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第10 讲等腰三角形
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 等腰三角形的概念
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两
腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角．
知识点2 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
证明：ABC
是等腰三角形，AB
AC
，作底边BC 的高AD ，
由等腰三角形是轴对称图形，底边上的高AD 是ABC
的对称轴可知，
对称轴左右两边的三角形完全相等，即ABD
ACD
，得
B
C
．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
证明：ABC
是等腰三角形，AB
AC
，作底边BC 的高AD ，
由等腰三角形是轴对称图形，底边上的高AD 是ABC
的对称轴可知，
对称轴左右两边的三角形完全相等，即ABD
ACD
，得
BAD
CAD
，BD
CD
．
.
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知识点3 等腰三角形的判定
判定1：如果一个三角形有两个角相等，那么着两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
证明：在ABC
中，
B
C
，作AD
BC
于D ，则
90
B
C
ADB
ADC
AD
AD
所以
ABD
ACD
≌
，则AB
AC
．
判定2：如果一个三角形一边上的“三线”中的任意两线合一；那么这个三角形是等腰三角形．
证明：
CAE
是ABC
的外角，
EAD
DAC
，AD
BC
∥
，则，
EAD
B
，
DAC
C
，得
B
C
，则AB
AC
．
课本典例1（习题12.3 第1 题）
等腰三角形的周长为16，其中一条边的长是6，求另两条边的长。
【答案】当6 为腰长时，底边长为16?6?6 = 4，另两条边是6 和4。当6 为底边长时，腰长为
16 −6 ÷ 2 = 5，另两条边是5 和5 。
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【解析】等腰三角形两腰长度相等。分情况长度相等。分情况讨论，若已知边是腰，直接用周长减去两腰
长得到底边；若已知边是底边，用周长减去底边后除以2 得到腰长。
【点睛】对于等腰三角形已知一边求另两边问题，要分情况讨论已知边是腰还是底边，同时要注意三边需
满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），本题两种情况均满足。
课本典例2（习题12.3 第2 题）
等腰三角形的底角比顶角大15?，求各个角的度数。
【答案】设顶角为x，则底角为x + 15?。根据三角形内角和为180?，可得x + 2 x + 15? = 180?，即x + 2x + 30? =
180?，3x = 150?，解得x = 50?，底角为50? + 15? = 65?。所以三个角分别是50?，65?，65?。
【解析】利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理，通过设未知数建立方程求解。
【点睛】涉及等腰三角形角的度数计算，常借助三角形内角和定理，设未知数建立方程求解，注意等腰三
角形角的性质应用。
课本典例3（习题12.3 第3 题）
有两个三角形，它们的三个角分别为：①20?，40?，120?；②20?，60?，100?。怎样把它们分别分成两个等
腰三角形？画出图形试试看。
【答案】对于20?，40?，120?的三角形：在120?角处作一个20?的角，把120?角分成20?和100? ，得到两个等
腰三角形，一个三角形内角为20?，20?，140?；另一个为40?，40?，100?。对于20?，60?，100?的三角形：在
100?角处作一个60?的角，把100?角分成60?和40? ，得到两个等腰三角形，一个三角形内角为20?，20?，140?；
另一个为60?，60?，60?。（图形略，可根据描述自行绘制）
【解析】根据等腰三角形两底角相等的性质，通过在大角中作出合适角度，构造出两个等腰三角形。
【点睛】此类题关键是依据等腰三角形角的特点，尝试在较大角中分割出与已有角相等的角，从而构造等
腰三角形。
课本典例4（习题12.3 第4 题）
如图，在?ABC 中，AB = AC，D、E 是边BC 上的点，且BD = CE。求证：?ADE = ?AED。
【答案】因为AB = AC，所以∠B = ∠C（等边对等角）。在?ABD 和?ACE 中，
所
以?ABD??ACE SAS 。则AD = AE（全等三角形对应边相等），所以?ADE = ?AED（等边对等角）。
【解析】先利用等腰三角形性质得到∠B = ∠C，再根据已知条件证明?ABD 和?ACE 全等，由全等得到AD =
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AE，最后根据等腰三角形性质证得?ADE = ?AED。
【点睛】证明等腰三角形中角相等，常通过证明边相等结合等边对等角来实现，而证明边相等可借助全等
三角形，要善于挖掘等腰三角形本身的性质来创造全等条件。
课本典例5（习题12.3 第5 题）
如图，AB、CD 相交于点E，EA = EC，AC?BD。求证：EB = ED。
【答案】因为AC?BD，所以∠A = ∠B，∠C = ∠D（两直线平行，内错角相等）。又因为EA = EC，所以
∠A = ∠C（等边对等角）。从而∠B = ∠D，所以EB = ED（等角对等边）。
【解析】先由平行线性质得到角相等，再结合已知EA = EC 推出∠B = ∠D，最后根据等角对等边得到EB =
ED。
【点睛】本题综合运用了平行线性质和等腰三角形的判定，平行线能得到角的关系，等腰三角形中边与角
相互转化的性质是解题关键，要熟练掌握等角对等边和等边对等角在证明中的应用。
题型一根据等边对等角证明
1．（24-25 八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，
ABC
V
中，AB
AC
，点D 为BC 的中点，过点D 分别
作DE
AC
于E
DF
AB
、
于F ．
(1)求证：DE
DF
；
(2)求证：AE
AF
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质：
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（1）由等边对等角得
B
C
，再证
(AAS)
DEC
DFB
≌
，即可得出DE
DF
；
（2）由DEC
DFB
≌
得CE
BF
，结合AB
AC
，可得AE
AF
．
【详解】（1）证明：
AB
AC
，
B
C
，
D为BC 中点，
BD
CD
，
又
,
DE
AC DF
AB
，
DEC
DFB
，
在DEC 和
DFB
△
中，
B
C
DFB
DEC
BD
CD
，
(AAS)
DEC
DFB
≌
，
DE
DF
；
（2）证明：由（1）得：DEC
DFB
≌
，
CE
BF
，
又
AC
AB
，
AC
CE
AB
BF
，
AE
AF
．
2．
（24-25 八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E，B，C，F 在一条直线上，CF
BE
，AB
DC
ABC
BCD
，
，
AF 与DE 相交于点O，求证：
(1)
A
D
；
(2)OE
OF
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，推导出BF
CE
，进而证明
≌
ABC
DCE 是解题的关键．
（1）由CF
BE
，推导出BF
CE
，而
ABF
DCE
AB
DC
，
，即可根据“SAS ”证明
≌
ABC
DCE ，
则
A
D
；
（2）由全等三角形的性质得
F
E
＝
，即可根据“等角对等边”证明OE
OF
．
【详解】（1）证明：∵点E，B，C，F 在一条直线上，
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∴CF
BC
BE
BC
，
∴BF
CE
，
∵
ABC
BCD
，
∴
ABF
DCE
，
在
ABC
V
和
DCE
△
中，
AB
DC
ABF
DCE
BF
CE
，
∴
SAS
ABC
DCE
≌
，
∴
A
D
；
（2）证明：由（1）得
≌
ABC
DCE ，
∴
F
E
，
∴OE
OF
．
3．
（24-25 八年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点E 、F 在BC 上，AF 与DE 交于点G ，AB
DC
，GE
GF
，
B
C
．
求证：AF
DE
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角．由GE
GF
得出
GEF
△
为等腰三角形，即
GEF
GFE
，再利用AAS 判定
ABF
DCE
≌
△
△
，据此即可得出结论．
【详解】证明：∵GE
GF
，
∴
GEF
△
为等腰三角形，
∴
GEF
GFE
∵在
ABF
△
和
DCE
△
中，
∵
B
C
，
GEF
GFE
，AB
DC
，
∴
AAS
ABF
DCE
≌
，
∴AF
DE
．
4．（24-25 八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在
ABC
V
中，
45
ABC
，D 是BC 上一点，且AD
BD
，
E 为AC 上的一点，BE 交AD 于F，BF
AC
．
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(1)求证：
ADC
BDF
△
≌△
；
(2)求证：BE
AC
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性
质和判定．
（1）首先证明
90
ADC
ADB
，然后证明出
(HL)
ADC
BDF
△
≌△
，进而得到结论；
（2）由全等三角形性质可得
EBC
DAC
，进而证明
90
EBC
C
即可得出结论.
