文档文本内容
1 / 29
学科网（北京）股份有限公司
第03 讲正方形的性质与判定（知识点+12 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 正方形性质理解
题型2 根据正方形的性质求角度
题型3 根据正方形的性质求线段长
题型4 根据正方形的性质求面积
题型5 正方形折叠问题
题型6 根据正方形的性质证明
题型7 正方形的判定定理理解
题型8 证明四边形是正方形
题型9 根据正方形的性质与判定求角度
题型10 根据正方形的性质与判定求线段长
题型11 根据正方形的性质与判定求面积
题型12 根据正方形的性质与判定证明
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
正方形的定义，正方形
1. 理解正方形的定义，认识正方形的边、内角、对角线，能用符号语言表示
2 / 29
学科网（北京）股份有限公司
的边、角、对角线，正
方形的对称性，正方形
的性质，正方形的判定
正方形与平行四边形/
矩形/菱形的关系，正
方形的面积计算
正方形，明确正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形，理清它与平行四边形、
矩形、菱形的从属关系。
2. 掌握正方形的性质定理（四条边相等、四个角都是直角、对角线相等且互
相垂直平分且平分一组对角），了解正方形既是轴对称图形又是中心对称图
形，能运用正方形的性质进行线段长度、角度大小的计算和相关几何证明。
3. 掌握正方形的判定定理（定义法、有一组邻边相等的矩形是正方形、有一
个角是直角的菱形是正方形），能运用判定定理证明一个四边形是正方形，
并能准确区分正方形的性质与判定。
4. 掌握正方形的面积计算公式（边长×边长、对角线乘积的一半），能综合
运用正方形及特殊平行四边形的性质与判定解决实际问题和几何综合题，体
会转化与分类讨论的数学思想。
学习重点：正方形的概念与表示方法、正方形的性质定理、正方形的判定定理、正方形与平行四边形、
矩形、菱形的联系与区别。
学习难点：正方形性质与判定的综合应用，特殊平行四边形之间的相互转化，分类讨论思想在正方形
边长、对角线及折叠问题中的应用。
知｜识｜框｜架
3 / 29
学科网（北京）股份有限公司
知｜识｜精｜讲
知识点01 正方形的定义
定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
几何语言：
∵四边形ABCD 是平行四边形，且AB=BC，∠ABC=90°
∴四边形ABCD 是正方形
即时即练下列结论中，正确的有（
）
①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④
正方形有两条对称轴；⑤正方形有4 条对称轴
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【易错提醒】
定义必须同时满足三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角。缺少任何一个都
不能判定为正方形。
4 / 29
学科网（北京）股份有限公司
知识点02
正方形的性质
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，同时还有以下综合
性质：
性质类别
具体内容
几何语言
对应易错提醒
边的性质
正方形的四条边都相等，对
边平行
∵四边形ABCD 是正方形
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，
AD∥BC
继承了菱形"四条边都相等"和平
行四边形"对边平行"的性质。
角的性质
正方形的四个角都是直角
∵四边形ABCD 是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
继承了矩形"四个角都是直角"的
