数学模型 · 高中数学 · 第 01 篇

01｜基本不等式模型

和一定积最大，别忘了验证取等

题目

x>0，求 y=x+4x 的最小值。

审题关键

x>0 保证“一正”；x 与 4x 之积为 4 是定值，满足“二定”。

规范解答

因为 x>0，各项为正。又x·4x=4(定值)由基本不等式y=x+4x≥2x·4x=24=4等号成立当且仅当 x=4x，即 x2=4，x=2（负根舍去），此时 x=2 在 x>0 内，取等可达。所以最小值为 4。

方法提炼

这是基本不等式最标准的样子，记住模板 x+kx≥2k，“积定求和最小”。验取等一步不能省，它既是得分点，也是判断答案有效的依据。

题目

0<x<4，求 y=x(8−2x) 的最大值。

审题关键

变式把“求和的积”换成了“求积的和”，要用“和定积最大”。难点在于 x 与 82x 的和不是定值，需要把式子改写成“两项之和为常数”的形式。

规范解答

由 0<x<4 知 x>0 且 4−x>0（因 x<4）。把式子变形y=x(8−2x)=2·x(4−x)而 x 与 4x 的和为定值：x+(4−x)=4。由基本不等式x(4−x)≤x+(4−x)22=422=4所以 y=2x(4−x)≤2×4=8。等号成立当且仅当 x=4−x，即 x=2，且 2∈(0,4)，取等可达。故最大值为 8。

方法提炼

变式的“变”在于要先把式子凑成“和定”：提出系数 2，让括号内出现 x 与 4x 这一对“和为定值”的量。凡是 x(k−x) 形式的题目，都能用它。

题目

x>0，则 y=x+4x 的最小值为 ____。

审题关键

x>0 一正；x·4x=4 二定。

规范解答

y=x+4x≥24=4，等号在 x=4x 即 x=2 时成立，符合 x>0。故最小值为 4。

方法提炼

这是最基础的“勾底”问题，看到 x+kx 直接写 2k，再验取等。

题目

已知 x>1，求 y=x+4x−1 的最小值为（　）

审题关键

分母是 x−1 而不是 x，必须“凑元”——把它看成一个整体 t=x−1。

规范解答

令 t=x−1，由 x>1 知 t>0，且 x=t+1，于是y=(t+1)+4t=t+4t+1因为 t>0，有 t+4t≥2t·4t=24=4，所以y≥4+1=5等号成立当且仅当 t=4t，即 t=2，x=3，满足 x>1。故最小值为 5。

方法提炼

分母是什么，就把什么设为整体。 设 t=x−1 后，式子立刻变成标准形状，最后别忘了把“多出来的 1”加回去。

题目

已知 a>0，b>0，a+2b=2，则 ab 的最大值为 ____。

审题关键

“和”里有系数 2，要用 a+2b≥22ab，注意根号里是 a·2b。

规范解答

因为 a>0，b>0，所以 a>0，2b>0。由基本不等式a+2b≥2a·2b=22ab又 a+2b=2，代入得2≥22ab两边同除以 2 得 2ab≤1，即 2ab≤1，ab≤12。等号成立当且仅当 a=2b，结合 a+2b=2 解得 a=1，b=12，符合条件。故 ab 的最大值为 12。

方法提炼

系数不同时，把“一元系数为 1 的项”和“系数为 2 的项”一起放进根号，即用 a 与 2b 做基本不等式，得到的是 2ab 的上界，再除掉 2。

题目

已知 0<x<2，则 y=x(4−2x) 的最大值为（　）

审题关键

0<x<2 保证 x>0 且 2−x>0，需要提出系数 2 使括号内“和定”。

规范解答

y=x(4−2x)=2·x(2−x)。因为 0<x<2，有 x>0，2−x>0，且 x+(2−x)=2 为定值，故x(2−x)≤222=1所以 y≤2×1=2，等号成立当且仅当 x=2−x，即 x=1∈(0,2)。故最大值为 2。

方法提炼

x(4−2x) 与例2的 x(8−2x) 是同一套路：提系数，凑“和定”。系数提对了，剩下的就是照抄模板。

题目

用 20 米篱笆靠墙（墙足够长）围一个矩形菜园，则菜园面积最大为 ____ 平方米。

题型三 题图

审题关键

“靠墙”意味着只需要围三边：两条垂直于墙的边和一条平行于墙的边。篱笆总长 20 米由这三边构成。

规范解答

设垂直于墙的两边各为 x 米（x>0），则平行于墙的一边长为 202x 米，需要 20−2x>0，即 0<x<10。菜园面积S=x(20−2x)=2·x(10−x)因为 x>0，10−x>0，且 x+(10−x)=10 为定值，所以x(10−x)≤1022=25故 S≤2×25=50，等号成立当且仅当 x=10−x，即 x=5∈(0,10)。所以面积最大为 50 平方米。

方法提炼

“靠墙围栏”的模型是：只用三段篱笆，设垂直于墙的边为 x，则平行边为“总长 − 2x”，面积写成 x(总长−2x) 后用基本不等式。一定要写清定义域 x>0 且平行边为正。

题目

已知 x>0，求 y=2x+8x 的最小值。

规范解答

因为 x>0，所以 2x>0，8x>0，且2x)·8x=16(定值由基本不等式y=2x+8x≥216=8等号成立当且仅当 2x=8x，即 2x2=8，x2=4，x=2（负根舍去），满足 x>0。故最小值为 8。

方法提炼

系数是 2 与 8 时，先看乘积 2x·8x=16 是否为定值——是的，直接用。验取等时解的是 2x=8x，别漏了系数 2。

题目

已知 x>0，y>0，且 x+y=1，求 1x+4y 的最小值。

规范解答

因为 x+y=1，把所求式乘以这个“1”并展开：1x+4y=1x4y(x+y)=xx+yx+4xy+4yy=1+yx+4xy+4即1x+4y=5+yx4xy因为 x>0，y>0，故 yx>0，4xy>0，且 yx·4xy=4 为定值，由基本不等式yx+4xy≥24=4所以 1x+4y≥5+4=9，等号成立当且仅当 yx=4xy，即 y=2x；结合 x+y=1 得 x=13，y=23，均满足为正。故最小值为 9。

方法提炼

这是大名鼎鼎的“1 的代换”。条件是“和为 1”时，把所求式乘以这个和，展开后一定能配出“积为定值”的两项。展开、合并常数、再用基本不等式，三步走。