第02讲矩形的性质与判定（知识点+13题型）（暑假预习讲义）（原卷版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_暑假预习讲义+测试卷

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第02 讲矩形的性质与判定（知识点+13 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 矩形性质理解
题型2 利用矩形的性质求角度
题型3 根据矩形的性质求线段长
题型4 根据矩形的性质求面积
题型5 利用矩形的性质证明
题型6 求矩形在坐标系中的坐标
题型7 矩形与折叠问题
题型8 斜边的中线等于斜边的一半
题型9 矩形的判定定理理解
题型10 证明四边形是矩形
题型11 根据矩形的性质与判定求角度
题型12 根据矩形的性质与判定求线段长
题型13 根据矩形的性质与判定求面积
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
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关键词
学习目标导航
矩形的定义、矩形的
边、角、对角线、矩形
的对称性、矩形的性
质、矩形的判定、直角
三角形斜边中线定理、
矩形的面积计算
1. 理解矩形的定义，认识矩形的边、内角、对角线，能用符号语言表示矩形，
明确矩形与平行四边形的从属关系。
2. 掌握矩形的性质定理（四个角都是直角、对角线相等且互相平分）及直角
三角形斜边中线等于斜边的一半的重要推论，了解矩形的轴对称性与中心对
称性，能运用矩形的性质及推论进行线段长度、角度大小的计算和相关几何
证明。
3. 掌握矩形的三个判定定理（定义法、三个角是直角的四边形是矩形、对角
线相等的平行四边形是矩形），能运用判定定理证明一个四边形或平行四边
形是矩形，并能准确区分矩形的性质与判定。
4. 掌握矩形的面积计算公式（长×宽），能解决与矩形相关的实际问题和折叠
问题，体会转化与数形结合的数学思想。
学习重点：矩形的概念与表示方法、矩形的性质定理、矩形的判定定理、直角三角形斜边中线定理的
应用。
学习难点：矩形性质与判定的综合应用，矩形与平行四边形、菱形的联系与区别，分类讨论思想在矩
形折叠、对角线问题中的应用。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 矩形的定义
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）
几何语言：
∵四边形ABCD 是平行四边形，且∠ABC=90°
∴四边形ABCD 是矩形
即时即练已知在四边形ܣ⤰Ӭ坐中，ܣ⤰צ Ӭ坐，ܣ⤰ൌӬ坐，סܣൌ䁡⸰ι，如果添加一个条件，可使得四边形ܣ⤰Ӭ坐
为正方形，则添加的条件可以是________．（添加一个即可）
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【易错提醒】
判定矩形不可直接用“有一个直角的四边形是矩形”；必须满足两大条件，先为平行四边形，再存在一个内
角为直角。
知识点02
矩形的性质
矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，同时还有以下独特性质：
性质类别
具体内容
几何语言
对应易错提醒
角的性质
矩形的四个角都是
直角
∵四边形ABCD 是
矩形∴∠A=∠B=∠
C=∠D=90°
普通平行四边形对
角相等、邻角互补，
只有矩形四个内角
全部为90°，切勿混
淆。
对角线性质
矩形的对角线相等
且互相平分
∵四边形ABCD 是
矩形
∴AC=BD，
OA=OB=OC=OD
矩形独有对角线相
等；普通平行四边形
对角线仅互相平分，
并不相等，是高频易
混点。
对称性
矩形是轴对称图形，
有2 条对称轴，分别