性质。
对角线性
质1
正方形的两条对角线相等
且互相垂直平分
∵四边形ABCD 是正方形
∴AC=BD，AC⊥BD，
OA=OB=OC=OD
同时具备矩形"对角线相等"和菱
形"对角线互相垂直"的性质，是唯
一对角线既相等又垂直的平行四
边形。
对角线性
质2
正方形的每一条对角线平
分一组对角
∵四边形ABCD 是正方形
∴AC 平分∠BAD 和∠BCDBD
平分∠ABC 和∠ADC
继承了菱形"对角线平分一组对角
"的性质。
对称性
正方形是轴对称图形，有4
条对称轴，分别是两条对角
线所在的直线和过对边中
点的直线；同时也是中心对
称图形，对称中心是两条对
角线的交点
-
对称轴数量是矩形和菱形的总和
（2+2=4），不要误以为只有2 条
对称轴。
即时即练下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（
）
A．有一个角是直角
B．对边相等
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
知识点03
正方形的判定定理
满足以下任意一个条件，即可判定一个四边形是正方形：
判定方法
具体内容
几何语言
对应易错提醒
定义判定
有一组邻边相等，并且有
一个角是直角的平行四
边形是正方形
∵四边形ABCD 是平行四边
形，AB=BC，∠A=90°
∴四边形ABCD 是正方形
最完整的判定方法，包含了正方形的
所有本质特征。
矩形+菱
形判定1
有一组邻边相等的矩形
是正方形
∵四边形ABCD 是矩形，且
AB=BC
先证明是矩形，再证明有一组邻边相
等（即菱形的特征）。
5 / 29
学科网（北京）股份有限公司
判定方法
具体内容
几何语言
对应易错提醒
∴四边形ABCD 是正方形
矩形+菱
形判定2
有一个角是直角的菱形
是正方形
∵四边形ABCD 是菱形，且
∠A=90°
∴四边形ABCD 是正方形
先证明是菱形，再证明有一个角是直
角（即矩形的特征）。
对角线判
定1
对角线互相垂直的矩形
是正方形
∵四边形ABCD 是矩形，且
AC⊥BD
∴四边形ABCD 是正方形
矩形的对角线本来就相等，再加上互
相垂直，就具备了菱形的特征。
对角线判
定2
对角线相等的菱形是正
方形
∵四边形ABCD 是菱形，且
AC=BD
∴四边形ABCD 是正方形
菱形的对角线本来就互相垂直，再加
上相等，就具备了矩形的特征。
即时即练如图，已知菱形ܣ郰ԩ坐的对角线交于点O，E，F 是对角线ܣԩ 所在直线上的两点，且ס郰耀ԩ ൌ䳌ι，
ܣ耀ൌԩܨ，连接郰耀ǡ耀坐ǡ坐ܨǡ郰ܨ，得四边形郰耀坐ܨ．求证：四边形郰耀坐ܨ是正方形．
【易错提醒】
"相等且互相垂直平分"已经包含了矩形和菱形的所有对角线特征，所以可以直接判定为正方形。
知识点04
正方形的面积计算
1.通用方法：S=边长×边长（即S=a²）
2.特殊方法：S=
×两条对角线的乘积
几何语言：
∵四边形ABCD 是正方形，对角线AC 和BD 相交于点O
∴S 正方形ABCD=AB²=
×AC×BD
即时即练如图，正方形ܣ郰ԩ坐中，ᇞܣ坐耀经顺时针旋转后与ᇞܣ郰ܨ重合．
6 / 29
学科网（北京）股份有限公司
(1)旋转中心是点，旋转了ι；
(2)如果正方形ܣ郰ԩ坐的边长为䳌，求四边形ܣܨԩ耀的面积．
【易错提醒】
正方形同时适用矩形和菱形的面积公式，这是它独有的特点
不要忘记对角线面积公式中的½，和菱形面积公式完全相同
已知正方形的对角线长度，可以直接用½×对角线²求出面积
题型1 正方形性质理解
【例1】判断下列命题是否正确：
(1)正方形有四条对称轴；
(2)正方形的两条对角线将其分成4 个全等的等腰直角三角形；
(3)对角线互相垂直的矩形是正方形；
(4)对角线相等的菱形是正方形．
【技巧归纳】
角：四个角都是直角
边：四条边都相等，对边平行
对角线：相等且互相垂直平分，平分一组对角（与边夹角为45°）
对称性：轴对称（4 条对称轴）+ 中心对称
