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专题2.4 对数与对数函数
重难点题型1 指、对、幂的计算及化简
1．（2025·江西·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用
【分析】利用换底公式得
，令
，即得
解出即可.
【详解】由
有
，令
，
则
，
所以
，
故选：C.
2．（2025·天津红桥·二模）若
则
（ ）
A．1
B．
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
指、对、幂的计算及化简
重难点题型2
指、对、幂的实际应用
重难点题型3
对数函数的图像与性质
重难点题型4
对数型复合函数（单调性与最值）
重难点题型5
对数函数的综合问题
1
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C．
D．2
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用
【分析】根据指数对数转化，再应用对数运算律计算求解.
【详解】因为
所以
则
.
故选：A.
3．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知
，
，且
，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算
【分析】将条件式
两边取对数，比较可得
，求出答案.
【详解】由
，可得
，又
，
，解得
.
故选：A.
4．（2025·宁夏吴忠·一模）若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算
2
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【分析】利用对数的运算性质及换底公式逐项判断可得答案.
【详解】设
，则
，
∴
.
A.
，A 错误.
B.
，B 错误.
C.
，C 正确.
D.
，D 错误.
故选：C.
5．（2022·天津·高考真题）化简
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：C
6．（2022·浙江·高考真题）已知
，则
（ ）
A．25
B．5
C．
D．
3
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【答案】C
【难度】0.85
【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为
，
，即
，所以
．
故选：C.
7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知
且
，则
．
【答案】64
【难度】0.85
【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算
【分析】将
利用换底公式转化成
来表示即可求解.
【详解】由题
，整理得
，
或
，又
，
所以
，故
故答案为：64.
8．（2022·全国乙卷·高考真题）若
是奇函数，则
，
．
【答案】
；
．
【难度】0.85
【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若
，则
的定义域为
，不关于原点对称
4
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若奇函数的
有意义，则
且
且
，
函数
为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得
，
由
得，
，
，
故答案为：
；
．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数
为奇函数
[方法三]：
因为函数
为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由
可得，
，所以
，解得：
，即函数的定义域为
，再由
可得，
．即
，在定义
5
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域内满足
，符合题意．
故答案为：
；
．
9．（2023·天津和平·二模）设
，
，
，若
，
，则
的最大值为
．
【答案】3
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求积的最大值、指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算、对数的运算性质
的应用
【分析】由已知可解得
，
.根据换底公式可得
，
.根据基本不等式得
出
，然后根据对数运算性质即可得出答案.
【详解】因为
，所以
，
.
又
，
，
所以
，
.
因为
，
，根据基本不等式有
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
所以
.
则
，
所以
的最大值为.
故答案为：.
10．（2024·宁夏·模拟预测）若
，则
.
6
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【答案】
【难度】0.85
【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化
【分析】直接由指对互换、对数运算法则即可求解.
【详解】若
，则
.
故答案为：
.
重难点题型2 指、对、幂的实际应用
1．（21-22 高三上·江苏扬州·期末）
年月
日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国
岁高龄的著
名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在
年，德国数学家黎
曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在
此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字
的素数个数大约可以表示为
的结论.若根据欧拉得出的结论，估计
以内的素数个数为（ ）（素数即质数，
，计算结
果取整数）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】列出对数函数模型的解析式
【分析】计算
的值，即可得解.
【详解】因为
，
所以，估计
以内的素数个数为
.
故选：B.
2．（2021·宁夏银川·二模）中国的5G 技术领先世界，5G 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输
速率C 取决于信道带宽W，经科学研究表明：C 与W 满足
，其中S 是信道内信号的平均
功率，N 是信道内部的高斯噪声功率，
为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1 可以忽略不计.
7
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若不改变带宽W，而将信噪比
从1000 提升至4000，则C 大约增加了（ ）(附：
)
A．10%
B．20%
C．30%
D．40%
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】对数的运算性质的应用、利用对数函数的性质综合解题
【分析】先计算
和
时的最大数据传输速率
和
，再计算增大的百分比
即可.
【详解】当
时，
；
当
时，
.
所以增大的百分比为：
.
故选：B.
