文档文本内容
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第10 讲等腰三角形
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 等腰三角形的概念
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两
腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角．
知识点2 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
证明：ABC
是等腰三角形，AB
AC
，作底边BC 的高AD ，
由等腰三角形是轴对称图形，底边上的高AD 是ABC
的对称轴可知，
对称轴左右两边的三角形完全相等，即ABD
ACD
，得
B
C
．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
证明：ABC
是等腰三角形，AB
AC
，作底边BC 的高AD ，
由等腰三角形是轴对称图形，底边上的高AD 是ABC
的对称轴可知，
对称轴左右两边的三角形完全相等，即ABD
ACD
，得
BAD
CAD
，BD
CD
．
.
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知识点3 等腰三角形的判定
判定1：如果一个三角形有两个角相等，那么着两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
证明：在ABC
中，
B
C
，作AD
BC
于D ，则
90
B
C
ADB
ADC
AD
AD
所以
ABD
ACD
≌
，则AB
AC
．
判定2：如果一个三角形一边上的“三线”中的任意两线合一；那么这个三角形是等腰三角形．
证明：
CAE
是ABC
的外角，
EAD
DAC
，AD
BC
∥
，则，
EAD
B
，
DAC
C
，得
B
C
，则AB
AC
．
课本典例1（习题12.3 第1 题）
等腰三角形的周长为16，其中一条边的长是6，求另两条边的长。
课本典例2（习题12.3 第2 题）
等腰三角形的底角比顶角大15?，求各个角的度数。
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课本典例3（习题12.3 第3 题）
课本典例4（习题12.3 第4 题）
如图，在?ABC 中，AB = AC，D、E 是边BC 上的点，且BD = CE。求证：?ADE = ?AED。
课本典例5（习题12.3 第5 题）
如图，AB、CD 相交于点E，EA = EC，AC?BD。求证：EB = ED。
题型一根据等边对等角证明
1．（24-25 八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，
ABC
V
中，AB
AC
，点D 为BC 的中点，过点D 分别
作DE
AC
于E
DF
AB
、
于F ．
(1)求证：DE
DF
；
(2)求证：AE
AF
．
2．
（24-25 八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E，B，C，F 在一条直线上，CF
BE
，AB
DC
ABC
BCD
，
，
AF 与DE 相交于点O，求证：
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(1)
A
D
；
(2)OE
OF
．
3．
（24-25 八年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点E 、F 在BC 上，AF 与DE 交于点G ，AB
DC
，GE
GF
，
B
C
．
求证：AF
DE
．
4．（24-25 八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在
ABC
V
中，
45
ABC
，D 是BC 上一点，且AD
BD
，
E 为AC 上的一点，BE 交AD 于F，BF
AC
．
(1)求证：
ADC
BDF
△
≌△
；
(2)求证：BE
AC
．
题型二三线合一
5．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
，AD 是角平分线．若
50
B
，
则
CAD
的度数为（
）
A．40
B．50
C．55
D．60
6．（22-23 八年级上·广西河池·期中）如图，在等边ABC 中，AD 是ABC 的中线，
,
5,
CE
AB AD
P
是
AD 上一个动点，则PB
PE
最小值的是（
）
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A．2.5
B．5
C．7.5
D．10
7．（24-25 八年级上·重庆·期中）如图，
ABC
V
中，AB
AC
，AD 平分
CAB
，则下列结论中，错误的是
（
）
A．BD
CD
B．AD
BC
C．
B
C
D．AD
BC
8．（24-25 八年级上·江西上饶·阶段练习）（1）如图1，已知BD ，CE 是
ABC
V
的中线，请你用无刻度的
直尺作出BC 边上的中线；
（2）如图2，在AEB 中，BE
AE
，EM
AB
，在AFC 中，AF
CF
，NF
AC
，请你用无刻度直尺
作出
ABC
V
边BC 上中线．
9．（24-25 八年级上·吉林·期中）在四边形EFGH 中，EF
EG
EH
．
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(1)如图①，求证：
EFG
EHG
FGH
；
(2)如图②，在边FG
GH
、
上分别取中点M、N，连接EM
EN
、
．若
120
EFG
EHG
，求
MEN
的度
数．
题型三根据三线合一证明
10．（24-25 八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形ACBD中，
90
C
，BA
BD
．