为过对边中点的直
线；同时也是中心对
称图形，对称中心是
两条对角线的交点
-
对称轴不是对角线；
正方形有4 条对称
轴，普通矩形仅有2
条，不要混淆。
教材重要推论（直角三角形性质）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
几何语言：在Rt△ABC 中，O 为斜边AC 中点，则BO=
ͳ
ʹAC
即时即练矩形具有而菱形不具有的性质是（
）
A．对角线互相平分
B．四条边相等
C．四个角相等
D．对角线互相垂直
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知识点03
矩形的判定定理
满足以下任意一个条件，即可判定一个四边形是矩形：
判定方法
具体内容
几何语言
对应易错提醒
定义判定
有一个角是直角的
平行四边形是矩形
∵四边形ABCD 是
平行四边形，∠
A=90°
∴四边形ABCD 是
矩形
前提必须是平行四
边形，仅单个直角的
四边形无法判定为
矩形。
角判定
有三个角是直角的
四边形是矩形
∵∠A= ∠B= ∠
C=90°
∴四边形ABCD 是
矩形
无需先证平行四边
形；无需四个角都是
直角，三个直角即可
直接判定。
对角线判定
对角线相等的平行
四边形是矩形
∵四边形ABCD 是
平行四边形，
AC=BD
∴四边形ABCD 是
矩形
易错重灾区！不能说
“对角线相等的四边
形是矩形”，缺少平
行四边形前提，命题
错误。
即时即练下列四边形是矩形的是（
）
A．对角线相等的四边形
B．对角线互相平分的四边形
C．对角线互相平分且相等的四边形
D．对角线互相垂直的平行四边形
【易错提醒】
对角线互相平分代表四边形为平行四边形，叠加对角线相等，可直接判定为矩形。
知识点04 矩形的面积计算
1. 计算公式：S=长×宽
2. 本质：沿用平行四边形面积公式（底×高），矩形的长和宽互为底和高
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即时即练如图，在Rt ᇞܣ⤰Ӭ 中，סӬ ൌ䁡⸰ι．D 在ܣ⤰上，坐ܧ٣ ܣӬ 于ܧ，坐ܨ٣ ⤰Ӭ 于F．已知ܣܧൌͳǡ⤰ܨൌʹ．则
四边形Ӭܨ坐ܧ的面积为_______ ．
【易错提醒】
矩形不能套用菱形对角线面积公式；不可用
ͳ
ʹ×对角线乘积计算面积，极易和菱形公式混淆。
题型1 矩形性质理解
【例1】如图，在一个大矩形中不重叠放置4 个全等的小矩形，下列关于图中阴影部分的周长的和的说法正
确的是（）
A．只与大矩形的长有关
B．只与大矩形的宽有关
C．与大矩形的长和宽都有关
D．与大矩形的长和宽都无关
【技巧归纳】
角：四个角都是直角
边：对边平行且相等
对角线：相等且互相平分（分成4 个等腰三角形）
对称性：轴对称（2 条对称轴）+中心对称
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【变式1-1】如图，在矩形ܣ⤰Ӭ坐中，对角线ܣӬ 与⤰坐相交于点O，则下列结论一定正确的是（
）
A．ܣ⤰ൌ⤰Ӭ
B．ܣӬ ൌ⤰坐
C．ܣӬ ٣ ⤰坐
D．ס⤰ܣӬ ൌסܣӬ⤰
【变式1-2】如图，小红想将一张矩形纸片沿ܣ坐ǡ⤰Ӭ 剪下后得到一个
ܣ⤰Ӭ坐，若סͳ ൌ䁡⸰ι，则סʹ 的度数是
（）
A．ʹ⸰ι
B．䁡⸰ι
C．ͺ⸰ι
D．ͳͳ⸰ι
题型2 利用矩形的性质求角度
【例2】如图，在矩形ܣ⤰Ӭ坐中，对角线ܣӬ，⤰坐相交于点O，若סܣ⤰坐ൌι ，则（
）
A．סܱ坐ܣൌ䳌ι
B．סܱ坐Ӭ ൌ䳌ι
C．סܱܣ坐ൌι
D．סܱ⤰Ӭ ൌι
【技巧归纳】
对角线平分后，OA=OB=OC=OD，出现多组等腰三角形
利用直角互余、邻角互补、对顶角相等推导
出现30°、45°、60°时，直接用特殊直角三角形角度关系
折叠问题中，对应角相等，折痕平分对应角
【变式2-1】如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点ܣ处滚向桌边ܲܳ