对角线将正方形分成4 个全等的等腰直角三角形
【变式1-1】正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（
）
A．对边相等
B．对角相等
7 / 29
学科网（北京）股份有限公司
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，正方形ܣ郰ԩ坐的边长为3，顶点C 的坐标为െ坐ǡ为．若直线ݕൌ݇݇
坐െ݇
与正方形ܣ郰ԩ坐有公共点，则k 的取值范围为（
）
A．݇
െ坐
B．݇
െ坐或݇
െ
ʹ
䳌C．െ
ʹ
䳌݇
坐
ʹ
D．െ坐݇
坐
ʹ
题型2 根据正方形的性质求角度
【例2】如图，点耀为正方形ܣ郰ԩ坐内一点，ܣ坐ൌ耀坐，סܣ耀坐ൌ为ι，连接耀ԩ，则ס坐ԩ耀的度数是（
）
A．䳌ι
B．䳌䳌ι
C．䳌ι
D．䳌ι
【技巧归纳】
见对角线直接得45° 角，所有被对角线平分的角都是45°
利用直角互余、对顶角相等、全等三角形对应角相等推导
折叠/ 旋转问题中，对应角相等，角度大小不变
出现等边三角形时，结合60° 角计算特殊角度
【变式2-1】如图，在正方形ܣ郰ԩ坐中，ܣԩ 与郰坐交于点O，点E 为郰ԩ 上一点，且ԩ耀ൌԩܱ，连接ܱ
耀，
8 / 29
学科网（北京）股份有限公司
则ס郰ܱ耀的度数为__________°．
【变式2-2】如图，在正方形ܣ郰ԩ坐中，点耀，ܨ．分别在边郰ԩ，ԩ坐上，连接ܣ耀，ܣܨ，耀ܨ，且ᇞܣ耀ܨ是
等边三角形，则ס坐ܣܨ的度数为______ι．
题型3 根据正方形的性质求线段长
【例3】如图，在正方形ܣ郰ԩ坐中，连接郰坐，点ܲ
在郰ԩ 边上，连接坐ܲ，ס郰坐ܲ
ൌʹʹǤ䳌ι，过点ܲ
作ܲܳ
٣ 郰坐
于点ܳ
，若ԩܲ
ൌʹ，则ܲܳ
的长为（
）
A．ʹǤ䳌
B．2
C．坐Ǥ䳌
D．1
【技巧归纳】
边长与对角线关系：对角线= 边长×
对角线被交点分成的四条线段相等，长度为对角线的一半
所有直角三角形优先用勾股定理，等腰直角三角形边长比为1:1:
折叠问题：设未知数→找直角三角形→列勾股方程求解
9 / 29
学科网（北京）股份有限公司
【变式3-1】如图，正方形ܣ郰ԩ坐和正方形郰耀ܨ形并排放在一起，A，B，E 在同一条直线上，ܱ
坐，ܱ
ʹ分别
是两个正方形的中心．已知ܣ郰ൌ，郰耀ൌ㘴，则ܱ
坐ܱ
ʹ的长为（
）
A．7
B．䳌ʹ
C．
坐䳌
ʹ
D．ʹ 坐͵
【变式3-2】．如图，在正方形ܣ郰ԩ坐中，点耀在ܣ郰边上，连接ԩ耀，过点坐作坐ܨ٣ ԩ耀于点ܨ，过点郰
作郰形٣ ԩ耀于点形，若郰形ൌ͵ǡ坐ܨൌ㘴，则ܨ形的长为（
）
A．4
B．5
C．7
D．11
题型4 根据正方形的性质求面积
【例4】如图，正方形ܱ
‴㜵ܲ
的顶点ܱ
与正方形ܣ郰ԩ坐的对角线交点ܱ
重合，正方形ܣ郰ԩ坐和正方形ܱ
‴㜵ܲ
的边长都是ʹ，则图中重叠部分的面积是（
）
A．1
B．2
C．͵
D．
10 / 29
学科网（北京）股份有限公司
【技巧归纳】
公式1：S=边长²（最常用）
公式2：S=
坐
ʹ݀
ʹ（d 为对角线，菱形面积公式通用）
对角线分成的4 个等腰直角三角形，每个面积为
坐
ܵ
阴影面积常用割补法、等积变换法、总面积减空白法
【变式4-1】如图，
ܣ郰ԩ坐由五个部分组成：两个面积都是݉
的等腰直角三角形，两个面积都是݊
的直角
三角形，一个面积为ݍ的正方形，则四边形ܣ郰ԩ坐的面积一定可以表示为（
）
A．͵݉
݊
B．݊ݍ
C．݉
D．݊
【变式4-2】如图，正方形ܣ郰ԩ坐和正方形耀ܨ形形的对称中心都是点ܱ
，其边长分别是4 和3，则图中阴影
部分的面积是____________．
题型5 正方形折叠问题
【例5】如图，正方形ܣ郰ԩ坐的边长为ܽ
，将正方形折叠，使顶点ԩ 落在ܣ郰边上的点形处，折痕为耀ܨ．若
ܣ形ǣ形郰ൌʹǣ坐，则线段郰ܨ的长为（
）
11 / 29
学科网（北京）股份有限公司
A．
坐
ʹܽ
B．
坐
͵ܽ
C．
ͻܽ
D．
͵
㘴ܽ
【技巧归纳】