(1)若
3
CA
，
4
BC
，
6
AD
，求四边形ACBD的面积；
(2)请在①
2
ABD
ABC
；②
2
AD
AC
中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明．
11．（24-25 八年级上·浙江金华·期末）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
，点D ，E 分别是BC 上两点，连接AD ，
AE ，且AD
AE
．求证：BD
CE
．
针对这道题目，三位同学进行了如下讨论：
小明：“可以通过证明
ABD
ACE
≌
△
△
得到．”
小华：“可以通过证明ABE
ACD
≌
得到．”
小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．”
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
12．（24-25 八年级上·江苏镇江·期末）如图，在
ABC
V
中，BA
BC
，CD
AB
，垂足为D ，BE
AC
，
垂足为E ，CD 、BE 交于点F ，BD
CD
．求证：
(1)
BDF
CDA
△
≌△
；
(2)
2
BF
CE
．
13．（24-25 八年级上·湖南衡阳·期中）如图，
90
BAD
CAE
，AB
AD
，AE
AC
，AF
CB
，垂
足为F．
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(1)求证：
ABC
ADE
△
≌△
；
(2)求
FAC
的度数；
(3)求证：
ABF
ADC
，并直接写出线段CD 、BC 、BF 之间的数量关系．
题型四等边三角形的性质
14．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，等边
ABC
V
的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边
上的动点，E 是AC 边上一点，若
2
AE
，当EF
CF
取得最小值时，则
ECF
的度数为（
）
A．15
B．22.5
C．30
D．60
15．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知
ABC
V
是等边三角形，点D 在边BA 的延长线上，则
CAD
的度数为
．
16．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，
ABC
V
是等边三角形，在
ADE
V
中，
80
15
AD
AE
DAE
BAD
，
，
，则
CDE
（
）
A．30
B．20
C．35
D．25
17．（24-25 八年级上·青海西宁·阶段练习）①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三
角形内部，且交于一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相
等的两部分；⑤等边三角形是等腰三角形．以上说法正确的是
（填序号）
18．（24-25 八年级上·吉林松原·期中）如图，
ACM
△
与
CBN
△
都是等边三角形，AC
BC
，若
ACM
△
不
动，将
CBN
△
绕点C 旋转，则在旋转过程中，AN 与BM 的大小关系是（
）
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A．AN
BM
B．AN
BM
C．AN
BM
D．无法确定
题型五等边三角形的判定
19．（24-25 八年级上·河南安阳·期中）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（
）
①有两个角是60的三角形
②有两个外角相等的等腰三角形
③腰上的高也是中线的等腰三角形
④三个外角都相等的三角形
⑤有一个角为60的等腰三角形．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
20．（24-25 八年级上·河南商丘·期末）如图，在
ABC
V
中，DE
BC
∥
，
EDF
C
．
(1)求证：
BDF
A
；
(2)若
60
A
，DF 平分
BDE
，求出
ABC
V
的形状．
21．（24-25 八年级上·陕西渭南·期末）如图，在
ABC
V
中，
,
60
AB
AC
ACB
，在AC 边上取点D ，连
接BD ，使BD
BC
．以AD 为一边作等边
ADE
V
，且使点E 与点B 位于直线AC 的同侧，
2
EAB
BAC ．
(1)求
BDE
的度数；
(2)点F 在AB 上，连接
,
DF DF
BD ，请判断
BDF
V
是否是等边三角形，并说明理由．
题型六找出图中的等腰三角形
22．（24-25 八年级上·北京·期中）如图，已知
ABC
V
中，
3
AB ，
5
AC
，
7
BC
，在
ABC
V
所在平面内
画一条直线，将
ABC
V
分割成两个三角形，使其中有一个边长为3 的等腰三角形，则这样的直线最多可画
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（
）
A．3 条
B．4 条
C．5 条
D．6 条
23．（23-24 八年级上·全国·单元测试）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
，
72
B
，CD 平分
ACB
交AB 于
点D ，DE
AC
∥
交BC 于点E ，则图中共有等腰三角形（
）
A．3个
B．4 个
C．5个
D．6 个
24．（2024 八年级下·全国·专题练习）如图，
36
B
C
，
72
ADE
AED
，则图中的等腰三角形
有
个．
25．（23-24 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，共有等腰三角形（
）
A．2
B．3
C．5
D．4
题型七根据等角对等边证明等腰三角形
26．（24-25 八年级上·江苏盐城·期中）如图，在ABC 中，AB
