2026北师大版初中数学八年级上册学生AI智能体深度理解16法：第32篇｜第七章 平行线的证明·3 平行线的证明——深度理解16法之「对话结构」

北师大版义务教育教科书 · 数学 八年级上册 · 第七章 平行线的证明·3 平行线的证明

🏫 学校：dxyc2360      👨‍🏫 指导教师：张元方

📖 一、开篇引言

翻到北师大版八年级上册第 190 页，这一节的开头只有一句话：前面我们探索过直线平行的哪些条件？利用「同位角相等，两直线平行」这个基本事实，你能证明它们吗？试一试。这句话看上去很轻，其实是一次换挡。七年级学平行线，靠的是画图、量角、观察，看到同位角相等，两条线看上去就不相交，于是认定它们平行。八年级这一节不再让你看了，让你说。凭什么相等就能平行？凭哪一条？这条凭据又是从哪儿来的？

教材在这一节里做了三件事。先把七年级「探索过」的两条判定补上证明：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。再把平行线的三条性质一条条证出来：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。结尾补一条常被忽略的定理：平行于同一条直线的两条直线平行。三件事用的工具只有一样——「同位角相等，两直线平行」这条基本事实，加上已经证过的定理。

家长要看清这一节的真实难点在哪里。不是背不下那六条定理。六条定理一句话一条，孩子读两遍就能复述。麻烦在另一处：他心里没有「依据」这个概念。你问他为什么 a∥b，他说「因为图上看着平行」；你问他为什么 ∠1＝∠2，他说「因为是同位角」。这两句话都空着。前者拿眼睛当理由，后者拿结论当理由。教材在第 191 页中间插了一句很短的话，正是冲着这个毛病来的：已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论。这句话是本节的门槛，跨过去，孩子才算是进了证明的门。

还有一个更难的地方，藏在第 192 页。教材证「两直线平行，同位角相等」时，用的不是顺推，是反证：先假设 ∠1≠∠2，过点 M 作一条 GH 使 ∠EMH＝∠2，于是 GH∥CD；已知又有 AB∥CD，这样过点 M 就有两条直线都平行于 CD，与基本事实「过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行」顶上了。顶上了，说明假设站不住，所以 ∠1＝∠2。孩子第一次见这种走法会觉得别扭：怎么可以先承认一件错事，再把它推倒？这一页的脚注写得很清楚，这一定理的证明是选学内容，不作考试要求。不作要求，不等于不值得读。读懂了这一段，孩子才知道「证明」不只是往前推，还可以反过来逼。

这一篇用第十六法「对话结构」来读。伽达默尔说，真正的谈话不是我们想怎么谈就怎么谈，我们是被卷进一场谈话里去的；谈话有自己的方向，说着说着就走到你没预料的地方。这一节的证明过程，恰好长成一场对话的样子：条件开口，图形回应，定理库在旁边补话，结论是谈出来的，不是喊出来的。孩子写证明写不下去，多半不是不会，是不肯听——只顾自己想说什么结论，没听条件已经说了什么。

给家长一句实在话：这一节学完，孩子能背出六条定理不算过关；你随手画两条平行线加一条截线，指着其中一个角问他「这条结论凭哪一条定理」，他能立刻报出定理的完整名字，才算过关。名字报得出，说明他知道自己在跟谁说话。下面这十一段，就围着这一件事展开。

📊 二、思维导图

本节知识一张图：一条基本事实撑起六条定理，三个栏目各管一段

这张导图按「地基—判定—性质—第三线—书写—对话」六支铺开。第一支是地基：同位角相等两直线平行是基本事实，不证，只认；定义、已证定理二级可用。第二支是两条判定：内错角相等、同旁内角互补，都由地基证出。第三支是三条性质：同位角相等用的是反证法，内错角相等与同旁内角互补由它顺推。第四支是平行于同一条直线的两条直线平行，第 193 页的例题正是它的证明。第五支是书写规范：已知、求证、分析、证明四段，∵ 与 ∴ 交替。第六支是对话结构的三句问话，配本节易错清单。看这张图，孩子应该一眼认出：整节的定理不是六个并列的点，是一条从地基往上长的链。

🔑 三、深度理解16法之「对话结构」

「对话结构」出自伽达默尔的《真理与方法》第三部分。他讲过一句不太好懂的话：真正的谈话，决不可能是那种我们意想进行的谈话。意思是，你开口之前心里有个计划，想说服对方、想套出某句话、想赶紧谈完；真正谈起来，话题自己会长出方向，你被带着走，走到哪儿事先不知道。他把这种情形叫「我们被卷入了一场谈话」。谈话有自己的精神，参与者不是主人，是被领着走的人。

这个说法有三层，一层比一层难做到。第一层是让对方的话真的起作用。不是听见，是让对方的观点进来，改变你原本的想法。第二层是在问答往复中让事情显出来。你问一句，对方答一句，答完你发现问错了，再重问，翻来覆去，直到那个说不清的答案自己站住。第三层是接受结果超出预期。真谈完，你得到的常常不是你要的，而是这件事本来该有的样子。伽达默尔特意划了两条界：对话不是达到目的的手段，也不是两个人互相表达心里的想法。它是一件自己发生的事。

拿这套说法照孩子的数学作业，毛病一下就露出来。他写证明，写的是一场独白。心里先有结论，然后倒着编理由：「要证 a∥b，就得有同位角相等，那就写 ∠1＝∠2」。这句话不是从条件里读出来的，是他按需要填进去的。填得对算运气，填错了整道题作废。第 194 页知识技能第 1 题的四小问，正是拿这种独白开刀：四句推理长得一模一样，都是「∵某角相等或互补，∴某线平行」，可其中两句站不住。为什么站不住？因为那对角的身份不是推理里说的那个身份。孩子只听见自己想说「平行」，没听见条件报出的是「同旁内角」还是「内错角」。不听对方说话，话就接不下去。

把对话结构落到这一节，具体是三句问话，问给自己听。第一句：条件说了什么。第 190 页证内错角那一段，条件是「∠1＝∠2，且它们是被 c 截出的内错角」。孩子要听出两层：一层是数值相等，一层是位置身份。第二句：手里有什么可以回答。第 191 页那句说明给了清单：基本事实、定义、已证定理。孩子要能报出名字——「同位角相等，两直线平行」是基本事实，不是定理，不能要求证明它。第三句：回答能不能接着说下去。∠1＝∠3 是对顶角相等，这是定义层面的回答；∠3＝∠2 是等量代换，这是推理规则的回答。一句一句接上，话才成串。

教材自己在两处提示了对话怎么走。第 191 页页边有个云朵，问「还有其他证法吗？」——这是在邀请第二种谈法。同一个结论，从 ∠2 的邻补角入手，或者从平角入手，路不同，都通。第 193 页页边还有一朵云：「平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系？」这句话是本节最值钱的一句。判定是「角相等推线平行」，性质是「线平行推角相等」，条件和结论正好对调。孩子把这张对调表摆在脑子里，六条定理就从六条变成三对。对着问一句「谁在前谁在后」，答得出来，说明他真的在对话，不是在背。

家长陪读时做什么？做那个不停回话的人。孩子说「因为平行所以相等」，你回一句「哪条定理说的」；孩子说「这两条平行」，你回一句「图上哪个角告诉你的」；孩子说「书上就是这么写的」，你回一句「书上第几页、哪一段」。这三句不教新知识，只逼他把话接完整。孩子被问上三五次，写证明时自己就会先停一下，先在图上把角的位置认清再落笔。这个停一下，就是对话开始的地方。

📝 四、核心概念与公式

知识点一 · 基本事实与定理，是两种身份。教材把「同位角相等，两直线平行」叫基本事实，不叫定理。这个区别不是称呼上的讲究。基本事实是我们长期实践中认可、当作出发点的那几条，不需要也不能用别的话去证它；定理是从基本事实出发，一步步推出来的。第 191 页那句话把可用依据列成了三样：已给的基本事实、定义、已经证明的定理。孩子写证明时给结论注依据，注的必须是这三样里的一个，还得注准名字。把基本事实注成「定理」，或者注成「公理」，都不算对。判断判定定理与性质定理谁先谁后，也靠这个身份：两条判定是由基本事实推出来的，三条性质里第一条用的是反证法，后面两条由它推出来。

