【习题研讨】134. 202x 年北京大学暑假课堂一道四次方程根的求和题的三种解法

已知一个方程，求含有它的根的对称式，通常会想到韦达定理. 不过，所求如果是几个分式的和，还需要做一点转化.

上课时讲到了多项式的辗转相除法，我就用下面的解法二处理了这道题. 后来，FHX 同学跟我讲了他的思路，也就是下面的解法一. 最后，我又让 AI 试着从复数的角度入手，得到了利用对数导数的解法三，计算还真简洁了不少.

这道题所求的结果是实数，但把分母放到复数范围内分解，反而更容易下手. 有时候，多走进一个数域，计算倒能少绕一点路. 所谓降维打击！

现在我们来讨论和总结三种解法. 前两种都用韦达定理，第三种用多项式的对数导数.

已知方程

的四个根为 ，求

题目来源记为北京大学，具体年份待核.

以下各根均在复数范围内考虑，并按重数计. 记

由于 ，，所以  都不是原方程的根，所求各项的分母不为零. 我们逐一看看各个解法.

我们想求的是四个数  的和. 如果能找到以这四个数为根的方程，就可以直接用韦达定理.

先处理平方. 将原方程中的奇次项移到右边，得

两边平方，令 ，得到

整理为

这个方程的四个根就是 . 如果担心平方后根的对应关系，可以用下面的恒等式核对：

因此 ，重数也对应.

接着令 ，即 . 将它代入 ，两边乘以 ，得到

展开整理，便得到以  为根的方程：

由韦达定理，

这里其实不必把新方程全部展开. 我们只求根的和，只需要最高两次项的系数： 的系数是 ， 的系数是 . 算到这里就够了.

我们先找到  在模  意义下的乘法逆元. 也就是寻找一个多项式 ，使  能被  整除. 这样代入  的根后，就能把分式写成多项式.

由多项式的辗转相除法可得，求逆元的过程请点击这里，可得：

代入 ，得到

于是，所求转化为计算四个根的一次、二次与三次幂和.

记 . 由韦达定理，

因此，

三次幂和可以用牛顿幂和公式处理 ，从而

故

解法一是给所求的四个数另找一个方程，解法二则保留原来的根，把分式化成多项式. 两条路都能回到韦达定理，只是转化的对象不同.

分母  可以分解为 . 因此

现在要处理的是分母为一次式的倒数和. 这里可以用一个经典公式.

由

对乘积求导，再除以原式，得

所以

计算得

从而

由于  的系数都是实数，在  处的比值就是上式的共轭，即

因此

这条路的计算很短. 关键是熟悉  的形式，知道它能把关于各个根的倒数和联系起来.

把刚才用到的公式整理一下. 设

各根按重数计，以下均取 .

一阶公式求倒数之和.

对乘积求导后除以 ，就得到

右边称为  的对数导数. 名称来自对数的求导形式，但这个恒等式用乘积求导就能证明，处理复根时也不必先学习复对数.

二阶公式要分清两种求和.

先对乘积求两次导数. 每次求导作用于不同的一次因子，每一对因子被选中的顺序有两种，因此

它给出的是两两乘积之和. 如果要求倒数的平方和，就对一阶公式再求导：

于是

也可以不再求导，直接用“平方和等于和的平方减去两倍的两两乘积之和”，由前两个公式得到它.

这几个公式放在一起看，就不容易混淆了： 对应两两乘积之和，而  对应平方和.

回头看本题，如果把所求改为 ，拆分分式后就会出现 ，二阶公式也就用得上了. 有兴趣可以接着算一算.