AC
，
36
A
，CD平分
ACB
，交AB
于点D ，求证：CDB 是等腰三角形．
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27．（23-24 八年级上·湖北宜昌·期中）如图，
ABC
V
中，D 为BC 中点，1
2
．求证：
ABC
V
为等腰三
角形．
28．（24-25 八年级上·广东肇庆·期末）如图，
,
A
B CE
DA
∥
，CE 交AB 于点E ．求证：CEB 是等腰
三角形．
29．（24-25 八年级上·江苏常州·期中）如图，BE 是
ABC
V
的角平分线，在AB 上取点D 使DE
BC
∥
．
(1)求证：DBE 是等腰三角形
(2)若
65
A
，
45
AED
，求
EBC
的度数．
题型八根据等角对等边证明边相等
30．（22-23 八年级上·广西河池·期中）如图，点E、F 在BC 上，BE
CF
，AB
CD
，
B
C
，AF 与
DE 相交于点O，求证OF
OE
．
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31．（24-25 八年级上·青海西宁·阶段练习）如图，已知AB
CD
，AC 交BD 于点O，且AC
BD
．求证
OA
OD
．
32．（24-25 八年级上·福建福州·期末）如图，
ABF
△
和
DCE
△
中，点E
F
，
在BC 上，
,
,
BE
CF AB
DC AF
DE
．求证：GE
GF
．
题型九根据等角对等边求边长
33．（22-23 八年级上·广西河池·期末）如图，在
ABC
V
中，
B
C
，
3
AB ，则AC 的长为（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
34．（24-25 八年级上·北京海淀·期中）如图，D 为
ABC
V
内一点，AD
CD
，AD 平分
CAB
，且
DCB
B
．如果
6
AC
，
2
CD
，求AB 的长．
35．（24-25 八年级上·重庆渝北·期中）如图，在
ABC
V
中，
45
BAC
，高AD ，CE 交于点H．若
13,
7
AB
CE
，则CH
．
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36．（24-25 八年级上·浙江金华·期末）如图，在
ABC
V
中，点D 是边AC 上一点，点E 为
ABC
V
外的一点，
连接BD ，BE ，DE ，其中AB
BE
BC
，
ABD
EBD
．
(1)求证：
ABD
EBD
△
≌△
；
(2)若
CAB
DBA
，
6
BE
，
10
AC
，求BDC 的周长．
题型十求图中任意两点构成的等腰三角形的点
37．（24-25 八年级上·江西宜春·期中）在平面直角坐标系中，
(0,5)
A
，
(
)
2,3
B
，C 为第一象限内一点，若
以A，B，C 三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C 点坐标为
．
38．（23-24 八年级下·陕西西安·期中）如图，在
ABC
V
中，
75
ABC
，
30
BAC
．点P 为直线BC 上
一动点，若点P 与
ABC
V
三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P 的位置有（
）
A．4 个
B．6 个
C．8 个
D．9个
39．（23-24 八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图
ABC
V
中，
=60
B
，
80
C
，在直线BA 上找一
点D，使ACD 或
BCD
△
为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（
）
A．7 个
B．6 个
C．5 个
D．4 个
40．（21-22 八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在Rt ABC 中，
90
C
，BC
AC
，以
ABC
V
的一边为边
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画等腰三角形，使得它的第三个顶点在
ABC
V
的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为
（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
题型十一等腰三角形的性质和判定
41．（19-20 八年级上·北京海淀·期中）在
ABC
V
中，
,
36
AB
AC
A
，CD 平分
ACB
交AB 于
,
,
D E F 在
,
AC BC 上，且
108
EDF
．
(1)求
ADC
的度数；
(2)求证：AE
BF
BC
．
42．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期末）如图（1），
ABC
V
中，AB
AC
，BD 平分
ABC
交AC 于点D ，
且BD
BC
．
(1)求
A
的度数；
(2)若点E 为线段AB 的中点，连接DE ，如图（2），判断直线DE 与AB 的位置关系，并说明理由．
43．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，
ABD
△
中，AB
AD
，AC 平分
BAD
，交BD 于点E，
连接BC ，CD ．
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(1)求证：BC
CD
；
(2)若
50
ABD
，
130
BCD
，求
ABC
的度数．
44．（24-25 八年级上·河北廊坊·期中）如图，在
ABC
V
中，
B
C
，AD
BC
，垂足为D ，DE
AB
∥
，
交AC 于点E ．
ADE
V
是等腰三角形吗？请说明理由．
45．（24-25 八年级上·江西景德镇·期中）如图所示，AD
BC
∥
，AE 是
BAD
