高中数学选择性必修二第一章数列的递推公式教学建议

在本节的第二部分内容中，教科书先编排了两道例题（例3，例4），让学生灵活运用数列的通项公式解决问题，并借助例4的情境给出了递推公式的定义.考虑到数列的前n项和及前n项和公式是所有数列都可能涉及的，本节的最后给出了数列的前n项和公式的定义，并简单讨论了它与通项公式的关系.

例4以一个典型的分形现象——谢尔宾斯基三角形为素材，让学生用数列刻画这个三角形序列中着色三角形的个数，并写出这个数列的一个通项公式，这个情境反映了数列在刻画事物变化规律方面的应用.在解决这个问题时，只要数出三角形序列中每个图形中着色三角形的个数并按顺序排成一列，即得到一个数列，然后与解决例2的过程一样，通过观察各项的取值规律就得到了这个数列的通项公式.

尽管递推公式不是本章的重点内容，却是数列的重要表示方式.在数值计算中，迭代法使用的一些关系式就是递推公式.当不能用通项公式整体刻画一个数列时，如果能写出递推公式表示数列的相邻两项或多项之间的关系，就可以利用计算工具，方便地利用首项和递推公式求出数列的每一项.教科书结合例4的情境给出了递推公式的定义，还配备了一道简单例题(例5)让学生熟悉递推公式的表示方式.

在用数列刻画谢尔宾斯基三角形每个图形中着色三角形个数的变化规律时，可以像例4那样先获得数列的前几项，再归纳得到数列的通项公式.观察三角形序列中相邻的两个三角形时，也可以发现共同的规律：每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.教科书先把这个规律用符号表达出来，即a₂=3a₁,a₃=3a2,a4=3a₃,再结合a₁=1,猜测得到了这个数列满足的另一个公式

通过提取这个公式中的an=3an-1(n≥2),就得到了一个递推公式.对于一般的数值数列，当不能明显看出数列的项的取值规律时，课本在“边空”的提示中给出了通过运算考察一列数的取值规律的一般方法：依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.这时发现的往往是相邻两项或多项之间的关系，这是一种通过运算发现规律的思想，在数列的研究中有重要作用.

关于递推公式的定义的说明：和旧教材相比这次修订后的教科书，为了适当加强数列问题中对运算、代数变换的运用，教科书增加了根据递推公式探究数列性质的问题：

求数列的通项公式(习题4.2的第12题的第(2)小题，习题4.3的第8题，复习参考题4的第13题的第(2)小题）；

利用所给的递推公式构造一个新数列，使该数列为等差数列或等比数列，再利用等差数列或等比数列的公式解决问题（第39页的例12，习题4.3的第7,11题）.

这样的问题具有一定的技巧性，难度较高，教科书或者在第一次出现这样的问题时将其设置为选做问题（加“*”号），或者拆分为小题以降低难度。教学时要注意控制此类问题的难度。

完整文章如下：

秋天的江面，作者拍摄.