【详解】（1）证明：
AD
BD
，
45
ABC
，
45
BAD
ABD
，
90
ADB
．
又
D是BC 上一点，
90
ADC
ADB
．
在Rt ADC 与Rt
BDF
△
中
AC
BF
AD
BD
，
HL
ADC
BDF
≌
；
（2）证明：
ADC
BDF
≌
，
EBC
DAC
．
又
Rt
ADC
△
中
90
DAC
C
，
90
EBC
C
，
90
BEC
，
BE
AC
；
题型二三线合一
5．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
，AD 是角平分线．若
50
B
，
则
CAD
的度数为（
）
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A．40
B．50
C．55
D．60
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等边对等角得
50
C
B
，由等腰三角形三线合一性质得AD
是
ABC
V
中BC 边上的高，推出
90
ADC
，最后由
90
CAD
C
可得答案．掌握等腰三角形的性质
是解题的关键．
【详解】解：∵AB
AC
，
50
B
，
∴
50
C
B
，
∵AD 是角平分线，
∴AD 是
ABC
V
中BC 边上的高，
∴AD
BC
，
∴
90
ADC
，
∴
90
90
50
40
CAD
C
，
∴
CAD
的度数为40．
故选：A．
6．（22-23 八年级上·广西河池·期中）如图，在等边ABC 中，AD 是ABC 的中线，
,
5,
CE
AB AD
P
是
AD 上一个动点，则PB
PE
最小值的是（
）
A．2.5
B．5
C．7.5
D．10
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
根据等边三角形的性质得到AD
BC
，
5
AD
CE
，点B 关于AD 的对称点为点C ，如图所示，连接CP ，
当点
, ,
C P E 三点共线时，取最小值，最小值为
5
CE
，由此即可求解．
【详解】解：∵ABC 是等边三角形，AD 是ABC 的中线，
,
5
CE
AB AD
，
∴AD
BC
，
5
AD
CE
，
∴点B 关于AD 的对称点为点C ，
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如图所示，连接CP ，
∴PB
PE
PC
PE
CE
，
∴当点
, ,
C P E 三点共线时，取最小值，最小值为
5
CE
，
∴PB
PE
最小值的是5，
故选：B ．
7．（24-25 八年级上·重庆·期中）如图，
ABC
V
中，AB
AC
，AD 平分
CAB
，则下列结论中，错误的是
（
）
A．BD
CD
B．AD
BC
C．
B
C
D．AD
BC
【答案】B
【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵
ABC
V
中，AB
AC
，AD 平分
CAB
，
∴
,
,
CD
BD
B
C AD
BC
，
故A，C，D 正确，
没有条件证明AD
BC
，故B 错误，
故选：B．
8．（24-25 八年级上·江西上饶·阶段练习）（1）如图1，已知BD ，CE 是
ABC
V
的中线，请你用无刻度的
直尺作出BC 边上的中线；
（2）如图2，在AEB 中，BE
AE
，EM
AB
，在AFC 中，AF
CF
，NF
AC
，请你用无刻度直尺
作出
ABC
V
边BC 上中线．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了三角形的中线，等腰三角形三角形的性质等知识，截图的关键是：
（1）设BD ，CE 相交于O，连接AO 并延长交BC 于点F 即可；
（2）根据三线合一的性质知：M 为AB 中点，N 为AC 中点，连接CM 、BN 相交于O，连接AO 并延长交BC
于点G 即可．
【详解】解：（1）如图，AF 即为所求，
；
（2）如图，AG 即为所求，
．
9．（24-25 八年级上·吉林·期中）在四边形EFGH 中，EF
EG
EH
．
(1)如图①，求证：
EFG
EHG
FGH
；
(2)如图②，在边FG
GH
、
上分别取中点M、N，连接EM
EN
、
．若
120
EFG
EHG
，求
MEN
的度
数．
【答案】(1)证明见解析
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(2)60
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，四边形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等边对等角可得
EFG
EGF
EGH
EHG
∠
∠
，∠
∠
，再由角的和差关系可证明结论；
（2）由三线合一定理得到
90
EMG
ENG
∠
∠
，再由四边形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵EF
EG
EH
，
∴
EFG
EGF
EGH
EHG
∠
∠
，∠
∠
，
∵
FGH
EGF
EGH
∠
∠
∠
，
∴
EFG
EHG
FGH
；
（2）解：∵EF
EG
EH
，M、N 分别是 FG
GH
、
的中点，
∴EM
GF
EN
GH
⊥
，
⊥
，
∴
90
EMG
ENG
∠
∠
，
∵
120
EFG
EHG
，
∴
120
FGH
，
∴
360
60
MEN
FGH
EMG
ENG
∠
∠
∠
∠
．
题型三根据三线合一证明
10．（24-25 八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形ACBD中，
90
C
，BA
BD
．
(1)若
3
CA
，
4
BC
，
6
AD
，求四边形ACBD的面积；
(2)请在①
2
ABD
ABC
；②
2
AD
AC
中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明．
【答案】(1)四边形ACBD的面积为18；
(2)选择①作为条件，②作为结论，证明见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，掌握知识点的
应用是解题的关键．
（1）过B 作BH
AD
于H ，则
90
C
AHB
DHB
，根据等腰三角形的性质得
1
3
2
AH
DH
AD
，
然后证明
Rt
Rt
HL
ACB
AHB
≌
，故有
ABC
V
的面积
BAH
的面积，从而
3
ABC
ACBD
S
S
四边形
，再求出
ACB
△
的面积即可求解；
（2 ）分选择①作为条件，②作为结论和选择②作为条件，①作为结论，通过全等三角形的判定与性质
即可求证．
【详解】（1）解：如图，过B 作BH
AD
于H ，则
90
C
AHB
DHB
，
12 / 55
∵BA
BD
，
6
AD
，
∴
1
3
2
AH
DH
AD
，
∴AC
AH
，
∵AB
AB
，
∴
Rt
Rt
HL
ACB
AHB
≌
，
∴
ABC
V
的面积
BAH
的面积，
∵AH
DH
，
∴ABH 的面积
BDH
的面积，
∴
3
ABC
ACBD
S
S
四边形
，
∵
ACB
△
的面积
1
1
·
3 4
6
2
2
AC BC
，
∴四边形ACBD的面积
3 6
18
；
（2）解：i ）如图，选择①作为条件，②作为结论，理由如下：
过B 作BH
AD
于H ，则
90
C
AHB
DHB
，
∵AB
DB
，BH
AD
，
∴
2
AD
AH
，
2
ABD
ABH
，
∵
2
ABD
ABC
，
∴
ABH
ABC
，
∵
90
C
AHB
，AB
AB
，
∴
AAS
ABH
ABC
≌
，
∴AH
AC
，
∴
2
AD
AC
；
ii ）如图，选择②作为条件，①作为结论，理由如下：
13 / 55
过B 作BH
AD
于H ，则
90
C
AHB
DHB
，
∵AB
DB
，BH
AD
，
∴
2
2
AD
AH
DH
，
2
ABD
ABH
，
∵
2
AD
AC
，
∴AC
AH
DH
，
∴
Rt
Rt
HL
ABH
ABC
≌
，
∴
ABC
ABH
，
∴
2
ABD
ABC
．
11．（24-25 八年级上·浙江金华·期末）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
，点D ，E 分别是BC 上两点，连接AD ，
AE ，且AD
AE
．求证：BD
CE
．
针对这道题目，三位同学进行了如下讨论：
小明：“可以通过证明
ABD
ACE
≌
△
△
得到．”
小华：“可以通过证明ABE
ACD
≌
得到．”
小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．”
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
【答案】证明见解析
【分析】小明的方法：由等腰三角形的性质得
B
C
，
ADE
AED
，即得
ADB
AEC
，进而可得
AAS
ABD
ACE
≌
，即可求证；
小华的方法证：由等腰三角形的性质得
B
C
，
AEB
ADC
，即得
AAS
ABE
ACD
≌
，即可求证；
小聪的方法：过点A 作AH
BC
于H ，由等腰三角形的性质可得BH
CH
，DH
EH
，进而即可求证；
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】小明的方法证明：
∵AB
AC
，
∴
B
C
，
14 / 55
∵AD
AE
，
∴
ADE
AED
，
∴
ADB
AEC
，
∴
AAS
ABD
ACE
≌
，
∴BD
CE
；
小华的方法证明：
∵AB
AC
，
∴
B
C
，
∵AD
AE
，
∴
AED
ADE
，
即
AEB
ADC
