略
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（2）解：如图，连接ܱ
쳌，
据（1）可知쳌ܧ与ܨ䁩交于点ܱ
，
∵四边形쳌䁩ܧܨ是菱形，
∴쳌ܧ٣ ܨ䁩，ܱܨൌܱ
䁩，
设ܱ
䁩ൌܱ
ܨൌܽ
，
∵ܣ쳌ൌܣ䁩ൌͷ，
∴ܣܱ
ൌͷ െܽ
，
∴在Rt ᇞܣܱ쳌中，ܱ쳌ʹ ൌܣ쳌ʹ െܱ
ܣʹ ൌʹͷ െͷ െܽ
ʹ，
∵쳌䁩ൌʹ ͷ，
∴在Rt ᇞ䁩ܱ쳌中，ܱ쳌ʹ ൌ쳌䁩ʹ െܱ
䁩ʹ ൌʹൌെܽ
ʹ，
∴ʹͷ െͷ െܽ
ʹ ൌʹൌെܽ
ʹ，
解得ܽ
ൌʹ，
∴ܣܱ
ൌͷ െܽ
ൌൌ．
32．（2026·安徽安庆·一模）我们将四个全等的小菱形按如图1 所示组合的图形称为一个基本图形，将此基
本图形（大菱形）向右平移，使其中一个小菱形重合，得到第2 个图案，第3 个图案，第4 个图案……
(1)观察图1 并完成下表：
图案
第1 个图案
第2 个图案
第3 个图案
第4 个图案
…
大菱形的个
数
1
2
3
4
…
小菱形的个
4
7
10
______
…
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数
(2)第5 个图案中菱形的总个数为______；第n 个图案中，菱形的总个数为______（用含n 的代数式表示）．
(3)如图2，将第n 个图案放在平面直角坐标系中，已知小菱形的锐角为ൌൌι，且基本图形的中心点ܣͳ的坐标
为ܽ
ͳܱʹ ，ܣʹ的坐标为ܽ
ʹܱʹ ，ܣൌ的坐标为ܽ
ൌܱʹ ，ܣͶ的坐标为ܽ
Ͷܱʹ ，ܣͷ的坐标为ܽ
ͷܱʹ ，……，ܣ݊的坐标
为ܱܽ݊
ʹ ，则ܽͷ ൌ______，ܽ݊
ൌ______．根据以上分析，请将上述材料中横线上所缺内容补充完整．
【答案】(1)13；
(2)16，ൌ݊ͳ；
(3)ͳൌൌ，ʹ݊
ൌ．
【分析】（1）根据图形直接作答即可；
（2）根据表格分析作答即可；
（3）标记顶点，得到菱形ܣͳ쳌䁩子，连接ܣͳ䁩、쳌子交于点ܱ
，利用菱形的性质，推出ᇞܣͳ쳌䁩是等边三角形，
ܣͳ䁩٣ ݔ轴，进而得出ܣ䁩ൌʹ，求出쳌子ൌʹ ൌ，则小菱形的横向对角线长为ʹ ൌ，即可得解．
【详解】（1）解：略
（2）解：观察表格发现，后一个大菱形中小菱形的个数比前一个多3，
则第5 个图案中菱形的总个数为ͳൌൌൌͳൌ（个），
第n 个图案中，菱形的总个数为Ͷ ൌ݊
െͳ ൌൌ݊
ͳ；
（3）解：如图，标记顶点，得到菱形ܣͳ쳌䁩子，连接ܣͳ䁩、쳌子交于点ܱ
，
∵小菱形ܣͳ쳌䁩子的锐
角为ൌൌι，
∴סܣͳ子䁩ൌൌൌι，ܣͳ䁩٣ 䁩子，ܣͳ쳌ൌ쳌䁩ൌ䁩子ൌ子ܧ，ܱܣͳ ൌܱ
