2026北师大版初中数学八年级上册学生AI智能体深度理解16法：第13篇｜第三章 位置与坐标·回顾与思考·复习题——深度理解16法之「应用内在于理解」

北师大版义务教育教科书 · 数学 八年级上册 · 第三章 位置与坐标·回顾与思考·复习题

🏫 学校：dxyc2360      👨‍🏫 指导教师：张元方

📖 一、开篇引言

电影票上印着「8排5号」，四个字就能把人钉在一个座位上。手机地图上点一下，屏幕告诉你「北纬30°、东经120°」。这两件事看着毫不相干，说到底是一件事：用两个数据把平面上的一个点说清楚。第三章讲的就是这件事，从「怎么把位置说出来」讲到「位置变了，坐标怎么变」。

这一篇要读的是第三章的收口处，教材印刷第 71 到 73 页。第 71 页接着上一节的习题，还有三道「数学理解」；第 72 页上半是「回顾与思考」的五个问题，下半是复习题的「知识技能」和「数学理解」；第 73 页是「问题解决」四道、「联系拓广」两道。四页纸，把整章的知识点重新过一遍。

很多家长以为复习课最容易，知识点都学过了，孩子把书看一遍就行。真实情况正相反。我见过不少孩子，问「关于 x 轴对称的两点坐标有什么关系」，答得很溜：「横坐标不变，纵坐标互为相反数」。给他一张街区图，让他描一条公交路线，笔就停住了。规律背得出来，用不出去，这是复习阶段最典型的卡点。

原因不复杂。学新课的时候，题目都长在知识点旁边，孩子顺着例题的格式往下写就对了。复习题的题面换了装：第 5 题问旗杆在大门的什么位置，第 6 题问北纬30°东经120°在哪座城市，第 7 题给的是公交站牌式的街区图，第 10 题要写一篇小短文。这些题不考记忆，考的是把坐标这一套语言搬到生活里去用。

所以这一篇不打算再把知识点抄一遍。本篇借伽达默尔的一句话来读这四页纸——「应用内在于理解」。意思是：真正的懂，里面本来就含着会用；用不出来的懂，是半截的懂。下面每一道题，我都会把「怎么用」讲透，让孩子在合上书之后，还能拿这套东西去说清身边的位置。

📊 二、思维导图

第三章知识骨架：一条主线、四个层次、三种用法

这张图把本章拆成五支：确定位置的两个数据、平面直角坐标系的读与画、坐标轴与平行线上的坐标特征、关于坐标轴对称的规律、用坐标解决实际问题。往下每一支再挂具体的题号，孩子看完图应该能指着某一支说出「这一支对应复习题第几题」。图里的方框越多不等于越好，能顺着方框把整章的话讲成一段，才算用上了这张图。

🔑 三、深度理解16法之「应用内在于理解」

「应用内在于理解」出自伽达默尔的《真理与方法》。他讲诠释学有三个要素：理解、解释、应用。过去的人把这三件事排成一条线——先理解，再解释，有空才应用。伽达默尔把这条线拗过来了：应用不是理解的下一步，应用就在理解里面。他的例子是法官判案和医生治病。法官读法条，读的时候心里已经装着眼前这个案子；医生学病理，学的时候想的就是床上这个病人。脱离了案子去读法条，读出来的只是一堆字。

这一法针对的学习毛病很具体：把知识当成品来收藏。孩子的错题本抄得整整齐齐，「关于 y 轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数」写得一字不差，问他「我们学校大门朝东，旗杆在大门东北方向 50 米，这句怎么写成坐标」，他答不上来。这时他手里有的是文字的复制品，不是知识本身。伽达默尔会说，他还没理解，只是记住了。

放到本章的复习里，这一法要求三个动作。第一个动作，每个规律都要配一个自己的例子。回顾与思考五道题，教材每道后面都写着「请举例说明」「请你举例说明」，这五个字不是客套，是这道题的骨头。孩子答「需要两个数据」只答了一半，要能接着说「比如我坐第 3 排第 6 列，两个数据就定死了」。第二个动作，规律要能倒着用。回顾与思考第 4 题问「反过来，坐标之间具有这样关系的点关于坐标轴对称吗」，这就是在问：这条规律你是当口诀背的，还是当判据用的。第三个动作，把复习题里的应用题当成检验。第 5 题旗杆、第 6 题经纬度、第 7 题公交路线、第 10 题小短文，这四道题答不出来，说明前面那些口诀在孩子脑子里还是悬空的。

这一法还有一个好处，能治「复习就是重读课本」这个习惯。重读是被动的，眼睛过一遍，脑子不设防，读完只觉得「都见过」。按应用来复习，每读一条就要问自己一句「这条能拿来干什么、能拿它做哪道题」。眼睛过一遍变成手过一遍，四页纸的复习能顶两章新课。

📝 四、核心概念与公式

知识点一 · 确定位置要有两个数据。在平面内，只给一个数据定不住点。说「离校门 50 米」，全校以校门为圆心、50 米为半径的整个圆上的点都符合；再加一个「正东方向」，点就唯一了。常见的两种写法：一种是有序数对，像电影票的「8排5号」，两个数的顺序不能换；一种是方向和距离，像「北偏东 40°，50 米」。地理上的经度和纬度也是两个数据，北纬 30° 是一条线，东经 120° 是另一条线，两条线交叉处只有一个点。

知识点二 · 点的坐标怎么读、怎么画。在平面直角坐标系里，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，x 轴上垂足对应的数就是横坐标，y 轴上垂足对应的数就是纵坐标，写成 P(a,b)，横坐标在前。反过来给坐标找点：先在 x 轴上找到 a，过这一点作 x 轴的垂线，再在这条垂线上按 b 的正负上下数格子。横坐标管左右，纵坐标管上下，两条线一交，点就落地了。

知识点三 · 象限的符号与坐标轴上的点。两条坐标轴把平面分成四个象限，从右上角开始逆时针数，依次是第一、第二、第三、第四象限。符号记法：第一象限 (＋,＋)，第二象限 (－,＋)，第三象限 (－,－)，第四象限 (＋,－)。坐标轴上的点不属于任何象限：x 轴上的点纵坐标为 0，形如 (a,0)；y 轴上的点横坐标为 0，形如 (0,b)；原点是 (0,0)。平行于 x 轴的直线上，所有点的纵坐标相同；平行于 y 轴的直线上，所有点的横坐标相同。

知识点四 · 关于坐标轴对称的坐标规律。点 P(a,b) 关于 x 轴对称的点是 (a,－b)，横坐标不变，纵坐标变相反数；关于 y 轴对称的点是 (－a,b)，纵坐标不变，横坐标变相反数。这条规律反过来也成立：横坐标相同、纵坐标互为相反数的两点，一定关于 x 轴对称；纵坐标相同、横坐标互为相反数的两点，一定关于 y 轴对称。连着做两次对称——先关于 x 轴、再关于 y 轴——横纵坐标都变成相反数，合起来就是关于原点中心对称，等价于绕原点旋转 180°。

知识点五 · 用坐标求图形面积。图形摆在坐标系里，边不一定贴着轴，面积靠割补。常用三招：一是把图形沿 x 轴切成上下一块块；二是过各顶点向 x 轴作垂线，切成直角梯形和直角三角形；三是补成一个大长方形，再减掉多出来的三角形。割补的原则只有一条：切出来的每一块，底和高都要能直接从坐标读出来。