，在ܲܳ
上的点⤰处反弹后，
滚向桌边ܴܵ
上的点Ӭ，再次反弹后滚入点ܳ
，共反弹两次．若סܣ⤰ܲ
ൌ䳌ʹι，则סӬܴܳ
的度数为（
）
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A．䳌ʹι
B．͵ͺι
C．͵ʹι
D．ʹͺι
【变式2-2】如图，在矩形ܣ⤰Ӭ坐中，对角线ܣӬ，⤰坐相交于点ܱ
，坐ܧ٣ ܣӬ 于点ܧ，ס⤰ܱӬ ൌͳ͵䳌ι，则סӬ坐ܧ
的大小是________ι．
题型3 根据矩形的性质求线段长
【例3】如图，在矩形ܣ⤰Ӭ坐中，ܧ是边⤰Ӭ 上一点，ܨ，ܩ分别是ܣܧ，ܧ坐的中点，连接⤰ܨ，ܨܩ，Ӭܩ，
若⤰ܨൌͳʹ，ܨܩൌͳ͵，Ӭܩൌ⸲，则ᇞܣܧ坐的面积是（
）
A．60
B．120
C．156
D．180
【技巧归纳】
已知长和宽，求对角线必用勾股定理：݀
ൌܽ
ʹ +ܾ
ʹ
对角线被交点分成的四条线段长度相等
折叠问题：设未知数，将已知和未知边集中到一个直角三角形中用勾股
直角三角形中见斜边中点，立即想到斜边中线等于斜边一半
【变式3-1】如图，在矩形ܣ⤰Ӭ坐中，E 是⤰Ӭ 上一点，F 是ܣ坐的中点，且ס⤰ܣܧൌסܣ坐ܧ．若⤰Ӭ ൌ䳌cm，
则ܧܨ的长为（
）
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A．͵cm
B．cm
C．⸲cm
D．䳌cm
【变式3-2】如图，在矩形ܣ⤰Ӭ坐中，ܣ⤰ൌcm，⤰Ӭ ൌ䳌cm，⤰ܧ平分סܣ⤰Ӭ 交ܣ坐于点E，连接Ӭܧ，取Ӭܧ
的中点F，连接坐ܨ，则坐ܨ的长为（
）
A．ʹ ⸲cm
B．⸲cm
C．ʹ ͵cm
D．͵cm
题型4 根据矩形的性质求面积
【例4】如图，ܧܨ过矩形ܣ⤰Ӭ坐对角线的交点ܱ
，且分别交ܣ⤰，Ӭ坐于ܧ、ܨ，若ܣ⤰ൌʹ，ܣ坐ൌ，那么
图中阴影部分的面积为（
）
A．ʹ
B．
C．䳌
D．ͺ
【技巧归纳】
核心公式：ܵ
ൌ长×宽（底×高）
对角线将矩形分成4 个面积相等的等腰三角形，每个面积为
ͳ
ܵ
利用面积相等可求斜边上的高
矩形中阴影面积常用割补法、等积变换法
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【变式4-1】如图，在矩形ܣ⤰Ӭ坐中，对角线ܣӬǡ⤰坐相交于点O，若ס⤰坐Ӭ ൌ䳌⸰ι，⤰坐ൌ䳌，则矩形ܣ⤰Ӭ坐
的面积为（
）
A．䳌͵
B．9
C．䁡͵
D．18
【变式4-2】如图，在矩形ܣ⤰Ӭ坐中，ܣ⤰ൌ⸲ǡ ܣ坐ൌͳʹ，ܲ
是ܣ坐上不与ܣ和坐重合的一个动点，过点ܲ
分别作ܣӬ 和⤰坐的垂线，垂足为ܧǡ ܨ，则ܲ
ܧ+ܲ
ܨ的值为（
）
A．5
B．
䳌⸰
ͳ͵
C．
ʹ
ͳ͵
D．
⸲
ͳ͵
题型5 利用矩形的性质证明
【例5】如图，四边形ܣ⤰Ӭ坐是矩形，点ܧ是Ӭ⤰延长线上一点，过点ܣ作坐ܧ的垂线交⤰Ӭ 于点ܨ．若Ӭܨൌ⤰ܧ，
求证：四边形ܣܧܨ坐是菱形．
【技巧归纳】
证角相等：用直角互余、等腰三角形底角相等
证线段相等：用对边相等、对角线相等且平分
证垂直：用矩形的直角性质
常用辅助线：连接对角线
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【变式5-1】如图，在矩形ܣ⤰Ӭ坐中，点ܧ，ܨ在边ܣ⤰上，连接坐ܧ，Ӭܨ，סӬ坐ܧൌס坐Ӭܨ．
(1)求证：ᇞ坐ܣܧ، ᇞӬ⤰ܨ；
(2)当ܣ坐ൌͳʹ，Ӭܨൌͳ͵ 时，求⤰ܨ的长．
【变式5-2】如图，已知矩形ܣ⤰Ӭ坐，点ܧ是边ܣ坐的中点，过点ܧ作直线交ܣ⤰于点ܲ
（ܲ
不与点ܣ，⤰重
合），交Ӭ坐的延长线于点ܳ
．
(1)求证：ᇞܣܲܧ، ᇞ坐ܳܧ；
(2)连接ܲ
Ӭ，ܧӬ，若סӬܲܳ
ൌסӬܳܲ
时，求证：Ӭܧ٣ܲܳ
．
题型6 求矩形在坐标系中的坐标
【例6】如图，在平面直角坐标系中，矩形ܣ⤰Ӭ坐的顶点ܣ，Ӭ，坐的坐标分别为െʹǡ⸰，͵ǡ⸰，െͳǡʹ ，
则点⤰的坐标为（
）
A．ͳʹെ ǡ⸲ߗB．ʹǡ െͳ
C．െʹǡʹ
D．ʹǡ െʹ