知识点二 · 两条判定定理，说的是「角的关系能定线的位置」。第一条：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简述为内错角相等，两直线平行。第二条：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简述为同旁内角互补，两直线平行。两条定理的证明路子不同。内错角那条走的是「变成同位角」：∠1 与 ∠3 是对顶角，∠1＝∠2，所以 ∠3＝∠2，∠3 与 ∠2 是同位角，用基本事实收尾。同旁内角那条走的是「算出 180° 再换」：∠1 与 ∠2 互补得 ∠1＝180°－∠2；∠3 与 ∠2 成平角得 ∠3＝180°－∠2；两式一比，∠1＝∠3，又回到同位角。两条路都是同一个念头——把不认识的角换成认识的同位角。

知识点三 · 三条性质定理，说的是「线的位置能定角的关系」。三条依次是：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。第一条的证明是本节唯一一处反证法。假设 ∠1≠∠2，过点 M 作 GH 使 ∠EMH＝∠2，由基本事实得 GH∥CD；已知 AB∥CD，于是过点 M 有两条直线都与 CD 平行，与「过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行」矛盾。假设不成立，所以 ∠1＝∠2。教材给它加了脚注，说这段是选学内容，不作考试要求。第二条由第一条顺推：由 l1∥l2 得 ∠1＝∠3（同位角），又 ∠2＝∠3（对顶角），所以 ∠1＝∠2。第三条同样顺推，用平角与等式的性质把互补变成同位角相等。三条性质合起来，就是一句话：平行能换出三种角的关系。

知识点四 · 平行于同一条直线的两条直线平行。这条定理在第 193 页以一个例题的面目出现：已知 b∥a，c∥a，求证 b∥c。证明只用两步乘法：由 b∥a 得 ∠2＝∠1，由 c∥a 得 ∠3＝∠1，两步都注「两直线平行，同位角相等」；∠2＝∠3 是等量代换；再用「同位角相等，两直线平行」收尾。证完教材补一句「一般地，我们有如下定理」，把这条结论正式立起来。这条定理的分量在于它讲的是「平行」这个关系本身可以传下去，孩子到高中证线面平行、面面平行，用的还是这一条的想法。它也解释了第 195 页第 4 题：木工师傅用一把直角尺画两条平行线，画出的两条线都垂直于尺子的同一条边，等于都与同一条直线成直角，所以互相平行。

知识点五 · 证明的书写格式。教材每一处证明都长成同一个样子，四段：已知、求证、分析、证明。已知写条件，条件要写全，包括「∠1 和 ∠2 是直线 a，b 被直线 c 截出的内错角」这种位置身份；求证写目标；分析写思路，常常是一句问话，比如「现在有哪些结论可以用来证明两条直线平行」；证明写过程，用 ∵ 开头写理由，用 ∴ 开头写结论，每一行末尾用括号注依据。第 194 页回顾·反思第（1）问问的正是这件事：完成一个命题的证明需要哪些主要环节。孩子能报出「读已知、认图形、找依据、写过程、注理由」这五步，格式就立住了。

本节公式与常用算式。两条判定：内错角相等 ⇒ a∥b；同旁内角互补 ⇒ a∥b。三条性质：a∥b ⇒ 同位角相等；a∥b ⇒ 内错角相等；a∥b ⇒ 同旁内角互补。传递性：b∥a，c∥a ⇒ b∥c。角度算式：随堂练习第 1 题 109°28′＋70°32′＝180°；第 195 页第 2 题 ∠ACB＝2×∠DCB＝2×40°＝80°，与 ∠AED＝80° 相等；第 196 页第 8 题 ∠ABO＝∠BOP＝45°，∠DCO＝180°－∠QOC＝180°－88°＝92°。对角关系的整理：∠1＝∠2 与 ∠2＝∠3 得 ∠1＝∠3，这是等量代换；∠1＋∠2＝180° 与 ∠1＝180°－∠2 是同一个式子的两种写法，用等式的性质互相变。

📜 五、教材原文

教材原文

略

教材原文的著作权归北京师范大学出版社所有，本系列只做教学解读，不复制整页原文。上面这一节的教材文字，来自北师大版义务教育教科书·数学 八年级上册印刷第 190 页至第 196 页：第七章 平行线的证明·3 平行线的证明。原文的每条定理、每朵页边云、每个栏目、每道题、每幅图的标号，在第八节里逐条对照着讲，需要看原文的孩子请翻书对着页码读。

🧩 六、重点难点分析

难点一 · 括号里的依据注不准，等于没证

难在哪儿：孩子写证明，过程常常是对的，括号里一片空白，或者随手写「已知」「由题意」。他把括号当成格式，不当成内容。第 190 页教材的每一行都在括号里报名字：已知、对顶角相等、等量代换、同位角相等两直线平行。四个名字，两种性质——两个是定义与规则，一个是基本事实。错法很典型：把「同位角相等，两直线平行」缩写成「平行线的判定」，或者把结论本身写进括号，写「∴a∥b（a∥b）」。破法：给一张四条依据的小卡片，让孩子每写一行就指一次卡片。指不到卡片上的某一条，说明这一行不能写。

难点二 · 判定与性质，条件结论分不清

难在哪儿：六条定理的句子长得太像，都是「什么什么，两直线平行」或「两直线平行，什么什么」，中间只差一个逗号的位置。孩子读得快，把「两直线平行，内错角相等」当成「内错角相等，两直线平行」用，方向反了。第 193 页页边那朵云专门问这件事：性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系？答案是对调。错法：证明里想从角推平行，注的却是性质定理的名字。破法：让孩子把六条定理抄成两列，左边一列全以「两条直线被第三条直线所截」开头，右边一列全以「两条平行直线」开头；再用箭头画出来，一根向右，一根向左。箭头画出来，方向就错不了。

难点三 · 图上的三线八角认不出身份

难在哪儿：第 194 页知识技能第 1 题一幅图里有四条线、六个角、四个交点，孩子的眼睛一进去就乱。他分不清哪个角跟哪个角是一对，更说不出这一对是同位角、内错角还是同旁内角。错法的后果很直接：四小问里他判错两问，理由还写得头头是道。破法：教一套固定动作。第一步，圈出截线；第二步，圈出被截的两条线；第三步，只看这两个交点，把其余的线用手遮住；第四步，问两个问题——两个角在截线的同侧还是两侧，在被截两线之间还是之外。同侧、之间，是同旁内角；两侧、之间，是内错角；同侧、之外同位的那一对，是同位角。四步走完再下判断，眼睛就不会骗人。

难点四 · 反证法：凭什么可以先假设一件错事

难在哪儿：第 192 页的证明和前面所有证明都不一样。前面的证明是往前推，这一处是先站到对面去。孩子的第一反应是「假设 ∠1≠∠2，那不就已经错了吗，还证什么」。他没看懂这种证法的想法：要证明一件事必须这样，就先假定它不这样，看看会不会撞墙；撞墙了，说明这条路不通，只剩下必须这样这一条路。错法：把假设当结论用，写到一半忘了自己是在假设里。破法：让孩子在草稿纸最上面画一条横线，线上写「假设 ∠1≠∠2」，线下写推理，推到「过点 M 有两条直线都与 CD 平行」时，用红笔把基本事实那句「有且只有一条」抄在旁边。两句话摆在一起，矛盾是看得见的，不用讲道理。这一段虽是选学，读一遍值。

难点五 · 把「看着平行」当条件，把「要证的」当已知

难在哪儿：第 196 页第 7 题最典型。题里给的只有 ∠1＝∠2 和 ∠B＝∠C，孩子一眼看上去觉得好几组线都平行，于是把「AB∥CD」也当条件写进已知。这就是把要证的结论偷渡成了已知。第 5 题也有同样的坑：图上 AD 与 BC 看着平行，其实题里给了 AD∥BC，可以当条件；而 DC 根本没画，孩子却在证明里用上了 ∠ADC。破法：拿两种颜色的笔，把题里写明的条件全部用蓝笔在图上标出来，没标的一律不许用。标完再问一句：我要的结论，蓝笔里有没有？没有，才需要证。

难点六 · 一道题里要用两次平行，中间那步接不上

难在哪儿：本节后面的题几乎都要连用两次。第 195 页第 2 题先用角平分线算出 ∠ACB＝80°，再用 ∠AED＝∠ACB 证 DE∥BC，中间那步「∠AED 与 ∠ACB 是同位角」孩子常跳过不写。第 196 页第 7 题更绕：先由 ∠1＝∠2 得 CE∥BF，再由 CE∥BF 与 ∠B＝∠C 得 BE∥CF，再用 BE∥CF 得 ∠A＝∠D，三次转身。错法：第一次转完就以为做完了，或者第二次转身时依据还注第一条。破法：要求孩子每转一次身就在旁边写一句「现在我知道什么」，把这句写下来再往下走。写下来的那句话，就是下一段的起点。