3．（2021·四川泸州·一模）我国的5G 通信技术领先世界，5G 技术的数学原理之一是著名的香农
（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率
的
公式
，其中
是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），
是信
道内部的高斯噪声功率（瓦），其中
叫做信噪比．根据此公式，在不改变
的前提下，将信噪比从99
提升至
，使得
大约增加了60%，则
的值大约为（ ）（参考数据：
）
A．1559
B．3943
C．1579
D．2512
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】利用对数函数的性质综合解题、列出对数函数模型的解析式
【解析】由题意可得
的方程，再由对数的运算性质求解即可．
8
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【详解】由题意得：
，
则
，
，
故选：C
4．（2023·广东·二模）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记
为实际声压，通常我们用声压级
（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级
与声压
存在近似函数关系：
，其中
为
常数,且常数
为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压
为穿软底鞋走路
的声压
的
倍，且穿硬底鞋走路的声压级为
分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级
的倍.
若住宅区夜间声压级超过
分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】列出对数函数模型的解析式
【分析】由
结合对数运算可求得
的值，由于
，
可得出
、
，结合对数函数的单调性可出结论.
【详解】由题意
，得
，
9
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则
，因此
，
，则
，
，则
.
故选：A.
5．（2020·海南海口·模拟预测）《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲
之的书法作品中选取1000 个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，
文采斐然．已知将1000 个不同汉字任意排列，大约有
种方法，设这个数为N，则
的整数部
分为（ ）
A．2566
B．2567
C．2568
D．2569
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】列出对数函数模型的解析式、对数的运算性质的应用
【分析】由题意，得到
，结合对数的运算性质，即可判定，得到答案.
【详解】由题可知，
．
因为
，所以
，
所以
的整数部分为2567．
故选：B.
【点睛】本题主要考查了对数的有关运算及性质的应用，其中解答中认真审题，根据对数的运算性质，准
确运算是解答的关键，着重考查了计算能力．
6．（2024·湖南长沙·模拟预测）（多选题）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子
和两个中子组成，并带有放射性，会发生
衰变，其半衰期是12.43 年.样本中氚的质量
随时间(单位:
年)的衰变规律满足
，其中
表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:
)
10
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A．
B．经过
年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过
年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若
年后，样本中氚元素的含量为
，则
【答案】CD
【难度】0.65
【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用对数函数的性质综合解题
【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出
，再判断D 即可.
【详解】由题意得
，故有
，
左右同时取对数得
，故得
，故A 错误，
当
时，
，故B 错误，
而当
时，
，
得到经过
年后，样本中的氚元素变为原来的
，故C 正确，
由题意得
，化简得
，
，
将
代入其中，可得
，故D 正确.
故选：CD
重难点题型3 对数函数的图像与性质
11
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1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数函数的判定与求值、对数函数的概念判断与求值
【分析】根据给定条件，依次判断代入求值.
【详解】函数
，则
，
所以
.
故选：A
2．（2025·河北邯郸·二模）已知函数
在
上单调递增，且
，则
（ ）
A．4
B．16
C．32
D．64
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】对数函数的概念判断与求值、对数的运算性质的应用
【分析】根据
在
上单调递增，得
，由
即可得解.
【详解】因为函数
在
上单调递增，所以
，由已知得
，整理得
，解得
或
，得
（舍去）或
，
故选：D.
3．（2024·宁夏·模拟预测）已知定义在
上的奇函数
满足：
，且当
时，
12
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（
为常数），则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】对数函数的概念判断与求值、由奇偶性求参数、由函数的周期性求函数值
【分析】首先根据其为奇函数，从而得
，解出
值，再根据其周期计算即可.
【详解】因为
在
上的奇函数，所以
，解得
，
所以
，
因为
，所以
的周期为6，
所以
.
故选：D.
4．（2024·北京东城·一模）设函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求对数函数的解析式、求对数型复合函数的定义域
【分析】根据函数解析式，分别计算即可得解.
【详解】函数
的定义域为
，
对于A，
，故A 正确；
13
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对于B，
，故B 错误；
对于CD，当
时，
，故CD 错误.
故选：A.
5．（2018·重庆綦江·一模）已知函数
的零点为3，则
=( )
A．1
B．2
C．
D．2017
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求对数函数的解析式、求分段函数值
【分析】由函数零点的定义可得
，解得
，即可得函数的解析式，计算可得
的值，分析可得
，结合函数的解析式可得答案.