，
∴
AAS
ABE
ACD
≌
，
∴BD
CE
；
小聪的方法证明：
如图，过点A 作AH
BC
于H ，
∵AB
AC
，AD
AE
，
∴BH
CH
，DH
EH
，
∴BH
DH
CH
EH
，
即BD
CE
．
12．（24-25 八年级上·江苏镇江·期末）如图，在
ABC
V
中，BA
BC
，CD
AB
，垂足为D ，BE
AC
，
垂足为E ，CD 、BE 交于点F ，BD
CD
．求证：
(1)
BDF
CDA
△
≌△
；
(2)
2
BF
CE
．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
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【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，关键是推出
BDF
CDA
△
≌△
，
属于中考常考题型．
（1）根据ASA证出
BDF
CDA
△
≌△
即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出AE
CE
，再根据
BDF
CDA
△
≌△
，推出AC
BF
即可．
【详解】（1）证明：∵
,
CD
AB BE
AC
，
90
BDF
ADC
FEC
，
90
,
90
DBF
BFD
DCA
EFC
，且
BFD
EFC
，
DBF
DCA
，
在Rt DFB 和Rt DAC 中，
BDF
ADC
BD
CD
DBF
ACD
，
Rt DFB
Rt DAC AAS
≌
．
（2）证明：∵
,
BA
BC BE
AC
，
1
2
CE
AE
AC
，
又由（1）知
DFB
DAC
△
≌△
，
∴BF
AC
，
2CE
AC
BF
．
13．（24-25 八年级上·湖南衡阳·期中）如图，
90
BAD
CAE
，AB
AD
，AE
AC
，AF
CB
，垂
足为F．
(1)求证：
ABC
ADE
△
≌△
；
(2)求
FAC
的度数；
(3)求证：
ABF
ADC
，并直接写出线段CD 、BC 、BF 之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2) 45
(3)见解析，
2
CD
BF
BC
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定和性质，解
16 / 55
题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
（1）根据SAS 证明
ABC
ADE
△
≌△
即可；
（2）根据
90
CAE
，AC
AE
，求出
45
E
，根据全等三角形性质得出
45
BCA
E
，根据
AF
BC
，得出
90
CFA
，即可求出
45
CAF
；
（3）延长BF 到G ，使得FG
FB
，连接AG ，由
BAC
DAE
△
≌△
得
CBA
EDA
，证明
AAS
CGA
CDA
≌
，得出CG
CD
，根据
2
CG
CB
BF
FG
CB
BF
，即可证明结论．
【详解】（1）证明：
90
BAD
CAE
，
90
BAC
CAD
，
90
CAD
DAE
，
BAC
DAE
，
在BAC 和DAE 中，
AB
AD
BAC
DAE
AC
AE
，
SAS
BAC
DAE
≌
；
（2）解：
90
CAE
，AC
AE
，
45
E
，
由（1）知
BAC
DAE
△
≌△
，
45
BCA
E
，
AF
CB
Q
^
，
90
CFA
，
45
FAC
；
（3）解：
2
CD
BF
BC
；理由如下：
延长BF 到G，使得FG
FB
，连接AG ，如图所示：
AF
BG
，
AB
AG
，
ABF
G
，
BAC
DAE
△
≌△
，
AB
AD
，
CBA
EDA
，
AG
AD
，
ABF
CDA
，
G
CDA
，
45
GCA
DCA
，
∴在
CGA
△
和CDA 中，
17 / 55
GCA
DCA
G
CDA
AG
AD
，
AAS
CGA
CDA
≌
，
CG
CD
，
2
CG
CB
BF
FG
CB
BF
，
2
CD
BF
BC
．
题型四等边三角形的性质
14．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，等边
ABC
V
的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边
上的动点，E 是AC 边上一点，若
2
AE
，当EF
CF
取得最小值时，则
ECF
的度数为（
）
A．15
B．22.5
C．30
D．60
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到
CM 是解题的关键．作点E 关于AD 对称的点M，连接CM ，与AD 交于点F，推出EF
CF
最小时即为CM ，
再根据等边三角形的性质可得结果．
【详解】解：作点E 关于AD 对称的点M，连接CM ，与AD 交于点F，
∵
ABC
V
是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，
∴AD
BC
，AD 平分
BAC
，
18 / 55
∴M 在AB 上，
∴MF
EF
，
∴EF
CF
MF
CF
CM
，
∵两点之间线段最短，
∴当
,
,
C F M 时，EF
CF
最小，且为CM ，
∵
2
AE
，
∴
2
AM
，即点M 为AB 中点，
∵
ABC
V
是等边三角形，
∴CM 平分
ACB
，
60
ACB
∴
1
30
2
ECF
ACB
，
故选：C．
15．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知
ABC
V
是等边三角形，点D 在边BA 的延长线上，则
CAD
的度数为
．
【答案】120
【分析】本题考查了等边三角形的性质和邻补角，结合等边三角形的性质可得
60
A
B
C
，再根
据邻补角即可求出答案．
【详解】解：
ABC
V
是等边三角形，
60
A
B
C
，
点D 在边BA 的延长线上，
180
60
120
CAD
∠
．
故答案为：120．
16．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，
ABC
V
是等边三角形，在
ADE
V
中，
80
15
AD
AE
DAE
BAD
，
，
，则
CDE
（
）
A．30
B．20
C．35
D．25
【答案】D
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形
的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键；由题意易得
60 ,
50
B
ADE
，则有
75
ADC
，然后问题可求解．
19 / 55
【详解】解：∵
ABC
V
是等边三角形，
∴
=60
B
，
∵
80
15
AD
AE
DAE
BAD
，
，
，
∴
180
50 ,
75
2
DAE
ADE
ADC
B
BAD
，
∴
25
CDE
ADC
ADE
；
故选：D．
17．（24-25 八年级上·青海西宁·阶段练习）①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三
角形内部，且交于一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相
等的两部分；⑤等边三角形是等腰三角形．以上说法正确的是
（填序号）
【答案】②④⑤
【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三
角形的中线的定义及性质判断④，根据等边三角形的定义判断⑤，即可求解．
【详解】①三角形的角平分线是线段，原说法错误；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确；
③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝
角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．原说法错误；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确．
⑤等边三角形是等腰三角形，说法正确．
说法正确的有②④⑤，
故答案为：②④⑤．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，等边三角形的定义．从三角形的一个顶
点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对
边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所
对顶点的连线叫做三角形的中线．
18．（24-25 八年级上·吉林松原·期中）如图，
ACM
△
与
CBN
△
都是等边三角形，AC
BC
，若
ACM
△
不
动，将
CBN
△
绕点C 旋转，则在旋转过程中，AN 与BM 的大小关系是（
）
A．AN
BM
B．AN
BM
C．AN
BM
D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定
20 / 55
与性质是解题的关键．
利用SAS 证明ACN
MCB
≌
即可说理．
【详解】解：∵
ACM
△
与
CBN
△
都是等边三角形，
∴
,
,
60
CA
CM CB
CN
ACM
BCN
，
∴
ACN
MCB
，
∴
SAS
ACN
MCB
≌
，
∴AN
BM
，
故选：A．
题型五等边三角形的判定
19．（24-25 八年级上·河南安阳·期中）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（