❓ 七、常考易考题与易错题

题型一 · 判断推理是否正确并说明理由

例题：习题 7.3 知识技能第 1 题的四个小问，给出「∵某两角相等或互补，∴某两线平行」四句话，判断对错。答：（1）正确；（2）不正确；（3）正确；（4）不正确。易错：四问全判正确，或者只说「不对」不说理由。错因：只看结论像不像对的，不看那对角是不是定理要求的那一对。纠法：每一问先报那对角的身份，再对照定理条件；身份对不上，推理就不成立。理由必须落到「∠4 与 ∠5 是同旁内角，只能推 l1∥l2」这种具体的话上。

题型二 · 补全一条性质定理的证明

例题：随堂练习（印刷第 194 页）第 1 题，完成定理「两直线平行，同旁内角互补」的证明。答：由 a∥b 得 ∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）；∠2 与 ∠3 成平角，所以 ∠2＋∠3＝180°；代换得 ∠1＋∠2＝180°，即互补。易错：用「同旁内角互补」去证「同旁内角互补」，自己证自己。错因：手上只有同位角相等这一条性质可用，却把要证的结论拿来当依据。纠法：写之前先数一数，本题允许用的性质只有哪一条；用别的都是循环。

题型三 · 由角的关系证两线平行，方法不止一种

例题：数学理解第 3 题，直线 a，b 被 c 所截，∠1＋∠2＝180°，求证 a∥b，并问有几种方法。答：法一，∠1＋∠3＝180°（邻补角），与 ∠1＋∠2＝180° 比较得 ∠2＝∠3，∠2 与 ∠3 是同位角，所以 a∥b。法二，∠2＝∠4（对顶角），∠1＋∠4＝180°，∠1 与 ∠4 是内错角……此处换成 ∠3＝∠4 的内错角关系。易错：只写一种就交，或者把 ∠1 与 ∠2 的「同旁外角」身份说出来却不知怎么用。错因：不熟悉「先把角换成另一对」的手法。纠法：记住本节所有证明的共同动作——把手上不认识的角，换成定理认识的那一对。

题型四 · 平行线加角平分线，证角平分线

例题：习题 7.3 数学理解第 5 题，AD∥BC，∠ABD＝∠D，求证 BD 平分 ∠ABC。答：由 AD∥BC 得 ∠D＝∠DBC（两直线平行，内错角相等）；又 ∠ABD＝∠D，所以 ∠ABD＝∠DBC，BD 平分 ∠ABC。易错：把 ∠D 当成 ∠ADC，去用 DC 那条根本没画的边。错因：不看清图上画了哪几条线段。纠法：题干写 ∠D 时，只在图上把以 D 为顶点、用已画线段夹成的那个角圈出来；圈不出两个角，说明读错了。

题型五 · 两组对边分别平行，证对角相等

例题：习题 7.3 数学理解第 6 题，AB∥DC，AD∥BC，求证 ∠A＝∠C，∠B＝∠D。答：由 AB∥DC 得 ∠A＋∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补），又由 AD∥BC 得 ∠C＋∠D＝180°，两式比较得 ∠A＝∠C；同法得 ∠B＝∠D。易错：只证一组就停；或者用「平行四边形对角相等」当依据。错因：把后面才学的结论提前用了，这就成了循环论证。纠法：这两问在本节只能靠「同旁内角互补」转两次，写的时候两组各写一遍，别省。

题型六 · 一句话里转三次身

例题：习题 7.3 问题解决第 7 题，∠1＝∠2，∠B＝∠C，（1）找出图中互相平行的线；（2）证明 ∠A＝∠D。答：（1）CE∥BF，BE∥CF。（2）由 BE∥CF 得 ∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）。易错：第（1）问只找出一组；第（2）问直接说「由图看出 AB∥CD」。错因：看不出 ∠B 与 ∠C 这一对也能当条件用。纠法：把「CE∥BF」先写在纸上，再问一句「有了它，∠B 能换成哪个角」；换出来的角与 ∠C 一比，第二组平行就出来了。

题型七 · 生活情境里的平行线

例题：随堂练习（印刷第 191 页）第 1 题蜂房顶部的四边形，∠α＝109°28′，∠β＝70°32′，判断对边关系；第 195 页第 4 题木工用直角尺画平行线，说说道理；第 196 页第 8 题太阳灶的抛物面反射光。答：蜂房那题，109°28′＋70°32′＝180°，同旁内角互补，对边平行；直角尺那题，两条线都与尺子的同一条边成直角，等于都与同一条直线垂直，所以平行；太阳灶那题，∠ABO＝45°，∠DCO＝92°。易错：把 109°28′ 与 70°32′ 直接相加写成 179°60′，不知道怎么进位。错法成因：分与度的六十进制没练熟。纠法：先按分相加，60′＝1°，179°60′＝180°，进一位就对了。

📄 八、教材内容逐点拆解

这一节的内容从印刷第 190 页铺到第 196 页，一共七页。下面按教材的先后顺序，一个栏目一小节，一道题一小节，把每条定理的已知、分析、证明，每朵页边云，每个练习与习题，逐条对下来。题目一道不漏，题号与教材一致。

栏目一 · 节首那两句问话（印刷第 190 页）

节首写的是：前面我们探索过直线平行的哪些条件？利用「同位角相等，两直线平行」这个基本事实，你能证明它们吗？试一试。这两句话给出了本节的全部任务。前半句是清点家底：七年级探索过三条判定——同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。后半句是分工：第一条是基本事实，不用证；另外两条要证。所以本节第一件事就是把这两条补上证明。

带这一栏目，让孩子先合上书，把三条判定默写出来，再问一句「这三条里，哪一条是别人给的，哪两条要我们自己造」。默写出来的顺序不重要，分清身份才重要。这一栏的「试一试」三个字也别跳过：教材是在请孩子先动手，他想出来的路子哪怕绕远，也比直接读现成证明强。

栏目二 · 定理：内错角相等，两直线平行（印刷第 190 页，图 7-6）

教材用蓝色定理框写：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简述为：内错角相等，两直线平行。已知：如图 7-6，∠1 和 ∠2 是直线 a，b 被直线 c 截出的内错角，且 ∠1＝∠2。求证：a∥b。分析：现在有哪些结论可以用来证明两条直线平行？能利用「同位角相等，两直线平行」这一基本事实吗？证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（对顶角相等），∴∠3＝∠2（等量代换）。∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。

图 7-6 的样子要看清楚：a、b 是两条横线，c 斜着穿过它们，两个交点处标了 ∠1、∠2、∠3。∠1 与 ∠2 是内错角，一个在 c 的左边、一个在右边，都夹在 a、b 之间。∠3 与 ∠1 是对顶角，位置在 ∠1 的斜对角。证到收尾那一步，∠3 与 ∠2 是一对同位角，都夹在 a、b 之间靠 c 的同一侧。整段证明只做了一件事：把手上只有相等关系的内错角，换成了基本事实认得的那对同位角。

带这一栏目，重点不在背过程，在那句分析。分析是一句问话，问的是「手里还有哪张牌能打」。孩子答不出这句，就让他把基本事实抄在纸角上，然后指着图 7-6 问：图上哪一对角是同位角？他指出来，路子就有了。这一步做完，孩子会明白一个道理：证明不是凭空想，是先看看有什么能用。

栏目三 · 页边云：还有其他证法吗（印刷第 191 页）

教材在第 191 页的左边页边画了一朵云，里面写：还有其他证法吗？这句话不是装饰，是教材在提醒，同一个结论可以有好几条路。图 7-6 上还有别的角：∠2 的邻补角、∠1 的对顶角旁边的角。换一对同位角，或者绕到同旁内角上去，都能通。第二种证法可以这样写：设 ∠4 是 ∠2 的对顶角，则 ∠4＝∠2；∠4 与 ∠1 是同位角，∠1＝∠2 推出 ∠1＝∠4，于是 a∥b。思路与第一种一样，只是换了一对角的身份。

带这一栏目，可以跟孩子玩一个游戏：给三分钟，看谁能再写出一种证法。孩子写出来，就表扬具体的那一步——「你换的是哪一对角，这一步换得好」。写不出来也不催，把图转个方向再看，横线变竖线，角的位置关系不变，眼睛会松一些。

栏目四 · 定理：同旁内角互补，两直线平行（印刷第 190 页至第 191 页，图 7-7）

第二个蓝色定理框写：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简述为：同旁内角互补，两直线平行。已知：如图 7-7，∠1 和 ∠2 是直线 a，b 被直线 c 截出的同旁内角，且 ∠1 与 ∠2 互补。求证：a∥b。证明跨页，前半在第 190 页：∵∠1 与 ∠2 互补（已知），∴∠1＋∠2＝180°（互补的定义）。后半在第 191 页：∴∠1＝180°－∠2（等式的性质）。∵∠3＋∠2＝180°（平角的定义），∴∠3＝180°－∠2（等式的性质）。∴∠1＝∠3（等量代换）。∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。

