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06“等时圆”模型
1．如图所示，在竖直平面内有半径为R 和2R 的两个圆，两圆的最高点相切，切点为A，B 和C 分别是小
圆和大圆上的两个点，其中AB 长为
，AC 长为
．现沿AB 和AC 建立两条光滑轨道，自A
处由静止释放小球，已知小球沿AB 轨道运动到B 点所用时间为t1，沿AC 轨道运动到C 点所用时间为
t2，则t1与t2之比为( )
A．
B．1:2
C．
D．1:3
【答案】A
【详解】
方法一：
设AB 与竖直方向的夹角为θ，则：
AB=2Rcosθ，
由牛顿第二定律得物体沿AB 下滑的加速度为：a=gcosθ，解得在AB 上运动的时间为：
，
同理设AB 与竖直方向的夹角为α，则：
AC=4Rcosα，
由牛顿第二定律得物体沿AC 下滑的加速度为：
a=gcosα，
可知物体在AC 上运动的时间为：
．
则
，故A 正确．
方法二、
令AC 和小圆的交点与D 点，物体沿AC 运动到D 的时间为
．则在小圆中物体沿AC 到D 点的时间和
沿AB 到B 点的时间相等，等于：
物体沿AC 运动到D 的时间为
为：
则
【点睛】
本题主要考查了牛顿第二定律以及运动学基本公式的直接应用，解题时要分析清楚小球的运动情况，并
能结合几何关系求解．
2．(2019·江西省宜丰中学高一开学考试)如图所示，一个物体由A 点出发分别沿三条光滑轨道到达C1，
C2，C3，则( )
A．物体到达C1点时的速度最大
B．物体分别在三条轨道上的运动时间相同
C．物体到达C3的时间最短
D．在C3上运动的加速度最大
【答案】C
【详解】
在沿斜面方向上，物体受重力沿斜面向下的分力，所以根据牛顿第二定律得，物体运动的加速度
斜面倾角越大，加速度越大，所以
上运动的加速度最大，根据几何知识可得：物体发生位移为
，物体的初速度为零，所以
解得
倾角越大，时间越短，物体到达
的时间最短，根据
得，
，知到达底端的速度大小
相等，故C 正确。
故选C。
3．(2020·全国高一课时练习)如图所示，O 点是竖直圆环的顶点，Oc 是圆环直径，Oa 和Ob 是两条不同倾
角的弦．在Oc、Oa、Ob 线上置三个光滑的斜面，一个质点从O 自由释放，先后分别沿Oc、Oa、Ob
下滑，则到达a、b、c 三点的时间
A．时间都相同
B．最短的是a 点
C．最短的是b 点
D．最长的是c 点
【答案】A
【详解】
设圆的半径为R，斜面与竖直方向夹角为θ，则物体运动的位移为x=2Rcosθ，物体运动的加速度
，根据
，解得
，与夹角θ 无关，即三种路径的运动时
间相同；故选A．
【点睛】
本题要掌握等时圆模型的特点，根据牛顿第二定律求出加速度，然后根据运动学公式求出运动的时间，
看时间与θ 角的关系．
4．(2020·北京海淀·北大附中高三三模)如图所示，在竖直平面内有ac、abc、adc 三个细管道，ac 沿竖直方
向，abcd 是一个矩形。将三个小球同时从a 点静止释放，忽略一切摩擦，不计拐弯时的机械能损失，当
竖直下落的小球运动到c 点时，关于三个小球的位置，下列示意图中可能正确的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
设
，
， 设小球沿
、
、
、
、
下滑的加速度分别为
、
、
、
、
。
根据牛顿第二定律得
对
段有
得
对
段有
得
对
段有
得
所以有
即当竖直下落的小球运动到
点时，沿
下落的小球恰好到达
点，沿
下落的小球恰好到达
点，
故ACD 错误，B 正确。
故选B。
5．如图所示，
、
、
是竖直面内三根固定的光滑细杆，
、
、
、
位于同一圆周上，点
为圆周的最高点，
点为最低点。每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，三个滑环分别从
处释放
(初速为
)，用
、
、
依次表示各滑环到达
、
、
所用的时间，则( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
以P 点为最高点，取合适的竖直直径Pe 作圆，如图虚线所示
三个滑环从P 静止释放到达虚线圆上f、g、h 的时间设为t，杆与竖直方向的夹角为α，虚线圆的直径为
