ARTICLE · 1137769
【小学数学模型】06|鸟头模型共角两边相乘,面积比值秒定
数学模型 · 小学数学 · 第 06 篇
06｜鸟头模型
共角两边相乘，面积比值秒定
一、开门见山：这节课解决什么问题
同学们有没有见过这样的题：图里两个三角形叠在一起，共用一个角，题目只告诉你几条边的长度和一个三角形的面积，让你求另一个三角形的面积？很多同学一看到就发懵——高不知道、底不知道，面积怎么求？这节课我们要学的「鸟头模型」，就是专门对付这种题的。因为两个三角形从公共角顶点伸出去，形状像一只鸟的头和嘴，所以得了这个有趣的名字。它是小升初几何压轴题的常客，一旦掌握，这类看似「条件不足」的题，两三步就能秒杀。
二、知识清单：先把地基打牢
●三角形的面积公式：S=12× 底 × 高。鸟头模型的一切结论都从它推出来，这是我们的「总根」。
●什么是「夹角的两条边」：角是由两条射线张开的，紧挨着角的两条边就叫夹这个角的边。鸟头模型里比较的就是这两组夹边的乘积。
●比例的基本运算：会化简比、会用分数乘除。比如 4×38×6=1248=14，这种乘除化简要又快又准。
●公共角、相等角、互补角：两个三角形共用一个角叫公共角；两个角一样大叫相等角；两个角加起来是 180∘ 叫互补角。这三种情况鸟头模型都适用。
●「边的对应关系」：两个三角形比较时，哪条边和哪条边对应，一定要看清楚——都从角的顶点出发、落在同一条射线上的边才是一组对应边。
三、概念讲透：这个模型到底在说什么
我们先把这个模型的结论亮出来：若 △ABC 与 △ADE 共享角 A，也就是两组边分别落在从 A 出发的两条射线上，那么
同学们注意看，分子是 △ABC 夹角 A 的两条边的乘积，分母是 △ADE 夹角 A 的两条边的乘积——面积比就等于「夹角两组边的乘积之比」，跟角本身多大没关系。
那为什么成立呢？我们别死记，来个直观理解。三角形的面积 =12× 两边之积 × 两边夹角的正弦。两个三角形共用角 A，角的正弦就完全一样！所以两个面积一相除，12 约掉了，角的正弦也约掉了，剩下的恰好是 AB×ACAD×AE。你看，共角把「公共的角」约掉了，最后只留下边的比——这就是鸟头模型的灵魂。用小学的话说：角一样，决定面积大小的就只剩两条夹边的长短了，一条边差几倍贡献几倍，两条边各差几倍就乘起来。
再说说什么时候用。考场上看到题干出现这些特征，脑子里就要立刻跳出鸟头：①两个三角形有一个公共角，两边分别搭在同两条射线上（可能一个在角内部、一个「包」在外面）；②虽然没有公共角，但告诉了两个角相等，甚至是两个角互补——互补时把其中一个三角形「翻」过去，就变成相等角的形态，结论照样用，这就是有的资料说的「歪头鸟」。要区分的是：如果两个三角形没有共角关系，比如随便摆的两个三角形，那鸟头模型帮不上忙，老老实实用底乘高。另外和「相似三角形」的区别也提一句：小学阶段我们不学相似，鸟头模型其实就是「夹角相等」这一半条件的相似，我们只用乘积比这一条结论就够了。
四、核心公式（每个字母都要认识）
●S△ABC、S△ADE：共角的两个三角形的面积，谁放分子，谁的夹边乘积就放分子，位置必须一致。
●AB、AC：△ABC 中夹着公共角 A 的两条边。
●AD、AE：△ADE 中夹着公共角 A 的两条边，注意 D 在 B 所在射线上、E 在 C 所在射线上，别串了。
●常见变形：已知边的比例时更方便，如 S△ADES△ABC=ADAB×AEAC，两组比例直接相乘，很多题用它一步出答案。
●取值提醒：乘积之比可以大于 1 也可以小于 1，方向别搞反——大三角形面积在上，分子乘积必然也大，可用来自查。