图 7-7 里 ∠1 与 ∠2 都在 c 的同一侧、都夹在 a、b 之间，是同旁内角；∠3 与 ∠2 合起来是一个平角，所以 ∠3 与 ∠2 加起来 180°，而 ∠3 与 ∠1 恰好是同位的两个角。整段证明的手法很值得学：两个式子都写成「某角＝180°－∠2」，一眼就能看出两个角相等。这个「凑同一个减式」的技巧，比死记过程有用得多。

带这一栏目，让孩子把两行关键式子并排写在一张纸上，中间画一条竖线，左边写 ∠1＝180°－∠2，右边写 ∠3＝180°－∠2。写完他自己就笑了：两个都等于一样的东西，当然相等。这一笑就是懂了。

栏目五 · 那句话：可以作为依据的三样东西（印刷第 191 页）

教材在这里插了一句很短的话：已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论。这句话是整章的宪法。它划了一个封闭的圈：写证明时能引用的东西，只有三样，圈外的东西一律不许用。看着平行不行，量出来 45° 也不行，老师说的一定对也不行。圈里有基本事实、有定义、有已证定理，够用了。

带这一栏目，做一张三栏表，栏目名就叫「我能引用的东西」。第一栏抄基本事实，第二栏抄定义（对顶角相等、平角的定义、互补的定义、角平分线的定义），第三栏抄已证定理。每学一节往表上添一行。孩子遇到难题卡住时，先看这张表，比问他「再想想」有用。

栏目六 · 思考·交流两小问（印刷第 191 页，图 7-8）

第（1）问：我们可以用图 7-8 的方法画出平行线，你能说说其中的道理吗？图 7-8 是一把直尺加一把三角尺，三角尺的一边贴着直尺，沿着直尺边推动三角尺，每推一次画一条线。道理是这样的：直尺边不动，三角尺上用来画线的那条边与直尺边的夹角始终不变，两次画出的线被直尺那条边所截，截出的同位角相等，所以两条线平行。这个作图法的要害在「始终不变」四个字上，手一歪，角就变了。

第（2）问：任意撕一张纸片，用它折出两条平行线，并予以证明。与同伴交流各自的折纸方法与证明过程。折法很多，最省事的一种是折一次得一条折痕，把纸翻过来沿同一条折痕的另一个方向再折，两次折痕都垂直于同一条边，于是平行。证明只用一句：垂直于同一条直线的两条直线互相平行。这一问的意思不在折纸，在让孩子体验到：生活里的动作背后有定理撑着，说得出是哪一条，动作才叫作图，说不出就只是折着玩。

带这两小问，最好两问都动手。第（1）问给一把直尺一把三角尺，让孩子推三次画三条线，再用第三条线当截线量同位角，量出来相等，图就说服了他。第（2）问让他折，折完把折痕描粗，再用铅笔画出那条被垂直的边，用三角尺量两个 90°。量完他会自己说：原来平行是这么来的。

栏目七 · 随堂练习（印刷第 191 页）第 1 题 · 蜂房顶部的四边形

题目原文要点：蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中 ∠α＝109°28′，∠β＝70°32′。试确定这个四边形对边的位置关系，并证明你的结论。图上只标了希腊字母 α、β，没有点字母；α 与 β 是同一个四边形里的一组相邻内角，位置关系是同旁内角。考查什么：先把两个角的度数相加，判断是否互补，再用「同旁内角互补，两直线平行」下结论；顺带考度分秒的六十进制。思路：度数一加，看和是不是 180°；是，则被这组角所夹的两条边平行；再把另一组对边用同样的办法处理。

分步过程：109°28′＋70°32′，先加分：28′＋32′＝60′＝1°；再加度：109°＋70°＋1°＝180°。所以 ∠α 与 ∠β 互补。∠α 与 ∠β 是四边形一组对边被另一条边所截出的同旁内角，由「同旁内角互补，两直线平行」得这组对边平行。另一个角也按同样办法处理，可得另一组对边也平行。两组对边分别平行的四边形，就是平行四边形。易错：把 28′＋32′ 直接写成 60′ 却不进位成 1°；或者把 ∠α 与 ∠β 当成同位角，用错定理。验算：180°－109°28′＝70°32′，减一遍得回原数，说明互补没算错。

带这一题：这道题的好，在它长在蜂房上。蜜蜂把蜂巢做成六棱柱，底面三个全等四边形拼在一起，不用一点胶，靠的就是这些角凑得刚好。让孩子拿六支铅笔摆一个正六边形，再在中间放一个点连三条线，三个四边形就出来了。摆完再算，算的是真东西。度分秒那一步也要练，孩子嫌麻烦，就让他用 180° 去减，减出来与题目给的数一致，账就平了。

栏目八 · 定理：两直线平行，同位角相等（印刷第 192 页，图 7-9、图 7-10）

第 192 页开头一句：我们已经探索过平行线的性质，下面证明它们。接着是定理框：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简述为：两直线平行，同位角相等。已知：如图 7-9，直线 AB∥CD，∠1 和 ∠2 是直线 AB，CD 被直线 EF 截出的同位角。求证：∠1＝∠2。图 7-9 上标了 A、B、C、D、E、F 六个点，还有 M、N 两个交点；M 在 AB 上，N 在 CD 上。页边气泡先问了一句：如果 ∠1≠∠2，AB 与 CD 的位置关系会怎样呢？这句问话是在铺路，让人先想一想「不等」会带来什么。

证明是这样写的：假设 ∠1≠∠2，那么我们可以过点 M 作直线 GH，使 ∠EMH＝∠2，如图 7-10 所示。根据「同位角相等，两直线平行」，可知 GH∥CD。又因为 AB∥CD，这样经过点 M 存在两条直线 AB 和 GH 都与直线 CD 平行。这与基本事实「过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行」相矛盾。这说明 ∠1≠∠2 的假设不成立，所以 ∠1＝∠2。图 7-10 就是在图 7-9 上加了一条过 M 的 GH，并标出 ∠EMH 与 ∠2 相等。

这一段要读懂三处。第一处，为什么要造一条 GH？因为手上唯一能用的平行判定是「同位角相等，两直线平行」，想让它上场，就得先有一对相等的同位角，于是照 ∠2 的样子在 M 处画一个。第二处，矛盾在哪里？矛盾不在角上，在「过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行」这条基本事实被顶掉了——一条（AB）变两条（AB 与 GH）。第三处，为什么假设不成立就能得 ∠1＝∠2？因为两个角的关系只有相等与不相等两种，不相等被推翻，剩下就是相等。

教材给这段加了一个脚注 ❶：这一定理的证明是选学内容，不作考试要求。这句话要跟孩子讲清楚：考试不考这段写法，但这段想法要懂。懂了它，往后遇到「正面推不动」的题，会想到反过来逼。读法是把它当故事读一遍，读完问三句：假设了什么？矛盾出在哪儿？矛盾说明什么？三句答得出，这段就过关。

带这一栏目，可以拿两根筷子和一张纸做实验。纸上画一条 CD，纸外放一根筷子当 M 点位置，让孩子试着过 M 摆一条与 CD 平行的筷子；摆好一根，再问：还能摆第二根吗？两根一起摆，他的手会告诉你摆不出来。这个「摆不出来」就是「有且只有一条」。孩子对基本事实的信，多半来自这类手里的经验，而不是背句子。

栏目九 · 定理：两直线平行，内错角相等（印刷第 193 页，图 7-11）

第 193 页上方的定理框：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简述为：两直线平行，内错角相等。已知：如图 7-11，直线 l1∥l2，∠1 和 ∠2 是直线 l1，l2 被直线 l 截出的内错角。求证：∠1＝∠2。分析：由条件 l1∥l2 可以得到哪些角的等量关系，这些等量关系中的角与 ∠1，∠2 有什么联系？证明：∵l1∥l2（已知），∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）。又∵∠2＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠2（等量代换）。

图 7-11 的标法和上一页不同：两条横线叫 l1、l2，截线只叫 l，没有点字母，三个角都是数字。∠1 与 ∠3 是同位角，∠2 与 ∠3 是对顶角，∠1 与 ∠2 是内错角。这段证明的技巧叫「找中间人」：∠1 与 ∠2 不能直接看上关系，就借 ∠3 搭个桥。先与 ∠3 相等，再由 ∠3 与 ∠2 相等，两头一对，结论就出来了。