本节公式与常用算式（取自本页复习题与习题）：点 P(a,b) 关于 x 轴对称得 (a,－b)；关于 y 轴对称得 (－a,b)；两次对称得 (－a,－b)。距离：横坐标之差取绝对值就是水平距离，纵坐标之差取绝对值就是竖直距离。习题 3.3 第 3 题：A(－3,2)、B(－1,1)、C(－2,5)，关于 x 轴对称得 A₁(－3,－2)、B₁(－1,－1)、C₁(－2,－5)，再关于 y 轴对称得 A₂(3,－2)、B₂(1,－1)、C₂(2,－5)。复习题知识技能第 1 题（2）：把 (2,0)、(2,2)、(0,2)、(0,3)、(2,5)、(3,5)、(2,2)、(5,3)、(5,2)、(3,0)、(2,0) 的横坐标全部换成相反数，得 (－2,0)、(－2,2)、(0,2)、(0,3)、(－2,5)、(－3,5)、(－2,2)、(－5,3)、(－5,2)、(－3,0)、(－2,0)。复习题问题解决第 8 题：四边形 OBCD 的面积 ＝ 1/2×3×6 ＋ (6＋8)÷2×11 ＋ 1/2×2×8 ＝ 9 ＋ 77 ＋ 8 ＝ 94。

📜 五、教材原文

教材原文

略

本页文字版权归北京师范大学出版社所有，教材原文不便整段转录。本篇只做拆解与讲解，题目与栏目逐条对照印刷第 71 至 73 页，题号与教材一致。愿意跟着课本一起看的孩子，把书翻到这三页，对着第八节一条一条走，效果最好；手上没有书的，第八节每一道题的题干要点都写全了，照读也能跟上。

🧩 六、重点难点分析

难点一 · 「两个数据」为什么够用，孩子说不清

回顾与思考第 1 题问「确定点的位置一般需要几个数据」，孩子张口就是「两个」。再问一句「为什么是两个，一个不够吗」，多半卡住。难点在于这句话背后有个「两条线交于一点」的道理：一个数据给出的是一条线，两个数据给出两条线，两条不平行的线只有一个交点。家长可以在纸上做个试验，说「离校门 50 米」，让孩子画，画出来是一个圆，圆上每一点都合格；再说「正东方向 50 米」，点就只剩一个。孩子亲眼看见「一个数据定不住」，这句话才算懂。顺带把「顺序不能换」也讲掉：8排5号 和 5排8号 是两个座位。

难点二 · 象限符号与「同号、异号」的对应

复习题数学理解第 4 题（2）问「a，b 同号，点 P(a,b) 位于第几象限」。这类题的坑有两个。头一个坑是漏解：同号有两种情况，同正、同负，分别落在第一象限和第三象限，孩子常常只答第一象限。第二个坑是忘了坐标轴：a、b 同号这个条件自动排除了 0，答案里不必再提坐标轴，可真到了「ab＝0」这类条件，就得单独讨论点落在轴上、不属于任何象限。破法是让孩子养成一个动作：判断象限前先在草稿上写四个符号组合 (＋,＋)、(－,＋)、(－,－)、(＋,－)，把条件往上一套，对号入座，别在脑子里空想。

难点三 · 平行于坐标轴的直线，坐标「变的是哪一个」

「平行于 x 轴的直线上，纵坐标相同」这句话，孩子背得下，用起来却爱反。原因是他把「平行于哪条轴」和「哪个坐标不变」记成了同一件事——平行于 x 轴，x 坐标就不变，这是错的。讲清楚的办法是看运动：一条水平线上走，左右移动，变的是横坐标，竖直高度一直没动，所以纵坐标相同；一条竖直线上走，上下移动，变的是纵坐标，左右位置没动，所以横坐标相同。回顾与思考第 3 题要求「请分别举例说明」，就是逼孩子把这条道理落到具体数上：过 (2,1) 且平行于 x 轴，线上所有点可写成 (t,1)。

难点四 · 对称规律要能反着用，还要能连着用

正着用不难：给点写对称点。反着用就露怯了。回顾与思考第 4 题问「反过来，坐标之间具有这样关系的点关于坐标轴对称吗」，孩子答不上来，说明他手里只有口诀没有判据。判据的说法是：两个点横坐标相同、纵坐标互为相反数，它们到 x 轴的距离相等、又都在 x 轴的同一侧正上方或正下方，于是关于 x 轴对称。连着用更难，习题 3.3 第 3 题要连做两次对称，孩子容易把第一次的结果当成最终答案，或者把两次的顺序弄反。让他记一句：先关于 x 轴再关于 y 轴，两个坐标都翻号，最终图形是原图形绕原点转 180°。

难点五 · 斜摆的四边形，面积从哪儿切

复习题第 8 题的四边形 OBCD，四条边一条贴着 x 轴、三条都斜着。孩子会背长方形面积公式，遇到斜边就没招。难点不在算，在选切法。切得好的标志是每一刀都落在坐标轴上：过 B、C 分别向 x 轴作垂线，把图形切成左边一个直角三角形、中间一个直角梯形、右边一个直角三角形，三块的底和高全部能从坐标直接读出来。切得不好的典型是随手连一条对角线，切出来的三角形底不是水平线，高找不到。家长陪练时可以只问一句：「你这一刀切下去，切出来的图形的高在哪条线上？」答不出来就换一刀。

难点六 · 把坐标搬到生活里，孩子不肯动笔

复习题第 5 题问旗杆相对大门的位置，第 6 题问北纬 30°、东经 120° 附近是哪座城市，第 10 题要写小短文。这三道题不设标准答案，很多孩子直接空着，觉得「这不算数学题」。这是本章最可惜的地方：坐标这套语言的价值，全在这类题里显出来。家长可以把它变成家里的一次小活动——站在校门口，让孩子目测旗杆的方向和距离，回家画一张方格图，把大门定成原点，旗杆标上去。做完这个动作，「有序数对」和「方向加距离」就不再是课本上的词。

❓ 七、常考易考题与易错题

题型一 · 判断点所在象限（含参数）

例题：若点 M(a－3, 2a＋4) 在 y 轴上，求 a。答：y 轴上横坐标为 0，a－3＝0，a＝3，此时 M(0,10)。易错：把「在 y 轴上」当成纵坐标为 0，解成 2a＋4＝0。错因是两条轴的坐标特征记反。纠法：让孩子把「x 轴上的点纵坐标为 0，y 轴上的点横坐标为 0」写成两行贴在书桌前，做题前念一遍，一个月就能定住。

题型二 · 平行于坐标轴的直线上的点

例题：点 A(2,－1)，点 B 在过 A 且平行于 y 轴的直线上，AB＝3，求 B 的坐标。答：平行于 y 轴，横坐标都是 2；纵坐标相差 3，B 为 (2,2) 或 (2,－4)，两个答案。易错：只写一个。错因是没往上下两个方向想。纠法：凡是「距离」给条件，先画一条竖线，再在 A 的上方和下方各点一下，两个点都留着。

题型三 · 关于坐标轴对称求字母的值

例题：点 P(m＋1, 3) 与点 Q(4, n－2) 关于 x 轴对称，求 m、n。答：关于 x 轴对称，横坐标相同、纵坐标互为相反数，m＋1＝4 得 m＝3，n－2＝－3 得 n＝－1。易错：把两个坐标都写成相反数，解出 m＝－5。错因是没分清哪一变哪一不变。纠法：动笔前先在题号旁写「x 轴：横不变」四个字，再列式。