）
①有两个角是60的三角形
②有两个外角相等的等腰三角形
③腰上的高也是中线的等腰三角形
④三个外角都相等的三角形
⑤有一个角为60的等腰三角形．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】本题主要考查等边三角形的判定，熟记等边三角形的定义是解题关键．根据等边三角形的定义判
断即可．
【详解】解：一个三角形有两个角是60，根据三角形内角和定理可知，另一个角也为60，即有两个角是60
的三角形是等边三角形，故①正确；
一个等腰三角形有两个底角相等，则底角的外角相等，不能判定该三角形为等边三角形，即有两个外角相
等的等腰三角形不一定是等边三角形，故②错误；
有一腰上的中线也是这个腰上的高的等腰三角形，则说明该等腰三角形的腰与底一样长，即该三角形为等
边三角形，故③正确；
一个三角形的三个外角都相等，则这个三角形的三个内角都相等，即三个外角都相等的三角形是等边三角
形，故④正确；
有一个角是60的等腰三角形，根据三角形内角和定理即可得到该三角形的三个角均为60，即该三角形为
等边三角形，故⑤正确．
综上，正确的有①③④⑤，共4 个．
故选：C．
20．（24-25 八年级上·河南商丘·期末）如图，在
ABC
V
中，DE
BC
∥
，
EDF
C
．
21 / 55
(1)求证：
BDF
A
；
(2)若
60
A
，DF 平分
BDE
，求出
ABC
V
的形状．
【答案】(1)见解析；
(2)
ABC
V
是等边三角形
【分析】本题考查平行线的判定与性质，等边三角形的判定，正确理解题意是解题的关键．
（1）先根据平行线的性质得出
AED
C
，再得出
AED
EDF
，推出DF
AC
∥
，根据平行线的性质
即可得出结论；
（2）先求出
60
BDF
A
，再根据平分线的定义得出
60
BDF
FDE
，根据平行线的性质得出
60
AED
FDE
，进而得出
60
C
AED
，根据三角形内角和定理得出
180
60
B
A
C
，
推出
60
A
B
C
，即可得出结论．
【详解】（1）证明：DE
BC
∥
，
∴
AED
C
，
∵
EDF
C
，
∴
AED
EDF
，
∴DF
AC
∥
，
∴
BDF
A
；
（2）解：∵
60
A
，
∴
60
BDF
A
，
∵DF 平分
BDE
，
∴
60
BDF
FDE
，
∵DF
AC
∥
，
∴
60
AED
FDE
，
∵DE
BC
∥
，
∴
60
C
AED
，
∴
180
180
60
60
60
B
A
C
，
∴
60
A
B
C
，
∴
ABC
V
是等边三角形
21．（24-25 八年级上·陕西渭南·期末）如图，在
ABC
V
中，
,
60
AB
AC
ACB
，在AC 边上取点D ，连
接BD ，使BD
BC
．以AD 为一边作等边
ADE
V
，且使点E 与点B 位于直线AC 的同侧，
2
EAB
BAC ．
22 / 55
(1)求
BDE
的度数；
(2)点F 在AB 上，连接
,
DF DF
BD ，请判断
BDF
V
是否是等边三角形，并说明理由．
【答案】(1)40
(2)等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．灵活运用等边三角形的判定与性
质是解答本题的关键．
（1）利用等边三角形的性质求出
BAC
的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出
80
ABC
C
BDC
，从而根据
180
BDE
BDC
ADE
求解即可；
（2）利用等腰三角形的性质求出
60
ABD
，然后根据DF
BD
证明
BDF
V
是等边三角形即可．
【详解】（1）解：在等边
ADE
V
中，
60
EAC
ADE
，
2
EAB
BAC ，
20
BAC
，
AB
AC
，
80
ABC
ACB
，
BD
BC
，
80
BDC
ACB
，
180
40
BDE
BDC
ADE
．
（2）解：
BDF
V
是等边三角形．理由如下：
由（1）可得
80
BDC
ACB
，
180
20
CBD
BDC
ACB
，
80
ABC
，
60
FBD
ABC
CBD
，
DF
BD
，
BDF
是等边三角形．
题型六找出图中的等腰三角形
22．（24-25 八年级上·北京·期中）如图，已知
ABC
V
中，
3
AB ，
5
AC
，
7
BC
，在
ABC
V
所在平面内
画一条直线，将
ABC
V
分割成两个三角形，使其中有一个边长为3 的等腰三角形，则这样的直线最多可画
（
）
23 / 55
A．3 条
B．4 条
C．5 条
D．6 条
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键．
根据等腰三角形的性质分别利用AB 为底以及AB 为腰得出符合题意的图形即可．
【详解】解：如图所示，当
3
AB
AF
，
3
BA
BD
，
3
AB
AE
，BG
AG
，都能得到符合题意的等
腰三角形．
故选：B．
23．（23-24 八年级上·全国·单元测试）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
，
72
B
，CD 平分
ACB
交AB 于
点D ，DE
AC
∥
交BC 于点E ，则图中共有等腰三角形（
）
A．3个
B．4 个
C．5个
D．6 个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性
质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵AB
AC
，
72
B
，
∴
ABC
V
为等腰三角形，
72
B
ACB
，
36
A
∵DE
AC
∥
∴
72
DEB
ACB
B
，
∴BD
DE
，
BDE
V
为等腰三角形，
∵CD平分
ACB
，
∴
36
ACD
DCB
A
，
∴AD
CD
，ACD 为等腰三角形，
24 / 55
72
BDC
A
DCA
B
，
∴BC
CD
，
BCD
△
为等腰三角形，
∵
36
ACD
DCB
A
，DE
AC
∥
，
∴
36
EDC
ACD
DCB
∴DE
EC
，DEC 为等腰三角形．
综上所述：共有5 个等腰三角形．
故选C．
24．（2024 八年级下·全国·专题练习）如图，
36
B
C
，
72
ADE
AED
，则图中的等腰三角形
有
个．
【答案】6
【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理．
利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三
角形．
【详解】∵
36
B
C
，
∴AB
AC
，
ABC
V
是等腰三角形．
∵
72
ADE
AED
，
∴AD
AE
，
ADE
V
是等腰三角形．
∵
72
36
36
BAD
ADE
B
，
∴
BAD
B
∠
∠
，
∴DB
DA
，
ABD
△
是等腰三角形．
∵
72
36
36
CAE
AED
C
，
∴
CAE
C
，
∴EA
EC
，
AEC
△
是等腰三角形．
∵
180
180
36
72
72
BAE
B
AED
，
∴
BAE
AEB
，
∴AB
EB
，ABE 是等腰三角形．
∵
180
180
36
72
72
CAD
C
ADC
，
∴
CAD
ADC
，
∴CA
CD
，ACD 是等腰三角形．
综上所述：图中等腰三角形有6 个．
故答案为：6
25 / 55
25．（23-24 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，共有等腰三角形（
）
A．2
B．3
C．5
D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角
和定理求解即可．
【详解】解：∵
36
EBC
ECB
，
∴EBC 是等腰三角形，
180
108
BEC
EBC
ECB
，
∴
180
108
72
AEB
DEC
，
∴
AEB
A
，
CED
D
，
∴ABE 、
CED
△
是等腰三角形，
∵
180
180
72
36
72
ABC
ACB
A
，
180
180
72
36
72
BCD
DBC
D
，
∴
A
ABC
，
D
BCD
，
∴
ABC
V
、
BCD
△
是等腰三角形，
故图中共有5 个等腰三角形，
故选：C．
题型七根据等角对等边证明等腰三角形
26．（24-25 八年级上·江苏盐城·期中）如图，在ABC 中，AB
AC
，
36
A
，CD平分
ACB
，交AB
于点D ，求证：CDB 是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰三角形的判定，首先根据AB
AC
，
36
A
，CD平分
ACB
，可以求出
36
ACD
DCB
，根据三角形内角和定理可以求出
72
CDB
，根据等角对等边可
证结论成立．
【详解】证明：
AB
AC
，
26 / 55
ACB
B
，
又
36
A
，
1 180
72
2
ACB
B
A
，
CD 平分
ACB
，
1
36
2
ACD
DCB
ACB
，
180
180
36
72
72
CDB
B
BCD
，
B
CDB
，
CD
BC
，
CDB
是等腰三角形．
27．（23-24 八年级上·湖北宜昌·期中）如图，
ABC
V
中，D 为BC 中点，1
2
．求证：
ABC
V
为等腰三
角形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活
运用相关知识成为解题的关键．
如图：过D 点作DE
AB
于点
,
E DF
AC
于点F，根据角平分线的性质可得DE 与DF 的关系，根据HL 可
得BED 与
CFD
△
的关系，根据全等三角形的性质，可得
B
与
C
的关系，根据等腰三角形的判定定理即
可证明结论．
【详解】证明：如图：过D 点作DE
AB
于点
,