这里有个容易混的地方要跟孩子挑明：栏目二证判定时，∠3 是被当成同位角用的；这一处证性质时，∠3 是被当成对顶角用的。同一个字母，两张身份。孩子若图省事，把上一页的过程默过来，就会在括号里注错依据。带的方法是让他把两段证明并排写，把每个括号里的名字念一遍，念到不一样的地方停一停，问他「这里为什么换了」。

栏目十 · 定理：两直线平行，同旁内角互补（印刷第 193 页）与页边云

教材紧接着写：类似地，还可以证明：定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简述为：两直线平行，同旁内角互补。教材把这段留给学生自己写，第 194 页的随堂练习第 1 题就是这道作业的正式版。完整的证明是：由 a∥b 得 ∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）；∠2 与 ∠3 成平角，所以 ∠2＋∠3＝180°（平角的定义）；把 ∠3 换成 ∠1，得 ∠1＋∠2＝180°，即 ∠1 与 ∠2 互补（等量代换）。思路与上一个一样，还是找中间人，只是这次中间人不是对顶角，是平角。

同页页边的云朵问：平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系？这是本节最该记牢的一问。判定是「角相等或互补 ⇒ 线平行」，性质是「线平行 ⇒ 角相等或互补」，条件和结论正好调了个头。三条判定对三条性质，一一配上对：同位角那一对、内错角那一对、同旁内角那一对。这个对调关系说明一件事：它们不能互相证明，只能一前一后，前者当地基，后者当楼房。

带这一栏目，画一张两列的对照表，左边三行判定，右边三行性质，中间画六根弯箭头，箭头从左边指向右边、从右边指向左边各三根。画完让孩子自己念一遍：由角到线，由线到角。念顺了，做题时选定理就不会选反。

栏目十一 · 例题（印刷第 193 页至第 194 页，图 7-12）与定理：平行于同一条直线的两条直线平行

教材在这里摆了一个例题，蓝底方框里只有一个「例」字。已知：如图 7-12，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3 是直线 a，b，c 被直线 d 截出的同位角。求证：b∥c。分析：由条件 b∥a，c∥a 可以得到哪些等量关系？为了证明 b∥c 需要怎样的等量关系？证明（印在第 194 页）：∵b∥a（已知），∴∠2＝∠1（两直线平行，同位角相等）。∵c∥a（已知），∴∠3＝∠1（两直线平行，同位角相等）。∴∠2＝∠3（等量代换）。∴b∥c（同位角相等，两直线平行）。

图 7-12 里 d 是那条截线，a、b、c 三条线都与 d 相交，∠1 在 a 与 d 的交点处，∠2 在 b 与 d 的交点处，∠3 在 c 与 d 的交点处，三个角都是同位角。这段证明换了脸：头两步用的是性质（平行得角等），第三步用等量代换，第四步用的又是判定（角等得平行）。一段四行，性质与判定各出场一次，中间靠 ∠1 搭桥。孩子把这一段读透，本节所有题的路子就都通了。

证完教材补一句：一般地，我们有如下定理：定理 平行于同一条直线的两条直线平行。这条定理从此可以写在依据栏里，往后做题直接用，不必每次重证一遍。它还有个常用的变形：垂直于同一条直线的两条直线平行。第 195 页第 4 题考的正是这个变形。

带这一栏目，让孩子数一数这段证明里「性质」出场几次、「判定」出场几次。数清了，再让他把 ∠1 圈出来，说一句「这个角是桥」。桥的说法不高深，好用：证明里那些两边都等得上的角，都是桥。

栏目十二 · 回顾·反思两小问（印刷第 194 页）

第（1）问：回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？可以答成五步：分清条件与结论；按题意画图并把条件标在图上；找依据，看手里有哪些定义、基本事实、已证定理；把思路串成一步一步的推理；每一步后面注明理由。这五步与本节每段证明的四段式（已知、求证、分析、证明）正好对应。

第（2）问：对于证明思路的分析，你积累了什么经验？本节给出的经验有三条。一条是「找中间人」：想证的两个角挨不上，就借第三个角搭桥，本节所有证明都在做这件事。一条是「换身份」：把手上不认识的角，换成定理认得的那一对，内错角换成同位角、同旁内角换成同位角，都是这个动作。一条是「两头看」：从已知往前推一步，从结论往回退一步，两头对上了，中间那段就接得住。

带这两问，别让孩子空口说。让他把本节六段证明摊在桌上，一段一段找出「中间人」是哪个角，用铅笔在旁边写出它的名字。六段找完，他会发现中间人不是 ∠3 就是 ∠1，翻来覆去就这两个。这个发现比任何总结都好用。

栏目十三 · 随堂练习（印刷第 194 页）第 1 题 · 补证「两直线平行，同旁内角互补」

题目原文要点：请你完成定理「两直线平行，同旁内角互补」的证明。题面只有一句话，没有图，没有给已知求证，要自己设字母、自己画图、自己写全部过程。考查什么：独立完成一段证明的完整格式；考「只能用已证的性质」这条纪律，本题可用的只有同位角相等与内错角相等两条。思路：画出两条平行线加一条截线，设一对同旁内角为 ∠1、∠2，再在其中一个交点处借一个与 ∠1 相等的角 ∠3，把 ∠2 与 ∠3 凑成平角。

分步过程：已知：如图，a∥b，∠1 与 ∠2 是直线 a，b 被直线 c 截出的同旁内角。求证：∠1＋∠2＝180°。证明：∵a∥b（已知），∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）。∵∠3 与 ∠2 成平角，∴∠3＋∠2＝180°（平角的定义）。∴∠1＋∠2＝180°（等量代换），即 ∠1 与 ∠2 互补。易错：第一行就写「∵a∥b，∴∠1＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）」，用要证的结论证自己；或者把 ∠3 设成 ∠1 的对顶角，凑不成平角。验算：反过来取一组数检验，两平行线被截，取 ∠2＝70°，则 ∠1 应为 110°；图上量一量，量出来的数与算出来的一致。

带这一题：这道题看着最简单，其实最难，因为它把脚手架全撤了。孩子写不出，多半是卡在「图要自己画」。教他一招：先照教材图 7-12 的样子画三条线，把 a、b 画成横的，c 斜着穿过去，角标在交点的同一侧。图画对了，路就出来了。写完让他自查一句：我在括号里注的定理，有没有一条是本题要证的？有，就是循环，划掉重写。

栏目十四 · 习题 7.3 知识技能（印刷第 194 页至第 195 页）第 1 题 · 四句推理对不对

题目原文要点：下列推理是否正确？为什么？四个小问共用一幅图。图里有四条线：l1 是上面的横线，l2 是下面的横线，l3 是左边的斜线，l4 是右边的斜线，四条线交出四个点。图上标了六个角：∠5 在 l1 与 l3 的交点处，夹在 l1 下方、l3 右侧；∠4 在 l2 与 l3 的交点处，夹在 l2 上方、l3 右侧；∠1 与 ∠6 同在 l1 与 l4 的交点处，∠1 在 l4 左侧、∠6 在 l4 右侧，两角都在 l1 下方；∠2 与 ∠3 同在 l2 与 l4 的交点处，都在 l4 左侧，∠3 在上、∠2 在下。四小问：（1）∵∠1＝∠2，∴l1∥l2；（2）∵∠4＋∠5＝180°，∴l3∥l4；（3）∵∠2＝∠4，∴l3∥l4；（4）∵∠3＋∠6＝180°，∴l1∥l2。考查什么：先认角的身份，再对定理的条件；考「同一个角在不同截线下换了身份」这件事。思路：每一问只做两件事——圈出截线，圈出被截的两条线，看那对角是不是定理要求的那一对。

分步过程：第（1）问，∠1 与 ∠2 是 l1、l2 被 l4 所截、在 l4 同侧且都在两横线之间的那一对同位角，同位角相等，l1∥l2，推理正确。第（2）问，∠4 与 ∠5 是 l1、l2 被 l3 所截出的一对同旁内角，都在 l3 右侧、都夹在两横线之间；同旁内角互补能推出的是 l1∥l2，与结论 l3∥l4 不合，推理不正确。第（3）问，∠2 与 ∠4 是 l3、l4 被 l2 所截出的一对内错角，∠2 在 l2 下方、∠4 在 l2 上方，两角都在两斜线之间；内错角相等，l3∥l4，推理正确。第（4）问，∠3 与 ∠6 是 l1、l2 被 l4 所截出的一对内错角，∠3 在 l2 上方、∠6 在 l1 下方，两角都在两横线之间、分居 l4 两侧；内错角要相等才能定平行，题目给的是互补，推不出 l1∥l2，推理不正确。易错：四问全判正确；或者第（2）问判对而理由是「同旁内角互补，两直线平行」，把结论与被截的那两条线弄混。验算：把图画在纸上，把 l3 与 l4 都当截线各看一遍，同一对角换截线后身份会变，这是本题的陷阱所在；把四问的身份写在图旁，一对一对核对一遍。