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【技巧归纳】
边与坐标轴平行时：相邻顶点横/纵坐标相同
对角线中点坐标相同：ݔ中ൌ
ݔͳ+ݔ͵
ʹ
ǡݕ中ൌ
ݕͳ+ݕ͵
ʹ
已知边长求坐标：横坐标差=水平边长，纵坐标差=垂直边长
注意多解：矩形可在不同象限或不同位置
【变式6-1】如图所示，在平面直角坐标系中，ܣ⤰Ӭ坐为长方形，其中点A，C 的坐标分别为െǡʹ ，ͳǡ െ，
且ܣ坐צ ݔ轴交y 轴于点M，ܣ⤰צ ݕ轴交x 轴于点N．一动点P 从点A 出发，以
ͳ
ʹ个单位长度/秒的速度沿
ܣ⤰向点B 运动，在某一时刻t，ᇞܣ香ܲ
的面积等于长方形ܣ⤰Ӭ坐面积的
ͳ
͵，此时点P 的坐标是（
）
A．െǡ െ͵
B．െǡ െʹ
C．െʹǡ െ͵
D．െʹǡ െʹ
故选：A．
【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形ܱ
ܣ⤰Ӭ，点ܣ、Ӭ 在ݕ轴、ݔ轴上，⤰ʹǡͳ ，将矩形ܱ
ܣ⤰Ӭ 绕
着点C 顺时针旋转䁡⸰ι得到矩形Ӭܱ
ͳܣͳ⤰ͳ，再将矩形Ӭܱ
ͳܣͳ⤰ͳ，绕着点⤰ͳ顺时针旋转䁡⸰ι得到矩形Ӭͳܱ
ʹܣʹ⤰ͳ，
按此方式依次进行，则点ܣ䁡的坐标为（
）
A．ͳͳǡ⸰
B．ͳʹǡͳ
C．ͳǡʹ
D．ͳ⸲ǡʹ
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题型7 矩形与折叠问题
【例7】第一步：如图ͳ，将矩形纸片ܣ⤰Ӭ坐沿过ܣ点的直线折叠，使点⤰落在ܣ坐边上的点⤰̵ 处，得到折
痕ܣܧ，然后把纸片展平．第二步：如图ʹ，将图ͳ 中的矩形纸片ܣ⤰Ӭ坐沿过点坐的直线折叠，使点Ӭ 落在
ܧ⤰̵ 上的点Ӭ̵ 处，得到折痕坐ܨ，再把纸片展平．若ܣ⤰ൌͳ⸰，⤰Ӭ ൌͳ䳌，ܧܨൌ（
）
A．ʹ
B．͵
C．
͵
ʹ
D．
ͺ
͵
【技巧归纳】
折叠本质：轴对称，对应边相等、对应角相等
折痕是对应点连线的垂直平分线
通用步骤：设未知数→表示相关线段→找直角三角形→列勾股方程求解
常见结论：折叠后重叠部分一定是等腰三角形
【变式7-1】如图，在矩形ܣ⤰Ӭ坐中，ܣ坐ൌ䳌 cm，点ܧ是Ӭ坐的中点，连接ܣܧ，将ᇞܣ坐ܧ沿ܣܧ翻折，得
到ᇞܣܨܧ，延长ܣܨ交⤰Ӭ 于点ܩ，若点ܩ恰好是⤰Ӭ 的中点，则ܣ⤰ൌ__________cm．
【变式7-2】如图，矩形ܣ⤰Ӭ坐中，ܣ⤰ൌǡ ܣ坐ൌ䳌，点ܧ为⤰Ӭ 上一点，连接坐ܧ，过点ܧ作ܧܨ٣ 坐ܧ交
ܣ⤰于点ܨ，连接ܧܨ．将ᇞ⤰ܧܨ沿ܧܨ翻折，使点⤰落在点ܩ处，连接坐ܩ，当ᇞ坐ܩܧ是以坐ܧ为腰的等腰
三角形时，则Ӭܧ的长为______．
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题型8 斜边的中线等于斜边的一半
【例8】如图，在菱形ܣ⤰Ӭ坐中，ܣӬ，⤰坐交于点ܱ
，ܣ⤰ൌ⸲，⤰坐ൌͺ，ܣܧ٣ ⤰Ӭ 于点ܧ，则ܱ
ܧ的长为（
）
A．
⸲
ʹ
B．
ͺ
͵
C．3
D．
ͳ⸰
͵
【技巧归纳】
适用条件：直角三角形+斜边中点，缺一不可
逆定理：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形
常与等腰三角形三线合一、勾股定理结合使用
看到“直角+中点”，第一反应连斜边中线
【变式8-1】如图，菱形ܣ⤰Ӭ坐的对角线相交于点O，ܣӬ ൌʹ，⤰坐ൌʹ ͵，将菱形按如图方式折叠，使点B
与点O 重合，折痕为ܧܨ，则五边形ܣܧܨӬ坐的周长为（
）
A．5
B．7
C．9
D．11
【变式8-2】如图，Ӭ坐是Rt ᇞܣ⤰Ӭ 斜边ܣ⤰的中线，E 是⤰Ӭ 的中点．若⤰Ӭ ൌ䳌，Ӭ坐ൌ，则坐ܧ的长为
（
）
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A．ʹ 䁡
B．3
C．䁡
D．5
题型9 矩形的判定定理理解
【例9】我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，