䁩，ܱ쳌ൌܱ
子，
∴ᇞܣͳ쳌䁩是等边三角形，ס䁩子ܧൌͳʹൌι，ס쳌子䁩ൌൌൌι
∴ס子䁩ܧൌס子ܧ䁩ൌൌൌι ൌס쳌子䁩，
∴쳌子∥ݔ轴，
∴ܣͳ䁩٣ ݔ轴，
∵中心点ܣͳ的坐标为ܽ
ͳܱʹ ，
∴䁩子ൌܣͳ䁩ൌʹ，ܱ䁩ൌ
ͳ
ʹ ܣͳ䁩ൌͳ，
∴ܱ
子ൌ
䁩子ʹ െܱ
䁩ʹ ൌ
ൌ，
∴쳌子ൌʹ ൌ，即小菱形的横向对角线长为ʹ ൌ，
∴ܣͷ的坐标为ͳൌൌܱʹ ，……，ܣ݊的坐标为ʹ݊
ൌܱʹ ，
∴ܽ
ͷ ൌͳൌൌ，ܣ݊ൌʹ݊
ൌ．
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33．（2026·山西长治·二模）综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在ᇞܣ쳌䁩中，ܣ쳌ൌൌ，סܣൌ
ൌൌι，סܣ쳌䁩ൌͻൌι，ܣ̵ 为斜边ܣ䁩的中点，将与ᇞܣ쳌䁩全等的ᇞܣ̵ 쳌̵ 䁩̵ 绕点ܣ̵ 旋转得到ᇞܣ̵ 子ܧ．
操作发现：
(1)如图1，顺时针旋转一定角度，记ܣ̵ 子和ܣ̵ ܧ分别与쳌䁩交于点ܯ，䁡，当ܣ̵ ܧ٣ ܣ䁩时，试判断ᇞܣ̵ ܯ䁡的
形状，并证明你的结论；
(2)如图2，继续旋转一定角度，当线段ܣ̵ ܧ经过点쳌时，连接쳌子，试判断四边形ܣܣ̵ 子쳌的形状，并证明你
的结论；
实践探究：
(3)在整个旋转过程中，当ᇞܣ̵ 子ܧ在ܣ䁩下方，且ᇞܣ̵ 子ܧ的边恰好与ܣ䁩垂直时，请直接写出ܣ子的长．
【答案】(1)证明：ᇞܣ̵ ܯ䁡的形状为等边三角形，
根据旋转的性质可得סܧܣ̵ 子ൌסܣൌൌൌι，
∵סܣ쳌䁩ൌͻൌιܱסܣൌൌൌι，
∴סܣ䁩쳌ൌͳͺൌι െסܣെסܣ쳌䁩ൌͳͺൌι െൌൌι െͻൌι ൌൌൌι，
∵ܣ̵ ܧ٣ ܣ䁩，
∴ס䁡ܣ̵ 䁩ൌͻൌι，
∴סܣ̵ 䁡䁩סܣ̵ 䁩䁡ൌͻൌι，
∴סܣ̵ 䁡䁩ൌͻൌι െסܣ̵ 䁩䁡ൌൌൌι，
∴סܣ̵ ܯ䁡ൌͳͺൌι െסܣ̵ 䁡䁩െסܧܣ̵ 子ൌͳͺൌι െൌൌι െൌൌι ൌൌൌι，
∴סܣ̵ ܯ䁡ൌסܣ̵ 䁡䁩ൌסܧܣ̵ 子ൌൌൌι，
∴ᇞܣ̵ ܯ䁡为等边三角形．
(2)证明：四边形ܣܣ̵ 子쳌的形状为菱形，
∵在Rt ᇞܣ쳌䁩中，סܣ쳌䁩ൌͻൌι，ܣ̵ 为ܣ䁩的中点，
∴쳌ܣ̵ ൌܣܣ̵ ，
又∵סܣൌൌൌι，
∴ᇞܣ쳌ܣ̵ 为等边三角形，
∴ܣ쳌ൌܣܣ̵ ，סܣ쳌ܣ̵ ൌൌൌι，
根据旋转的性质可得סܧܣ̵ 子ൌסܣൌൌൌι，ܣ쳌ൌܣ̵ 子，
∴סܣ쳌ܣ̵ ൌסܧܣ̵ 子，
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∴ܣ쳌∥ܣ̵ 子，
