题目

判断下列两个函数是否为同一个函数:

核心知识点: 两函数相同的判定标准

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.

换句话说，两个函数是同一个函数, 只须同时满足两点:

1. 定义域完全一致: 自变量可取的全体数值一模一样;
2. 对应效果一致: 定义域内每一个 , 算出的函数值都相等.

注：不用看解析式的书写形式, 只看最终的映射结果.

解析

步骤 1: 对比定义域

第一个函数的定义域为 , 第二个函数的定义域也为 , 两者定义域完全相同.

步骤 2: 计算函数值, 对应效果

对 :

对 :

定义域内两个自变量的输出结果完全一致:

步骤 3: 得出结论

虽然  和  的代数式写法不同, 但在限定定义域  上, 两者的映射效果完全一样, 这两个函数是同一个函数.

易错点拨

1. 误区

看到解析式形式不同, 就直接判定不是同一个函数.

纠正: 解析式只是书写载体, 真正决定函数的是「定义域 + 映射结果」.

2. 拓展反例

如果定义域改为 :

两者在  处的函数值不等, 此时就不是同一个函数.

映射的相等

在高等数学中，函数是数域之间的映射，映射相等的概念如下：

设  与  为集合  到  的两个映射.如果对于  中任意元素 ,均有, 则称映射与相等，记为.