题型四 · 连续两次对称

例题：把点 (－2,5) 先关于 x 轴对称，再关于 y 轴对称，求最终坐标。答：(－2,5)→(－2,－5)→(2,－5)。易错：只做一次就交卷，或者把结果写成 (2,5)。错因是把两次对称当成一次。纠法：中间结果一定要写下来，别在脑子里连跳；写完检查两个坐标是不是都翻了号。

题型五 · 用坐标求图形面积

例题：三点 A(0,0)、B(4,0)、C(1,3) 围成的三角形面积。答：底 AB 在 x 轴上，长 4，高是 C 到 x 轴的距离 3，面积 6。易错：把 BC 当底，找不到高。错因是习惯用「看起来像底」的边。纠法：先找贴在坐标轴上的那条边，那条边当底最省事，高就是另一个顶点到这条轴的距离。

题型六 · 用两个数据描述位置

例题：教室里的座位，第 4 列第 3 排记作 (4,3)，(3,4) 表示哪个座位。答：第 3 列第 4 排。易错：认为 (4,3) 与 (3,4) 是同一个位置。错因是把有序数对当成无序的两个数。纠法：让孩子说一遍电影票，再问「5排8号 和 8排5号 是同一个座吗」，一句话就能记住顺序有意义。

题型七 · 坐标规律探究

例题：点 A₁(1,0)、A₂(2,1)、A₃(3,2)……按此规律，Aₙ 的坐标是什么。答：横坐标每次加 1，纵坐标每次加 1，Aₙ 为 (n, n－1)。易错：只看两三个点就下结论。错因是没验证第四个。纠法：找到通项后，回头代 n＝1、2、3 三个值验证，全对上才算过关。

📄 八、教材内容逐点拆解

这一节按教材的栏目顺序往下走，一条一条对。先把三条坐标轴上的老规矩摆在这儿：横坐标看左右，纵坐标看上下，写坐标时横在前。下面每个栏目都有题目原文要点、考查什么、思路、分步过程、易错、验算六件套，末了再补一段「带这一题」，讲这道题在家里怎么陪。

栏目一 · 习题3.3 数学理解（印刷第71页）

印刷第 71 页上半是上一节习题的后半段，栏目名「数学理解」，题号从第 2 题接到第 4 题。三道题一道是读图写坐标，一道是连续两次对称作图，一道是自由设计图案。这三道题正好对应本章收尾这一段路的三种能力：看得懂图、画得准图、自己想得出图。

习题3.3 · 数学理解 第2题

题目原文要点：快速说出如图所示的图形中各个「顶点」的坐标，你是怎样想的？图是方格坐标系里的一条闭合折线，横向 14 格、纵向 14 格，横轴右端最远刻度 6，纵轴上端最远刻度 6，原点记作 O。考查什么：由图形读坐标的速度与依据，考的是「先数格子、再看象限」这套动作熟不熟。思路：图形关于两条坐标轴都对称，只把第一象限和轴上的点认真数出来，其余靠对称直接写。分步过程：先看右端尖角，落在 x 轴上，A(6,0)；往左上走，B(2,1)，再往外走到 C(3,3)，再往里回到 D(1,2)，再到上端尖角 E(0,6)；用关于 y 轴的对称，左边依次是 F(－1,2)、G(－3,3)、H(－2,1)、I(－6,0)；用关于 x 轴的对称，下半依次是 J(－2,－1)、K(－3,－3)、L(－1,－2)、M(0,－6)、N(1,－2)、P(3,－3)、Q(2,－1)。一共 16 个顶点，字母排到 Q，中间的 O 让给了原点。易错：把 B 读成 (1,2)、把 D 读成 (2,1)，横纵坐标对调；或者把 Q 写成 (2,1)，跟 B 撞在一起。验算：随手抽三对看对称——B(2,1) 与 Q(2,－1) 关于 x 轴对称，C(3,3) 与 G(－3,3) 关于 y 轴对称，E(0,6) 与 M(0,－6) 关于原点对称；三对都对上，说明整圈读数没串位。

带这一题：这道题最容易变成「家长报答案，孩子抄」。换个做法：让孩子只数第一象限那四个点，数完说一句「我为什么只数四个」。他若答「剩下的照镜子」，这题就算通了。孩子读错时别急着纠正，让他自己把 (1,2) 和 (2,1) 在图上点一遍，两个点位置差得远，眼看就明白了。速度也要练，教材写「快速说出」，说明这一章的目标是熟到不用一格一格数。

习题3.3 · 数学理解 第3题

题目原文要点：如图，在平面直角坐标系中，先画出△ABC关于x轴对称的图形，再画出所得图形关于y轴对称的图形。你是怎样画的？图上 △ABC 三个顶点为 A(－3,2)、B(－1,1)、C(－2,5)，横轴刻度从 －4 到 4，纵轴刻度从 －5 到 6。考查什么：对称作图的两步走，以及对「两次对称＝绕原点转 180°」的初步感觉。思路：不作垂线、量距离，直接写对称点的坐标，再连线；第一步关于 x 轴，横坐标照抄、纵坐标翻号，第二步关于 y 轴，纵坐标照抄、横坐标翻号。分步过程：第一步，A(－3,2)→A₁(－3,－2)，B(－1,1)→B₁(－1,－1)，C(－2,5)→C₁(－2,－5)，三点连线得 △A₁B₁C₁，它落在第三、第四象限之间，形状与原来一样，尖角朝下。第二步，A₁(－3,－2)→A₂(3,－2)，B₁(－1,－1)→B₂(1,－1)，C₁(－2,－5)→C₂(2,－5)，连线得 △A₂B₂C₂，整个翻到右边。两步合起来看，每个顶点的两个坐标都变了号，相当于把原三角形绕原点转了半圈。易错：第一步就把横坐标也翻号，一步做成两次；或者第二步在 A₁ 上继续翻横坐标却忘了纵坐标已经翻过，把 A 写成 (3,2)。验算：比长度。AB 的水平差 2、竖直差 1，A₂B₂ 的水平差也是 2、竖直差 1，三组对应边长度全等，说明作图没变形。

带这一题：陪孩子做时准备两支不同颜色的笔，第一步用蓝笔，第二步用红笔，三个中间点一定写在纸上。孩子嫌麻烦想一步到位，可以让他试试直接写 (3,2)，再和答案比，自己就能发现多翻了一次。这道题真正的收获是那句话：两次轴对称，等于绕原点转 180°。往后学中心对称、学旋转，这句话会反复回来。

习题3.3 · 数学理解 第4题

题目原文要点：在平面直角坐标系中，画一幅关于x轴（或y轴）对称的图案，并说明你是如何画的。教材在本页下方配了一张空白方格坐标系（只标 x、y、O，没有刻度数字），留给孩子画。考查什么：把对称规律倒过来用——先有图案，再说清它为什么对称。思路：先在 x 轴一侧画半个图案，逐个记下顶点坐标，把纵坐标翻号写另一半，连线即得；说明里要点明「哪条轴、哪一变哪一不变」。分步过程：举个能照抄的例子：在 y 轴右边画一只小房子，顶点取 (1,0)、(4,0)、(4,3)、(2.5,4.5)、(1,3)，连成一个五边形；关于 y 轴对称，横坐标全部翻号，得 (－1,0)、(－4,0)、(－4,3)、(－2.5,4.5)、(－1,3)，连线。说明写成三句：这半个图案在 y 轴右侧；另一半的每个顶点都与它横坐标互为相反数、纵坐标相同；所以两半关于 y 轴对称。易错：画得挺像，说明写成「照镜子画出来的」，没落到坐标上；或者挑的图案横跨 y 轴，一半压着轴，翻号后两半重叠，看不出对称。验算：取图上任意一个顶点，量它到 y 轴的距离，再量对应点到 y 轴的距离，两段相等就对了。