所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d 搭成如图所示的一个
四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（
）
A．测量是否有三个角是直角
B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等
D．测量对角线是否互相垂直
【技巧归纳】
任意四边形：①三个角是直角；②对角线相等且互相平分
平行四边形：①有一个角是直角；②对角线相等
易错点：对角线相等的四边形不一定是矩形，必须先证是平行四边形
【变式9-1】活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下
测量方案正确的是（
）
A．测量两组对边是否分别相等
B．测量两组对边是否分别平行
C．测量是否有三个角是直角
D．测量对角线是否互相垂直
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【变式9-2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点ܣ，⤰，Ӭ 都在格点上，坐，ܧ为ܣ⤰，ܣӬ
与格线的交点，则坐ܧ的长为___________．
题型10 证明四边形是矩形
【例10】如图，在平行四边形ܣ⤰Ӭ坐中，Ӭܧצ ܣܨ，ܣܨ٣ Ӭ坐．垂足为ܣ．求证：四边形ܣܧӬܨ是矩形．
【技巧归纳】
已知有直角：优先证三个角是直角，或证是平行四边形+一个直角
已知对角线：优先证对角线相等且平分，或证是平行四边形+对角线相等
已知是平行四边形：优先证一个角是直角，次证对角线相等
证明步骤：先证平行四边形（若需要），再证矩形特有条件
【变式10-1】如图，在
ܣ⤰Ӭ坐中，点E、F 分别在ܣ坐、⤰Ӭ 上，⤰ܧ٣ ܣ坐，ܣܧൌӬܨ．
(1)求证：四边形ܧ⤰ܨ坐是矩形；
(2)连接ܣܨ，若ܣܨ平分ס⤰ܣ坐，ܣܧൌ͵，ܣ⤰ൌ⸲，则ܣܨ的长为．
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【变式10-2】如图，菱形ܣ⤰Ӭ坐的对角线ܣӬ、⤰坐相交于点ܱ
，过点坐作坐ܧ∥ܣӬ，且坐ܧൌ
ͳ
ʹ ܣӬ，连接Ӭܧ、ܱ
ܧ，连接ܣܧ交ܱ
坐于点ܨ．
(1)求证：四边形ܱ
坐ܧӬ 为矩形；
(2)若ܣ⤰ൌʹ，סܣ⤰Ӭ=60ι，求ܣܧ的长．
题型11 根据矩形的性质与判定求角度
【例11】如图，在
ܣ⤰Ӭ坐中，对角线ܣӬ，⤰坐相交于点ܱ
，且ܣӬ ൌ⤰坐，סܱܣ坐ൌ⸲⸲ι，则סܱܣ⤰的度数
为（
）
A．͵⸲ι
B．⸰ι
C．⸲ι
D．⸲⸰ι
【技巧归纳】
第一步：严格按题型10 的方法证明四边形是矩形
第二步：利用四个直角、对角线分成的等腰三角形求角
结合折叠、旋转等变换，利用角度不变性推导
出现特殊角（30°、45°、60°）时，直接套用特殊三角形结论
【变式11-1】两个矩形的位置如图所示，若סͳ ൌͳʹ⸰ι，则סʹ 的度数为(
)
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A．͵⸰ι
B．ͳ⸲ι
C．䳌⸰ι
D．⸲ι
【变式11-2】如图所示，矩形ABCD 中，AE 平分ס⤰ܣ坐交BC 于E，סӬܣܧൌͳ⸲ι，则下面的结论：①ȟܱ坐Ӭ
是等边三角形；②⤰Ӭ=2ܣ⤰；③סܣܱܧൌͳ͵⸲ι；④ܵȟܣܱܧൌܵ
ȟӬܱܧ，其中正确结论有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型12 根据矩形的性质与判定求线段长
【例12】如图，在矩形ܣ⤰Ӭ坐中，对角线ܣӬ 与⤰坐相交于点O，ܣ⤰ൌ͵，⤰Ӭ ൌ，则ܱ
Ӭ 的长为_______．
【技巧归纳】
第一步：证明四边形是矩形，得到直角和对角线相等
第二步：在直角三角形中用勾股定理或斜边中线性质计算