折叠本质：对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线
正方形折叠后极易出现等腰直角三角形，直接用45° 角性质
通用步骤：标相等线段→设未知数→将已知未知边集中到一个直角三角形→勾股求解
常见结论：折叠后重叠部分必为等腰三角形
【变式5-1】如图，正方形ܣ郰ԩ坐中，ܣ郰ൌ，点耀在边ԩ坐上，且ԩ坐ൌ͵坐耀．将ᇞܣ坐耀沿ܣ耀对折至ᇞܣܨ耀，
延长耀ܨ交边郰ԩ 于点形，连接ܣ形､ԩܨ．下列结论：①ᇞܣ郰形، ᇞܣܨ形；②郰形ൌ形ԩ；③ܣ形צ ԩܨ；
④ܵᇞܨ形ԩ ൌ͵．其中正确结论的个数是（
）
A．①②④
B．①②③
C．④③②
D．①③④
【变式5-2】如图，在正方形ܣ郰ԩ坐中，ܣ郰ൌ坐ʹ，耀是ԩ坐上一点，且坐耀ൌ͵，ܨ是ܣ坐上一动点，连接耀ܨ，
若将ᇞ坐耀ܨ沿耀ܨ翻折后，点坐落在点坐̵ 处，则坐̵ 到点郰的最短距离为________．
12 / 29
学科网（北京）股份有限公司
题型6 根据正方形的性质证明
【例6】如图，在正方形ܣ郰ԩ坐中，点耀为边ܣ坐上一点，连接郰耀，将ᇞܣ郰耀沿郰耀翻折，得到ᇞܣ̵ 郰耀，
连接ܣ̵ ԩ，ܣ̵ 坐，若סܣ̵ ԩ坐ൌʹ为ι，则ס耀郰ܣ̵ 的度数为（
）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【技巧归纳】
证线段/ 角相等：优先找全等三角形（正方形四边相等、四角直角是天然全等条件）
证垂直：用直角性质或全等三角形对应角相等推导
证线段和差：常用截长补短法
常用辅助线：连接对角线、过顶点作垂线
【变式6-1】如图，在正方形ܣ郰ԩ坐中，点耀在边郰ԩ 上，连接坐耀交ܣԩ 于点ܲ
，连接郰ܲ．
13 / 29
学科网（北京）股份有限公司
(1)求证：ᇞܲ
坐ԩ، ᇞܲ
郰ԩ
(2)若坐耀ൌ坐为，耀郰ൌʹ，求ܣ郰的长．
【变式6-2】如图，在正方形ܣ郰ԩ坐中，点E 为郰ԩ 边上一点，连接ܣ耀，过点D 作坐ܨ٣ ܣ耀于点F，连接
ԩܨ，过点C 作ԩ形٣ 坐ܨ于点G．
(1)求证：坐ܨൌԩ形；
(2)若正方形ܣ郰ԩ坐的边长为6，郰耀ൌʹ，求ԩ形的长．
题型7 正方形的判定定理理解
【例7】在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处
应添加的条件填写错误的是（
）
A．①处应添加对角相等
B．②处应添加对角线互相垂直
C．③处应添加有一组邻边相等
D．④处应添加有一个角是直角
【技巧归纳】
平行四边形+ 一组邻边相等+ 一个角是直角
矩形+ 一组邻边相等或对角线互相垂直
菱形+ 一个角是直角或对角线相等
14 / 29
学科网（北京）股份有限公司
易错点：对角线相等且垂直的四边形≠正方形，必须先证是平行四边形
【变式7-1】如图，在ᇞܣ郰ԩ 中，ܣ坐是郰ԩ 边上的中线，E 是ܣ坐的中点，过点A 作郰ԩ 的平行线交郰耀的
延长线于点F，连接ԩܨ和坐ܨ．
(1)求证：四边形ܣ郰坐ܨ是平行四边形；
(2)若ܣ郰٣ ܣԩ，试判断四边形ܣ坐ԩܨ的形状，并证明你的结论；
(3)ᇞܣ郰ԩ 是什么三角形时，四边形ܣ坐ԩܨ是正方形，请说明理由．
【变式7-2】如图，正方形ܣ郰ԩ坐中，点耀在对角线ܣԩ 上．
(1)求作正方形耀ܨ形形，使得坐为正方形耀ܨ形形的中心；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的作图条件下，求证：ܣ耀ʹ 耀ԩʹ ൌʹ耀坐ʹ．
题型8 证明四边形是正方形
【例8】如图，Rt ᇞܣ郰ԩ 两条外角平分线交于点坐，ס郰ൌͻ为ι，过点坐作坐耀٣ 郰ܣ于点耀ǡ坐ܨ٣ 郰ԩ 于点ܨ．求
证：四边形郰ܨ坐耀是正方形．
15 / 29
学科网（北京）股份有限公司
【技巧归纳】
已知有直角：先证矩形→再证一组邻边相等/ 对角线垂直
已知边相等：先证菱形→再证一个角是直角/ 对角线相等
已知对角线：先证对角线互相平分→再证相等且垂直
最简路径：根据已知条件选最少步骤的判定方法