d。根据位移时间公式可得
解得
则知虚线圆为等时圆，即从P 到f、b、g 是等时的，比较图示位移Pa>Pf，Pc<Pg，故推得
t1>t2>t3
故B 正确，ACD 错误。
故选B。
6．(2020·全国高二开学考试)如图所示，
、
、
是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位于
同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆上都套着一个完全相同的小滑环(图中未画
出)，三个滑环分别从a、b、c 点无初速释放，下列关于它们下滑到d 过程的说法中正确的是( )
A．沿
细杆下滑的滑环用时最长
B．重力对各环的冲量中a 的最小
C．弹力对各环的冲量中c 的最大
D．合力对各环的冲量大小相等
【答案】C
【详解】
A．物体从同一竖直圆上各点沿不同的光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等，如图
即等时圆模型，小球下滑过程均满足
解得
根据等时圆模型可知三个滑环下滑的时间均相等，A 错误；
B．三个滑环重力相等，根据冲量
可知重力对各环的冲量大小相等，B 错误；
C．假设光滑细杆与
的夹角为
，受力分析可知滑环所受弹力为
杆与
的夹角最大，所以弹力最大，根据冲量的定义可知弹力对各环的冲量中c 的最大，C 正确；
D．根据动量定理可知合外力的冲量等于动量的变化量，根据机械能守恒定律
解得
可知从
滑到底端的滑环速度最大，合外力的冲量最大，D 错误。
故选C。
7．(2019·广东高三零模)如图，倾斜传送带上有两条光滑导轨，PA 竖直、PB 垂直于传送带，现同时在P 点
释放两个质量相同的小货物(均视为质点)，各自沿两条导轨滑下，则它们滑到导轨底端( )
A．末速度相同
B．所用的时间相同
C．重力所做的功相同
D．重力做功的功率相同
【答案】B
【详解】
A．货物落到传送带上的速度的方向不同，所以末速度不同，A 错误；
B．导轨光滑，
，所以做出
的外接圆：
根据等时圆模型可知，两物体落到传送带上的时间相等，B 正确；
C．重力做功根据：
货物质量相等，落到A 点的货物高度大，重力做功多，C 错误；
D．重力做功的功率为重力做功与时间的比值，即：
，时间相同，所以
，D 错误。
故选B。
8．处于竖直平面内的某圆周的两条直径AB、CD 间夹角为60°，其中直径AB 水平，AD 与CD 是光滑的细
杆．从A 点和C 点分别静止释放两小球，从A、C 点下落到D 点的时间分别是t1、t2，则t1∶t2是( )
A．1∶1
B．3∶2
C．
D．
【答案】C
【详解】
由几何关系得，
与水平面的夹角为30°，设圆周的半径为
，则有：
根据牛顿第二定律得，小球在
上运动的加速度大小为：
根据
可得：
由几何关系得：
小球在
上运动的加速度大小：
根据
可得：
则有：
ABD 错误；C 正确。
故选C。
9．(2019·上海高一课时练习)光滑斜轨道PA、PB、PC的端点都在竖直平面内的同一圆周上，物体从P 点由
静止开始沿不同轨道下滑，如图所示，下列说法中正确的是( )．
A．物体沿PA下滑时间最短
B．物体沿PB下滑时间最短
C．物体沿PC下滑时间最短
D．物体沿不同轨道下滑所用时间相同
【答案】D
【详解】
设过P 点的任意光滑斜轨道与PB 的夹角为
，可知轨道长为
，根据牛顿运动定律，可得沿轨
道下滑的物体的加速度为
，再结合匀变速直线运动的规律可得
，可得
，与夹角无关，故D 正确
10．(2019·贵州贵阳一中高三月考)如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M 点，
圆环上A、B、C 点与M 点的连线和竖直面的夹角分别为30°、45°、60°，已知a、b、c 三个小球分别由
A、B、C 三点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM、CM 运动到M 点。则
A．ta>tb>tc
B．ta =tb=tc
C．ta=tc>tb
D．tc>tb>ta
【答案】B
【详解】
对于AM 段有
，
，
得
，
与θ 角无关，即三个小球运动时间和光滑倾斜直轨道与竖直面的夹角无关，