∴四边形ܣܣ̵ 子쳌为平行四边形，
又∵ܣ쳌ൌܣܣ̵ ，
∴四边形ܣܣ̵ 子쳌为菱形．
(3)ൌ，ൌʹ，
ൌ
ʹ
ൌ
ʹ
【分析】（1）根据旋转的性质以及角度关系证明ᇞܣ̵ ܯ䁡的形状为等边三角形；
（2）先证ᇞܣ쳌ܣ̵ 为等边三角形，根据旋转的性质及ܣ쳌ൌܣܣ̵ 证明四边形ܣܣ̵ 子쳌为菱形；
（3）分ܣ̵ 子٣ ܣ䁩、子ܧ٣ ܣ䁩和ܣ̵ ܧ٣ ܣ䁩三种情况，结合勾股定理及旋转的性质求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由（2）可知ܣܣ̵ ൌܣ̵ 子ൌൌ，ס子ܣ̵ ܧൌס쳌ܣ䁩ൌൌൌι，分三类：
情形①：ܣ̵ 子٣ ܣ䁩，如图，连接子ܣ，
ܣ̵ 子٣ ܣ䁩，ܣ̵ 子ൌܣܣ̵ ൌൌ，ס子ܣ̵ ܣൌͻൌι，
ܣ子ൌ
ܣܣ̵ ʹ ܣ̵ 子ʹ ൌ
ൌʹ ൌʹ ൌൌʹ；
情形②:子ܧ٣ ܣ䁩，如图，ܣ̵ 子与ܣ̵ 䁩重合，
此时ܣ子ൌܣ䁩ൌൌ；；
情形③：ܣ̵ ܧ٣ ܣ䁩，
סܧܣ̵ 䁩ൌͻൌι，ס子ܣ̵ ܧൌൌൌι，
ס子ܣ̵ ܣൌͳͷൌι，ܣܣ̵ ൌܣ̵ 子ൌൌ，
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过子作子ܨ٣ ܣܣ̵ 延长线，连接子ܣ，则ס子ܣ̵ ܨൌൌൌι，
子ܨൌ
ൌ
ʹ，ܣ̵ ܨൌ
ൌൌ
ʹ ，ܣܨൌܣܣ̵ ܣ̵ ܨൌൌ
ൌൌ
ʹ ，
ܣ子ൌ
子ܨʹ ܣܨʹ ൌ
ൌ
ʹ
ʹ
ൌ
ൌൌ
ʹ
ʹ
ൌ
ൌ
ʹ
ൌ
ʹ ，
综上：ܣ子取值为ൌ或ൌʹ或
ൌ
ʹ
ൌ
ʹ ．
34．（2026·浙江杭州·二模）【问题情境】数学课上，同学们以小组为单位用两个全等的三角形进行实验探
究．
如图ͳ，两个全等的直角三角形ܣ쳌䁩和子ܧܨ的斜边ܣ䁩和子ܨ在同一直线上，ܣ쳌ൌ子ܧ．ᇞ子ܧܨ可沿直线
ܣ䁩平移，连接ܣܧ，쳌子．
【实验探究】
(1)在ᇞ子ܧܨ平移过程中，同学们发现四边形ܣ쳌子ܧ是平行四边形，请证明此结论；
(2)当ᇞ子ܧܨ沿ܣ䁩平移到某一个位置时，四边形ܣ쳌子ܧ恰好为菱形，
①如图ʹ，此时若ܣ쳌ൌͺ，ܣ䁩ൌͳൌ，试求ܣܨ的长；
②如图ൌ，连接쳌ܧ，若쳌ܧൌ䁩子，求ס쳌ܣ䁩的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①
ͳͶ
ͷ
②ʹʹ䀀ͷι
【分析】（1）根据全等三角形的性质可知ܣ쳌ൌ子ܧ，ס쳌ܣ䁩ൌסܧ子ܨ，可证ᇞܣ쳌子، ᇞ子ܧܣ，根据全等三角
形的性质可证쳌子ൌܣܧ，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证结论成立；