E DF
AC
于点F，
1
2
，
,
90
DE
DF
BED
CFD
．
D是BC 的中点，
BD
CD
．
在Rt BED 和Rt CFD 中，
27 / 55
BD
CD
DE
DF
，
Rt
Rt
HL
BED
CFD
，
B
C
，
AB
AC
，
ABC
为等腰三角形．
28．（24-25 八年级上·广东肇庆·期末）如图，
,
A
B CE
DA
∥
，CE 交AB 于点E ．求证：CEB 是等腰
三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据平行线的性质，等量代换得到
CEB
B
，即可得证．
【详解】证明：∵CE
DA
∥
，
∴
A
CEB
，
∵
A
B
，
∴
CEB
B
，
∴CE
CB
，
∴CEB 是等腰三角形．
29．（24-25 八年级上·江苏常州·期中）如图，BE 是
ABC
V
的角平分线，在AB 上取点D 使DE
BC
∥
．
(1)求证：DBE 是等腰三角形
(2)若
65
A
，
45
AED
，求
EBC
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)35
【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理和平行线的性质：
（1）角平分线的性质，平行线的性质，推出
DBE
DEB
，即可得出结论；
（2）三角形的内角和定理，求出
ADE
的度数，平行线的性质，求出
ABC
的度数，进而求出
EBC
28 / 55
的度数即可．
【详解】（1）解：∵BE 是
ABC
V
的角平分线，
∴
ABE
CBE
，
∵DE
BC
∥
，
∴
CBE
DEB
，
∴
DBE
DEB
，
∴BD
DE
，
∴DBE 是等腰三角形；
（2）∵
65
A
，
45
AED
，
∴
180
70
ADE
A
AED
，
∵DE
BC
∥
，
∴
70
ABC
ADE
，
∵BE 是
ABC
V
的角平分线，
∴
1
35
2
EBC
ABC
．
题型八根据等角对等边证明边相等
30．（22-23 八年级上·广西河池·期中）如图，点E、F 在BC 上，BE
CF
，AB
CD
，
B
C
，AF 与
DE 相交于点O，求证OF
OE
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握所学的知识．
证明
ABF
DCE
≌
△
△
，得出
AFB
DEC
，根据等腰三角形的判定定理即可证明．
【详解】证明：∵BE
CF
，
∴BE
EF
CF
EF
，
∴BF
CE
，
在
ABF
△
与
DCE
△
中，
BF
CE
B
C
AB
DC
，
∴
ABF
DCE SAS
≌
，
∴
AFB
DEC
，
∴OE
OF
．
29 / 55
31．（24-25 八年级上·青海西宁·阶段练习）如图，已知AB
CD
，AC 交BD 于点O，且AC
BD
．求证
OA
OD
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质
是解题的关键．连接AD ，证明
SSS
ABD
DCA
≌
，得
ADB
DAC
，再由等腰三角形的判定即可得出
结论．
【详解】证明：如图，连接AD ，
在ABD 和DCA中，
AB
DC
BD
CA
AD
DA
SSS
ABD
DCA
≌
，
ADB
DAC
，
OA
OD
．
32．（24-25 八年级上·福建福州·期末）如图，
ABF
△
和
DCE
△
中，点E
F
，
在BC 上，
,
,
BE
CF AB
DC AF
DE
．求证：GE
GF
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解
题的关键．
30 / 55
根据题意可证明
SSS
ABF
DCE
≌
，得到
AFB
DCE
，即可得到GE
GF
．
【详解】证明：
BE
CF
BE
EF
CF
EF
BF
CE
在
ABF
△
与
DCE
△
中，
AB
DC
BF
CE
AF
DE
(SSS)
ABF
DCE
△
≌△
AFB
DEC
GE
GF
．
题型九根据等角对等边求边长
33．（22-23 八年级上·广西河池·期末）如图，在
ABC
V
中，
B
C
，
3
AB ，则AC 的长为（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查等角对等边．根据等角对等边即可解答．
【详解】解：∵
B
C
，
3
AB ，
∴
3
AB
AC
．
故选：D．
34．（24-25 八年级上·北京海淀·期中）如图，D 为
ABC
V
内一点，AD
CD
，AD 平分
CAB
，且
DCB
B
．如果
6
AC
，
2
CD
，求AB 的长．
【答案】10
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等角对等边、角平分线的定义，结合图形添加适当的辅助
线构造全等三角形是解题的关键．延长CD 交AB 于点E ，利用全等三角形的ASA 判定定理证出
ADE
ADC
△
△
≌
，得出
6
AE
AC
，
2
ED
CD
，由
DCB
B
得到BE
CE
，再利用线段的和差关
系即可求解．
【详解】解：如图，延长CD 交AB 于点E ，
31 / 55
AD
CD
，
90
ADE
ADC
，
AD 平分
CAB
，
DAE
DAC
，
在
ADE
V
和
ADC
△
中，
ADE
ADC
AD
AD
DAE
DAC
，
ASA
ADE
ADC
≌
，
6
AE
AC
，
2
ED
CD
，
4
CE
ED
CD
，
DCB
B
，
4
BE
CE
，
6
4
10
AB
AE
BE
，
AB
的长为10．
35．（24-25 八年级上·重庆渝北·期中）如图，在
ABC
V
中，
45
BAC
，高AD ，CE 交于点H．若
13,
7
AB
CE
，则CH
．
【答案】1
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、三角形全等的判定与性质等知识，正确找出两个全等三角形是解
题关键．先根据等腰三角形的判定可得
7
AE
CE
，从而可得
6
BE
，再证出AEH
CEB
≌
，根据全等
三角形的性质可得
6
EH
BE
，然后CH
CE
EH
求解即可得．
【详解】解：∵AD ，CE 是
ABC
V
的高，
∴
90
AEH
CEB
BDA
，
∴
90
BAD
B
，
90
BAD
AHE
，
∴
AHE
B
，
32 / 55
∵
45
BAC
，
∴
90
45
ACE
BAC
，
∴
45
ACE
BAC
，
∴
7
AE
CE
，
∵
13
AB
，
∴
6
BE
AB
AE
，
在
AEH
△
和CEB 中，
90
AEH
CEB
AHE
B
AE
CE
，
∴
AAS
AEH
CEB
≌
△
△
，
∴
6
EH
BE
，
∴
7
6
1
CH
CE
EH
，
故答案为：1．
36．（24-25 八年级上·浙江金华·期末）如图，在
ABC
V
中，点D 是边AC 上一点，点E 为
ABC
V
外的一点，
连接BD ，BE ，DE ，其中AB
BE
BC
，
ABD
EBD
．
(1)求证：
ABD
EBD
△
≌△
；
(2)若
CAB
DBA
，
6
BE
，
10
AC
，求BDC 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】本题考查全等三角形的判定，等角对等边，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）利用SAS 证明
ABD
EBD
△
≌△
即可；
（2）由
CAB
DBA
可得DA
DB
，根据CD
BD
BC
AC
BC
即可求出BDC 的周长．
【详解】（1）证明：在
ABD
△
和
EBD
△
中，
AB
BE
ABD
EBD
BD
BD
，
∴
SAS
ABD
EBD
≌
；
（2）解：∵
CAB
DBA
，
33 / 55
∴DA
DB
，
∵
6
BE
，
∴
6
B
AB
B
E
C
，
∵
10
AC
，
∴BDC 的周长为
16
CD
BD
BC
CD
AD
BC
AC
BC
．
题型十求图中任意两点构成的等腰三角形的点
37．（24-25 八年级上·江西宜春·期中）在平面直角坐标系中，
(0,5)
A
，
(
)
2,3
B
，C 为第一象限内一点，若
以A，B，C 三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C 点坐标为
．
【答案】
2,5 或
2,7 或
4,5
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质
和判定，画出图形即可解决问题；
【详解】解：如图，
观察图象可知，满足条件的点C 坐标为
2,5 或
2,7 或
4,5 ．
故答案为：
2,5 或
2,7 或
4,5 ．
38．（23-24 八年级下·陕西西安·期中）如图，在
ABC
V
中，
75
ABC
，
30
BAC
．点P 为直线BC 上
一动点，若点P 与
ABC
V
三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P 的位置有（
）
A．4 个
B．6 个
C．8 个
D．9个
【答案】C
34 / 55
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角
形的情况，得到满足条件的点P 的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内
角和定理．
【详解】解：如图，
∵在
ABC
V
中，
75
ABC
，
30
BAC
，
∴
180
180
75
30
75
ACB
ABC
BAC
，
当
1
75
37.5
2
CAP
CPA
时，CAP 为等腰三角形；
当
1
180