A．与分析不相符，A 错误
B．与分析相符，B 正确
C．与分析不相符，C 错误
D．与分析不相符，D 错误
11．(2018·广西南宁三中高二月考)如图所示，在斜面上同一竖直面内有四条光滑细杆，其中OA 杆竖直放
置，OB 杆与OD 杆等长，OC 杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，四个环分别
从O 点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD 滑到斜面上所用的时间依次为t1、t2、t3、t4．下列关系正确的
是( )
A．t1<t2
B．t1>t3
C．t2＝t4
D．t2<t4
【答案】D
【解析】
以OA 为直径画圆，根据等时圆模型，对小滑环，受重力和支持力，将重力沿杆的方向和垂直杆的方向
正交分解，根据牛顿第二定律得小滑环做初速为零的匀加速直线运动的加速度为a=gcosθ(θ 为杆与竖直
方向的夹角)
由图中的直角三角形可知，小滑环的位移S=2Rcosθ
所以t=
，t 与θ 无关，
可知从圆上最高点沿任意一条弦滑到底所用时间相同，故沿OA 和OC 滑到底的时间相同，即t1=t3，OB
不是一条完整的弦，时间最短，即t1>t2，OD 长度超过一条弦，时间最长,即t2<t4.故ABC 错误，D 正确
故选
D
点睛：根据等时圆模型，可知从圆上最高点沿任意一条弦滑到底所用时间相同，故沿OA 和OC 滑到底的
时间相同，OB 不是一条完整的弦，时间最短，OD 长度超过一条弦，时间最长．
12．(2019·四川泸县五中高一期中)如图所示，ab、cd 是竖直平面内两根固定的细杆，a、b、c、d 位于同一
圆周上，圆周半径为R，b 点为圆周的最低点，c 点为圆周的最高点．现有两个小滑环A、B 分别从a、c
处由静止释放，滑环A 经时间t1从a 点到达b 点，滑环B 经时间t2从c 点到达d 点；另有一小球C 从b
点以初速度v0＝√4 gR沿bc 连线竖直上抛，到达最高点时间为t3，不计一切阻力与摩擦，且A、B、C
都可视为质点，则t1、t2、t3的大小关系为( )
A．t1＝t2＝t3
B．t1＝t2＞t3
C．t2＞t1＞t3
D．A、B、C 三物体的质量未知，因此无法比较
【答案】A
【解析】
由已知条件知，小球C 竖直上抛能达到的最高点为c 点，由对称性可知，小球C 运动的时间与从c 点自
由下落到b 点的时间相等．结合等时圆的结论可知，t1＝t2＝t3，A 正确．
故选A
13．(2020·安徽六安一中高一月考)如图所示，AD 是固定斜面体底边BC 的高，F、G 分别是光滑斜面AB、
AC 的中点，DE 垂直于AB,DH 垂直于AC,甲、乙两个小球(均视为质点)从斜面的顶点A 分别沿斜面
AB、AC 同时由静止下滑，下列说法正确的是
A．当甲球运动到E 点时，乙球可能运动到AG 间某点
B．当甲球运动到E 点时，乙球一定运动到H 点
C．当甲球运动到F 点时，乙球一定运动到G 点
D．当甲球运动到F 点时，乙球一定运动到H 点
【答案】B
【解析】
设斜面AB 和AC 的倾角分别为α，β，AD=h，则小球在两个斜面上下滑的加速度分别为
，
，当小球甲到达E 点时所需时间
，同理乙球到达H 点所需时间也
为
，即当甲球运动到E 点时，乙球一定运动到H 点，选项B 正确，A 错误；甲球到达F 点的
时间
，同理乙球到达G 点的时间为
，因α 不一定等于
β，故当甲球运动到F 点时，乙球不一定运动到G 点，选项C 错误；α 不能等于900，故当甲球运动到F
点时，乙球一定不能运动到H 点，选项D 错误；故选B.
14．(2019·常州市北郊高级中学高一月考)如图所示光滑竖直圆槽，AP、BP、CP 为通过最低点P 与水平面
分别成30°、45°、60°角的三个光滑斜面，与圆相交于A、B、C 点.若一物体由静止分别从A、B、C 滑
至P 点所需的时间为t1，t2，t3，则( )
A．t1＜t2＜t3
B．t1＞t2＞t3
C．t1= t2= t3
D．t1= t2＜t3
【答案】C
【解析】
设任一斜面的倾角为
，圆槽直径为d．根据牛顿第二定律得到
，斜面的长度为
，
则由
，得
，可见物体下滑时间与斜面的倾角无关．则有
．C 正确，故选C.