带这一题：这道题是本节最好的体检题，四个小问里藏着两种错。第一种错叫「口号式推理」，句子念得顺，角没认。第二种错叫「换截线就晕」，同一对 ∠4 与 ∠5，若把 l1 当截线来读，身份全变。带法是拿四张纸片盖住图，每次只露出一个小问需要的那两条线和一个交点，孩子看得清，就判得准。四问判完，让他把「同旁内角只能推被截的那两条线平行」这句话说一遍，说得出，这一题就真会了。

栏目十五 · 习题 7.3 数学理解（印刷第 195 页）第 2 题 · 由角平分线证平行

题目原文要点：已知：如图，点 D，E 分别在 AB 和 AC 上，CD 平分 ∠ACB，∠DCB＝40°，∠AED＝80°。求证：DE∥BC。图上是三角形 ABC，A 在顶点，B 在左下，C 在右下；D 在 AB 上，E 在 AC 上；画了 DE 与 CD 两条线；图上只标字母，没有数字角标。考查什么：先由角平分线把已知角翻倍，再用「同位角相等，两直线平行」；考两次转换里依据要注准。思路：题里给的是 ∠DCB，要证的是 DE∥BC，截线是 AC，需要的一对角是 ∠AED 与 ∠ACB。先把 ∠ACB 算出来。

分步过程：∵CD 平分 ∠ACB（已知），∴∠ACB＝2∠DCB（角平分线的定义）。∵∠DCB＝40°（已知），∴∠ACB＝2×40°＝80°。∵∠AED＝80°（已知），∴∠AED＝∠ACB（等量代换）。∠AED 与 ∠ACB 是直线 DE、BC 被直线 AC 所截出的同位角（都以 AC 为一边，都在 AC 的同一侧，都朝 A 的方向），同位角相等，∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）。易错：把 ∠DCB 直接当成 ∠ACB 用，得出 ∠AED＝∠DCB 的错等式；或者写出 ∠AED＝∠ACB 却不注「同位角」这层身份，直接跳到 DE∥BC。验算：∠ACB＝80°，∠AED＝80°，两角相等；若 DE∥BC，则这两个角必须是同位角，把图转九十度看，DE 与 BC 上下平行，AC 斜着穿过，A 处是共同方向，位置对得上。

带这一题：让孩子先在图上把 ∠DCB 用红笔涂满，再把 ∠ACD 用蓝笔涂满，两个一样大，一眼就看出 ∠ACB 是两倍。这一步做完，题就成了一道减法题。第二处热点是「谁截的谁」，让他用手指顺着 AC 从 A 划到 C，途中穿过 DE 与 BC，两个交点处的角就是被他指出来的那一对。手指走过一遍，图上就没有看不懂的角。

栏目十六 · 习题 7.3 数学理解（印刷第 195 页）第 3 题 · 你有几种证明方法

题目原文要点：已知：如图，直线 a，b 被直线 c 所截，且 ∠1＋∠2＝180°。求证：a∥b。你有几种证明方法？图上 a 在上、b 在下，c 从左下斜向右上穿过；∠1 在 a 与 c 交点的靠上位置，∠2 在 b 与 c 交点的位置，两角都在截线 c 的一侧，且都在两条被截线的外侧。考查什么：把「互补」翻译成「相等」的能力；考一题多解，也考依据不能循环。思路：∠1 与 ∠2 不是定理里现成的那一对，先借一个角当桥。桥有两座：∠1 的邻补角，∠2 的邻补角。

分步过程：法一，在 a 与 c 的交点处取 ∠1 的邻补角 ∠3（∠3 与 ∠1 合起来是一个平角，取的是与 ∠2 成同位位置的那一侧）。∵∠1＋∠3＝180°（邻补角的定义），∠1＋∠2＝180°（已知），∴∠2＝∠3（同角的补角相等）。∠3 与 ∠2 是直线 a，b 被 c 所截出的同位角，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。法二，在 b 与 c 的交点处取 ∠2 的邻补角 ∠4（取与 ∠1 成同位位置的那一侧）。∵∠2＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠4（同角的补角相等）。∠1 与 ∠4 是同位角，∴a∥b。法三用反证：假设 a 与 b 不平行，则它们被 c 所截出的同位角不相等，与已证的性质定理相矛盾，所以 a∥b。易错：只写一种就交卷；或者把 ∠1 与 ∠2 之间的那对「外角」关系当成同旁内角，套错定理；或者用「同旁内角互补」时，把 ∠1、∠2 说成同旁内角——它们不在两线之间，身份不对。验算：取 ∠1＝120°，则 ∠2＝60°，此时 ∠3＝60°＝∠2，同位角相等，a∥b；再改 ∠1＝95°、∠2＝85°，∠3＝85°，照样相等，结论不随数值变。

带这一题：这道题的价值在那半句「你有几种证明方法」。孩子只会一种，就以为会了；逼他找第二种，他才发现自己其实在背路。带法是给两个交点各画一条虚线，把「补角」两个字写在虚线旁，让他自己选在哪一头补。选完再问一句：为什么补出来的角一定与另一个角同位？位置这东西说不清，就在图上把两个角涂上同一种颜色，颜色一对上，身份就明明白白。

栏目十七 · 习题 7.3 数学理解（印刷第 195 页）第 4 题 · 木工的直角尺

题目原文要点：如图，木工师傅经常用一把直角尺画出两条平行的直线 a 和 b。你知道这样做的道理吗？图上只有两条直线 a、b 与一把直角尺，a 在右侧、b 在左侧，没有点字母，没有角度数。考查什么：把生活中的直角翻译成几何里的 90°；考「垂直于同一条直线的两条直线平行」这条推论的依据。思路：直角尺的用处在于它有一条直角边与另一条垂直。画线时，尺子的同一条边始终贴着木板上的同一条基准线，两条画出的线都与这条基准线成 90°。

分步过程：设木板上的基准线为 l。第一次画线，直角尺的一条直角边贴着 l，另一条边画出直线 a，则 a 与 l 的夹角是 90°。第二次画线，尺子沿 l 滑动到另一处，同一条直角边仍贴着 l，画出的直线 b 与 l 的夹角也是 90°。两条线 a、b 被 l 所截，截出的同位角都是 90°，相等。∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。也可以换一句话说：a、b 都垂直于 l，垂直于同一条直线的两条直线平行。易错：只说「因为直角尺有直角」，不说直角在哪里、两条线为什么就平行；或者把「垂直」与「平行」混着说。验算：拿一把三角尺在桌沿上试：三角尺的一条直角边贴桌沿，竖边画一条线；尺子沿桌沿推十厘米，再画一条。两条线看去平行；用直尺量两条线之间的距离，上中下三处一样宽，说明平行没跑。

带这一题：这道题要动手。家里找一把三角尺、一张纸、一支笔，照题里的样子画两条，再用尺子量宽度。量完让孩子说一句：为什么两块三角尺叠在一起画出来的线就一定平行？他会说「因为尺子没歪」。这句大白话就是同位角相等的另一种说法，把这句接上定理名字，题目就过关了。

栏目十八 · 习题 7.3 数学理解（印刷第 196 页）第 5 题 · BD 平分 ∠ABC

题目原文要点：已知：如图，AD∥BC，∠ABD＝∠D。求证：BD 平分 ∠ABC。图上是 A 左上、D 右上、B 左下、C 右下，上边 AD、下边 BC 平行，画了一条 BD；图中没有画 AC，也没有画 DC。考查什么：平行线的性质里「内错角相等」的用法；考角平分线的判定要凑出两个相等的角。思路：题里给的 ∠D 是顶点 D 处的角，用已画的 DA 与 DB 夹成，就是 ∠ADB。由 AD∥BC 可以把 ∠ADB 搬到 B 处，变成 ∠DBC。