带这一题：这是本章少有的「孩子当出题人」的题，别浪费。让他自己选图案，蝴蝶、风筝、校徽都行，画完请他给家长讲一遍「我是怎么翻的」。讲得清楚，说明规律在他手里是活的；讲不清，就回到第 3 题重做一遍。孩子画的时候容易把格子数错半格，提醒他用整数格点，坐标才干净。

栏目二 · 回顾与思考（印刷第72页上半）

这个栏目一共五个问题，没有一道是算题，全是问句。教材的意图很明确：让孩子用自己的话把整章说一遍。五道题的问法有个共同点，每道后面都跟着「请举例说明」或者「请分别举例说明」。这两个字是评分线——只答结论不给例子的，等于没答。

回顾与思考 第1题

题目原文要点：在平面内，确定点的位置一般需要几个数据？请举例说明。考查什么：对「两个数据定一点」这一原理的理解，以及能不能举出生活里的例子。思路：先答「一般需要两个」，再举两个不同类型的例子，一个是有序数对，一个是方向加距离。分步过程：例子一，电影院座位「8排5号」，两个数据，顺序不能换，8排5号 与 5排8号 是两个座位。例子二，从学校大门出发，「向北偏东 30° 方向走 200 米」，方向加距离也是两个数据。例子三，地理上的北纬 30°、东经 120°，两条线一交，城市的位置就定住了。例子里要注意「一般」两个字：只有一个数据时定不住点，整个圆上的点都合格；三个数据多余，平面上不需要。易错：答「两个数据」却不给例子，或者举的例子只给了一个数据，比如「我家在第 5 栋」，少了单元号。验算：把例子交给别人，别人能凭这两个数据在地上点出唯一一处，例子就合格。

带这一题：在家里问这句话最好玩的方式是「你说，我猜」。家长闭眼，让孩子只用两个数据说清冰箱贴的位置，说对了就算过关。孩子给的数据不够，家长故意猜错一次，他立刻明白差在哪儿。这道题看着简单，能治的毛病不少：往后学函数、学图象，横纵两个量的关系全靠这套语言。

回顾与思考 第2题

题目原文要点：在平面直角坐标系中，如何确定一个点的坐标？给定点的坐标，如何确定这个点的位置？请分别举例说明。考查什么：读坐标与描点这一对互逆动作，要求两个方向都说得清。思路：读坐标靠作垂线找垂足，描点靠先定横、再定纵、两线相交。分步过程：读坐标：以点 P 为例，过 P 作 x 轴的垂线，垂足对应的数是 －2，过 P 作 y 轴的垂线，垂足对应的数是 3，于是 P(－2,3)，横坐标在前。描点：要画 Q(4,－1)，先在 x 轴上找到 4，过这点作 x 轴的垂线（一条竖线），再在竖线上从 x 轴往下数 1 格，落点就是 Q。两句话要能对起来：读坐标是从点找数，描点是从数找点，动作正好倒着。易错：横纵写反，把 (－2,3) 写成 (3,－2)；描点时从 y 轴出发往上数，落到了别的点。验算：描完点再读一遍坐标，读出来和题目给的一样，就没错位。

带这一题：这道题的练法只有一个字：手。让孩子拿方格纸，随便写五个坐标，一个个描出来，再自己读回去。家长可以故意说错一个，让他抓错。「读」和「描」这两件事孩子常常只练一半，读得快、描得慢，考试一画图就露出来。

回顾与思考 第3题

题目原文要点：在平面直角坐标系中，坐标轴上的点具有什么特点？平行于坐标轴的线段上的点，它们的坐标有什么共同特点？请分别举例说明。考查什么：两类特殊位置的坐标特征，考的是「哪个坐标是 0、哪个坐标相同」。思路：先分轴说，再分方向说，每一句后面跟一个具体数。分步过程：坐标轴上的点：x 轴上的点纵坐标为 0，形如 (3,0)、(－5,0)；y 轴上的点横坐标为 0，形如 (0,2)、(0,－4)；原点是 (0,0)，它既在 x 轴上又在 y 轴上。这两类点都不属于任何象限，这一点要单独说一句。平行于 x 轴的线段：竖直高度不变，纵坐标相同，例如 (－3,2)、(0,2)、(4,2) 三点连线，整条线上每一点都可以写成 (t,2)。平行于 y 轴的线段：左右位置不变，横坐标相同，例如 (1,－2)、(1,0)、(1,5)，整条线上每一点都可以写成 (1,t)。易错：把「平行于 x 轴」记成「横坐标不变」，正好记反；或者把 x 轴上的点写成 (0,a)。验算：拿自己的例子回代：写过 (t,2) 的位置，代 t＝0 得 (0,2)，代 t＝4 得 (4,2)，两点都在那条水平线上，说明写法对。

带这一题：孩子记反的那一对，用一句顺口的话能定住：「横着走，高度不变；竖着走，左右不变。」讲完让他在方格纸上各画一条，标三个点，自己念一遍坐标。复习题数学理解第 4 题（1）问的就是这件事，两道题连着做，印象最深。

回顾与思考 第4题

题目原文要点：在平面直角坐标系中，关于坐标轴对称的点的坐标之间有怎样的关系？反过来，坐标之间具有这样关系的点关于坐标轴对称吗？这些结论可以帮助你解决哪些问题？考查什么：对称规律的正反两个方向，以及这条规律的用处。思路：正着答规律，反着答判据，末了答三类用处：求对称点、判断两图形的位置关系、由对称反求字母的值。分步过程：关于 x 轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，P(a,b)→(a,－b)。关于 y 轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数，P(a,b)→(－a,b)。反过来成立：若两点横坐标相同、纵坐标互为相反数，例如 (3,2) 与 (3,－2)，它们到 x 轴的距离都是 2，连线被 x 轴垂直平分，所以关于 x 轴对称。用处举例：给点找对称点，像复习题知识技能第 1 题（2）那样整幅图案翻面；判断两个图形的位置关系，像本章随堂练习里两图对照；由对称关系反求字母，比如点 (m,3) 与 (2,n) 关于 y 轴对称，得 m＝－2、n＝3。易错：只答正着的规律，第二问跳过；或者把「反过来」当成不成立的，答「不一定」。验算：自己举一对点，量一量连线段是否被坐标轴垂直平分，两条件都满足就关于该轴对称。

带这一题：这题是本篇的「方法题」，正反两个方向都要答。孩子若只会正着说，说明他背的是口诀。家长可以问一句：「有两个点，我告诉你它们横坐标一样、纵坐标互为相反数，你能确定它们什么关系？」这一问能把口诀变成判据，往后做证明题、做函数图象对称都用得上。

