高中数学必修一_第08讲_二次函数与一元二次方程

二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是高中数学中联系非常紧密的一组内容。掌握它们之间的关系，就能把“求根、看图象、解不等式、研究参数”统一起来，也是后续函数与不等式学习的重要基础。

一、先分清“零点”和“交点”

对于二次函数，令函数值等于零时得到的实数，叫作函数的零点。

要特别注意：

二次函数的零点是横坐标，不是图象上的交点本身。

函数图象与横轴交点的横坐标，就是函数的零点。

一元二次方程的实数根，就是相应二次函数的零点。

在解一元二次不等式时，方程的根通常是解集的分界点。

二、二次函数的关键性质

二次函数的一般形式是：

函数值等于二次项系数乘以自变量的平方，再加一次项和常数项，其中二次项系数不能为零。

二次项系数决定开口方向：

二次项系数为正，图象开口向上，有最小值；

二次项系数为负，图象开口向下，有最大值。

对称轴的位置由一次项系数和二次项系数共同决定。顶点就在对称轴上，是研究最值和图象位置的关键。

判别式等于“一次项系数的平方减去四倍二次项系数与常数项的乘积”。

它可以判断图象与横轴的交点情况：

判别式大于零，有两个不相等的实数根；

判别式等于零，有两个相等的实数根；

判别式小于零，没有实数根。

三、一元二次方程的三种解法

一元二次方程的一般形式是：

二次项系数乘以未知数的平方，加一次项系数乘以未知数，再加常数项，等于零。

第一种：配方法

适合处理能够配成完全平方的方程。

基本步骤是：

先把二次项系数化为一；

把常数项移到等号另一边；

在两边加上一次项系数一半的平方；

配成完全平方后直接开平方。

第二种：公式法

只要二次项系数不为零，且方程有实数根，就可以使用求根公式。

求根公式的分母是二次项系数的两倍，分子是一次项系数的相反数，加上或减去判别式的平方根。

使用时必须先确认二次项系数不为零，并正确计算判别式。

第三种：因式分解法

如果方程左边能够分解成两个因式的乘积，就可以利用“积为零，则至少有一个因式为零”来求解。

通常来说：

能因式分解时，优先使用因式分解法；

结构明显、适合配方时，使用配方法；

一般形式复杂时，使用公式法。

四、根与系数的关系

如果一元二次方程有两个实数根，那么：

两根之和，等于一次项系数与二次项系数之比的相反数；

两根之积，等于常数项与二次项系数之比。

这就是韦达定理。

它特别适合处理不需要直接求出两个根的问题。例如研究两根的和、积、平方和、差的平方，或者判断两根的正负性。

常见结论包括：

两根同号，需要先看两根之积是否为正；

两根都为正，还要结合两根之和为正；

两根都为负，还要结合两根之和为负；

一正一负，当且仅当两根之积为负。

注意：使用韦达定理前，要确认方程确实有两个实数根。判别式大于等于零，只能说明有实数根；要有两个不相等的实数根，必须满足判别式大于零。

五、解一元二次不等式的主线

解一元二次不等式，建议按照以下顺序：

先移项，化为一般形式；

再求对应方程的根；

比较两个根的大小；

结合二次项系数判断符号；

最后根据不等号确定端点是否取到。

当二次项系数为正，且方程有两个根时，可以记住：

大于零，取两边；

小于零，取中间。

含等号时，根是否包含，要根据不等号判断。

如果二次项系数为负，不能直接套用“开口向上”的口诀。可以先把不等式两边同乘以负数，同时改变不等号方向，再继续处理。

六、参数问题要先比较根的大小规律

含参数的一元二次不等式，最容易出错的地方是忽略根的大小规律。

例如，两个分界点分别含有参数时，必须先判断哪个根更大，再写出解集。通常需要按照参数大于零、等于零、小于零进行分类讨论。

处理参数问题时，建议检查三件事：

参数是否影响二次项系数；

判别式的符号如何变化；

两个根的大小规律是否发生改变。

不能只求出两个根的表达式，就直接套用“取两边”或“取中间”。

七、根的分布问题

研究“根在某个区间内”时，可以把方程看作函数与横轴的交点问题。

如果函数在一个区间上连续，并且区间两个端点的函数值异号，那么该区间内至少有一个根。

但要注意：端点异号只能说明至少有一个根，不能直接说明根的个数，也不能单独保证两个根分别位于指定区间。还需要结合：

开口方向；

判别式；

另一个根的位置；

函数在端点处的符号；

根与系数的关系。

如果要求两个根都大于某个数，可以通过换元把问题转化为“两个根都为正”。

八、恒成立与有解，含义完全不同

“恒成立”表示指定范围内的每一个数都满足条件，因此要研究函数在该范围内的最大值或最小值。

“有解”只表示至少存在一个数满足条件，不要求所有数都满足。

在全体实数范围内，对于真正的二次函数：

开口向上且判别式小于零，可以保证函数值始终大于零；

开口向上且判别式小于等于零，可以保证函数值始终不小于零；

开口向下且判别式小于零，可以保证函数值始终小于零；

开口向下且判别式小于等于零，可以保证函数值始终不大于零。

如果二次项系数可能为零，就不再是标准的二次函数，需要另行判断一次函数或常数函数的情况。

九、闭区间上的最值不能只看顶点

研究二次函数在一个闭区间上的最值时，必须同时关注：

顶点是否在区间内；

两个端点的函数值；

对称轴与区间的位置关系。

开口向上的函数，顶点可能给出最小值，但最大值还要比较两个端点。

开口向下的函数，顶点可能给出最大值，但最小值还要比较两个端点。

“只看顶点”是非常常见的错误。

十、分式不等式的处理方法

解分式不等式时，第一步一定是写出定义域：分母不能为零。

接着进行移项、通分和因式分解，再找出所有关键点，最后利用数轴判断各区间的符号。

关键点包括：

分子为零的点；

分母为零的点。

其中，分母为零的点永远不能取，即使最后的不等号含有等号，也不能把它加入解集。

例如，解分式不等式时，解集写成区间后，必须再次检查端点是否属于定义域。

十一、复合函数零点与不动点

研究复合函数的零点时，可以先把外层函数的自变量设为一个新的量，先求外层方程的根，再分别解内层方程。

过程中要检查：

新设量是否在原函数的值域内；

每个新设量对应的方程是否有实根；

是否出现重复根。

不动点则是满足“函数值等于自变量”的点。求不动点时，直接令函数值等于自变量，把问题转化为一元二次方程，再利用判别式和根与系数的关系进行判断。

十二、这几类错误一定要避免

第一，零点是横坐标，不是交点本身。

第二，使用求根公式前，要确认二次项系数不为零。

第三，分式不等式中，分母为零的点一定不能取。

第四，根是分界点，但是否取到要看不等号。

第五，二次项系数为负时，不能直接套用开口向上的结论。

第六，含参数问题中，必须比较根的大小。

第七，使用韦达定理前，要确认方程有相应的实数根。

第八，“有两个实数根”和“有两个不相等的实数根”不是一回事。

第九，“恒成立”需要研究整个区间的最值，“有解”只需找到一个满足条件的点。

第十，闭区间求最值时，顶点和端点都不能遗漏。

最后梳理一条最重要的解题主线：

先化为标准形式，再求对应方程的根；结合开口方向判断函数符号；遇到参数就分类讨论；遇到分式先检查定义域；最后认真检查端点和无定义点。

当你能把函数图象、方程根和不等式解集联系起来，二次函数这一章就真正学通了。

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