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高中数学 必修一 不等式(四) 中点坐标公式 距离公式 连不等式 双重不定式 绝对值不等式
要不然没有动力更新了。
这篇文章跟大伙一起探讨距离公式和中点坐标公式。
咱们先来观察具体的数，最后再去理解抽象的公式。
这张图是用软件绘制后再截图的。
所以没标注箭头。
在这里说明一下，以右为正。
咱们可以看到点A对应的数为 -3，
点B对应的数为4.
而点A、B之间的距离为7.
这是咱们在知道具体的数值的前提下，可以这样计算。
如果用较小的数值减去较大的数值呢？
得到了一个负值为-7.
不过，没关系。
只要对-7取绝对值就可以了。
这次，咱们可以在计算两点的距离时取绝对值。
因此，咱们可以总结出抽象的公式。
设点A对应的数为a，
点B对应的数为b,
则线段AB的长为，
这是数轴上两点之间的距离公式。
不论是 a > b 或 a < b , 两数相减只是正、负符号不一样。
对两数的差取绝对值后，得到就是线段AB的长度。
咱们再来看中点坐标公式。
仍然用图一来说明。
点A对应的数为-3，
点B对应的数为4，
点M是线段AB的中点，
因此，线段AM和MB的长度相等，
即 AM = MB .
若线段AB的中点M对应的数为x，
已知 -3 < x < 4 ,
从而 AM = x - (-3) = x +3 ,
MB = 4 - x .
方程两边同时加x、减3.
方程两边同时除以2.
所以，1/2就是中点M在数轴上所对应的数。
大伙可以自行验证一下。
即使调换方程中4和-3的位置，
方程的解仍然是1/2.
咱们来看看。
方程两边同时加x、4 .
对吧？
另外，距离公式计算出来的是线段的长度。
而中点坐标公式计算出来的是，
中点位于数轴上对应的数——不是距离。
千万不要把两个公式的关系弄混淆了。
再让咱们总结中点坐标公式。
设点A对应的数为a，
点B对应的数为b,
线段AB的中点M对应的数为x.
若 a < x <b ,由于x是中点，
所以总有一个数比x小——在中点x的左侧，
咱们可以让x减去它左侧的数算出它们的距离，
即 AM = x - a .
另外一个数比x大——在中点x的右侧，
咱们可以让右侧的数减去x，
即 MB = b - x .
方程两边同时加x、a .
方程两边同时除以2，
即可得到中点坐标公式。
说一些题外话，中点坐标公式又跟均值不等式有一些关联。
如果咱们把a、b调换一下，
最后咱们仍然可以得到这个中点坐标公式。
因为在方程中，只是替换了字母符号。
而方程仍然是对称的。
大伙可以自己运算一遍。
当 a < x < b 时，
AM = x - a ，计算出AM的值为正数。
a - x ，计算出AM的值为负数。
MB = b - x ，计算出MB的值为正数。
x - b ，计算出MB的值为负数。
因此，方程不能列为
因为 x - a 的值为正数，
而 x - b 的值为负数。
因此 x - a 与 x - b 在方程中是不对称的，
即左右两边不相等。
让咱们来测试其中一个方程。
在方程两边同时减x .
在方程两边同时乘上-1.
咱们已经知道 a < x < b ，
显而易见， a = b 这个结果跟前提条件产生了矛盾。
那么当 a > x > b 呢？
留待大伙自己思考吧。
不论点A、B位于原点哪一侧，公式都是成立的。
建议大伙亲自动手演算一遍，以便加深理解。
现在让咱们借助一道题，来加深我们对公式的理解。
这道题很简单。
先让咱们把等量关系都找出来。
博物馆在数轴上对应的数为-5，
设图书馆在数轴上对应的数为x，
那么博物馆与图书馆的中点为,
学校在数轴上对应的数为11，
而从博物馆与图书馆的中点，
到学校的距离不大于7.
意味着从中点到学校的距离小于或等于7.
它们的等量关系为， | 中点-学校 | ≤ 7 .
咱们已经把不等式列出来了。
接着开始解不等式方程吧。
展开这个绝对值不等式，
转换为连不等式的形式。
在连不等式的各部分都加上11.
在连不等式的各部分都乘以2.
在连不等式的各部分都加上5.
按照惯例，咱们需要对结果进行验证。
咱们已经验证了x的最小值和最大值，
都跟题目的条件相符。
因此，图书馆的取值范围为[13,41].
最后，再给大伙出一道稍微增加了难度的题目吧。
这道题至少有两种以上截然不同的解题方法。
下篇文章再跟大伙分享有趣的解题思路。
（好吧，至少我个人认为很有趣）
《高中数学 初中数学 不等式（二）直径为a的圆桶能否完全覆盖周长为2a的平行四边形模型？》
《 高中数学 必修一 不等式（三） 绝对值不等式 连不等式 》
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