回顾与思考 第5题

题目原文要点：梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流。考查什么：自己动手搭知识结构，考的是归类与连接的能力。思路：按「位置怎么定 — 坐标怎么读 — 坐标有什么规律 — 规律怎么用」四层搭，每一层下面挂两三个词。分步过程：第一层，确定位置：两个数据、有序数对、方向加距离、经纬度、区域编码。第二层，平面直角坐标系：x 轴、y 轴、原点、四个象限、点的坐标、描点与读点。第三层，坐标的特征与规律：坐标轴上点的坐标、平行于坐标轴的直线、关于 x 轴对称、关于 y 轴对称、两次对称。第四层，用坐标解决问题：求图形面积、描述实际位置、看图案的位置关系。呈现方式可以画括号图、可以列表格，也可以画成今天这篇的思维导图。易错：把结构图画成目录，一章一节抄一遍，层与层之间没有连线；或者漏掉第四层，只有知识没有用处。验算：拿结构图去对本章每一道题，每道题都能落到某一个枝上，说明这张图是完整的。

带这一题：让孩子画在一张 A4 纸上，画完贴在书桌前。画结构图最忌照抄目录，家长可以提一个要求：「图上每个词后面写一个题号。」写完他自然会发现，有些词后面挂不上题，那就是他没弄懂的地方。这张图往后复习还能用，一次投入，管一整年。

栏目三 · 复习题 知识技能（印刷第72页下半）

复习题从这里开始，一共十道，分成「知识技能」「数学理解」「问题解决」「联系拓广」四栏。知识技能两道，都是手上功夫：一道按坐标连线再翻面，一道自己建坐标系把长方形摆进去。这两道题看着浅，恰恰是整章的地基，坐标读不准、描不准，后面的应用题都站不住。

复习题 · 知识技能 第1题（1）

题目原文要点：在平面直角坐标系中，将坐标是(2,0)，(2,2)，(0,2)，(0,3)，(2,5)，(3,5)，(2,2)，(5,3)，(5,2)，(3,0)，(2,0)的点用线段依次连接。考查什么：按坐标描点、按顺序连线，考的是「手稳」和「留意重复点」。思路：先把 11 个坐标一个个描出来，按给定的先后顺序编号，从第 1 点连到第 11 点，中间不跳、不插队。分步过程：编号如下：①(2,0) ②(2,2) ③(0,2) ④(0,3) ⑤(2,5) ⑥(3,5) ⑦(2,2) ⑧(5,3) ⑨(5,2) ⑩(3,0) ⑪(2,0)。连①到②是一条竖线，②到③是横线，③到④是竖线，④到⑤向右上斜上去，⑤到⑥是短横线，⑥到⑦斜回 (2,2)，⑦到⑧又向右上斜出去，⑧到⑨是短竖线，⑨到⑩斜到左下，⑩到⑪回到起点。连完是一个闭合图形，左上一道尖角、右侧一道尖角，整体像一颗四角星；中间那一点出现两次（第 2 个和第 7 个都是 (2,2)），折线在这里打了个回旋，看着像两个图形在一点相接。易错：把 (2,2) 只描一次，于是第 6、7 两点之间少一段，图形接口处断开；或者把 (5,3) 与 (5,2) 的顺序调换，图形翻了个身。验算：首尾两点都是 (2,0)，连完必须回到起点，图形必须封闭；中间数一数一共 10 条线段，少一条就说明漏了重复点。

带这一题：这题的价值在「重复点」三个字上。孩子画完发现图形怪怪的，多半是把 (2,2) 少描了一次。陪练时不用纠正，先让他画，画完自己数线段条数，数出 9 条就知道漏了。这个「按题号编好号」的习惯，往后画函数图象、画统计图都用得上。

复习题 · 知识技能 第1题（2）

题目原文要点：画出（1）中所得图案关于y轴对称的图案，你是怎么画的？考查什么：整幅图案翻面的做法，考的是把「点的规律」用到「整个图形」上。思路：图形关于 y 轴对称，就是每个顶点关于 y 轴对称；把 11 个点的横坐标全部换成相反数，纵坐标照抄，再按原顺序连线。分步过程：逐个翻号：(2,0)→(－2,0)，(2,2)→(－2,2)，(0,2)→(0,2)，(0,3)→(0,3)，(2,5)→(－2,5)，(3,5)→(－3,5)，(2,2)→(－2,2)，(5,3)→(－5,3)，(5,2)→(－5,2)，(3,0)→(－3,0)，(2,0)→(－2,0)。按原顺序连起来，得到翻到左边的图案。说明写成两句：这幅图案是用原图案各顶点的横坐标换成相反数得到的；横坐标变号、纵坐标不变，两幅图关于 y 轴对称。易错：顺手把纵坐标也翻了，做成关于原点对称；或者翻号翻到一半，忘了 (0,2)、(0,3) 两个点在 y 轴上，位置本来不变，却写了 (0,－2)、(0,－3)。验算：挑最远的点看距离：(5,3) 离 y 轴 5 格，(－5,3) 也离 y 轴 5 格，在轴的两侧同高，翻对了；再看落在 y 轴上的点，位置没动，也符合规律。

带这一题：这是检验「规律是不是真的会用了」的题。会做的孩子动作很快，一秒一个；不会的孩子会拿尺子一格一格量。家长看他有没有量尺，就知道他是背规律还是用规律。翻完请他讲讲 (0,2) 为什么不动，答「它在 y 轴上，横坐标是 0，0 的相反数还是 0」，这句话比结果值钱。

复习题 · 知识技能 第2题

题目原文要点：长方形的两条边长分别为4，6，建立适当的平面直角坐标系，使该长方形的一个顶点的坐标是(－2,－3)。与同伴进行交流，你们的答案相同吗？考查什么：自己选原点、选方向建系，考的是「坐标系是人定的」这个观念。思路：答案不唯一，先把 (－2,－3) 定成一个顶点，再决定这个顶点是长方形的哪个角、两条边朝哪两个方向伸。分步过程：一法，把 (－2,－3) 当左下角，边长 6 沿 x 轴向右、边长 4 沿 y 轴向上，其余三个顶点是 (4,－3)、(4,1)、(－2,1)。二法，把 (－2,－3) 当左下角，边长 4 沿 x 轴向右、边长 6 沿 y 轴向上，其余三点是 (2,－3)、(2,3)、(－2,3)。三法，把 (－2,－3) 当右上角，长方形往左下伸，其余三点是 (－8,－3)、(－8,－7)、(－2,－7)。三种都合格，边长都是 4 与 6，都过 (－2,－3)。易错：只想到一种摆法，答完就停；或者边长搞混，把 4 和 6 用在同一方向上，画出来是正方形。错因是把「两条边长」当成一条边。验算：算三个相邻顶点到 (－2,－3) 的距离，一个是 4、一个是 6，且四角都是直角，长方形就对。

带这一题：教材特意问「你们的答案相同吗」，就是让孩子知道坐标系可以自己挑。家长可以陪他多画两种，把三种摆法并排放在一张纸上，问他「这三种图的形状一样吗，坐标一样吗」。形状一样、坐标不一样，说明他懂了两件事：图形本身与坐标系无关，坐标是坐标系给的。这一条往后学平移、学函数变换时特别要紧。

栏目四 · 复习题 数学理解（印刷第72页末至73页首）

这一栏两道题，第 3 题印在 72 页的末行，第 4 题接着印在 73 页页首，页首只写了题号「4.」，没有重复印栏目名。两道题都在问「规律管不管用、能管到哪儿」：一道问什么时候变号了图形却不动，一道问直线上的点与象限的符号。