【详解】因为函数
的零点为，
则有
，解可得
，
则函数
，
则
，
则
，
故选：C
6．（2025·上海宝山·二模）已知函数
且
)的图像经过定点
，则点
的
14
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坐标为
【答案】
【难度】0.94
【知识点】指数型函数图象过定点问题、对数型函数图象过定点问题
【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质求解即可.
【详解】令
，可得
.
所以定点
的坐标为
.
故答案为：
.
7．（2024·上海普陀·模拟预测）函数
，且
的图像恒过定点A，若点A 在直线
上，其中
，
，则
的最小值为 .
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】先由题意结合
求出点A，进而由点A 在直线上得
，再结合基本不等式常数“1”
的妙用即可求解.
【详解】因为
，所以函数
且
的图象恒过定点
，
即
，
又点A 在直线
上，故
，
又
，所以
，
当且仅当
即
时等号成立，
所以
的最小值为2.
故答案为：2.
15
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8．（2024·吉林·模拟预测）已知函数
，
，则实数a 的值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】对数函数的概念判断与求值、已知分段函数的值求参数或自变量
【分析】根据分段函数的定义计算函数值后，解方程可得．
【详解】
，所以
，所以
，解得
.
故答案为：
重难点题型4 对数型复合函数（单调性与最值）
1．（2025·广东·模拟预测）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】对数型复合函数的单调性、与二次函数相关的复合函数问题、已知二次函数单调区间求参数值
或范围
【分析】由复合函数的单调性得到
在
上单调递增，列出不等式组，解之即得参
数范围.
【详解】因为
在
上单调递增，由函数
在
上单调递增，
可得
在
上单调递增且
恒成立，
，解得
，
即实数
的取值范围是
.
故选：C.
16
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2．（2025·河北·模拟预测）已知函数
在
上单调，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】具体函数的定义域、根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性、已知二次函数单
调区间求参数值或范围
【分析】根据对数函数的性质可得不等式
在
上恒成立，利用分离参数法和基本不等式可
得
.再结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解实数
的取值范围.
【详解】由题意可知，
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立.
又由基本不等式可得
，当且仅当
时，取得等号，
所以
.
因为函数
在
上单调，
所以
在
上单调，
由复合函数单调性可知
在
上单调，
所以结合二次函数的性质可得：
或
，解得
或
.
综上所述，实数
的取值范围为
.
17
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故选：A.
3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】对数型复合函数的单调性
【分析】先求函数
的定义域，再求函数
在定义域上的增区间即可.
【详解】解：由已知得
，解得
或
，函数的定义域为
，
因为
总为增函数，要求函数
的单调递增区间，
由同增异减可得即求函数
在
上的增区间
由二次函数的性质可得
在
上的增区间为
，
故函数
的单调递增区间是
.
故选：A.
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数
在区间
上有最大值或最小值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、根据二次函数的最值或值域求参数、二次函数的图象分析
与判断、对数型复合函数的单调性
【分析】根据
开口向上，故需
在区间
上有最小值，且
，从而得到不
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等式，求出答案.
【详解】要使函数
在区间
上有最大值或最小值，
由于
开口向上，
故需函数
在区间
上有最小值，且
．
该函数图像的对称轴为直线
，所以
，
解得
，
所以
，且
，即实数
的取值范围为
．
故选：B．
5．（2022·重庆·模拟预测）若函数
有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围
【分析】根据对数函数的性质可得
且
，则
，即可求出
的大致范围，
19
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再令
的根为
、
且
，
，
，对
分两种情况讨论，结
合二次函数、对数函数的单调性判断即可；
【详解】解：依题意
且
，所以
，解得
或
，
综上可得
，
令
的根为
、
且
，
，
，
若
，则
在定义域上单调递增，
在
上单调递增，在
上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，
在
上单调递增，在
上单调递减，
函数不存在最小值，故舍去；
若
，则
在定义域上单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数在
取得最小值，所以
；
故选：A
6．（2025·贵州安顺·模拟预测）（多选题）已知函数
，则（ ）
20
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A．
是奇函数
B．
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断
【分析】A 选项，利用函数奇偶性的定义判断，B 选项，特值代入说明不成立，C 和D 选项，利用复合函数
的单调性判断.
【详解】要使得函数
有意义，则
，解得
且
，所以
的定义域关于原点对称，
且
，从而
是奇函数，A 正确；
，B 错误；
当
时，
，
在
上单调递减，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，C 正确；
当
时，
，
在
上单调递增，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，D 正确.