【变式8-1】如图，在菱形ܣ郰ԩ坐中，对角线ܣԩǡ郰坐相交于点ܱ
，点耀ǡܨ均在对角线郰坐上，且郰耀ൌ坐ܨǡܣԩ ൌ耀ܨ，
连接ܣ耀ǡԩ耀ǡԩܨǡܣܨ．
(1)求证：四边形ܣ耀ԩܨ是正方形．
(2)若ܣ耀ൌʹ ʹǡܱ郰ൌ͵，求郰ԩ 的长．
【变式8-2】如图，平面直角坐标系ܱ݇
ݕ中，点A、B 分别在x 轴、y 轴上，连接ܣ郰，ᇞܣܱ郰的两条外角
平分线郰ܲ、ܣܲ
交于第一象限的点P，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为C、D．
(1)求证：四边形ܱ
ԩܲ坐是正方形；
16 / 29
学科网（北京）股份有限公司
(2)若ܱ
ܣൌ͵，ܣ郰െܣԩ ൌʹ，求点B 的坐标．
题型9 根据正方形的性质与判定求角度
【例9】如图，矩形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，且DEצAC，CEצBD．
(1)求证：四边形OCED 是菱形；
(2)若AB=AD，求סADE 的度数．
【技巧归纳】
第一步：严格按题型8 的方法证明四边形是正方形
第二步：利用对角线平分对角得45°、直角互余等性质计算
结合全等三角形、折叠/ 旋转的角度不变性推导
特殊角（30°、60°）结合45° 角直接得出结果
【变式9-1】如图，耀是正方形ܣ郰ԩ坐对角线郰坐上一点，连接ܣ耀，ԩ耀，并延长ԩ耀交ܣ坐于点ܨ．若סܣ耀ԩ ൌ
坐为ι，求ס坐ܨ耀的度数．
【变式9-2】如图，在正方形ܣ郰ԩ坐中，耀，ܨ分别是ܣ坐，ԩ坐上两点，郰耀交ܣܨ于点形，且坐耀ൌԩܨ．
17 / 29
学科网（北京）股份有限公司
(1)判断郰耀与ܣܨ之间的数量关系与位置关系，并说明理由：
(2)当点耀是ܣ坐的中点时，连接形坐，求ס坐形ܨ的度数．
题型10 根据正方形的性质与判定求线段长
【例10】如图，E 为正方形ܣ郰ԩ坐内一点，סԩ耀郰ൌͻ为ι，ԩ耀ൌ㘴，ԩ郰ൌ坐．将Rt ᇞԩ郰耀绕点C 按顺时
针方向旋转ͻ为ι，得到ᇞԩ坐ܨ．延长郰耀交坐ܨ于点H，则坐形的长为（
）
A．7
B．7.5
C．8
D．9
【技巧归纳】
第一步：证明四边形是正方形，得到四边相等和对角线垂直相等
第二步：在等腰直角三角形中用1:1: ʹ的边长比快速计算
利用正方形的轴对称性找相等线段，简化计算
折叠问题仍遵循"设未知数+ 勾股定理" 的通用解法
【变式10-1】如图，在矩形ܣ郰ԩ坐中，点E、F 分别在边郰ԩ、ԩ坐上，连接ܣ耀、ܣܨ、耀ܨ，若ܣ耀、ܣܨ分
别平分ס郰耀ܨ和ס坐ܨ耀．已知ܣ郰ൌ䳌，则郰耀䳌
坐ܨ䳌的值为______．
18 / 29
学科网（北京）股份有限公司
【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，正方形ܣ郰ԩ坐的顶点ܣ，坐分别在݇
轴、ݕ轴上，对角线ܣԩ，郰坐
交于点‴．若ܱ
ܣൌʹ，ܱ坐ൌ͵，则点‴ 的坐标为________．
题型11 根据正方形的性质与判定求面积
【例11】如图，若סܣܱ郰＝סܣԩ郰＝ͻ为ι，ܱԩ 平分סܣܱ郰，ܱԩ ൌ，则四边形ܣܱ郰ԩ 的面积是_____ ．
【技巧归纳】
第一步：证明四边形是正方形
第二步：已知边长用边长2，已知对角线用
坐
ʹ݀
ʹ
利用面积相等可求正方形内的高或线段长度
不规则阴影面积优先用割补法转化为规则图形计算
【变式11-1】如图，在ᇞܣ郰ԩ 中，ס郰ܣԩ 的平分线交郰ԩ 于点坐，坐耀צܣ郰，坐ܨצܣԩ．
19 / 29
学科网（北京）股份有限公司
(1)求证：四边形ܣܨ坐耀是菱形．
(2)若ס郰ܣԩ ൌͻ为ι，且ܣ坐ൌʹ，求四边形ܣܨ坐耀的面积．
【变式11-2】如图，四边形ܣ郰ԩ坐中，ס郰ܣ坐ൌסԩ ൌͻ为ι，ܣ郰ൌܣ坐ǡܣ耀٣ 郰ԩ 于点E，ᇞ郰ܣ耀旋转一定角
度后能与ᇞ坐ܨܣ重合，根据图形回答问题．
(1)旋转中心是点________，旋转了________度；
(2)若ܣ耀ൌcm，求四边形ܣ郰ԩ坐的面积．
题型12 根据正方形的性质与判定证明