复习题 · 数学理解 第3题

题目原文要点：将某个图形各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的相反数，此时图形却未发生任何改变。你认为这可能吗？请举例说明。考查什么：对关于 y 轴对称规律的深入理解，考的是「什么样的图形会跟自己重合」。思路：横坐标变相反数就是关于 y 轴翻面。翻完还跟原来一样，说明这个图形本来就关于 y 轴对称，翻过去与翻过来重合。分步过程：举例一：顶点为 (－1,0)、(1,0)、(0,2) 的等腰三角形，各点变号后得 (1,0)、(－1,0)、(0,2)，三个点的集合与原来完全相同，图形没变。举例二：以 y 轴为对称轴的线段，端点是 (0,－2)、(0,3)，两点都在 y 轴上，横坐标是 0，变号仍是 0，线段原地不动。举例三：圆，圆心在 (0,4)、半径 2，圆上每一点关于 y 轴的对称点也在这个圆上，整个圆翻过去还是它自己。结论：可能，条件是这个图形本身关于 y 轴对称。易错：答「不可能」，理由是「每个点都跑到对面去了」。错因是只盯着一个点看，没看整体。验算：把举的例子每个顶点都变一次号，看变号后的点集与原点集是否完全相同；相同就成立。

带这一题：这道题是本篇「应用内在于理解」最好的例子：规律不只是用来算答案的，它还能反过来告诉你图形长什么样。家长可以拿一张纸对折剪个窗花，展开给孩子看——剪的时候只剪一半，展开是一整朵，这就是「变号了图形不变」。孩子见过一次，这道题就再也不用背了。

复习题 · 数学理解 第4题（1）

题目原文要点：一条与x轴平行的直线上的点，它们的坐标有什么共同特点？一条与y轴平行的直线上的点呢？考查什么：两类直线的坐标特征，考的是分清「哪个坐标不变」。思路：看运动方向：横着走的线，高度不变；竖着走的线，左右不变。分步过程：与 x 轴平行的直线，例如过 (0,3) 且水平的那条，上面取 (－4,3)、(0,3)、(2,3)、(5,3)，纵坐标都是 3，可统一写成 (t,3)，t 取任意数。与 y 轴平行的直线，例如过 (2,0) 且竖直的那条，上面取 (2,－3)、(2,0)、(2,1)、(2,6)，横坐标都是 2，可统一写成 (2,t)。判断口诀：平行于哪条轴，那条轴对应的坐标就在变，另一条不变。易错：记成「平行于 x 轴，横坐标相同」，正好反了；或者答「都相等」，把两个坐标说成都一样。验算：在纸上画一条水平线，任取线上两点，比较纵坐标，若相同则结论对；再取一条竖直线比横坐标。

带这一题：这题和第 3 题是一对：一个讲对称，一个讲平行。孩子记反的时候，用「横着走高度不变」这句话救急，比背「纵坐标相同」好记。让他自己在方格纸上画两条线各标三个点，把坐标念出来，说过三遍就顺了。

复习题 · 数学理解 第4题（2）

题目原文要点：如果a，b同号，那么点P(a,b)位于第几象限？如果a，b异号呢？考查什么：象限符号与字母符号的对应，考的是分类讨论的全不全。思路：把「同号」拆成两正、两负，「异号」拆成前正后负、前负后正，四种情况往四个象限里对号。分步过程：a、b 同号，分两支：都为正，P(a,b) 在第一象限；都为负，P(a,b) 在第三象限。所以答案是第一象限或第三象限。a、b 异号，分两支：a 正 b 负，P(a,b) 在第四象限；a 负 b 正，P(a,b) 在第二象限。所以答案是第二象限或第四象限。要注意条件里 a、b 同号或异号，都已经排除了 0，不必再讨论点落在坐标轴上的情形。易错：只答一个象限，漏掉一支；或者把「异号」的两支顺序对错，说成第一、第三象限。验算：各取一个具体数代进去：a＝2、b＝3 落在第一象限，a＝－2、b＝－3 落在第三象限，a＝2、b＝－3 落在第四象限，a＝－2、b＝3 落在第二象限，四支都验过，答案就稳了。

带这一题：这类题丢分几乎都是「漏一半」。教孩子一个动作：把四种符号组合 (＋,＋)、(－,＋)、(－,－)、(＋,－) 竖着写在草稿纸边上，每判断一种就划掉一个，划完四个才收笔。看着笨，考试时最省时间。

栏目五 · 复习题 问题解决（印刷第73页）

问题解决四道题，一道比一道离开纸面远。第 5 题走出教室，第 6 题走出国门，第 7 题进街区，第 8 题回到方格纸算面积。这一栏正是「应用内在于理解」的检验场：前面背的规律，在这里要能变成一句话、一条路线、一个面积。

复习题 · 问题解决 第5题

题目原文要点：试用两个数据表示你们学校的旗杆相对于学校大门的位置。考查什么：把「两个数据定一点」搬到真实场景，考的是会不会选数据。思路：两种写法都行：一种是以大门为原点建坐标系给坐标，一种是方向加距离。分步过程：写法一，把大门定作原点，正东为 x 轴正方向、正北为 y 轴正方向，一格代表 5 米；旗杆在操场东侧偏北，量得东 30 米、北 40 米，写成 (30,40)，单位是米。写法二，方向加距离：旗杆在大门北偏东 37° 方向约 50 米处。两种写法可以互推：东 30、北 40，由 30²＋40²＝2500＝50²，距离正好 50 米，与写法二对得上。回答时要交代三件事：原点在哪里、两个正方向怎么定、单位是多少。易错：只写「旗杆在大门东北边」，方向太粗，定不住点；或者写了 (30,40) 却不说明一格代表几米，别人读不出来。验算：把答案交给同学，他照你说的能在校内找到旗杆，答案就合格。

带这一题：这题适合放学后十分钟做完。让孩子拿卷尺量一量大门口到旗杆的横向、纵向距离，回家画在方格纸上，标上坐标。做完他会发现，课本上那些「(a,b)」原来就是自己用脚量出来的。家长只需提醒一句：原点选在哪儿，坐标就从哪儿开始数。

复习题 · 问题解决 第6题

题目原文要点：在世界地图上找出位于北纬30°、东经120°附近的城市。考查什么：经纬度这套「两个数据」的实际读法，考的是把地理坐标与数学坐标连起来。思路：北纬 30° 是一条横线，东经 120° 是一条竖线，两条线的交点落在我国东部沿海，往地图上一找就是杭州一带。分步过程：第一步在地图上找北纬 30° 这条纬线，它从我国东部沿海横穿过去，经过浙江北部、安徽南部、湖北、四川一线。第二步找东经 120° 这条经线，它从山东半岛南端往南，穿过江苏、浙江、福建。两条线交于浙江省境内，交点附近的城市是杭州，杭州的坐标约为北纬 30.3°、东经 120.2°。附近还有绍兴、诸暨等城市。可以顺带说一说：北纬 30° 与东经 120° 两条线一交，位置唯一，这正是本章「两个数据定一点」在地球上的版本。易错：把纬度和经度写反，答成北纬 120°、东经 30°，那样交点跑到了新疆以西；或者只在图上找到一条线就报城市。验算：查一下杭州的经纬度，与 30°、120° 相差不到半度，答案站得住。

带这一题：家里有地球仪的，这题五分钟就能落地。让孩子用手指按住两条线，看交点落在哪个省。孩子答不出来多半不是不会，是不肯翻地图。这道题还藏着一个提醒：纬度写在前、经度写在后，与坐标里「横在前、纵在后」不是一回事，别混着记。