故选：ACD
7．（22-23 高一上·陕西西安·期末）（多选题）已知函数
，则（ ）
A．函数
的单调递增区间是
B．函数
的值域是
C．函数
的图象关于
对称
D．不等式
的解集是
21
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【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】求对数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性、判断或证明函数的对称性、解不含参数
的一元二次不等式
【分析】根据复合函数单调性的“同增异减”原则结合对数函数和一元二次函数性质可判断A 选项；由真
数部分函数的值域，结合对数函数的基本性质可判断B 选项；利用函数对称性的定义可判断C 选项；利用
对数函数的单调性解不等式
，可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，由
可得
或
，
所以函数
的定义域为
，
因为函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
且函数
为增函数，
所以函数
的单调递增区间是
，故A 错；
对于B 选项，由A 知函数
的定义域为
，
当
或
时，函数
值域为
，
所以函数
的值域是
，故B 对；
对于C 选项，因为
，
所以函数
的图象关于
对称，故C 对；
对于D 选项，由
可得
，
解得
或
，
所以不等式
的解集是
，故D 错.
故选：BC.
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8．（2025·海南·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由对数（型）的单调性求参数
【分析】令
，由复合函数可知，内层函数
在
上为减函数，且对任意的
，
恒成立，即可得出关于实数
的不等式组，由此可求得实数
的取值范围.
【详解】令
，因为外层函数
为减函数，且原函数
在
上单调递增，
所以内层函数
在
上为减函数，
且对任意的
，
恒成立，
所以
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
9．（2025·江西宜春·一模）已知函数
在
上的最小值是1，则
.
【答案】
/
【难度】0.85
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对数型复合函数的单调性
【分析】分三类
，
，
，由复合函数的单调性判断
的单调性，即可求出最小值.
【详解】若
，则
，
在
上单调递增，最小值为
，不符合
题意；
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若
，则
的定义域为
，
且由复合函数的单调性可知
在
上单调递增，
则最小值为
，解得
，不符合题意；
若
，则
的定义域为
，
由题意可得
，则
，
此时由复合函数的单调性可知
在
上单调递增，
则最小值为
，解得
，符合题意；
综上，
.
故答案为：
10．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知函数
（
且
）， 若
有最小值，
则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】利用单调性确定最小值后可得．
【详解】
是减函数，在
时最小值是
，
若
，则
是减函数，
时，
，没有最小值，不合题意，
时，
是增函数，因此要使得
取得最小值，则
，解得
，
故答案为：
．
11．（2022·江西宜春·模拟预测）若
，不等式
恒成立，则实数
的取值范
围为 .
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【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数不等式恒成立问题、求对数函数的最值
【分析】分离参数，将恒成立问题转化为函数最值问题，根据单调性可得.
【详解】因为
，不等式
恒成立，
所以
对
恒成立.
记
，
，只需
.
因为
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，
所以
，所以
.
故答案为：
12．（2022·上海·模拟预测）若函数
（
且
）有最大值，则
的取值范围
是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、求二次函数的值域或最值
【分析】因为内函数的是开口向下的二次函数，
有最大值，则外函数为增函数，且内函数的最大值
为正数，由此可列出不等式组求解.
【详解】因为内函数的是开口向下的二次函数，
有最大值，则外函数为增函数，且内函数的最大值
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为正数,所以，
解得
故答案为：
重难点题型5 对数函数的综合问题
1．（2025·天津·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，则a 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性求参数值、研究对数函数的单调性、对数的运算性质的应用、运用换底公式
化简计算
【分析】分
和
两类讨论，结合换底公式及对数函数的单调性、对数的运算性质可得关于
的
不等式即可求解.
【详解】当
时，根据对数函数的性质可知：函数
在
上单调
递增，符合题意；
当
时，由换底公式可得
，
因为函数
在
上单调递增，且函数
在
上单调递增，所以
.
又
，所以
，
，所以
，所以
，即
，解得
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.
综上，a 的取值范围为
.
故选：A.
2．（2025·河北张家口·三模）已知函数
，
，且
，都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参
数
【分析】结合条件根据单调性的定义可得函数
在
上单调递增，然后
根据分段函数单调递增法则，结合导数法及单调性的性质研究每段的单调性，列不等式组求解即可.