分步过程：∵AD∥BC（已知），∴∠ADB＝∠DBC（两直线平行，内错角相等）。∵∠ABD＝∠D，即 ∠ABD＝∠ADB（已知），∴∠ABD＝∠DBC（等量代换）。BD 在 ∠ABC 的内部，把它分成 ∠ABD 与 ∠DBC 两个相等的角，∴BD 平分 ∠ABC（角平分线的定义）。易错：把 ∠D 当成 ∠ADC，去找根本没画的 DC；或者证明完了不写「BD 在 ∠ABC 内部」这一句，结论差半步。验算：设 AD∥BC，取 ∠ADB＝35°，则 ∠DBC＝35°；已知 ∠ABD＝∠D，也是 35°；两个 35° 拼成 ∠ABC＝70°，BD 正好在中间。

带这一题：第一个动作是把「∠D」这个词在图上落成具体的角。让孩子用手指按住 D 点，把从这个点出发的线段数一遍：只有 DA 和 DB 两条，那么 ∠D 只能是 DA 与 DB 之间的那个角。数完这一步，题目就少了一半难。第二个动作是画一条彩色弧线，把 ∠ADB 与 ∠DBC 涂成同色，让孩子自己看见「搬过来的角」。

栏目十九 · 习题 7.3 数学理解（印刷第 196 页）第 6 题 · 两组对边分别平行，证对角相等

题目原文要点：已知：如图，AB∥DC，AD∥BC。求证：∠A＝∠C，∠B＝∠D。图上 D 在左上、C 在右上、A 在左下、B 在右下，四边形按 A→B→C→D 的顺序连成，图中没有画对角线。考查什么：同旁内角互补的连用；考「用同一条中间线搭两座桥」的思路；也考不许提前用平行四边形的结论。思路：∠A 与 ∠D 在一起，∠C 与 ∠D 在一起，两对都靠 DC 或 AD 说话。于是先证 ∠A 与 ∠C 都跟 ∠D 互补。

分步过程：∵AB∥DC（已知），∴∠A＋∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵AD∥BC（已知），∴∠C＋∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）。∴∠A＝∠C（同角的补角相等）。同法：∵AB∥DC，∴∠B＋∠C＝180°；∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°；∴∠B＝∠D。两组对角分别相等。易错：只证一组就停；用「平行四边形对角相等」当依据，等于用后面要证的结论；把 ∠A 与 ∠C 说成内错角，位置认错。验算：取 ∠D＝70°，则 ∠A＝110°、∠C＝110°、∠B＝70°；四个角加起来 110＋70＋110＋70＝360°，等于四边形的内角和，账平。

带这一题：这道题是最省钱的一道：一个 ∠D 当桥，四问全通。带的时候让孩子把 ∠D 涂成黄色，再问「图上还有哪两个角跟黄色角靠在一起」。他指出来，你就让他写「∠A＋∠D＝180°」「∠C＋∠D＝180°」两行，两行写完，剩下的是同角的补角相等，一句话。孩子会觉得神奇：一道题只用了一个角。这个「只用一个角」的感觉，就是证明里的省力感。

栏目二十 · 习题 7.3 问题解决（印刷第 196 页）第 7 题 · 找出平行的线与 ∠A＝∠D

题目原文要点：如图，一条直线分别与直线 BE、直线 CE、直线 BF、直线 CF 相交于点 A，G，H，D，且 ∠1＝∠2，∠B＝∠C。（1）找出图中相互平行的线。（2）证明：∠A＝∠D。图里 A、G、H、D 四个点排在同一条截线上：A 在 BE 上，G 在 CE 上，H 在 BF 上，D 在 CF 上；∠1 标在 G 处，∠2 标在 H 处，两角是这条截线截 CE、BF 所得的同位角；∠B 是 BE 与 BF 的夹角，∠C 是 CE 与 CF 的夹角。考查什么：连续两次用判定、一次用性质；考「先找出一组平行，再用这组平行去换角」。思路：∠1＝∠2 直接给出一组平行；有了 CE∥BF，∠B 就能换出一个与它互补的角 ∠BEC；∠B＝∠C 把这个互补关系转给 ∠C，∠C 与 ∠BEC 正好是一对同旁内角，第二组平行就有了；再用第二组平行换出 ∠A＝∠D。

分步过程：（1）∵∠1＝∠2（已知），∠1 与 ∠2 是直线 CE、BF 被截线 AD 所截出的同位角，∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）。∵CE∥BF，∴∠B＋∠BEC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），其中 ∠BEC 是 CE 与 BE 在 E 处的夹角。∵∠B＝∠C（已知），∴∠C＋∠BEC＝180°（等量代换）。∠BEC 与 ∠C 是直线 BE、CF 被直线 CE 所截出的同旁内角，∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）。图中上边那条线是 BE（A 在它上面），下边那条线是 CF（D 在它上面），所以 BE∥CF 也就是 AB∥CD。相互平行的线有两组：CE∥BF，AB∥CD。（2）∵AB∥CD（已证），∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等），∠A 与 ∠D 都在截线 AD 上，一个在 A 处向下开，一个在 D 处向上开。易错：第（1）问只找出 CE∥BF 一组；第（2）问拿 ∠1＝∠2 直接说 ∠A＝∠D；或者把 ∠B 与 ∠C 说成内错角。验算：画图时让 CE 与 BF 平行，再让 ∠B＝∠C，量一量 BE 与 CF 之间的距离，上下一致，说明第二组也平行；∠A 与 ∠D 用直角器量，度数相同。

带这一题：这题的关键是「一组平行换一组平行」的顺序不能乱。带法是让孩子每证出一组平行，就用红笔在图上把那两条线描粗，然后问一句：现在粗线告诉了我哪个角与哪个角有关系？他答出来，第二组就有戏。第二问的 ∠A 与 ∠D 分处截线两端，孩子容易看不出它们是内错角，让他把截线那一段擦掉一半再看，两条粗线之间的两个角就露出来了。

栏目二十一 · 习题 7.3 问题解决（印刷第 196 页）第 8 题 · 太阳灶的抛物面

题目原文要点：太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关。如图，从点 O 照射到抛物线上的光线 OB，OC 等反射以后沿着与 POQ 平行的方向射出。如果 ∠BOP＝45°，∠QOC＝88°，那么 ∠ABO 和 ∠DCO 各是多少度？图上抛物线开口向右，轴上从左到右依次是 P、O、Q；B 在抛物线的上支，A 在 B 的右侧；C 在下支，D 在 C 的右侧；BA 与 CD 都沿着与 POQ 平行的方向向右射出。考查什么：把「反射光线与轴平行」这句物理话翻成几何里的平行条件；考内错角与同旁内角两条性质的选用。思路：两条反射线与轴平行，就得到两组平行；∠ABO 与 ∠BOP 分处 OB 两侧、都在两条平行线之间，是内错角；∠DCO 与 ∠QOC 分处 OC 同侧、都在两平行线之间，是同旁内角。

分步过程：∵BA∥POQ（反射光线与轴平行），∴∠ABO＝∠BOP（两直线平行，内错角相等）。∵∠BOP＝45°（已知），∴∠ABO＝45°。∵CD∥POQ（反射光线与轴平行），∴∠DCO＋∠QOC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵∠QOC＝88°（已知），∴∠DCO＝180°－88°＝92°。易错：把 ∠DCO 也算成 88°，理由是「内错角相等」；或者把 ∠ABO 算成 135°，直接用平角去减。验算：45°＋92°＝137°，两个角一锐一钝，与图上看上去的形状一致；若把 C 处的两条线延长，量 ∠DCO 是钝角，88° 明显不够，说明用互补没有错。

带这一题：这一题长在太阳灶上，值得多说两句。抛物面有个性质：从焦点射出的光线，反射后都与轴平行；反过来，平行的太阳光射进来，反射后都聚到焦点上。太阳灶就是靠这一点把一大片阳光聚到锅底。孩子把这道题算完，可以让他想一想家里的手电筒、汽车大灯为什么把灯泡放在那个位置上。数学题算的是角度，背后是真东西在发热。带的时候只需提醒一句：图上那两条射出的光线，与轴平行，先把平行写下来，再挑角。

🛠 九、五步学习法

第一步：每天锻炼一个小时

这一节的内容适合动着手学，一小时里可以先给二十分钟身体。带孩子下楼走一走，路上玩一个游戏：找平行线。斑马线的条纹、楼梯的扶手、路边栏杆的横杆、篮球场上的边线，一条一条指出来，再问一句它们为什么平行。孩子会说「本来就是这么造的」，你就接一句「造的时候靠什么保证」。这个追问比坐在桌前讲十条定理有用。回到家再给四十分钟动手：拿三角尺沿直尺推两次，画两条线（对应第 191 页思考·交流第（1）问）；撕一张纸折两条平行线（对应第（2）问）；再用纸折一个蜂房的三个四边形，对着随堂练习第 1 题的 109°28′ 与 70°32′ 摆一摆。手上走过一遍，书上那些字母才落地。锻炼不是学习的对立面，它给脑子换气，换完气再读定理，眼睛会亮一些。

