AI聊数学:习题1-10闭区间上连续函数的性质1-5题 同济大学《高等数学》第8版上册)

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今天来做习题1-10，闭区间上连续函数的性质，第1到第5题。这5道题都是零点定理的应用，从不动点到方程有根，层层递进。

第1题：假设函数埃夫埃克斯在闭区间0到1上连续，并且对0到1上任一点埃克斯有0小于等于埃夫埃克斯小于等于1。试证明0到1中必存在一点西，使得埃夫西等于西，西称为函数埃夫埃克斯的不动点。

不动点，就是函数值等于自变量的那个点。埃夫西等于西，在图形上就是函数曲线与直线歪等于埃克斯的交点。怎么证呢？

构造辅助函数大埃夫埃克斯等于埃夫埃克斯减埃克斯。大埃夫0等于埃夫0大于等于0，大埃夫1等于埃夫1减1小于等于0。分两种情况：如果大埃夫0等于0，那么0就是不动点，因为埃夫0等于0；如果大埃夫1等于0，那么1就是不动点，因为埃夫1等于1。

如果大埃夫0大于0且大埃夫1小于0呢？

那就正好满足零点定理的条件！大埃夫埃克斯在0到1上连续，端点异号，所以存在西在0到1内使大埃夫西等于0，即埃夫西等于西。西就是埃夫埃克斯的不动点。

这道题的技巧在于构造大埃夫埃克斯等于埃夫埃克斯减埃克斯，把"不动点"转化为"零点"，再用零点定理。条件0小于等于埃夫埃克斯小于等于1保证了大埃夫在端点的符号——大埃夫0非负，大埃夫1非正，要么某端点就是零，要么异号用定理。

第2题：证明方程埃克斯5次方减3埃克斯等于1至少有一个根介于1和2之间。

移项，设埃夫埃克斯等于埃克斯5次方减3埃克斯减1。埃夫埃克斯在1到2上连续，埃夫1等于1减3减1等于负3小于0，埃夫2等于32减6减1等于25大于0。端点异号，零点定理直接得：存在克西在1到2内使埃夫克西等于0，克西就是方程的根。

这是零点定理最直接的应用：构造函数、验证连续、算端点值、确认异号、套定理。关键一步是移项把方程变成埃夫埃克斯等于0的形式。

第3题：证明方程埃克斯等于诶乘正弦埃克斯加必，其中诶大于0、必大于0，至少有一个正根，并且它不超过诶加必。

这题有意思——根既要存在，又要被限制在0到诶加必之间。怎么做？

移项构造埃夫埃克斯等于埃克斯减诶乘正弦埃克斯减必，它在0到诶加必上连续。埃夫0等于0减0减必等于负必小于0，这没问题。再看埃夫诶加必等于诶加必减诶乘正弦诶加必减必，化简得诶乘1减正弦诶加必。

正弦的取值范围是负1到1，所以1减正弦诶加必大于等于0。分两种情况？

对。当正弦诶加必小于1时，埃夫诶加必大于0，与埃夫0等于负必异号，零点定理给出0到诶加必内存在根，是正根且不超过诶加必。当正弦诶加必等于1时，埃夫诶加必等于0，诶加必本身就是根，也是正根且不超过诶加必。

两种情况都成立，结论统一：至少有一个正根，且不超过诶加必。这题精妙之处在于区间的右端点恰好选诶加必——这是埃克斯等于诶乘正弦埃克斯加必右边当正弦取1时的最大值，所以根不可能超过它。

第4题：证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程至少有一个实根。

方程是诶零埃克斯2恩加1次方加诶1埃克斯2恩次方一直加到诶2恩埃克斯加诶2恩加1等于0，其中诶零到诶2恩加1都是常数，恩属于自然数集。

关键观察：当埃克斯的绝对值充分大时，埃夫埃克斯的符号完全取决于最高次项诶零埃克斯2恩加1次方。因为2恩加1是奇数，所以当埃克斯为正且充分大时，埃夫埃克斯与诶零同号；当埃克斯为负且绝对值充分大时，埃夫埃克斯与诶零异号。

也就是说，埃夫埃克斯在正无穷远处和负无穷远处的符号相反！

没错。因为诶零不等于0，埃夫埃克斯是连续函数，所以在某个充分大的区间负大艾到正大艾上，埃夫在两端异号。由零点定理，该区间内必有一点使埃夫等于0，方程至少有一个实根。

这道题把零点定理从有限区间推广到了无穷——虽然无穷不是闭区间，但奇数次多项式在正负无穷远处符号相反，总可以取一个足够大的有限闭区间让端点异号。

第5题：证明方程埃克斯的立方加2埃克斯的平方减4埃克斯减1等于0有三个实根。

这次不是"至少一个"，而是恰好"三个"。怎么证？

设埃夫埃克斯等于埃克斯的立方加2埃克斯的平方减4埃克斯减1，它在全体实数上连续。要证明有三个根，需要在三个不同的子区间上各用一次零点定理。关键是找四个点把实数轴分成三段，让埃夫在每段的端点异号。

取哪四个点呢？

取负4、负1、0、2这四个点，计算函数值：埃夫负4等于负64加32加16减1等于负17小于0，埃夫负1等于负1加2加4减1等于4大于0，埃夫0等于负1小于0，埃夫2等于8加8减8减1等于7大于0。

那函数值的符号依次是：负、正、负、正。相邻两个异号，恰好形成三个区间：负4到负1、负1到0、0到2。每个区间上埃夫端点异号，零点定理各给出一个零点，所以至少有三个实根。

而埃夫埃克斯是三次多项式，最多只有三个实根，所以恰好有三个实根。

这道题综合运用了零点定理和代数基本常识——三次方程最多三个实根，结合零点定理找到至少三个，就得到恰好三个。选点负4、负1、0、2是关键技巧，需要试算找到符号交替的点。

总结一下这5道题：第1题构造大埃夫等于埃夫减埃克斯证明不动点，第2题直接用零点定理证方程有根，第3题在有限闭区间上证根的范围，第4题利用奇数次多项式在正负无穷远处异号证至少有实根，第5题在三个子区间上各用零点定理证三次方程有三个实根。核心方法都是零点定理，变化在于区间选择和函数构造。