高三数学 · 高考一轮 · 立体几何专题

2026-2027学年第8周 · 含近年全国卷高考真题拆解与模拟训练

一、知识点精讲

立体几何是高考必考解答题（12—15分），一轮复习要把三大板块彻底打通：空间几何体、点线面位置关系、空间向量法。R2 这一轮我们不重做外接球与翻折套路，改攻"用空间向量统一处理空间角"的通法。

1. 空间几何体：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式要烂熟，尤其棱台 V = (1/3)·h·(S + √(S·S′) + S′)、圆台与圆锥。解题常配"补形"与"分割"两种思想。

2. 点线面位置关系：线面平行、线面垂直、面面垂直共八条核心判定与性质定理，是证明题的武器。证明线面平行务必写清"线∥线 且 该线不在平面内"。

3. 空间向量法（通法）：牢记四步——建系 → 写坐标 → 求法向量 → 用夹角公式。只要能找到三条两两垂直的坐标轴，线线角、线面角、二面角都能代数化求解。

易错点归纳（本轮重点）：① 证线面平行漏写"线不在面内"；② 求线面角时把"线与法向量夹角"直接当答案，正确关系是 sinθ = |cos⟨方向向量, 法向量⟩|；③ 建系前必须验证三条轴两两垂直，否则全盘皆输；④ 二面角余弦值要按图形判断锐/钝，不能直接取绝对值。

二、高考真题分析

【真题1】(2023·新高考Ⅰ卷·第18题·12分)

如图，在正四棱柱 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，AB=2，AA₁=4。点 A₂、B₂、C₂、D₂ 分别在棱 AA₁、BB₁、CC₁、DD₁ 上，且 AA₂=1，BB₂=DD₂=2，CC₂=3。

(1) 证明：B₂C₂ ∥ A₂D₂；(2) 点 P 在棱 BB₁ 上，当二面角 P-A₂C₂-D₂ 为 150° 时，求 B₂P。

解析：以 C 为原点，CD、CB、CC₁ 方向分别为 x、y、z 轴建系。则 B₂(0,2,2)、C₂(0,0,3)、A₂(2,2,1)、D₂(2,0,2)。

(1) B₂C₂=(0,-2,1)，A₂D₂=(0,-2,1)，两向量相等 ⇒ 平行，又两线不共线，故 B₂C₂ ∥ A₂D₂。

(2) 设 P(0,2,t)，t∈[2,4]。平面 A₂C₂D₂ 法向量可取 n₁=(1,1,2)；平面 PA₂C₂ 法向量 m=(t-1,3-t,2)。由 |cos150°| = |m·n₁|/(|m||n₁|) 得 (√3/2) = |6| / (√[(t-1)²+(3-t)²+4]·√6)，化简得 t²-4t+3=0 ⇒ t=1 或 3，结合 t∈[2,4] 取 t=3，故 B₂P = 3-2 = 1。

答案：(1) 证明见解析；(2) B₂P = 1

【真题2】(2020·新高考Ⅰ卷·第20题·12分)

四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，PD⊥底面 ABCD。设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l。

(1) 证明：l ⊥ 平面 PDC；(2) 已知 PD=AD=1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值。

解析：(1) 正方形中 AD∥BC，AD⊄平面PBC ⇒ AD∥平面PBC；又 AD⊂平面PAD 且 平面PAD∩平面PBC=l，故 l∥AD。由 PD⊥底面得 AD⊥PD，且 AD⊥DC（DC∩PD=D），故 AD⊥平面PDC ⇒ l⊥平面PDC。

(2) 建系 D-xyz：D(0,0,0)、C(0,1,0)、B(1,1,0)、P(0,0,1)，则 PB=(1,1,-1)。由(1) l∥AD，Q 在 l 上设 Q(a,0,1)。平面 QCD 法向量可取 n=(1,0,-a)。线面角 θ 满足 sinθ = |n·PB|/(|n|·|PB|) = |a+1|/(√3·√(a²+1)) = (√3/3)·√(1 + 2a/(a²+1)) ≤ √6/3，当且仅当 a=1 取等号。

答案：(2) 最大值为 √6/3

【真题3】(2021·新高考Ⅰ卷·第20题·12分)

在三棱锥 A-BCD 中，平面 ABD ⊥ 平面 BCD，AB=AD，O 为 BD 的中点。

(1) 证明：OA ⊥ CD；(2) 若 △OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上，DE=2EA，且二面角 E-BC-D 的大小为 45°，求三棱锥 A-BCD 的体积。

解析：(1) AB=AD 且 O 为中点 ⇒ AO⊥BD；平面ABD⊥平面BCD，交线为 BD，AO⊂平面ABD ⇒ AO⊥平面BCD；又 CD⊂平面BCD ⇒ OA⊥CD。

(2) △OCD 等边边长 1 ⇒ OD=OC=CD=1；O 为 BD 中点 ⇒ BD=2。由 OB=OC=OD=1 知 O 为 Rt△BCD 外心，∠BCD=90°，BC=√3，S_BCD=(1/2)·√3·1=√3/2。建系后由二面角 E-BC-D=45° 与 DE=2EA 联立解得 AO=1。体积 V = (1/3)·S_BCD·AO = (1/3)·(√3/2)·1 = √3/6。

答案：(2) 体积为 √3/6

三、模拟题解答

【模拟1】在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，AB=2，AD=1，PA⊥底面 ABCD，PA=2。

(1) 证明：平面 PAB ⊥ 平面 PAD；(2) 求直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值。

解答：(1) PA⊥底面 ⇒ PA⊥AB 且 PA⊥AD；矩形 ABCD ⇒ AB⊥AD。AB⊥PA、AB⊥AD 且 PA∩AD=A ⇒ AB⊥平面PAD；又 AB⊂平面PAB ⇒ 平面PAB⊥平面PAD。

(2) 建系 A-xyz：A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,1,0)、P(0,0,2)，PC=(2,1,-2)。平面 PAB 即 y=0 平面，法向量 n=(0,1,0)。sinθ = |PC·n|/(|PC|·|n|) = 1/√(4+1+4) = 1/3。

答案：(2) 1/3

【模拟2】在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=2。求二面角 P-BC-A 的余弦值。

解答：建系 A-xyz：A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、P(0,0,2)。平面 ABC 法向量 n₁=(0,0,1)；平面 PBC 中 PB=(2,0,-2)、PC=(0,2,-2)，法向量 n₂=PB×PC=(4,4,4)∝(1,1,1)。二面角余弦值 = |n₁·n₂|/(|n₁|·|n₂|) = 4/(1·4√3) = √3/3。

答案：√3/3

四、同步学习建议（第8周）

本周是一轮立体几何专题收尾，重点练"建系—求法向量—算空间角"的通法，目标做到 3 分钟内能写出全部关键坐标。

1. 限时训练：每天 1 道高考真题大题，限时 15 分钟；先想几何法，再写向量法，对比哪条路更快更稳。

2. 易错自查清单：① 线面平行证明是否写了"线不在面内"；② 线面角是否用 sinθ=|cos⟨v,n⟩|；③ 二面角余弦值的符号（锐/钝）是否结合图形判断。

3. 下周预告：数列与三角函数专题将陆续上线，记得关注本号更新，保持节奏不脱节。