利用矩形对边相等、对角线平分的性质转化线段
折叠问题仍遵循“设未知数+勾股定理”的通用解法
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【变式12-1】如图，在一个长为ʹ⸰cm 的大矩形中，放入形状、大小完全相同的⸲个小矩形，根据图中信
息可得小矩形的面积为____．
【变式12-2】如图，ᇞܣ⤰Ӭ 中，坐，ܧ分别为ܣ⤰，ܣӬ 的中点，坐ܨ٣ ⤰Ӭ 于点ܨ，点ܩ在坐ܧ的延长线上，
且坐ܩൌܨC．
(1)求证：四边形坐ܨӬܩ是矩形；
(2)若ס⤰ൌ⸲ι，坐ܨൌ䳌，坐ܩൌͳ⸰，求⤰Ӭ 和ܣӬ 的长．
题型13 根据矩形的性质与判定求面积
【例13】如图，在等腰ᇞܣ⤰Ӭ 中，ܣ⤰ൌܣӬ，以ܣ为圆心，任意长为半径画弧交ܣ⤰于坐，交ܣӬ 于ܧ，分
别以坐、ܧ为圆心，大于
ͳ
ʹ 坐ܧ长为半径作弧，两弧交于点ܨ，连接ܣܨ并延长交⤰Ӭ 于ܩ，以ܣ⤰、⤰ܩ为邻
边作
ܣ⤰ܩܪ，连接Ӭܪ，若ܩܪൌ⸲，⤰Ӭ ൌ䳌，则四边形ܣܩӬܪ的面积为（
）
A．䳌
B．ͳʹ
C．ͳ⸲
D．͵⸰
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【技巧归纳】
第一步：证明四边形是矩形
第二步：已知长和宽用“长×宽”；已知对角线和高用等积法
若对角线互相垂直（即正方形），也可用
ͳ
ʹ݀
ͳ݀
ʹ
阴影面积常用“总面积-空白面积”的间接法计算
【变式13-1】小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的
风筝，点ܧ、ܨ、ܩ、ܪ分别是四边形ܣ⤰Ӭ坐各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁
剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料͵⸰匹，那么需要乙布料（
）
A．⸰匹
B．͵⸰匹
C．ʹ⸰匹
D．ͳ⸲匹
【变式13-2】如图，在平行四边形ܣ⤰Ӭ坐中，连接⤰坐，ܧ为线段ܣ坐的中点，延长⤰ܧ与Ӭ坐的延长线交
于点ܨ，连接ܣܨ，ס⤰坐ܨൌ䁡⸰ι．
(1)求证：四边形ܣ⤰坐ܨ是矩形；
(2)若ܣ坐ൌͳ⸰，坐ܨൌ䳌，求四边形ܣ⤰Ӭܨ的面积ܵ．
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一、单选题
1．在下列条件中，能够判定平行四边形ܣ⤰Ӭ坐是矩形的是（
）
A．ܣ⤰ൌ⤰Ӭ
B．ܣӬ ٣ ⤰坐
C．ܣӬ ൌӬ坐
D．ܣӬ ൌ⤰坐
2．如图，在Rt ᇞܣ⤰Ӭ 中，Ӭ坐是斜边ܣ⤰上的中线，ס⤰Ӭ坐ൌ͵⸲ι，则סܣൌ（
）
A．͵⸲ι
B．⸲ι
C．䳌⸰ι
D．⸲⸲ι
3．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（
）
A．测量两条对角线是否相等
B．测量门框的一组邻边是否相等
C．测量两条对角线是否互相平分
D．用曲尺测量两条对角线是否互相垂直
4．如图，矩形ܣ⤰Ӭ坐的对角线ܣӬ，⤰坐相交于点O，若סܣܱ⤰ൌ䳌䳌ι，则סܣӬ⤰ൌ（
）
A．͵͵ι
B．䳌䳌ι
C．ʹι
D．⸲䁡ι
5．四边形ܣ⤰Ӭ坐，当ܣ⤰צ Ӭ坐，ܣ⤰ൌӬ坐时，在下列选项中，添加一个条件，使得四边形ܣ⤰Ӭ坐是矩形的
是（
）
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线平分
每一组对角
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形ܣ⤰Ӭ坐的顶点A，C，D 的坐标分别为െʹǡ⸰ǡ ͵ǡ⸰ǡ െͳǡʹ ，则点B
的坐标为（
）
A．ͳʹെ ǡ⸲ߗB．ʹǡ െͳ
C．െʹǡʹ
D．ʹǡ െʹ
7．如图，菱形的对角线ܣӬ、⤰坐相交于点O，E 是Ӭ坐的中点，且ܱ
ܧൌ⸲，则Ӭ坐的长是（
）
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A．5