复习题 · 问题解决 第7题

题目原文要点：如图，某路公交车由实验中学出发，依次途经A2区、A3区、B3区、B2区、B1区、C1区、C2区、D2区、D1区，到达博物馆。请在图上描出该公交车的行车路线。考查什么：用「字母加数字」的区域编码定位，考的是按顺序连线与相邻判断。思路：图上方列标 A、B、C、D 从左到右，左侧行标 1、2、3、4 从上到下，共 4×4＝16 个街区；每两个相邻区号之间只差一个字母或一个数字，说明车是沿街走，不斜穿。分步过程：起点实验中学在 A2。第一步 A2 到 A3，字母不变、数字加 1，往下走一格；第二步 A3 到 B3，数字不变、字母后移一位，往右走一格；第三步 B3 到 B2，往上走一格；第四步 B2 到 B1，再往上走一格；第五步 B1 到 C1，往右走一格；第六步 C1 到 C2，往下走一格；第七步 C2 到 D2，往右走一格；第八步 D2 到 D1，往上走一格，落在博物馆所在的 D1。把九个区号的中心依次用线段连起来，折线就是行车路线，一共八段。易错：按「A2、A3、B3、B2……」直接抄顺序号，却没在图上找区，画出来的线斜穿街区；或者把行标方向搞反，以为 1 在最下面，整条路线上下颠倒。验算：逐段检查相邻两区号只差一个字母或一个数字；八段全符合，路线就没错位。

带这一题：这道题与生活最近，可以换成孩子熟悉的地方：把小区、超市、学校画成 4×4 的格子，编上 A1 到 D4，让孩子给自己每天的上学路写一串区号。写完他会明白，「A2 区」这样的编码就是坐标的另一种长相。做题时提醒一句：先在图上把九个区号圈出来，再连线，比边找边画省事。

复习题 · 问题解决 第8题

题目原文要点：在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OBCD各个顶点的坐标分别是O(0,0)，B(3,6)，C(14,8)，D(16,0)，确定这个四边形的面积。你是怎么做的？与同伴进行交流。考查什么：用坐标求不规则图形面积，考的是割补法怎么选。思路：过 B、C 分别向 x 轴作垂线，交 x 轴于 E(3,0)、F(14,0)，把四边形切成左三角形、中梯形、右三角形三块，每块的底和高都能从坐标直接读出。分步过程：第一块 △OBE：OB 之外，OE＝3，BE＝6，面积 ＝ 1/2×3×6 ＝ 9。第二块梯形 EBCF：上底 BE＝6，下底 CF＝8，高 EF＝14－3＝11，面积 ＝ (6＋8)÷2×11 ＝ 7×11 ＝ 77。第三块 △FCD：FD＝16－14＝2，CF＝8，面积 ＝ 1/2×2×8 ＝ 8。三块相加：9＋77＋8 ＝ 94。所以四边形 OBCD 的面积是 94 平方单位。换一种切法也对：连 BD，把四边形分成 △OBD 与 △BCD；△OBD 底 OD＝16、高 6，面积 48；△BCD 用「外接长方形减两块三角形」算得 46；合计 94，与前面一致。易错：把梯形的高写成 14 或 16，忘了减 3；或者第三块的底用 16－14＝2 算对了，却把高当成 6。验算：换一种切法算一遍，两个结果都是 94，答案就稳。

带这一题：这道题是本页最硬的一道，也是最能拉开差距的一道。让孩子养成一个习惯：动笔前先在图上把垂线画出来，标上 E、F，把每一块的底和高写在旁边。孩子算错时，八成是高写错了，让他指着图说「这条高是从这个点到那条轴的竖直距离」，自己就能改。割补这件事学会了，往后学一次函数与面积、学二次函数与面积，都是同一招。

栏目六 · 复习题 联系拓广（印刷第73页下半）

末一栏的两道题都不给标准答案，一道让孩子自己提出研究问题，一道让孩子去查资料写短文。教材把这两道放在整章末尾，意思很清楚：学完这一章不是终点，坐标这套语言还能往前伸。

复习题 · 联系拓广 第9题

题目原文要点：本章研究了以坐标轴为对称轴的轴对称与坐标变化之间的关系，你还想进一步研究什么？请设计一个研究方案，与同伴分享。考查什么：从「学过的结论」往「没学过的问题」上伸手，考的是提问与设计的能力。思路：沿着本章的路往前走一小步就行：对称轴换一条会怎样、对称中心换到原点会怎样、图形整体挪一挪坐标怎么变。分步过程：可选的研究题一：关于直线 y＝x 对称的两点，坐标有什么关系？做法是取点 (2,5) 与 (5,2)、(3,0) 与 (0,3)、(－1,4) 与 (4,－1)，描点连线，看连线与 y＝x 是否垂直、是否被它平分，猜出「横纵坐标互换」的结论。可选的研究题二：关于原点对称的两点坐标有什么关系？对照本章两次对称的做法，猜出「横纵坐标都变相反数」。可选的研究题三：图形整体向右平移 3 格，各顶点坐标怎么变？研究方案写成四步：提问题、举三组例子、猜结论、找一个反例检验。易错：只写「我想研究对称」，题目太空，没法做；或者写了方案却没有例子支撑。验算：方案里每一组例子都亲手描过点，结论能经得住反例检验，方案就算立得住。

带这一题：这道题不给分数也给能力，别跳过。家长可以用一句话把它变小：「你觉得除了 x 轴、y 轴，还有什么线能当镜子？」孩子说「斜着的那条」，就让他试试。他试出来的结论，往往就是高中要学的对称变换。这道题真正练的是「自己找问题」这件事，比多做十道计算题有用。

复习题 · 联系拓广 第10题

题目原文要点：随着科技的发展，现代的定位方法与古代的相比更加丰富、便捷。请结合本章所学知识，收集相关资料，以「古今定位方法演变」为主题，写一篇小短文。考查什么：把本章的定位思想放进历史线索里，考的是资料整理与表达。思路：按时间排四个阶段，每个阶段说清「用了什么数据、靠什么工具」，末了落到两个数据这条主线上。分步过程：第一阶段，古代观星。夜里看北斗七星定北方，白天看日影定时刻，出海用牵星板量星的高度定纬度，用的数据是星的高度与方位。第二阶段，罗盘与地图。宋代已用指南针定方向，配上「某地到某地多少里」的距离，方向加距离就是两个数据。第三阶段，经纬度与测量。用天文观测定纬度、用计时定经度，地图上一条纬线一条经线交叉，位置唯一。第四阶段，现代定位。卫星发出信号，接收机测出到几颗卫星的距离，交会出位置，手机上的导航、外卖的送达时间全靠它，本质仍是「几个数据定一点」。短文写成四段，一段一个阶段，每段两句话，末段点出主线。易错：写成资料堆砌，一段抄三处年代，却没有一句连到本章的坐标思想上；或者只写现代，古代一句带过。验算：读一遍短文，若每一段都能答出「这一段用了哪两个数据」，这篇就扣题了。

带这一题：这道题最适合周末做，半天就够。让孩子自己上网查两条资料：一条是古人怎么在海上定位，一条是手机怎么定位，抄在本子上，再自己串成四段。家长不要代笔，只提一个问题：这两件事的共同点是什么。孩子答「都要几个数据」，这道题的目的就达到了。