的平分线，BE 是
ABC
的
平分线．求证：
(1)
90
AEB
(2) AB
AD
BC
．
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一、单选题
1．（24-25 八年级上·山西忻州·期中）如图，
AOB
ADC
△
≌△
，点B 和点C 是对应顶点，
90
O
D
，
记
,
OAD
ABO
，
A
ABC
CB
∠
，当BC
OA
∥
时，与之间的数量关系为（
）
A．a
B．
2
C．
90
D．
2
180
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2．（24-25 八年级上·贵州遵义·期中）在
ABC
V
中，
90
45
C
A
，
，则对
ABC
V
的形状判断最准确的
一项是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
3．（24-25 八年级上·广东惠州·期中）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
，D 为BC 的中点，
35
BAD
，则
C
（
）
A．65
B．55
C．45
D．35
4．（24-25 八年级上·吉林·期中）若等腰三角形的两边长分别是3 和8、则它的第三边的长是（）
A．3
B．6
C．8
D．3 或8
5．（24-25 八年级上·吉林·期中）如图，已知EA
ED
．若
140
CEA
，则∠BDE 的度数为（
）
A．70
B．80
C．100
D．110
6．（24-25 八年级上·甘肃兰州·期中）如图，正三角形的三条边长都为1 个单位长度，点P 与表示2
的点
重合，现将正三角形不断向右翻转，则数轴上表示2024 的点与正三角形重合的点是（
）
A．点P
B．点M
C．点N
D．无法确定
7．（24-25 八年级上·江西景德镇·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B
是两个格点，如果点C 也是图中的格点，且使
ABC
V
为等腰直角三角形，那么点C 的个数是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
8．（24-25 八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
DC
，D 在BC 上，且AD
DB
，
17 / 19
则
BAC
的度数是（
）
A．100
B．105
C．108
D．120
9．（24-25 八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点D ，C ，E 在直线l 上，点A ，B 在l 的同侧，AC
BC
，
若AD
AC
BC
BE
，
6
CD
，
12
ACD
S
，则CE 的长是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
10．（24-25 八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，AC
BC
，
90
ACB
，AD 平分
BAC
，
BE
AD
交AC 的延长线于F，E 为垂足．则结论：（1）AD
BF
；（2）CF
CD
；（3）AC
CD
AB
；
（4）BE
CF
；（5）
2
BF
BE
，其中正确的结论个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
11．（24-25 八年级上·广东广州·阶段练习）如图，
15
EAF
，AB
BC
CD
，则
ECD
等于
．
12．（24-25 八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，AD 是
ABC
V
的高，AD
BD
，BE
AC
，
70
BAC
，
则
DBE
大小为
．
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13．（24-25 八年级上·甘肃陇南·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，
90
ABC
，
56
A
，CD
CB
，则
CBD
．
14．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，点P 在正五边形的边BC 上运动（不与点B，C 重合），
若
BAP
x
，则x 的值可以是
．（写出一个符合要求的答案即可）
15．（24-25 八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，AB
AC
，点D 在AB 上，且AD
CD
BC
，则
A
的
度数为
．
三、解答题
16．（24-25 八年级上·安徽宣城·期中）已知a 、b 、c 为
ABC
V
的三边长．若
ABC
V
为等腰三角形，且周长
为16，已知
4
a
，求b
c
、的值．
17．（24-25 八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
，点D 在AB 上，点E 在AC 上，
AD
AE
，求证：CD
BE
．
18．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）已知；如图，在
ABC
V
中，AB
BC
，
90
ABC
．F 为AB 延长
线上一点，点E 在BC 上，BE
BF
，连接AE 、EF 和CF ．
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(1)求证：AE
CF
；
(2)若
30
CAE
，求
EFC
的度数．
19．（23-24 八年级上·四川南充·阶段练习）如图，
180
BAD
C
，AD
CD
，求证：BD 平分
ABC
；
20．（23-24 八年级上·四川南充·期中）如图，已知D ，E 在三角形ABC 的边BC 上，且AB
AC
，BD
CE
．求
证：AD
AE
．