75
52.5
2
BAP
BPA
时，
BAP
△
为等腰三角形；
当
75
PAB
PBA
时，PAB 为等腰三角形；
当P 与C 重合时，ABP 为等腰三角形；
当P 与B 重合时，
ACP
△
为等腰三角形；
当
75
PAC
PCA
时，PAC 为等腰三角形；
当
1
180
75
52.5
2
CAP
CPA
时，CAP 为等腰三角形；
当
37.5
BAP
BPA
时，
BAP
△
为等腰三角形；
综上，满足条件的点P 的位置有8 个．
故选：C．
39．（23-24 八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图
ABC
V
中，
=60
B
，
80
C
，在直线BA 上找一
点D，使ACD 或
BCD
△
为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（
）
A．7 个
B．6 个
C．5 个
D．4 个
【答案】B
【分析】分ACD 或
BCD
△
为等腰三角形两种情况画出图形即可判断．
【详解】解：如图：当BC
BD
时，
BCD
△
是等腰三角形；
35 / 55
∵
=60
CBA
，∴
BCD
△
是等边三角形，∴BC
BD
CD
；
当
1
BC
BD
时，
BCD
△
是等腰三角形；
当
2
3
AC
AD
AD
，
4
CA
CD
，当
5
5
CD
D A
时，ACD 都是等腰三角形；
综上，符合条件的点D 的个数有6 个．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形存在问题，如果题中没有说明等腰三角形的腰或者底分别是哪条线段，都要
进行分类讨论，让三条线段分别两两相等，得出三种情况，再根据题意看有没有需要排除的情况，然后再
一一分析符合条件的图形．
40．（21-22 八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在Rt ABC 中，
90
C
，BC
AC
，以
ABC
V
的一边为边
画等腰三角形，使得它的第三个顶点在
ABC
V
的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为
（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】①以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D，
BCD
△
就是等腰三角形；
②以A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点E，
ACE
△
就是等腰三角形；
③以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AC 于点F，
BCF
V
就是等腰三角形；
④作AC 的垂直平分线交AB 于点H，ACH 就是等腰三角形；
⑤作AB 的垂直平分线交AC 于G，则AGB 是等腰三角形；
⑥作BC 的垂直平分线交AB 于I，则BCI 和ACI 都是等腰三角形．
⑦作AC 的垂直平分线交AB 于M，则
ACM
△
和BCM 都是等腰三角形．
【详解】解：作图如下
36 / 55
故选：D
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力．
题型十一等腰三角形的性质和判定
41．（19-20 八年级上·北京海淀·期中）在
ABC
V
中，
,
36
AB
AC
A
，CD 平分
ACB
交AB 于
,
,
D E F 在
,
AC BC 上，且
108
EDF
．
(1)求
ADC
的度数；
(2)求证：AE
BF
BC
．
【答案】(1)108
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；熟
练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出
72
B
ACB
，由角平分线定义得出
36
ACD
BCD
，由三角形的外角性质即可得出答案；
（2）由（1）得
36
108
ACD
A
ADC
,
，得出AD
CD
，证出
ADC
EDF
，得出
ADE
CDF
，
证明
ASA
ADE
CDF
≌
，得出AE
CF
，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵
,
36
AB
AC
A
，
∴
1 180
36
72
2
B
ACB
，
37 / 55
∵CD平分
ACB
，
∴
36
ACD
BCD
，
∴
72
36
108
ADC
B
BCD
；
（2）证明：由（1）得：
36
108
ACD
A
ADC
,
，
∴AD
CD
，
∵
108
EDF
，
∴
ADC
EDF
，
∴
ADE
CDF
，
在
ADE
V
和CDF
V
中，
A
BCD
AD
CD
ADE
CDF
，
∴
ASA
ADE
CDF
≌
，
∴AE
CF
，
∵CF
BF
BC
，
∴AE
BF
BC
．
42．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期末）如图（1），
ABC
V
中，AB
AC
，BD 平分
ABC
交AC 于点D ，
且BD
BC
．
(1)求
A
的度数；
(2)若点E 为线段AB 的中点，连接DE ，如图（2），判断直线DE 与AB 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)36
(2) DE
AB
，理由见详解
【分析】该题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是掌
握以上知识点．
（1）设
ABD
x
，得出
ABD
CBD
x
，
2
ABC
C
x
，
2
BDC
C
x
，根据三角形内角和列
方程求出x，再根据三角形外角的性质即可求解．
（2）根据（1）证明AD
BD
，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：设
ABD
x
，
38 / 55
∵
ABC
V
中，AB
AC
，
∴
ABC
C
，
∵BD 平分
ABC
，
∴
ABD
CBD
x
，
∴
2
ABC
C
x
，
∵BD
BC
，
∴
2
BDC
C
x
，
∴2
2
180
x
x
x
，
解得：
36
x
，
∴
2
36
A
BDC
ABD
x
x
x
；
（2）解：DE
AB
，
理由：根据（1）可得
A
ABD
，
∴AD
BD
，
又点E 为线段AB 的中点，
∴DE
AB
．
43．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，
ABD
△
中，AB
AD
，AC 平分
BAD
，交BD 于点E，
连接BC ，CD ．
(1)求证：BC
CD
；
(2)若
50
ABD
，
130
BCD
，求
ABC
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)75
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等；
（1）由SAS 可判定BAC
DAC
≌
，由全等三角形的性质即可得证；
（2）由等腰三角形的性质得
CBD
CDB
25
，即可求解．
熟练运用全等三角形和等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：
AC 平分
BAD
，
BAC
DAC
，
在BAC 与
DAC
△
中
39 / 55
AB
AD
BAC
DAC
AC
AC
，
BAC
DAC
≌
（SAS ），
BC
DC
；
（2）解：
BC
DC
，
CBD
CDB
，
130
BCD
Ð
=
°
CBD
CDB
1 180
2
BCD
25
，
50
ABD
，
ABC
ABD
CBD
50
25
75
．
44．（24-25 八年级上·河北廊坊·期中）如图，在
ABC
V
中，
B
C
，AD
BC
，垂足为D ，DE
AB
∥
，
交AC 于点E ．
ADE
V
是等腰三角形吗？请说明理由．
【答案】△ADE 是等腰三角形，理由见解析．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，关键是掌握等角对等边．先判定△ABC 是等腰三
角形，由等腰三角形三线合一的性质推出
BAD
CAD
，由平行线的性质推出
ADE
BAD
，得到
ADE
EAD
，推出△ADE 是等腰三角形．
【详解】解：△ADE 是等腰三角形，理由如下：
B
C
，
AB
AC
，
AD
BC
，
BAD
CAD
，
DE
AB
∥
，
ADE
BAD
，
40 / 55
ADE
EAD
，
EA
ED
，
△ADE 是等腰三角形．
45．（24-25 八年级上·江西景德镇·期中）如图所示，AD
BC
∥
，AE 是
BAD
的平分线，BE 是
ABC
的
平分线．求证：
(1)
90
AEB
(2) AB
AD
BC
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线
的性质和三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）由平行线的性质和角平分线的定义可推出
90
BAE
ABE
，则由三角形内角和定理可证明结论；
（2）延长AE
BC
，
交于F，可证明
BAE
F
，则AB
FB
，由三线合一定理得到AE
EF
，证明
ASA
ADE
FCE
≌
，得到CF
AD
，据此可证明结论．
【详解】（1）证明：∵AD
BC
∥
，
∴
180
ABC
BAD
，
∵AE 是
BAD
的平分线，BE 是
ABC
的平分线，
∴
1
1
2
2
BAE
BAD
ABE
ABC