【例12】如图，在等腰直角三角形ܣ郰ԩ 中，סԩܣ郰ൌͻ为ι，ܣ坐是郰ԩ 边上的中线，以ܣ坐，ԩ坐为邻边作
ܣ坐ԩܨ．
(1)求证：
ܣ坐ԩܨ为正方形；
(2)连接郰ܨ，若ܣ郰ൌ
ʹ，求郰ܨ的长．
【技巧归纳】
第一步：证明四边形是正方形，获得边、角、对角线的全部性质
20 / 29
学科网（北京）股份有限公司
第二步：利用正方形的边相等、角相等构造全等三角形
常用结论：正方形中互相垂直的两条线段长度相等
辅助线：连接对角线构造等腰直角三角形或全等三角形
【变式12-1】如图，在正方形ܣ郰ԩ坐中，ܣ郰ൌ
ʹ，E 为对角线ܣԩ 上一动点，连接坐耀，过点耀作耀ܨ٣ 坐耀
交郰ԩ 于点ܨ，以坐耀，耀ܨ为邻边作矩形坐耀ܨ形，连接ԩ形．
(1)求证：矩形坐耀ܨ形是正方形；
(2)探究ԩ耀，ԩ形，郰ԩ 之间的数量关系，直接作答无需证明．
【变式12-2】如图，正方形ܣ郰ԩ坐的边长为4，点ܱ
为对角线郰坐的中点，点耀为ܣ坐边上的动点，点ܨ
在ԩ坐边上，连接ܱ
耀，ܱܨ，ܱ耀٣ܱ
ܨ．
(1)求证：ܱ耀ൌܱ
ܨ；
(2)当点耀在ܣ坐边上运动时，四边形ܱ
耀坐ܨ的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；
一、单选题
1．菱形添加一个条件，能使菱形成为正方形的是（
）
A．对角线平分一组对角
B．对角线相等
21 / 29
学科网（北京）股份有限公司
C．对角线互相垂直平分
D．四条边相等
2．某矩形的对角线长度为8，顺次连接该矩形各边的中点，得到新的四边形，则新四边形的边长为（
）
A．2
B．4
C．8
D．不确定
3．下列命题是假命题的是（
）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．有三个角是直角的四边形是矩形
4．已知四边形ܣ郰ԩ坐中，סܣൌס郰ൌסԩ ൌͻ为ι，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个
条件可以是（
）
A．ס坐ൌͻ为ι
B．ܣ郰ൌ郰ԩ
C．ܣ坐ൌ郰ԩ
D．ܣ郰ൌԩ坐
5．如图，在ᇞܣ郰ԩ 中，ס郰ܣԩ ൌͻ为ל，郰ԩ ൌ͵，以ܣ郰，ܣԩ 为边做正方形，这两个正方形的面积和为（
）
A．5
B．9
C．16
D．25
6．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，
则下列条件添加错误的是（
）
A．（1）处可填סܣൌͻ为ι
B．（2）处可填ܣ坐ൌ郰ԩ
C．（3）处可填ܣ郰ൌܣ坐
D．（4）处可填סܣൌͻ为ι
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ܱ
ܣ郰ԩ 的顶点C 的坐标为െʹ ʹǡ െʹ ʹ ，则顶点A 的坐标为（
）
22 / 29
学科网（北京）股份有限公司
A．െʹ ʹǡ
B．െǡ
C．െʹ ʹǡʹ ʹ
D．െǡʹ ʹ
8．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如
图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作ܵ坐，ܵʹ，正方形ܣ郰ԩ坐的面积记作ܵ͵，则ܵ坐，ܵʹ与ܵ͵的关系是
（
）
A．ܵ坐ܵ
ʹ ൏ܵ
͵
B．ܵ坐ܵ
ʹ ൌܵ
͵
C．ܵ坐ܵ
ʹ ܵ
͵
D．ʹܵ坐ܵ
ʹ ൌܵ
͵
9．小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示，给
出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个（
）
①ܣ郰צ ԩ坐，ܣ坐ൌ郰ԩ；②סܣ坐ԩ ൌͻ为ι；③ܣԩ ൌ郰坐；④ܣ郰ൌܣ坐；⑤ܣԩ ൌ郰坐
A．1
B．2
C．3
D．4
10．如图，正方形ܣ郰ԩ坐的边长为，ܲ为正方形边上的动点，沿ܣ՜ 坐՜ ԩ ՜ 郰՜ ܣ的路径匀速移动．设ܲ