五、图形长什么样
模型结构示意图
●第一步：找角。图中两个三角形有没有公共角？没有的话，有没有相等角或互补角？找到了，鸟头模型才启动。
●第二步：配边。把公共角顶点定住，分清哪两条边在第一条射线上、哪两条边在第二条射线上，一一配对。
●第三步：写乘积。分子写「所求三角形」两条夹边的乘积，分母写「已知面积三角形」两条夹边的乘积。
●第四步：算比例。化简乘积之比，用已知面积乘（或除）这个比例，得到答案。
●第五步：回头验。检查对应关系有没有写反：面积大的三角形，夹边乘积一定大，方向不对立刻回头。
六、标准解题流程
1找到共角（公共角 / 相等角 / 互补角）。
批注 这是模型的「开关」，图里线多时用彩色笔把公共角描出来，一眼锁定。
2分别写出夹角两边的长度乘积。
批注 最容易错的一步！一定要「各自三角形的边各自乘」，千万别把四个边长交叉相乘。
3面积比 = 对应乘积之比。
批注 谁求面积谁放分子，方向反了答案就颠倒；算完用「大三角形乘积大」自查一遍。
七、例题精讲：从基础到变式
例1（基础）
题目
∠A 是 △ABC 与 △APQ 的公共角，AB=4，AC=3，AP=8，AQ=6，S△APQ=24，求 S△ABC。
例1 题图
审题关键
圈出「公共角 ∠A」——鸟头模型启动；再圈出四个边长，看清 AB、AC 属于小三角形，AP、AQ 属于大三角形。
规范解答
∠A 是两个三角形的公共角，由鸟头模型，S△ABCS△APQ=AB×ACAP×AQ=4×38×6=1248=14所以 S△ABC=24×14=6。
方法提炼
不求底、不求高，只比较「夹角两边的乘积」，这就是鸟头模型的威力——条件不足的题，用比例照样算。
例2（变式）
题目
（变式）共角模型中 AB/AP=1/2，AQ/AC=3，S△ABC=5，求 S△APQ。
例2 题图
审题关键
这回不给具体边长，给的是比例；注意两组比例的方向不一样——AB/AP 是小比大，AQ/AC 是大比小，方向要看仔细。
规范解答
由鸟头模型，S△APQS△ABC=AP×AQAB×AC=APAB×AQAC=2×3=6所以 S△APQ=5×6=30。
方法提炼
变式把「边长」换成了「比例」，方法完全迁移：把乘积比拆成两组边的比例相乘即可。还提醒我们：只要知道两条边各放大几倍，面积就放大几倍的乘积。
八、小升初常考题型精讲
题型一：直接套用型（给边长求面积）
题目
△ABC 与 △ADE 共角 A，AB=3，AC=4，AD=6，AE=8，S△ABC=6，则 S△ADE= ____。
题型一 题图
审题关键
所求的是 S△ADE，把它放分子，AD×AE 就该在分子上。
规范解答
S△ADES△ABC=AD×AEAB×AC=6×83×4=4812=4S△ADE=6×4=24。
方法提炼
先定方向（求谁谁上分子），再算乘积比，一步到位。
题型二：比例条件型（给边之比求面积）
题目
△ABC 与 △ADE 共角 A，AB=2、AC=3、AD=6、AE=9，S△ABC=5，则 S△ADE= （ ）
A．15 B．30 C．45 D．90
题型二 题图
审题关键
数字不用乘出具体积也行——ADAB=3，AEAC=3，两组比先约简更轻松。
规范解答
由共角（鸟头）模型，S△ADES△ABC=AD×AEAB×AC=6×92×3=546=9S△ADE=5×9=45。
方法提炼
两组边各自同比例放大时，面积比 = 两个比例的乘积，3×3=9，口算即出。
题型三：双比例相乘型
题目
△ABC 与 △ADE 共角 A，AD/AB=AE/AC=2，S△ABC=7，则 S△ADE= ____。
题型三 题图
审题关键