【点睛】设任一斜面的倾角为
，圆槽直径为d，根据牛顿第二定律得出加速度与
的关系，由运动学
求出时间与
和d 的关系，由数学知识分析时间关系．
15．(2019·库车县乌尊镇中学高三月考)如图所示，在竖直平面内有一矩形，其长边与一圆的底部相切于O
点，现在有三条光滑轨道a、b、c，它们的上端位于圆周上，下端在矩形的底边，三轨道都经过切点
O，现在让一物块先后从三轨道顶端由静止下滑至底端(轨道先后放置)，则物块在每一条倾斜轨道上滑
动时所经历的时间关系为( )
A．ta＞tb＞tc
B．ta＜tb＜tc
C．ta＝tb＝tc
D．无法确定
【答案】B
【详解】
设上面圆的半径为r，矩形宽为R，则轨道的长度s=2rcosα+
，下滑的加速度
，根据
位移时间公式得，x=
at2，则
．因为a、b、c 夹角由小至大，所以有tc＞tb＞
ta．故B 正确，ACD 错误．故选B．
【名睛】
解决本题的关键通过牛顿第二定律和运动学公式得出时间的表达式，结合角度的大小关系进行比较．
16．(2020·广东二师番禺附中高一期末)如图所示，竖直圆环中有多条起始于A 点的光滑轨道，其中AB 通
过环心O 并保持竖直，一质点分别自A 点沿各条轨道下滑，初速度均为零，那么，质点沿各轨道下滑
的时间相比较( )
A．质点沿着与AB 夹角越大的轨道下滑，时间越短
B．质点沿着轨道AB 下滑，时间最短
C．轨道与AB 夹角越小(AB 除外)，质点沿其下滑的时间越短
D．无论沿图中哪条轨道下滑，所用的时间均相同
【答案】D
【详解】
设半径为R，斜面与竖直方向夹角为θ，则物体运动的位移为x =2 Rcosθ，物体运动的加速度
a= F合
m = gcosθ，根据x = 1
2 at
2，则t =√
4 R
g ，与θ角无关，而知道弦长和倾角也能算出半径，所以D
正确，ABC 错误．
【点睛】
解决本题的关键根据牛顿第二定律求出加速度，然后根据运动学公式求出运动的时间，看时间与θ角的
关系．
17．(2019·上饶中学高三月考)身体素质拓展训练中，人从竖直墙壁的顶点A 沿光滑杆自由下滑到倾斜的木
板上(人可看作质点)，若木板的倾斜角不同，人沿着三条不同路径AB、AC、AD 滑到木板上的时间分
别为t1、t2、t3，若已知AB、AC、AD 与板的夹角分别为70o、90o和105o，则( )
A．t1>t2>t3
B．t1<t2<t3
C．t1=t2=t3
D．不能确定t1、t2、t3之间的关系
【答案】A
【解析】
试题分析：若以OA 为直径画圆，则AB 交圆周与E 点，C 点正好在圆周上，D 点在圆周之内，AD 的延
长线交圆周与F 点；设AC 与AO 的夹角为α，则可知人从A 到C 的时间为
，可知与斜面的倾角无关，及人从A 点滑到E、C、F 的时间是相等的，
则可知人从A 点滑到BCD 的时间关系是：t1>t2>t3，故选A.
考点：牛顿第二定律的应用
【名师点睛】此题是牛顿第二定律的应用问题；要抓住物体从直径的顶端沿光滑斜面滑到圆周上时所用
的时间是相等的这一结论，则很容易解答此题；同样物体从圆周上的各点滑到圆周的底端时的时间也是
相等的，这些结论都要记住.
18．如图，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M 点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一
点B 与M 的连线和水平面的夹角为
，C 是圆环轨道的圆心，D 是圆环上与M 靠得很近的一点(DM
远小于CM)，已知在同一时刻：a、b 两球分别由A、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M 点；
c 球由C 点自由下落到M 点；d 球从D 点静止出发沿圆环运动到M 点。则( )
A．a 球最先到达M 点
B．b 球最先到达M 点
C．c 球最先到达M 点
D．d 球最先到达M 点
【答案】C
【解析】
【详解】
对于AM 段，位移
加速度
根据
得
对于BM 段，位移
加速度为
根据
得
对于CM 段，位移
加速度为
根据
得
对于d 小球，做类似单摆运动
所以t3最小，t2最大，故C 正确。
故选C。
19．(2019·内蒙古集宁一中高三月考)如图所示，几条足够长的光滑直轨道与水平面成不同角度，从P 点以
大小不同的初速度沿各轨道发射小球，若各小球恰好在相同的时间内达到各自的最高点，则各小球最高
点的位置( )
A．在同一水平线上
B．在同一竖直线上
C．在同一圆周上
D．在同一抛物线上
【答案】C
【解析】
试题分析：
角度为
的轨道上，小球沿轨道上滑的加速度为
上滑的距离
，
上升高度
水平移动距离
，
简化为
，
(
为定值)
所以
所以
故小球是在同一圆周上，圆半径为
.