点经过的路径长为݇，ᇞܣܲ坐的面积是ݕ，则下列图象能反映ݕ与݇
之间的函数关系的是（
）
23 / 29
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知在四边形ܣ郰ԩ坐中，ܣ郰צ ԩ坐，ܣ郰ൌԩ坐，סܣൌͻ为ι，如果添加一个条件，可使得四边形ܣ郰ԩ坐为
正方形，则添加的条件可以是________．（添加一个即可）
12．如图，点P 是正方形ܣ郰ԩ坐的对角线ܣԩ 上的一点，ܲ耀٣ ܣ坐于点E，ܲ耀ൌ͵．则点P 到直线ܣ郰的距
离为______．
13．如图，
ܣ郰ԩ坐的对角线交于点O，若ܣԩ ൌ郰坐，请你添加一个条件，使
ܣ郰ԩ坐是正方形__________．
14．如图，面积为6 的正方形ܣ郰ԩ坐的顶点ܣ在数轴上，且表示的数为െ坐，若点耀在数轴上，（点耀在
点ܣ的右侧）且ܣ郰ൌܣ耀，则点耀所表示的数为_______．
15．已知正方形ܱ
ܣ郰ԩ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点郰ǡ为，则点A 的坐标为_____．
24 / 29
学科网（北京）股份有限公司
16．已知正方形ܣ郰ԩ坐，连接ܣԩ、郰坐，ԩ耀平分סܣԩ坐交郰坐于点E，则סܣԩ耀ൌ______．
17．如图，耀是正方形ܣ郰ԩ坐内的一点，且坐耀ൌ坐ԩ，耀郰ൌ耀ԩ，则ס郰坐耀的度数为_____．
18．如图，正方形ܣ郰ԩ坐的边长为4，点E 在边郰ԩ 上，郰耀ൌ坐，作等腰直角三角形ܣ耀ܨǡסܣ耀ܨൌͻ为ι．
（1）耀ܨ的长_______．
（2）若‴ 为ܣܨ的中点，连接坐‴，则坐‴ 的长为______．
19．如图，在正方形ܣ郰ԩ坐中，ԩ坐ൌ，点耀、ܨ分别为郰ԩ、ܣ郰边上的动点，保持ԩ耀ൌܣܨ不变，则ܣ耀坐ܨ
的最小值为______．
20．如图，在正方形ܣ郰ԩ坐中，点耀，ܨ分别是边ܣ郰，郰ԩ 的中点，连接耀ԩ，ܨ坐，点形，形分别是耀ԩ，ܨ坐
的中点，连接形形．若ܣ郰ൌ͵，则形形的长度为________．
25 / 29
学科网（北京）股份有限公司
三、解答题
21．如图，四边形ܣ郰ԩ坐，ܣ耀ԩܨ分别是菱形与正方形，连接ܣԩ，若ס郰ܣ耀ൌʹ䳌ι，求סܣ郰ԩ 的度数．
22．如图，在正方形ܣ郰ԩ坐中，点E，F 分别在边郰ԩǡԩ坐上，且ס郰ܣ耀ൌס坐ܣܨ．求证：ԩ耀ൌԩܨ．
23．如图，ܣԩ、郰坐为正方形ܣ郰ԩ坐的对角线，若郰坐ൌ，求正方形ܣ郰ԩ坐的面积．
24．如图，四边形ܣ郰ԩ坐是正方形，G 是郰ԩ 上任意一点（点G 与B、C 不重合），ܣ耀٣ 坐形于E，ԩܨ٣ 坐形
于F．
(1)求证：ᇞܣ耀坐، ᇞ坐ܨԩ；
(2)求证：ܣ耀ൌܨԩ 耀ܨ．
25．如图，正方形ܣ郰ԩ坐的对角线ܣԩǡ郰坐交于点O，点E、F 分别在ܱ
郰ǡܱԩ 上，连接ܣ耀ǡ坐ܨ，ܣ耀ൌ坐ܨ，
26 / 29
学科网（北京）股份有限公司
求证：סܣ耀ܱ
ൌס坐ܨܱ．
26．如图，在ᇞܣ郰ԩ 中，ܣ郰ൌܣԩ，点D 是郰ԩ 的中点，过点A 作ܣ耀平行于郰ԩ，且ܣ耀ൌԩ坐，连接郰耀．
(1)求证：四边形ܣ耀郰坐是矩形．
(2)当סܣ郰ԩ ൌι时，四边形ܣ耀郰坐是正方形．
27．如图，等腰梯形ܣ郰ԩ坐中，ܣ坐צ郰ԩ，‴、㜵分别是ܣ坐、郰ԩ 的中点，耀、ܨ分别是郰‴、ԩ‴ 中点．
(1)求证：四边形‴耀㜵ܨ是菱形；
(2)若四边形‴耀㜵ܨ是正方形，请探索等腰梯形ܣ郰ԩ坐的高和底边郰ԩ 的数量关系，并证明你的结论．
28．请阅读下列材料：
问题：如图，在正方形ܣ郰ԩ坐和平行四边形郰耀ܨ形中，点A，B，E 在同一条直线上，P 是线段坐ܨ的中点，
连接ܲ
形ǡܲԩ．
探究：当ܲ
形与ܲ
ԩ 的夹角为多少度时，平行四边形郰耀ܨ形是正方形？
小聪同学的思路是：首先可以说明四边形郰耀ܨ形是矩形；然后延长形ܲ
交坐ԩ 于点H，构造全等三角形，经
过推理可以探索出问题的答案．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．
(1)求证：四边形郰耀ܨ形是矩形；