∠
∠
，∠
∠
，
∴
1
1
90
2
2
BAE
ABE
BAD
ABC
，
∴
180
90
AEB
BAE
ABE
；
（2）证明：如图所示，延长AE
BC
，
交于F，
∵AD
BC
∥
，
41 / 55
∴
F
DAE
，
∵AE 是
BAD
的平分线，
∴
BAE
DAE
，
∴
BAE
F
，
∴AB
FB
，
∵
90
AEB
，即AE
BE
，
∴AE
EF
，
又∵
AED
FEC
，
∴
ASA
ADE
FCE
≌
，
∴CF
AD
，
∵BF
BC
CF
，
∴AB
BC
AD
．
42 / 55
一、单选题
1．（24-25 八年级上·山西忻州·期中）如图，
AOB
ADC
△
≌△
，点B 和点C 是对应顶点，
90
O
D
，
记
,
OAD
ABO
，
A
ABC
CB
∠
，当BC
OA
∥
时，与之间的数量关系为（
）
A．a
B．
2
C．
90
D．
2
180
43 / 55
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，由全等三角形的性质可得
AB
AC
，
BAO
CAD
，即得
BAC
OAD
，进而可得
1 180
2
ABC
ACB
，又由平行
线的性质得
180
90
90
OBC
，即可得
1 180
90
2
，据此即可求解，掌握以上知识点是解题
的关键．
【详解】解：∵
AOB
ADC
△
≌△
，
∴AB
AC
，
BAO
CAD
，
∴
BAC
OAD
，
∴
1 180
2
ABC
ACB
，
∵BC
OA
∥
，
∴
180
90
90
OBC
，
∴
1 180
90
2
，
整理得
2
，
故选：B．
2．（24-25 八年级上·贵州遵义·期中）在
ABC
V
中，
90
45
C
A
，
，则对
ABC
V
的形状判断最准确的
一项是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理，先求出
B
的度数，进而得到
B
A
，再由
90
C
即可得到
ABC
V
是等腰直角三角形．
【详解】解：∵在
ABC
V
中，
90
45
C
A
，
，
∴
180
45
B
C
A
∠
，
∴
B
A
，
∴CA
CB
，
∴
ABC
V
是等腰直角三角形，
故选：C．
3．（24-25 八年级上·广东惠州·期中）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
，D 为BC 的中点，
35
BAD
，则
C
（
）
44 / 55
A．65
B．55
C．45
D．35
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由三线合一可得AD
BC
，
35
CAD
BAD
，进而即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵AB
AC
，D 为BC 的中点，
∴AD
BC
，
35
CAD
BAD
，
∴
90
90
35
55
C
CAD
，
故选：B ．
4．（24-25 八年级上·吉林·期中）若等腰三角形的两边长分别是3 和8、则它的第三边的长是（）
A．3
B．6
C．8
D．3 或8
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为3 和腰长为8 两种情况，根据
构成三角形的条件讨论求解即可．
【详解】解：当腰长为3 时，则三边长分别为3，3，8，
∵3
3
8
，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为8 时，则三边长分别为3，8，8，
∵3 8
8
，
∴此时能构成三角形，
∴第三边的长是8，
故选：C．
5．（24-25 八年级上·吉林·期中）如图，已知EA
ED
．若
140
CEA
，则∠BDE 的度数为（
）
A．70
B．80
C．100
D．110
【答案】D
45 / 55
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，先由等边对等角和三角形外角的性质求出
EDA
∠
的度数，再由平角的定义即可求出∠BDE 的度数．
【详解】解：∵EA
ED
，
∴
A
EDA
∠
∠
，
∵
140
EA
A
D
C
E A
∠
∠
，
∴
70
A
EDA
∠
∠
，
∴
180
110
EDB
EDA
∠
∠
，
故选：D．
6．（24-25 八年级上·甘肃兰州·期中）如图，正三角形的三条边长都为1 个单位长度，点P 与表示2
的点
重合，现将正三角形不断向右翻转，则数轴上表示2024 的点与正三角形重合的点是（
）
A．点P
B．点M
C．点N
D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查的是数轴，以及数字规律探究，正三角形向右翻转的一个周期为3，由此规律进行解答即
可．
【详解】解：由题意得，翻转1 次，M 落在0，翻转2 次，P 落在1，翻转3 次，N 落在2，周期为3，
∵(
)
2024 1
3
675
+
¸
=
，能够整除，即余数为0，
∴数轴上表示2024 的点，与正三角形重合的点是N．
故选：C．
7．（24-25 八年级上·江西景德镇·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B
是两个格点，如果点C 也是图中的格点，且使
ABC
V
为等腰直角三角形，那么点C 的个数是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，以B 为直角顶点有2 个，以A 为直角顶点有2 个，以C
为直角顶点有2 个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
1
2
3
4
5
6
C
C
C
C
C
C
，
，
，
，
，
即为所求，
46 / 55
故选：A．
8．（24-25 八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
DC
，D 在BC 上，且AD
DB
，
则
BAC
的度数是（
）
A．100
B．105
C．108
D．120
【答案】C
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，解题的关键是熟练
进行逻辑推理．先设
B
x
，由AB
AC
可知，C
x
，由AD
DB
可知
B
DAB
x
，由三角形外角
的性质可知
2
ADC
B
DAB
x
，根据DC
CA
可知
2
ADC
CAD
x
，再在
ABC
V
中，由三角形
内角和定理即可得出关于x 的一元一次方程，求出x 的值，从而求解．
【详解】解：设
B
x
，
∵AB
AC
，
∴
C
B
x
，
∵AD
DB
，
∴
B
DAB
x
，
∴
2
ADC
B
DAB
x
，
∵DC
CA
，
∴
2
ADC
CAD
x
，
在
ABC
V
中，
2
180
x
x
x
x
，
解得：
36
x
．
∴
108
BAC
．
故选：C．
9．（24-25 八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点D ，C ，E 在直线l 上，点A ，B 在l 的同侧，AC
BC
，
若AD
AC
BC
BE
，
6
CD
，
12
ACD
S
，则CE 的长是（
）
47 / 55
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【分析】过点A 作AM
CD
于点M，BN
CE
于点N，证明
ACM
CBN
△
≌△
，得出AM
CN
，根据
6
CD
，
12
ACD
S
，得出
2 12
4
6
AM
，根据等腰三角形的性质得出
1
2
CN
NE
CE
，最后求出结果即可．
【详解】解：过点A 作AM
CD
于点M，BN
CE
于点N，如图所示：
则
90
AMD
AMC
BNC
，
∵AC
BC
，
∴
90
ACB
，
∴
90
ACM
BCN
BCN
CBN
，
∴
ACM
CBN
，
∵AC
BC
，
90
AMC
BNC
，
∴
ACM
CBN
△
≌△
，
∴AM
CN
，
∵
6
CD
，
12
ACD
S
，
∴
2 12
4
6
AM
，
∴
4
AM
CN
，
∵BC
BE
，BN
CE
，
∴
1
2
CN
NE
CE
，
∴
2
8
CE
CN
，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，勾股定理，解题的
关键是作出辅助线，证明
ACM
CBN
△
≌△
．
10．（24-25 八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，AC
BC
，
90
ACB
，AD 平分
BAC
，
BE
AD
交AC 的延长线于F，E 为垂足．则结论：（1）AD
BF
；（2）CF
CD
；（3）AC
CD
AB
；
（4）BE
CF
；（5）
2
BF
BE
，其中正确的结论个数是（
）
48 / 55
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，先证明
ACD
BCF
≌
△
△
可
说明（1），（2），再说明
ABF
△
是等腰三角形可判断（3）（5），进而说明（4）可得答案．
【详解】解：∵
90
ACB
AEB
，
∴
90
CDA
CAD
BDE
DBE
，
∴
CAD
CBF
，
∵
90
ACD
BCF
AC
BC
，
，
∴
ACD
BCF
≌
△
△
，
∴
,
AD
BF CF
CD
，
则（1）（2）正确；
∵AD 平分
BAC
，BE
AD
，
∴
90
CAE
BAE
AEB
AEF
，
，
∴
ABE
AFE
，
∴AB
AF
AC
CF
AC
CD
，
∴
2
BF
BE
，
则（3）（5）正确.
