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决胜2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(46)
(直线与方程)
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为
，且在
轴上的截距为
，则直线的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为直线的倾斜角为
，所以直线的斜率
，
又直线在
轴上的截距为
，所以直线的方程为
；
故选：C
2.（2023 秋·江苏启东·高三期中质量检测）已知直线
，
，则
“
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由
可知
，解得
或
，
当
时，
，
，
成立，
当
时，
，
即
，
与
重合，
所以若
则
，
所以“
”是“
”的充要条件，
故选：C.
3.（2022·江苏·高三校考）已知直线
与直线
，若直线与直线
的夹角是
60°，则k 的值为（ ）
A．
或0 B．
或0 C．
D．
【答案】A
1
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【解析】直线
的斜率为
，所以倾斜角为120°.要使直线与直线
的夹角是60°，
只需直线
的倾斜角为0°或60°，所以k 的值为0 或
.
故选：A
4.（2022·湖南·高三湖南师大附中校考）已知直线l：
在x 轴上的截距的取值
范围是（
，3），则其斜率的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】D
【解析】已知直线l：(2+a)x+(a−1)y−3a=0，所以(x+y-3)a+2x-y=0
，所以直线过点
，
由题知，在
轴上的截距取值范围是
，
所以直线端点的斜率分别为：
，如图：
或
.
故选：D.
5.（2023·全国·高三专题练习）已知过定点直线
在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之
和最小，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】直线
可变为
，所以过定点
，又因为直线
在
两坐标轴上的截距都是正值，可知
，
令
，所以直线与
轴的交点为
，
令
，所以直线与
轴的交点为
，
2
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所以
，
当且仅当
即
时取等，所以此时直线为：
.
故选：C.
6.（2022·河北·高三校考）已知直线
，直线
与
关于直线
对
称，则直线
的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】联立
，解得
，
所以直线
与直线
的交点为
，
所以点
在直线
上，
所以可设直线
即
，
在直线
上取一点
，则该点到直线
与
的距离相等，
所以
，解得
或
（舍去）.
所以直线
的斜率为
.
故选：D.
7.已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0 不能围成三角形，则实数a 的取值不可
能为（ ）
A. 1
B.
C. ﹣2
D. ﹣1
【答案】A
【解析】因为直线l1 的斜率为3，直线l2 的斜率为
，所以直线
一定相交，交点坐标是方程组
的解，解得交点坐标为：
.
3
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当
时，直线
与横轴垂直，方程为：
不经过点
，所以三条直线能构成三角形；
当
时，直线
的斜率为：
.
当直线l1与直线l3的斜率相等时，即
，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l2与直线l3的斜率相等时，即
，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角
形；
当直线l3过直线
交点
时，三条直线不能构成三角形，即有
,
故选:A
8.设两条直线的方程分别为
，
，已知a，b 是方程
的两个实根，且
，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）
A．1，
B．
，
C．
，
D．1，
【答案】C
【解析】因为a，b 是方程
的两个实根，
所以
，
，
所以
．
又
，所以
，所以
．
由于直线
与直线
平行，
所以它们之间的距离
，
所以
，即所求距离的最大值和最小值分别为
，
．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9.（2023·全国·高三专题练习）下列说法是错误的为（ ）
A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B．直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α
C．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等
D．经过任意两个不同的点
的直线都可以用方程
表示．
【答案】ABC
【解析】当直线的倾斜角为直角时，该直线不存在斜率，故选项A 不正确；
4
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当直线的斜率为
，倾斜角为
，故选项B 不正确；
当两条直线的斜率相等，显然这两条直线的倾斜角相等，故选项选项C 不正确；
根据直线的两点式方程可知选项D 正确，
故选：ABC
10.（2022·广东·高三校考）已知直线
：
.直线
：
，则
下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．直线
过定点
D．直线
过定点
【答案】BCD
【解析】A. 若
，则
或
，经检验此时两直
线平行，所以该选项错误；
B. 若
，则
，所以该选项正确；
C. 直线
当
时，无论
取何值，
恒成立，所以此时直线
过定点
，所以该选项正确；
D. 直线
当
时，无论
取何值，
恒成立，所以直线
过定点
，所以
该选项正确.
故选：BCD
11.（2023·全国·高三专题练习）若直线过点
，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】当直线经过原点时，斜率为
，所求的直线方程为y=2x，即
；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，
求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为
，或
；
综上知，所求的直线方程为
、
，或
．
故选：ABC．
12.已知直线
，以下结论正确的是（ ）
5
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无论
为何值，
与
都互相垂直
当
变化时，
与
分别经过定点
和
无论
为何值，
与
都关于直线
对称
若
与
交于点
，则
的最大值是
【答案】ABD
【解析】对于
，
故
与
相互垂直恒成立，故
正确；对于
，直线
，当
变化，
时，
恒成立，所以
恒过定点
；
当
变化，
时，
恒成立，所以
恒过定点
，故
正确；对于
，在
上任取一点
，关于直线
对称的点的坐标为
，代入
，得
，不
满足无论
为何值，
成立，故
不正确；对于
，联立解得
即
，所以
，所以
的最大值是
，故
正确.
故选：ABD．
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，多空题，第一空2 分，第二空3 分，共20 分．
13.（2023·江苏·高三淮阴中学、姜堰中学等三校12 月联考）已知直线满足：原点到它的距离为
，点
到它的距离为
，请写出满足条件的直线的一个方程：______________.
【答案】
（答案不唯一，
）
【解析】当直线的斜率不存在时，设的方程为
，于是
，且
，显然无解，
当直线的斜率存在时，设的方程为
，即
，
6
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于是
，整理得
，消去常数项得
，
即有
或
，由
解得
或
，
而方程组
无解，因此
或
，
所以直线的方程为
或
.
故答案为：
14.（2023·广东佛山·2024 届高三上学期教育教学质量检测）2023 年暑期档动画电影《长安三万里》重
新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性
最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日
登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之
后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将
军的出发点是
，军营所在位置为
，河岸线所在直线的方程为
，若将军从出发
点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为
__________．
【答案】
【解析】
由题可知
在
的同侧，
设点
关于直线
的对称点为
，
则
，解得
即
．
7
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将军从出发点到河边的路线所在直线即为
，又
，
所以直线
的方程为
，
设将军在河边饮马的地点为
，
则
即为
与
的交点，
，解得
，
所以
．
故答案为：
15.（2023·全国·高三专题练习）设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
相交于点
不重合），则
面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】由题意直线
过定点
，
直线
可变为
，所以该直线过定点
，
所以
，
又
，
所以直线
与直线
互相垂直，
所以
，
所以
即
，
当且仅当
时取等号,
所以，
，即
面积的最大值是
.
故答案为：
16.已知实数a，b，c，d 满足
，则
的最小值为____________
8
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【答案】
【解析】∵实数a，b，c，d 满足
，
∴
，
，
∴点
在直线
上，点
在直线
上，
∴
的几何意义就是直线
上的点到直线
上点的距离的平方，
故所求最小值为
.
故答案为：
9