(2)ܲ形与ܲ
ԩ 的夹角为_______度时，四边形郰耀ܨ形是正方形．
27 / 29
学科网（北京）股份有限公司
理由：
29．如图，点耀是正方形ܣ郰ԩ坐的边郰ԩ 的中点，连接坐耀，将ᇞ耀坐ԩ 沿坐耀所在直线折叠，点ԩ 落在点ܨ
处，连接耀ܨ并延长交ܣ郰于点形，连接坐形．
(1)求证：ᇞܣ坐形، ᇞܨ坐形；
(2)若ܣ郰ൌ，求ܣ形的长．
30．在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下
面思维导图帮助学生理解记忆．
(1)在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为________，________；
(2)对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中
的一个，添加除对角线外的条件变成正方形．________是正方形；（请将添加的条件填在横线上）
(3)通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明．
已知：如图，E、F 是正方形ܣ郰ԩ坐的对角线郰坐所在直线上的两点，且郰耀ൌ坐ܨ．
求证：四边形ܣ耀ԩܨ是菱形．
31．如图，在ᇞܣ郰ԩ 中，ܣ郰ൌܣԩ，ܣ坐是ᇞܣ郰ԩ 的角平分线，点O 为ܣ郰的中点，过点A 作直线ܣ耀交坐ܱ
并延长到点E，使ס耀ܣ郰ൌסԩ，连接郰耀．
(1)求证：郰ԩ צ ܣ耀．
(2)求证：四边形ܣ耀郰坐是矩形；
28 / 29
学科网（北京）股份有限公司
(3)当ᇞܣ郰ԩ 满足什么条件时，四边形ܣ耀郰坐是正方形，并说明理由．
32．四边形ܣ郰ԩ坐中，点E、F、G、H 分别为ܣ郰、郰ԩ、ԩ坐、坐ܣ边的中点，顺次连接各边中点得到的新四
边形耀ܨ形形称为中点四边形．
(1)求证：四边形耀ܨ形形都是平行四边形；
(2)①当对角线ܣԩ ൌ郰坐时，四边形ܣ郰ԩ坐的中点四边形为_____形；
②当对角线ܣԩ ٣ 郰坐时，四边形ܣ郰ԩ坐的中点四边形是______形．
(3)如图：四边形ܣ郰ԩ坐中，已知ס郰ൌסԩ ൌ为ι，且郰ԩ ൌܣ郰ԩ坐，请利用（1）中的结论，判断四边形ܣ郰ԩ坐
的中点四边形耀ܨ形形是______形．
33．综合与实践
【情境】有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图1 所示，已知סܣ郰ԩ ൌסܣ坐ԩ ൌͻ为ι，ܣ郰ൌ，
郰ԩ ൌ㘴，ܣ坐ൌԩ坐ൌ䳌ʹ，现要把每块木板都只分割一次，将其拼成正方形（说明：木板拼接不重叠，无
缝隙，无剩余）；
【操作】选取其中一块四边形木板拼成一个正方形，如图2，
嘉嘉过点坐分别作坐耀٣ 郰ԩ 于点耀，坐ܨ٣ ܣ郰交郰ܣ的延长线于点ܨ，并说：“沿坐耀进行分割，得到能与
ᇞܣ坐ܨ完全重合的ᇞԩ坐耀，即可拼得正方形郰耀坐ܨ．”
(1)求证：ᇞܣ坐ܨ، ᇞԩ坐耀；
(2)求ԩ耀的长；
【拓展】将两块四边形木板拼成一个大正方形，淇淇说：“如图3，将每一块四边形都沿同一条分割线进行
分割，即可拼成两个等腰直角三角形，最终拼得一个大正方形．”
29 / 29
学科网（北京）股份有限公司
(3)在图3 中画出一条分割线，并直接
．．写出这条分割线的长．
34．已知：如图，菱形ܣ郰ԩ坐的对角线ܣԩ、郰坐交于点ܱ
，分别过点C、D 作ԩܨצ 郰坐，坐ܨצ ܣԩ，连接郰ܨ
交ܣԩ 于点耀．
(1)求证：ᇞܨԩ耀، ᇞ郰ܱ耀；
(2)当ܣ坐٣ ԩ坐时，判断四边形ܱ
ԩܨ坐的形状，并说明理由．
35．如图，将边长为4 个单位长度的正方形ܣ郰ԩ坐置于平面直角坐标系中，使ܣ郰边落在x 轴的正半轴上，
其他边在x 轴的上方，点A 的坐标是ʹǡ为，点E 的坐标是͵ǡ为．
(1)若直线l 经过点C 和点E，求直线l 的函数解析式；
(2)若直线݈坐经过点ܨെ坐ǡ为，且与直线ݕൌ͵݇
平行，将（1）中直线l 沿着y 轴向上平移2 个单位长度后交
x 轴于点M，交直线݈坐于点N，求ᇞ㜵‴ܨ的面积．