当
30
CBF
时，
1
2
CF
BF
BE
，
而
30
CBF
，所以（4）不正确，
所以正确的有4 个，
故选：D．
二、填空题
11．（24-25 八年级上·广东广州·阶段练习）如图，
15
EAF
，AB
BC
CD
，则
ECD
等于
．
【答案】45
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，根据等腰三角形的性质以及三角形的
49 / 55
外角的性质即可解决问题；
【详解】解：∵AB
BC
，
∴
15
BAC
BCA
，
∴
30
CBD
A
BCA
，
∵CB
CD
，
∴
30
CBD
CDB
，
∴
15
30
45
ECD
A
CDB
，
故答案为：45．
12．（24-25 八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，AD 是
ABC
V
的高，AD
BD
，BE
AC
，
70
BAC
，
则
DBE
大小为
．
【答案】25/25 度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键；首先
证明
BDE
ADC
△
≌△
，得
DBE
CAD
；再由AD
BD
得
45
BAD
，从而可求得结果．
【详解】解：∵AD 是
ABC
V
的高，
∴
90
BDE
ADC
；
∵AD
BD
，BE
AC
，
∴Rt
Rt
(HL)
BDE
ADC
≌
，
∴
DBE
CAD
；
∵AD
BD
，
90
ADB
，
∴
45
BAD
，
∴
70
45
25
CAD
BAC
BAD
，
∴
25
DBE
CAD
；
故答案为：25．
13．（24-25 八年级上·甘肃陇南·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，
90
ABC
，
56
A
，CD
CB
，则
CBD
．
50 / 55
【答案】73
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边对等角，先由三角形内角和定理求出
C
的度数，再由
等边对等角得到
CBD
CDB
，据此根据三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵在
ABC
V
中，
90
ABC
，
56
A
，
∴
180
34
C
A
ABC
∠
∠
∠
，
∵CD
CB
，
∴
180
73
2
C
CBD
CDB
∠
∠
∠
，
故答案为：73．
14．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，点P 在正五边形的边BC 上运动（不与点B，C 重合），
若
BAP
x
，则x 的值可以是
．（写出一个符合要求的答案即可）
【答案】30（答案不唯一）
【分析】本题考查了正五边形的性质，等腰三角形的性质，根据点P 在点B 处时，可知
0
x
；当点P 在点
C 处时，求得
36
x
，再根据题意即可求解．
【详解】解：当点P 在点B 处时，
则
0
BAP
x
，即
0
x
；
当点P 在点C 处时，
∵正五边形的内角度数为
5
2
180
5
108
，且AB
BC
，
51 / 55
180
108
2
36
BAP
x
，
即
36
x
，
∵点P 在正五边形的边BC 上运动（不与点B，C 重合），
0
36
x
，
故答案为：30（答案不唯一）．
15．（24-25 八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，AB
AC
，点D 在AB 上，且AD
CD
BC
，则
A
的
度数为
．
【答案】36/36 度
【分析】设
A
x
，根据等边对等角可得
A
ACD
x
，再根据三角形外角的性质可得
2
BDC
A
ACD
x
，根据CD
BC
可得
2
B
BDC
x
，根据AB
AC
可得
2
B
ACB
x
，最
后利用三角形内角和定理可得
180
AC
A
B
B
，由此可解．
【详解】解：设
A
x
，
CD
AD
，
A
ACD
x
，
根据三角形的外角性质，
2
BDC
A
ACD
x
，
CD
BC
，
2
B
BDC
x
，
AB
AC
，
2
B
ACB
x
，
在
ABC
V
中，
180
AC
A
B
B
，
即
2
2
180
x
x
x
，
解得
36
x
，
即
36
A
．
故答案为：36．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等，解题的关键是掌握等腰
三角形中“等边对等角”．
三、解答题
16．（24-25 八年级上·安徽宣城·期中）已知a 、b 、c 为
ABC
V
的三边长．若
ABC
V
为等腰三角形，且周长
为16，已知
4
a
，求b
c
、的值．
52 / 55
【答案】
6
b
c
．
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得解．
【详解】解：
a 、b 、c 为等腰三角形
ABC
V
的三边长，且周长为16，
4
a
，
分两种情况：
①当
4
a
为腰长时，底边
16
4
4
8
，
4
4
8
，
不能构成三角形，故
4
a
为腰长舍去；
②当
4
a
为底边时，腰长
16
4
6
2
，
4为底边，6 为腰长符合三角形的三边关系，
6
b
c
，
综上所述，
6
b
c
．
17．（24-25 八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
，点D 在AB 上，点E 在AC 上，
AD
AE
，求证：CD
BE
．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角的判定定理是解题
的关键．
根据AB
AC
得出
DBC
ECB
，利用SAS 证明
BDC
CEB
△
≌△
，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】
AB
AC
，
DBC
ECB
，
AD
AE
，
AB
AD
AC
AE
，
即DB
EC
，
在
DBC
△
和ECB 中，
DB
EC
DBC
ECB
BC
CB
，
SAS
DBC
ECB
≌
，
53 / 55
CD
BE
．
18．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）已知；如图，在
ABC
V
中，AB
BC
，
90
ABC
．F 为AB 延长
线上一点，点E 在BC 上，BE
BF
，连接AE 、EF 和CF ．
(1)求证：AE
CF
；
(2)若
30
CAE
，求
EFC
的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
30
EFC
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角
形的判定定理是解题关键．
（1）根据已知利用SAS 判定
ABE
CBF
△
≌△
，由全等三角形的对应边相等就可得到AE
CF
；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出
45
CAB
BCA
，
45
BEF
BFE
，根据全等三角形的性质
得出
15
EAB
FCB
，利用三角形外角性质即可求得
EFC
的度数．
【详解】（1）证明：在ABE 和CBF
V
中，
90
AB
BC
ABC
CBF
BE
BF
，
∴
ABE
CBF
△
≌△
，
∴AE
CF
．
（2）解：∵AB
BC
，
90
ABC
，
∴
45
CAB
BCA
，
∵
30
CAE
，
∴
15
EAB
CAB
CAE
，
∵BE
BF
，
90
CBF
，
∴
45
BEF
BFE
，
∵
ABE
CBF
△
≌△
，
∴
15
BCF
BAE
，
∴
30
EFC
BEF
BCF
．
19．（23-24 八年级上·四川南充·阶段练习）如图，
180
BAD
C
，AD
CD
，求证：BD 平分
ABC
；
54 / 55
【答案】见详解
【分析】延长BA 至点E ，使得AE
CB
，先证明
AED
△
和
CBD
△
全等，利用全等的性质得
BD
AD
E
CBD
,
，再结合等边对等角以及角的等量代换得到
ABD
CBD
，即可作答．本题考查了
三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，熟练三角形全等的判定，合理的添加辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长BA 至点E ，使得AE
CB
，连接ED ，
∵
180
BAD
C
，
180
BAD
EAD
，
C
EAD
，
在
CBD
△
和
AED
△
中，
BC
AE
C
EAD
CD
AD
，
SAS
CBD
AED
≌
，
∴BD
AD
E
CBD
,
ABD
E
∴
ABD
CBD
，
BD 平分
ABC
．
20．（23-24 八年级上·四川南充·期中）如图，已知D ，E 在三角形ABC 的边BC 上，且AB
AC
，BD
CE
．求
证：AD
AE
．
【答案】证明见解析
55 / 55
【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角可得BD
CE
，再利用SAS
证明
ABD
ACE
≌
△
△
，则可证明AD
AE
．
【详解】证明：∵AB
AC
，
∴
B
C
，
又∵BD
CE
，
∴
SAS
ABD
ACE
△
≌△
，
∴AD
AE
．