B．10
C．15
D．20
8．如图，在矩形ܣ⤰Ӭ坐中，Ӭ坐ൌ，对角线ܣӬ，⤰坐相交于点O，ܣܧ垂直平分ܱ
⤰于点E，则ܣ坐的长为
（
）
A．ʹ ʹ
B．͵
C．4
D．͵ ͵
9．如图，在ᇞܣ⤰Ӭ 中，坐，ܧ分别为ܣ⤰，ܣӬ 的中点，点ܨ是线段坐ܧ上的点，且סܣܨ⤰ൌ䁡⸰ι，若⤰Ӭ ൌ䳌，
ܧܨൌͳ，则ܣ⤰的长为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
10．把一张矩形纸片ܣ⤰Ӭ坐按如图方式折叠，使顶点⤰和顶点坐重合，折痕为ܧܨ．若סӬ坐ܨൌߙ，则סܧܨ坐
的度数是（
）
A．⸲ι +
ͳ
ʹ ߙ
B．⸲ι + ߙ
C．䁡⸰ι െ
ͳ
ʹ ߙ
D．䁡⸰ι െߙ
11．如图，在
ܣ⤰Ӭ坐中，ܣ⤰ൌ，ܣ坐ൌ䳌将ᇞܣӬ坐沿对角线ܣӬ 折叠得到ᇞܣӬܧ，ܣܧ与⤰Ӭ 交于点ܨ，
则下列说法正确的是（
）
A．当סܣൌ䁡⸰ι时，则ܧܨൌͳ
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B．当ܨ恰好为⤰Ӭ 的中点时，则
ܣ⤰Ӭ坐的面积为䳌⸲
C．在折叠的过程中，ᇞܣ⤰ܨ的周长有可能是ᇞӬܧܨ的2 倍
D．当ܣܧ٣ ⤰Ӭ 时，连结⤰ܧ，四边形ܣ⤰ܧӬ 是等腰梯形
12．迁移是一种重要的能力．如图ͳ，在四边形ܣ⤰Ӭ坐中，ܣӬ ٣ ⤰坐，小军对这类四边形深入探究后，得到
一个结论：ܣ⤰ʹ + Ӭ坐ʹ ൌܣ坐ʹ + ⤰Ӭʹ．有下列两种说法：
①如图ʹ，在矩形ܣ⤰Ӭ坐中，若点ܲ
是矩形内部一点，且ܲ
ܣൌ
⸲，ܲ⤰ൌ
ͳ͵，ܲӬ ൌ
ͳ⸰，则ܲ
坐ൌ
͵；
②如图͵，在平行四边形ܣ⤰Ӭ坐中，对角线ܣӬ ൌ，点ܧ为边⤰Ӭ 的中点，若ܣܧ٣ ⤰坐，则⸲ܣ⤰ʹ െ⤰Ӭʹ
的值为定值．
则下列判断正确的是（
）
A．①正确，②错误
B．①错误，②正确
C．①②都正确
D．①②都错误
13．如图，有一张矩形纸片ܣ⤰Ӭ坐，点E 在⤰Ӭ 上，点F 在ܣ坐上，将这张纸片沿ܧܨ所在直线翻折，使得
点C 与点A 重合，点D 的对应点为点G，连接ܣӬ．若ܣ⤰ൌʹ，⤰ܧൌͳ，则ܣӬ ڄ ܧܨ的值为（
）
A．5
B．10
C．⸲
D．͵ ⸲
二、填空题
14．彤彤用刻度尺（单位：cm）对直角三角形的尺寸进行测量ס⤰ܣӬ ൌ䁡⸰ι ．如图，点⤰，Ӭ 对应的刻度
分别为1，5，点香，ܰ
分别为边ܣ⤰，ܣӬ 的中点，点ܲ
为香ܰ
的中点，则ܣܲ
的长为_____cm．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ܣ⤰Ӭ坐的顶点A 的坐标为ሺെͳǡʹ㌳．若y 轴平分矩形ܣ⤰Ӭ坐的面积，
则点C 到y 轴的距离是_______．
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16．如图，在矩形ܣ⤰Ӭ坐中，连接⤰坐，以⤰为圆心，⤰坐为半径画弧交射线⤰Ӭ 于点ܧ，连接坐ܧ，若ܣ⤰ൌ͵，
ܣ坐ൌ，则坐ܧ的长为______．
17．如图，把一张矩形纸片ܣ⤰Ӭ坐沿ܧܨ（点E、F 分别在ܣ坐、⤰Ӭ 上）所在直线折叠后，D、C 分别落在坐̵ 、
Ӭ̵ 的位置上，ܧ坐̵ 与⤰Ӭ 交于点G，若ס坐ܧܨൌ⸲⸰ι，则סӬ̵ ܨܩ的度数为____________ι．
18．如图，已知矩形ܣ⤰Ӭ坐中，ܣ⤰ൌͳ͵，⤰Ӭ ൌʹ⸰，ܧ为边ܣ坐上一点，连接⤰ܧ，将点ܣ沿着⤰ܧ折叠，
点ܣ落在点ܨ处，连接坐ܨ并延长交⤰Ӭ 于ܩ，若ס坐ܩӬ ൌ⸲ι，则ܩܨ的长是________，ܣܧ的长是________．
19．如图，在四边形ܣ⤰Ӭ坐中，ܣ坐ൌ⤰Ӭ，ܣ⤰ൌӬ坐，ܣӬ 与⤰坐相交于点ܱ
，请添加一个条件______________，
使四边形ܣ⤰Ӭ坐是矩形．
20．如图所示，矩形纸片ܣ⤰Ӭ坐中，ܣ⤰ൌ䳌cm，⤰Ӭ ൌͺcm，现将其沿ܧܨ折叠，使得点Ӭ 与点ܣ重合，则
ܣܨ长为________cm．