考点：牛顿定律，云变速执行运动规律
点评：注意培养和锻炼应用数学知识解决物理问题的能力．
20．(2020·肥东县综合高中高三月考)如图所示，oa、ob 和ad 是竖直平面内三根固定的光滑细杆，o、a、
b、c、d 位于同一圆周上，c 为圆周的最高点，a 为最低点，
为圆心．每根杆上都套着一个小滑环，
两个滑环从o 点无初速释放，一个滑环从d 点无初速释放，用
分别表示滑环沿oa、ob、da 到
达a、b 所用的时间，则下列关系正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】
设ob 与竖直方向的夹角为
，由几何关系得oa 与竖直方向的夹角为
，环沿oa 下滑时的加速度大小
为
沿ob 下滑时的加速度大小为
设ob 长为L，由几何关系得oa 长为
，根据运动学公式有
得
由此得到
；由于
，同理可得到
，因此
，
故选BC。
21．(2019·靖远县第四中学高三月考)如图所示，让物体同时从竖直圆上的P1、P2处由静止开始下滑，沿光
滑的弦轨道
、
滑到A 处，
、
与竖直直径的夹角分别为
、
则( )
A．物体沿
下滑加速度之比为
B．物体沿
下滑到A 处的速度之比为
C．物体沿
下滑的时间之比为
D．两物体质量相同，则两物体所受的合外力之比为
【答案】BCD
【详解】
A．物体受重力、支持力，根据牛顿第二定律得
所以加速度大小之比为
，故A 错误；
BC．物体的位移
，则
解得
与夹角无关，知下滑时间之比为
，则
，知速度之比为
，故B 正确，C 正确；
D．加速度大小之比为
，根据牛顿第二定律知，合外力之比为
，故D 正确。
故选BCD。
22．(2020·山西高一期末)如图所示，圆1 和圆2 外切，它们的圆心在同一竖直线上，有四块光滑的板，它
们的一端A 搭在竖直墙面上，另一端搭在圆2 上，其中B、C、D 三块板都通过两圆的切点，B 在圆1 上，
C 在圆1 内，D 在圆1 外，A 板与D 板最低点交于一点a(d)，且两板与竖直墙面的夹角分别为30°、
60°，从A、B、C、D 四处同时由静止释放一个物块，它们都沿板运动，到达叫板底端的时间分别为
tA、tB、tC、tD，下列判断正确的是( )
A．
最短
B．
最短
C．
D．
【答案】BCD
【详解】
设板与竖直方向的夹角为
，沿板运动的加速度为：
设上面圆1 的半径为
，下面圆2 的半径为
，则Bb 轨道的长度为：
根据位移时间公式得：
则
故从上面圆1 上的任一点沿光滑直轨道达到下面圆2 的任一点的时间相等；因B 在圆1 上，C 在圆1 内，
D 在圆1 外，且板的低端堵在下面圆2 上，故有
；
轨道Aa 和Dd 相交于最低点a(d)，
则对A、D 有：
，
联立解得：
则有：
故
故有：
故A 错误，BCD 正确。
故选BCD。
23．如图为竖直面内的一个圆，从圆上最高点P 到圆上A、B 两个斜面PA 和PB，斜面与竖直方向夹角为α
和β，α
β，物块从P 点由静止释放，沿PA 经时间t1到A，沿PB 经时间t2到B，则( )
A．若不计摩擦，则t1=t2
B．若不计摩擦，则t1
t2
C．若有摩擦且动摩擦因数相同，则t1
t2
D．若有摩擦且动摩擦因数相同，则t1
t2
【答案】AC
【解析】
【详解】
AB.物块从P 点由静止释放，弦PA 长度为
，若斜面光滑，物体沿PA 下滑时加速度为
，因此从P 运动到A 的过程中，由运动学知识，有
，
运动的时间
，
可知下滑的时间与倾角
大小无关，即沿PB 下滑时间与PA 相同，故A 正确；B 错误；
BC.若斜面有摩擦且动摩擦因数相同，则物块沿PA 下滑时加速度
，
从P 运动到A 的过程中，有
，
可得运动时间
，
可知倾角越大时，运动时间越长，由于
，因此从P 到A 的运动时间比从P 到B 运动时间长，即t1
t2，故C 正确，D 错误。
故选AC。