第二步：扎实掌握第一个知识点

这一节的第一个知识点不是某条定理，是那句「可以作为依据的只有三样」。它排在第 191 页中间，看上去像句废话，其实是全节的开关。扎实掌握它的意思，是让孩子能当场答出三样是什么、每样举两个例子：基本事实举「同位角相等，两直线平行」与「过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行」；定义举「对顶角相等」「平角的定义」；已证定理举本节刚证出来的「两直线平行，内错角相等」。三样答得出，再让他拿一道题试：第 194 页知识技能第 1 题第（2）问里，如果要推翻「l3∥l4」，理由要用哪一样东西说？他答「∠4 与 ∠5 是同旁内角，只能推 l1∥l2」，这一答就说明开关打开了。第一个知识点扎不扎实，不看他会不会背，看他在写括号时手会不会停一下。

第三步：能积微者速成

「能积微者速成」这句话放在这一节特别对。本节的六条定理，一条一条看着都不难，难的是把它们连成一条链。孩子贪快，往往一次吞六条，结果做题时六条全糊在一起。改成每天只啃一条：周一证「内错角相等，两直线平行」，就写那四行，写完对着图 7-6 说一遍每个括号的依据；周二读第 192 页那一段反证，只读不做，读完答三个问题——假设了什么、矛盾在哪里、矛盾说明什么；周三写「同旁内角互补，两直线平行」的五步；周四写「两直线平行，内错角相等」的三步；周五做第 194 页随堂练习第 1 题，独立补完整段证明。一天一小步，五天走完，孩子手里有六段自己写过的证明，比背六句口号结实得多。步子小不是慢，是让每一步都踩实，踩实了才敢快。

第四步：运用对标思维突破学习困境

这一节最常见的困境是「会听不会写」：孩子在课上点头，回家写证明只剩两行，中间全跳了。破法是找对标，标就在教材上。第 193 页那个例题（b∥a，c∥a，求证 b∥c）只有四行，是本节最标准的一段示范：第一行注已知，第二行注平行线的性质，第三行注等量代换，第四行注平行线的判定。让孩子把自己写的第 3 题答案与这四行摆在一起，一行一行对：有没有先摆条件？有没有把依据注在括号里？有没有走到结论那一步？缺哪行补哪行。对过一次，孩子就知道证明有固定骨架，不是想到哪写到哪。对标的第二层是比思路，不是比字数：教材那四行里，∠1 是桥，孩子的答案里桥在哪儿？找得出桥，说明他学的是方法；找不到，说明他抄的是格式。

第五步：运用杠铃法则缓解学习疲劳

杠铃两头重、中间轻，学习也这么排。这一节的开头二十分钟啃最硬的：第 192 页那段反证法，读三遍，把假设、矛盾、结论三段用铅笔画出来；再啃第 196 页第 7 题，那道题要转三次身，脑子最清醒时才做得动。中间二十分钟换轻活：把六条定理抄成两列对照表，或者做第 195 页第 4 题木工尺，画一画、量一量，手上动着，脑子歇着。收尾二十分钟再来一段重的：第 195 页第 3 题，一题多解，逼自己想出第二种证法。中间那段轻活不是偷懒，是给脑子留出消化的时间。家长若看见孩子在同一道题上磨了半小时、笔越转越快，别催他，让他起身倒杯水，回来做两道一眼能看出的题（比如判断推理对不对那四小问），缓过来再冲第二种证法。本节的三个重活——反证那一段、第 7 题、第 3 题的第二解——千万别挨在一起做。

💡 十、费曼技巧应用

自问一 · 能不能不用「平行」两个字，说清内错角相等为什么能定平行

能答出来说明什么：说明他知道这条判定是借同位角那条基本事实搭出来的，不是在背结论。参考答案：两条线被第三条线截，若内错角相等，就把其中一个角换成它的对顶角，那个对顶角与另一个角正好是同位角；同位角相等，两条线就平行。答不出怎么办：翻到第 190 页图 7-6，让他用手指从 ∠1 顺着对顶角指到 ∠3，再从 ∠3 指到 ∠2，指着说「换成它，再换成它」，指完再落笔。

自问二 · 第 194 页知识技能第 1 题第（2）问为什么不对

能答出来说明什么：说明他会认角的身份，不会被「互补」两个字骗过去。参考答案：∠4 与 ∠5 是 l1、l2 被 l3 截出的同旁内角，它们互补能推出的只有 l1∥l2，推不出 l3∥l4，结论与被截的两条线对不上。答不出怎么办：拿一张纸盖住 l4，只留 l1、l2、l3，让他把 ∠4 与 ∠5 找出来，再问「这两个角夹的是哪两条线」；答案自己会浮出来。

自问三 · 判定定理和性质定理，谁是谁的反面

能答出来说明什么：说明他抓住了第 193 页页边那朵云问的事，六条定理在他脑子里是三对，不是六条。参考答案：判定是「角的关系推出线的位置」，性质是「线的位置推出角的关系」，条件和结论正好对调；三条判定对三条性质，一对一同位角、一对内错角、一对同旁内角。答不出怎么办：让他把六条定理抄成两列，用两根不同颜色的箭头画出来，一根从角指向线，一根从线指向角，画完念三遍「由角到线，由线到角」。

自问四 · 第 196 页第 8 题，为什么 ∠DCO 要用 180° 去减

能答出来说明什么：说明他会先看角的位置再选定理，不会见数就套。参考答案：CD 与 POQ 平行，OC 是截线，∠DCO 与 ∠QOC 在截线同侧、都在两条平行线之间，是一对同旁内角，同旁内角互补，所以 ∠DCO＝180°－88°＝92°。答不出怎么办：把那张抛物线图转一转，让 CD 横过来当上面的线，轴当下面的线，两个角的位置关系立刻看清；再量一量，∠DCO 明显是钝角，88° 不够。

自问五 · 第 194 页随堂练习第 1 题，能不能自己把图和字母都造出来

能答出来说明什么：说明他不依赖别人给的脚手架，能独立完成一段证明的全部环节，包括画图、设字母、写已知求证。参考答案：画两条平行线 a、b 加一条截线 c，设 ∠1、∠2 为同旁内角，取 ∠3 与 ∠1 成同位位置；由 a∥b 得 ∠1＝∠3；∠3 与 ∠2 成平角得 ∠3＋∠2＝180°；代换得 ∠1＋∠2＝180°。答不出怎么办：先让他照教材图 7-12 的样子临摹一遍，把 a、b、c、d 换成本题的字母，临摹三次再自己画；画得出来，写就不难。

🎯 十一、方法总结与知识脉络

这一节一句话概括：一条基本事实当地基，两条判定往上盖，三条性质接着盖，再补一条传递性；六条定理排成一条链，链上每一个环节的写法都是「∵某角怎样，∴某线怎样」或反过来。孩子要带走的不是六句话，是那条链的形状——知道谁在底下，谁在上头，谁不能拿来证谁。

往前往后看，这条线很清楚。往前，七年级下册学过相交线与平行线，那时候靠观察和测量，知道「同位角相等两直线平行」这条事实好用；八年级上册第 183 页那一节「认识证明」教了什么是定义、什么是命题、条件与结论怎么分。本节把这两头接上：用七年级的事实当出发点，用八年级的格式写过程。往后，第 197 页的回顾与思考会把全章串一遍；八年级下册学三角形与四边形，证全等、证平行四边形，用的还是这一套「找中间人、换身份、注依据」的手法；到九年级学相似与圆，证明的链条更长，本节这种一行一依据的习惯就是那时的手艺。

这一节还留下三样东西，值得单独记。一样是反证法，第 192 页那一段虽然标着选学，想法却能用一辈子：正面推不动，就反过来逼。第二样是「同角的补角相等」这条老定理，第 195 页第 3 题与第 196 页第 6 题都在用它，它比想象中好用。第三样是那朵云里的话——性质与判定的条件结论对调，这句话到了高中讲逆命题、讲充分必要条件时，会再出现一次。

给家长一句实在话：这一节别盯着孩子证得快不快，盯着他括号里写没写名字。名字写得准，说明他知道自己在跟哪条定理说话；名字空着，说明他还在看图说话。看图说话在七年级够用，到了这一节就不够了。陪读的力气花在追问上——「这一步凭哪一条」「这两个角是什么关系」——问上二十遍，孩子写证明的手就会自己停下来想一想。停下来的那一下，就是他真正开始学证明的时候。

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