【详解】
，
，且
，都有
即
，
记
，
则由单调性的定义知，函数
在
上单调递增，
则需满足：
在
上单调递增①，
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在
上单调递增②，
且
③，
对于①，要使
在
上单调递增，
则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
所以
，因为
，所以
，解得
；
对于②，因为
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增时，
；
对于③，
，所以
；
所以
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
故选：B
3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知
，
，
，则
、
、的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】比较对数式的大小、比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】构造函数
，利用导数分析该函数在
上的单调性，可得出
、
的大小，再利用对
数函数的单调性可得出
、的大小关系，即可得出合适的选项.
【详解】令
，则
对任意的
恒成立，
所以，函数
在
上单调递增，
所以，
，即
，故
，
所以，
，即
，
又因为
，即
，
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因此，
.
故选：A.
4．（2025·河北·模拟预测）已知函数
在
上单调，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】具体函数的定义域、根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性、已知二次函数单
调区间求参数值或范围
【分析】根据对数函数的性质可得不等式
在
上恒成立，利用分离参数法和基本不等式可
得
.再结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解实数
的取值范围.
【详解】由题意可知，
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立.
又由基本不等式可得
，当且仅当
时，取得等号，
所以
.
因为函数
在
上单调，
所以
在
上单调，
由复合函数单调性可知
在
上单调，
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所以结合二次函数的性质可得：
或
，解得
或
.
综上所述，实数
的取值范围为
.
故选：A.
5．（2025·内蒙古通辽·三模）（多选题）已知函数
(
且
，则下列结论正确的
是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
的值域为
C．若
，则
在
上单调递增
D．若
，则
在
上单调递增
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求和的最小值、复合函数的单调性
【分析】对于A，代值计算即可判断；对于B，根据基本不等式求解即可；对于CD，根据复合函数的单调
性判断即可.
【详解】对于A，当
时，
，
则
，故A 错误；
对于B，当
时，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
则
的值域为
，故B 正确；
对于C，当
时，
，
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，
，
令
，则
，
因为函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，当
时，
，
，
，
令
，则
，
因为函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，故D 正确.
故选：BCD
6．（2024·辽宁·二模）（多选题）关于函数
，下列说法正确的有（ ）
A．
的定义域为
B．
的函数图象关于y 轴对称
C．
的函数图象关于原点对称
D．
在
上单调递增
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断
【分析】由对数型复合函数的定义域即可判断A，由函数的奇偶性即可判断BC，由复合函数的单调性即可
判断D
【详解】因为
，则
，解得
，
所以
的定义域为
，故A 正确；
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因为
，即
为奇函数，
所以
的图像关于原点对称，故B 错误，C 正确；
因为
在
上单调递增，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，故D 正确；
故选：ACD
7．（2025·陕西·三模）已知函数
，则
．
【答案】2783
【难度】0.65
【知识点】由函数对称性求函数值或参数、指数幂的化简、求值
【分析】将
化为
，可得
。由此采用两项并项求和，
即可求得答案.
【详解】由
知，
设
，则
，
对照系数，得
，则
，即
，
则
，
的图象关于点
中心对称；
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故
．
即
，
故答案为：2783
8．（2022·浙江宁波·模拟预测）若不等式
对任意的正整数
恒成立，则的取值
范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数不等式恒成立问题、判断指数型复合函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式
【分析】原不等式
或
，利用对数函数与指数函数的性质得到关于的不等
式，求出对任意的正整数
都成立的的取值即可.
【详解】原不等式
或
，
而
是正整数，于是
或
，
当
时，由
成立，得
；
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当
，
时，由
成立，得
，
令
，函数
在
上都为增函数，则
是
上的增函数，
因此要使
对
，
成立，当且仅当
时成立即可，
当
时，
，于是
，
所以使不等式对任意的正整数
恒成立，的取值范围是
.
故答案为：
9．（2024·广东·模拟预测）已知
满足
，则
．
【答案】3
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究方程的根、指数式与对数式的互化
【分析】原方程可化为
，结合函数
的单调性可得
，故可求目标
代数式的值.
【详解】因为
，故
，
因为
，故
，所以
，设
则
，故
在
上为增函数，
故
，故
，且
，故
，
故答案为：3.
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【点睛】思路点睛：对于与指数、对数都出现的代数式，注意利用同构结合新函数的单调性进行转化.
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