（2）①连接쳌ܧ交ܨ䁩于点ܱ
，根据勾股定理可得쳌䁩ൌൌ，根据菱形的性质可知쳌ܧ和ܣ子互相垂直平分，
可得：tanס쳌ܣ䁩ൌ
쳌ܱ
ܣܱൌ
ൌ
Ͷ，设쳌ܱ
ൌൌݔ，则ܣܱ
ൌͶݔ，利用勾股定理可得：ݔൌ
ͺ
ͷ，从而可以求出쳌ܱ
ൌ
ʹͶ
ͷ ，
ܣܱ
ൌ
ൌʹ
ͷ ，根据菱形的性质和线段之间的关系即可求出ܣܨ的长度；
②延长쳌䁩交子ܧ于点ܪ，可证ᇞܧ쳌ܪ، ᇞ䁩子ܪ，根据全等三角形的性质可证ᇞ쳌子ܪ是等腰直角三角形，根
据等腰直角三角形的性质可知ס子쳌ܪൌס쳌子ܪൌͶͷι，根据菱形的性质即可求出ס쳌ܣ䁩的度数．
【详解】（1）证明：∵ᇞܣ쳌䁩، ᇞ子ܧܨ，
∴ܣ쳌ൌ子ܧ，ס쳌ܣ䁩ൌסܧ子ܨ，
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在ᇞܣ쳌子和ᇞ子ܧܣ中，
ܣ쳌ൌ子ܧ
ס쳌ܣ䁩ൌסܧ子ܨ
ܣ子ൌܣ子
，
∴ᇞܣ쳌子، ᇞ子ܧܣ，
∴쳌子ൌܣܧ，
∴四边形ܣ쳌子ܧ是平行四边形；
（2）①解：如下图所示，连接쳌ܧ交ܨ䁩于点ܱ
，
∵ܣ쳌ൌͺ，ܣ䁩ൌͳൌ，
∴쳌䁩ൌ
ܣ䁩ʹ െܣ쳌ʹ ൌ
ͳൌʹ െͺʹ ൌൌ，
∵四边形ܣ쳌子ܧ是菱形，
∴ܣ쳌ൌ쳌子ൌ子ܧൌܣܧൌͺ，쳌ܧ和ܣ子互相垂直平分，
在Rt ᇞܣ쳌䁩中，סܣ쳌䁩ൌͻൌι，쳌䁩ൌൌ，ܣ쳌ൌͺ，
∴tanס쳌ܣ䁩ൌ
쳌ܱ
ܣܱൌ
쳌䁩
ܣ쳌ൌ
ൌ
ͺ ൌ
ൌ
Ͷ，
设쳌ܱ
ൌൌݔ，则ܣܱ
ൌͶݔ，
∴ܣ쳌ൌ
쳌ܱ
ʹ ܣܱ
ʹ ൌ
ൌݔʹ Ͷݔʹ ൌͷݔൌͺ，
∴ݔൌ
ͺ
ͷ，
∴쳌ܱ
ൌൌݔൌ
ʹͶ
ͷ ，ܣܱ
ൌͶݔൌ
ൌʹ
ͷ ，
∴ܣ子ൌʹܣܱ
ൌ
ൌͶ
ͷ ，
∴ܣܨൌܣ子െ子ܨൌ
ൌͶ
ͷ െͳൌൌ
ͳͶ
ͷ ；
②解：如下图所示，延长쳌䁩交子ܧ于点ܪ，
∵ᇞܣ쳌䁩، ᇞ子ܧܨ，
∴סܣ䁩쳌ൌס子ܨܧ，
∴쳌䁩∥ܧܨ，
∵ס子ܧܨൌͻൌι，
∴ס子ܪ쳌ൌס子ܧܨൌͻൌι，
∴ס쳌ܪܧൌͻൌι，
∴סܧ쳌ܪס쳌䁩ܱ
ൌͻൌι，ס䁩子ܪס子䁩ܪൌͻൌι，
∵ס쳌䁩ܱ
ൌס子䁩ܪ，
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∴סܧ쳌ܪൌס䁩子ܪ，
在ᇞܧ쳌ܪ和ᇞ䁩子ܪ中，
ס쳌ܪܧൌס子ܪ䁩ൌͻൌι
סܧ쳌ܪൌס䁩子ܪ
쳌ܧൌ䁩子
，
∴ᇞܧ쳌ܪ، ᇞ䁩子ܪ，
∴쳌ܪൌ子ܪ，
∴ᇞ쳌子ܪ是等腰直角三角形，
∴ס子쳌ܪൌס쳌子ܪൌͶͷι，
∵四边形ܣ쳌子ܧ是菱形，
∴ܣ쳌∥子ܧ，סܣ子ܧൌ
ͳ
ʹ ס쳌子ܪൌʹʹ䀀ͷι，
∴ס쳌ܣ䁩ൌסܣ子ܧൌʹʹ䀀ͷι．