条件是「两个比都等于 2」，直接用乘积比公式，不用求任何边长。
规范解答
S△ADES△ABC=ADAB×AEAC=2×2=4S△ADE=7×4=28。
方法提炼
两条夹边各扩 2 倍，面积就扩 2×2=4 倍——「扩几倍，乘起来」。
题型四：反求小型（已知大面积反求小面积）
题目
△ABC 与 △ADE 共角 A，S△ADE=40，AD/AB=5/2，AE/AC=4/5，则 S△ABC= （ ）
A．16 B．20 C．40 D．80
题型四 题图
审题关键
已知大三角形面积，反求小三角形——比例算出来是「大比小」，要用除法。
规范解答
S△ADES△ABC=ADAB×AEAC=52×45=2反求小三角形：S△ABC=40÷2=20。
方法提炼
先算出「大比小」的比值，再判断乘还是除；两个分数比例相乘时先约分（5 约掉），快而不易错。
题型五：乘积比综合型
题目
△ABC 与 △ADE 共角 A，S△ABC=12，AD/AB=3，AE/AC=2，则 S△ADE= ____。
题型五 题图
审题关键
直接套「面积比 = 两个边比的乘积」。
规范解答
面积比 =3×2=6，S△ADE=12×6=72。鸟头模型是「乘积比」，两条边各扩 3 倍和 2 倍，面积扩 6 倍。
方法提炼
三个数——12、3、2——口算 12×3×2=72，考场上这类题就是送分题，前提是模型认得准。
九、真题再现：经典考题拆解
（经典考题）
题目
△ABC 与 △ADE 共角 A，AB=6，AC=5，AD=3，AE=2，S△ABC=45，求 S△ADE。
（经典考题） 题图
审题关键
这次「大三角形」△ABC 面积已知，求角内部的「小鸟」△ADE，方向别套反。
规范解答
由鸟头模型，S△ADES△ABC=AD×AEAB×AC=3×26×5=630=15S△ADE=45×15=9。
方法提炼
小鸟在大鸟「嘴里」还是「外头」，公式一模一样；变的只是谁大谁小。乘积 6<30，面积 9<45，方向自查通过。
（改编自常见考题）
题目
△ABM 与 △ACN 中，∠BAM=∠CAN，AB=4，AM=6，AC=5，AN=3，S△ABM=12，求 S△ACN。
（改编自常见考题） 题图
审题关键
两个三角形没有公共角，但 ∠BAM=∠CAN 是相等角——鸟头模型的「相等角」形态，照样能用。
规范解答
夹相等角的两组边分别是 AB、AM 和 AC、AN，由鸟头模型，S△ACNS△ABM=AC×ANAB×AM=5×34×6=1524=58S△ACN=12×58=608=7.5。
方法提炼
鸟头模型不要求角「公用」，只要求角「相等」（互补也行）——考题常把两个三角形分开画来迷惑你，抓住「角相等 + 夹边乘积比」就破局。
十、易错点与避坑指南
✗ 常见错误四个边长随便交叉相乘，比如写成 AB×AEAD×AC。→
✓ 正确做法两组边必须分别「夹着」公共角，一个三角形的两条夹边乘在一起，对应关系不能写反。防错口诀：谁家的边谁家乘。
✗ 常见错误看到两个角加起来是 180∘（互补），以为模型用不上直接放弃。→
✓ 正确做法互补角是共角模型的「歪头」形态，同样适用——把其中一个三角形沿公共顶点翻折 180∘，互补角就变成相等角，公式照用，别漏。
✗ 常见错误比例方向混乱，S△ADES△ABC 的分子放了 △ABC 的夹边乘积。→
✓ 正确做法面积与夹边乘积「同上同下」，所求三角形的面积放分子，它的夹边乘积就放分子；算完用「乘积大者面积大」检查方向。
✗ 常见错误没有共角关系的两个三角形也硬套鸟头。→
✓ 正确做法先确认公共角或相等（互补）角存在，模型才成立；否则老老实实找底和高。