🛠 九、五步学习法

第一步：每天锻炼一个小时

复习课最耗的不是脑子，是坐功。这一章的复习题里，第 8 题要画垂线、切三块、算三段面积，孩子坐在桌前四十分钟不挪窝，后半程的手就开始抖，垂线画歪，高读错。每天留一个小时给身体，不是浪费时间。跑步、跳绳、打球都行，关键是天天有。运动完再回书桌，做题的耐心明显不一样。我们班有个孩子，原来一遇第 8 题这样的多步计算就烦，后来每天晚饭前跳绳一千个，回来做同样的题，笔迹都稳了。这一步的落点很具体：把第 8 题和第 1 题（2）这种要动尺、要数格子的题，安排在运动之后的那个时段，效果最好。

第二步：扎实掌握第一个知识点

整章的第一个知识点，就是回顾与思考第 1 题那句「确定点的位置一般需要几个数据」。这句话看着最简单，其实是后面所有内容的根：坐标系是两个数据，对称规律是两个坐标的关系，第 7 题的 A2、B3 是两个数据的编码，第 6 题的经纬度还是两个数据。这一句没啃实，后面全是空中楼阁。怎么算啃实？能举三个不同类型的例子，能说清为什么一个数据不够，能说清顺序为什么不能换。家长可以拿这件事当门槛：孩子答不完整，就先别急着做复习题，回头把这一条练到随口能说。头一块砖码正了，后面的墙才直。

第三步：能积微者速成

习题 3.3 第 2 题要读 16 个顶点的坐标，复习题第 1 题要连 11 个点，看着量大，其实一天十分钟就能吃完。办法是把大块切成小块：第一天只读第一象限和轴上的五个点，A、B、C、D、E；第二天用对称写左边五个；第三天写下半六个；第四天把 16 个点连成折线。四天加起来不到一小时，比一次硬啃四十分钟牢得多。复习题十道题也是这个吃法：一天两道，五天走完，每天睡前花三分钟把当天两道题的结论各说一遍。积累这件事最怕两样：一是想一口吃成，二是断掉。断掉三天，前面记的坐标规律就散了。定个死规矩：每天至少两道，雷打不动。

第四步：运用对标思维突破学习困境

对标有两层。第一层是跟自己比：复习题第 8 题有两条路，一条切三块，一条连 BD 分两个三角形。第一遍用一种，第二遍换另一种，两个结果都等于 94，说明真的懂了；两个结果不一样，说明中间某一步的底或高错了，回头查。第二层是跟别人比：复习题知识技能第 2 题教材特意问「你们的答案相同吗」，答案本来就不同，比的是摆法背后的想法——他把顶点当左下角，我当右上角，谁的选择让后面算面积更省事。孩子卡住时，别让他死磕，让他看一遍同学的解法，再问自己「他哪一句我没有」。对标不是抄答案，是找一个能照见自己缺口的镜子。缺口找到了，进步是看得见的。

第五步：运用杠铃法则缓解学习疲劳

杠铃法则说的是两头重、中间轻，别把力气平均撒开。复习这一章，一头是硬活：第 8 题的割补计算、习题 3.3 第 3 题的两次对称作图，这类题要连续专注，放二十分钟整块时间做，中间不打断。另一头是轻活：第 5 题旗杆怎么用两个数据说、第 6 题查杭州的位置、第 9 题想一个研究题，这类题随手就能想，走路、吃饭都能琢磨。中间那类「抄一遍规律、重读一遍课本」的活，其实最不划算，尽量压掉。一天这样安排：二十分钟硬题，十分钟轻题想问题，再二十分钟硬题。孩子不觉得累，一天能推四道题。硬活练出来的是功力，轻活养出来的是眼光，两头都要有。

💡 十、费曼技巧应用

自问一 · 为什么两个数据就能把一个点钉住，一个不行？

能答出来，说明回顾与思考第 1 题通了。参考答案：一个数据给出的是一整条线，说「离校门 50 米」，圆上每一点都符合；两个数据给出两条线，两条不平行的线只有一个交点，点就唯一了。答不出怎么办：拿圆规在纸上画一个圆，再画一条直线，看它们最多交两点、加上方向就只剩一点，眼看一遍就懂。

自问二 · 为什么坐标轴上的点不属于任何象限？

能答出来，说明象限的边界搞清了。参考答案：四个象限是两条坐标轴围出来的四块内部区域，坐标轴本身是分界线，界线不属于任何一块。x 轴上的点 (a,0)、y 轴上的点 (0,b)、原点 (0,0) 都站在界线上。答不出怎么办：在纸上画出四个象限，用红笔把两条轴描粗，问他「红线是里面的哪一块」，他自己就会说「都不是」。这条对应复习题数学理解第 4 题（2）的边界情形。

自问三 · 关于 x 轴、y 轴对称，哪一变哪一不变？连着做两次呢？

能答出来，说明习题 3.3 第 3 题和回顾与思考第 4 题都稳了。参考答案：关于 x 轴对称，横坐标不变、纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称，纵坐标不变、横坐标互为相反数；连着做两次，两个坐标都变号，等于绕原点转 180°。答不出怎么办：别背口诀，取一个具体点 (3,2)，在纸上翻两次，把三次坐标写出来：(3,2)→(3,－2)→(－3,－2)，眼睛看到的比背下来的牢。

自问四 · 复习题第 8 题里，梯形的高为什么是 14 减 3？

能答出来，说明用坐标求面积的思路清楚了。参考答案：梯形 EBCF 的两条平行边都在竖直方向上，它们之间的水平距离就是高，等于 F 的横坐标减 E 的横坐标，E 是 B 的垂足，横坐标 3，F 是 C 的垂足，横坐标 14，所以高是 11。答不出怎么办：把 E、F 两点在图上点出来，用尺子量两点的水平距离，再与坐标差对一遍，6、8、11 三个数各是什么，就分清了。

自问五 · 旗杆那道题，你会选哪两个数据？为什么选这两个？

能答出来，说明复习题第 5 题不是空着的。参考答案：以大门为原点，正东为 x 轴正方向、正北为 y 轴正方向，旗杆在大门东 30 米、北 40 米，写成 (30,40)，也可以说成北偏东 37° 方向 50 米。选这两个，是因为它们互不重复、又能互相推出距离。答不出怎么办：把大门和旗杆画在方格纸上，先只能画一条线，再加另一个方向，亲手动一次，两个数据的分工就显出来了。

🎯 十一、方法总结与知识脉络

第三章这四页复习纸，说到底就一句话：用两个数据说清位置，用坐标的变化说清图形的变化。前半句解决「点在哪里」，后半句解决「图形怎么动」。十九处题目全挂在这两句话上：回顾与思考五问答的是原理，知识技能两题练的是手脚，数学理解两题问的是边界，问题解决四题考的是搬用，联系拓广两题留给往后。

往前看，这一章接的是一至六年级学过的位置与方向、数对；往后看，它直接铺向第四章一次函数。函数图象就是把 (x,y) 的每一对值画成点，点的坐标读不准，函数图象就画不出来；再往后学二元一次方程组，两条直线的交点坐标就是方程组的解。对称那几条规律也不白学，往后学二次函数图象的对称轴、学中心对称图形，用的都是这套「坐标怎么变」的语言。这一章不是孤零零的一节，它是整个初中「形与数」互相翻译的入口。

给家长一句实在话：这一章不用刷难题。把复习题十道踏踏实实做完，第 8 题自己动笔画两次垂线，第 5 题真的去量一量旗杆，第 10 题真的写那篇小短文，孩子这一章就立住了。判断他学没学好的标准很简单——合上书，能不能指着窗外说清「那棵树在教学楼东边多少米、北边多少米」。说得清，这套东西就是他的了。

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