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21．如图，矩形ܣ⤰Ӭ坐中，E 是边⤰Ӭ 上一点，将ᇞܣ⤰ܧ沿ܣܧ翻折，得到ᇞܣܨܧ，延长ܧܨ交线段ܣ坐的
延长线于点G，交线段ܣӬ 于点O，若ܣ⤰ൌʹ，⤰Ӭ ൌ͵，ܱӬ ൌܱ
ܧ，则线段坐ܩ的长为_______．
三、解答题
22．如图，矩形ܣ⤰Ӭ坐的对角线交于点ܱ
，ܧ为Ӭ坐中点，ܨ在射线⤰Ӭ 上，且ܱ
ܨ٣ ⤰Ӭ，连接ܧܨ．若ܣ⤰ൌ，
⤰Ӭ ൌ͵，则ܧܨ的长为多少？
23．如图，在
ܣ⤰Ӭ坐中，ܧ，ܨ两点分别在边ܣ⤰，Ӭ坐上，连接坐ܧ，⤰ܨ，ܣܨ，坐ܧ٣ ܣ⤰，且סܣ坐ܧൌסӬ⤰ܨ．
(1)求证：四边形坐ܧ⤰ܨ为矩形；
(2)若ܣܨ平分ס⤰ܣ坐，且ܣ坐ൌ䳌，ܣܨൌͳ⸰，求ܣܧ的长．
24．图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、点B、
点P 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图．
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(1)在图①中，作矩形ܣ⤰Ӭ坐，使点P 在边Ӭ坐上；
(2)在图②中，作
ܣ⤰ܧܨ使点P 为对称中心．
68．如图，在Rt ᇞܣ⤰Ӭ 中，ס⤰ܣӬ ൌ䁡⸰ιǡ坐为⤰Ӭ 的中点，ܧ为Ӭ坐的中点，ܨ为ܣӬ 的中点．若ܧܨൌ⸲，
求⤰Ӭ 的长．
25．如图，
ܣ⤰Ӭ坐的对角线ܣӬ ٣ ⤰Ӭ，ܧ为Ӭ坐的中点，连接ܣܧ，并延长ܣܧ，交⤰Ӭ 的延长线于点ܨ，
连接坐ܨ．
(1)求证：ᇞܣ坐ܧ، ᇞܨӬܧ；
(2)求证：四边形ܣӬܨ坐是矩形．
26．如图，在
ܣ⤰Ӭ坐中，⤰ܧ٣ Ӭ坐于点E．
(1)尺规作图：作坐ܨ٣ ܣ⤰于点F（保留作图痕迹，不证明）；
(2)求证：四边形坐ܨ⤰ܧ是矩形．
27．如图，矩形ܣ⤰Ӭ坐的对角线ܣӬ，⤰坐相交于点O．
(1)尺规作图：在平面内确定一点E，使得四边形ܣܱ坐ܧ是菱形；
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(2)在（1）的条件下，若ܣ坐ൌͺ，四边形ܣܱ坐ܧ的面积为ʹ，求ܣ⤰的长．
28．如图，在矩形ܣ⤰Ӭ坐中，点ܧ，ܨ分别为边ܣ坐，⤰Ӭ 上的点，且坐ܧൌ⤰ܨ，连接ܣܨ，Ӭܧ．
求证：ܣܨൌӬܧ．
29．如图，四边形ܣ⤰Ӭ坐是矩形，对角线ܣӬ，⤰坐相交于点O，⤰ܧצܣӬ 交坐Ӭ 的延长线于点E．
(1)求证：⤰坐ൌ⤰ܧ．
(2)若ס坐⤰Ӭ ൌ͵⸰ι，⤰ܱ
ൌ，求四边形ܣ⤰ܧ坐的面积．
30．如图，在平行四边形ܣ⤰Ӭ坐中，对角线ܣӬ、⤰坐交于点O，E、F 在⤰坐上，且满足⤰ܧൌ坐ܨ．
(1)求证：四边形ܣܧӬܨ是平行四边形；
(2)若ܱ
ܣൌܱ
ܧ，求证：ܣܧ٣ Ӭܧ．
31．已知在矩形ܣ⤰Ӭ坐中，ܣ⤰ൌ䳌，⤰Ӭ ൌ͵，点ܧ是射线Ӭ坐上的一个动点，以点ܣ为旋转中心，将线段
ܣܧ按逆时针方向旋转䁡⸰ι，得到线段ܣܨ．
(1)当点ܧ在线段Ӭ坐上时，
①如图1，点ܱ
为对角线ܣӬ，⤰坐的交点，若Ӭܧൌ͵ܧ坐，连接ܱ
ܨ，求证：ܱܨצ Ӭ坐；
②如图2，连接⤰ܧ，ܨܧ，坐ܨ，若ᇞܣ⤰ܧ为等腰三角形，求ᇞ坐ܨܧ的面积；
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(2)如图3，连接⤰ܨ，ܧܨ，在点ܧ的运动过程中，求⤰ܨ+ ܧܨ的最小值．
32．【问题原型】
在矩形ܣ⤰Ӭ坐中，ܣ⤰ൌ⸲，⤰Ӭ ൌ͵，点P 为边⤰Ӭ 上一点，将ᇞܣ⤰ܲ
沿直线ܣܲ
翻折至ᇞܣܧܲ
的位置（点
B 落在点E 处）．
(1)【问题解决】如图①，当点E 落在边Ӭ坐上时，可求得坐ܧ的长为；
(2)【尝试应用】如图②，ܲܧ与Ӭ坐相交于点F，ܣܧ与Ӭ坐相交于点G，且ܨӬ ൌܨܧ，
①求证：ܩܨൌܲ
ܨ；
②求⤰ܲ
的长．
(3)【拓展提升】如图③，点Q 为射线⤰ܣ上的一个动点，将ᇞ⤰Ӭܳ
沿Ӭܳ
翻折，点B 恰好落在直线坐ܳ
上
的点⤰̵ 处，直接写出⤰ܳ
的长．