文档内容
北京市密云区 2022－2023 学年第一学期期末考试
八年级数学试卷
考生须知：
1.本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用
2B铅笔．
4.考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回．
一、选择题 （本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只
有一个选项是符合题意的．
1．若分式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠－4 B．x＝－4 C．x≠4 D．x＝4
2．《国语·楚语》记载：“夫美者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”．
这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡
对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形
的是（ ）
A． B． C． D．
3．在下列各式的计算中，正确的是( )
A． B． C． D．
4．我国的泉州湾跨海大桥是世界首座跨海高铁大桥，其创新采用的“石墨烯重防腐涂
装体系”，将实现 年超长防腐寿命的突破．石墨烯作为本世纪发现的最具颠覆性的
新材料之一，其理论厚度仅有 m，请将 用科学记数法表
示为（ ）
试卷第1页，共3页A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系xOy中，点M 关于y轴的对称点N的坐标是（ ）
A． B． C． D． （－6，
1）
6．正五边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
7．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在 中， ，以 的一边为腰画等腰三角形，使得它的第
三个顶点在 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是( )
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若分式 的值为0，则 的值为 .
10．计算： ．
11．已知：如图， 平分 ．请添加一个条件 ，使得 ．
（要求：不添加辅助线，只需填一个答案即可）
试卷第2页，共3页12．等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为
13．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中a>b）（如图①），把
余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以
验证的乘法公式是 ．
14．若 ， ，则 ．
15．如图， 中， ．在 上截取 ，作
的平分线与 相交于点P，连接 ．若 的面积为 ，则 的面积为
．
16．在平面直角坐标系xOy 中，A（1，3），B（3，－1），点P在y轴上，当PA＋
PB取得最小值时，点P的坐标为 ．
三、解答题（共68分，其中17题6分，18~23题每题5分，24~26题每题6
分，27、28题每题7分）
17．因式分解
(1)
(2)
试卷第3页，共3页18．计算：
19．计算：
20．解分式方程：
21．密云水库是首都的“生命之水”，作为北京重要的水源地，保持水质成为重中之
重．如图所示，点A和点B分别表示两个水质监测站，点C表示某一时刻监测人员乘
坐的监测船的位置．其中，B点在A点的西南方向，船只C在A点南偏东25°方向和B
点北偏东75°方向的交汇处，求此时从船只C看A、B两个水质监测站的视角 的
度数．
22．数学课上，李老师布置如下任务：
如图，已知 ，点D是 边上的一个定点，在 边上确定一点E，使 ．
下面是小莉设计的尺规作图过程．
作法：
①以点D为圆心， 长为半径作弧交 边于点F，连接 ．
②作 的角平分线，交 边于点E；
则点E即为所求．
根据小莉设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明，并在括号内填写推理的依据．
证明：∵ ，
∴ ＝ ．（ ）
∵ 是 的角平分线，
∴ ．
∵ ，（ ）
试卷第4页，共3页即 ，
∴ ．
∴ ．
23．已知2a2+3a-6=0．求代数式3a（2a+1）-（2a+1）（2a-1）的值．
24．已知：在 中， ， 边的垂直平分线分别交 于
点D，交 于点E．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，求 的周长．
25．交通是经济的脉络和文明的纽带．截至2020年底，我国高速铁路运营里程五年间
翻了近一番，稳居世界第一，居民出行更加便捷．据悉，甲乙两城市相距800千米，
乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时，已知高铁列车的平均速度是
普通列车平均速度的2.5倍，求高铁列车的平均速度．
26．阅读材料，解决问题
爱因斯坦是20世纪著名的物理学家，他创立的相对论影响了人类对世界的看法．有趣
的是，这位科学巨匠闲暇之余喜欢琢磨一些数学趣题．一次，爱因斯坦在计算一道两
位数乘法运算时，联想到了“头同尾合十”的速算方法．
所谓“头同尾合十”是指：两个因数的十位数字相同，个位数字相加刚好为 ；
其对应的速算方法是：
第一步：用两个因数的个位数字相乘，把得到的乘积作为结果的后两位，如果乘积是
一位数，就把这个数作为结果的个位，十位用0表示；
第二步：用相同的十位数字乘以比它大1的数，把得到的乘积放在第一步结果的前面．
像这样组成的数就是两位数相乘的结果．例如：
速算 ，先算 ，再算 ，则 ；
速算 ，先算 ，再算 ，则 ；
(1)利用上述速算方法，计算 的积为 ；
(2)用 和 分别表示两个两位数，其中 表示十位数字， 和 表示它们的个位数字，
且 ，
试卷第5页，共3页①依据题意，两位数 ，则两位数 ；
②为说明该速算方法的正确性，请你证明 成立．
27．如图，在 中， ， ， 与 的角平分线 、
分别交 边于点D和点E．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
28．对于平面直角坐标系 中的点M和图形G，给出如下定义：点N为图形G上任
意一点，当点P是线段MN的中点时，称点P是点M和图形G的“中立点”．
(1)已知点 ，若点P是点A和原点的中立点，则点P的坐标为 ；
(2)已知点 ．
①连接 ，求点D和线段 的中立点E的横坐标 的取值范围；
②点F为第一、三象限角平分线上的一点，在 的边上存在点F和 的中立
点，直接写出点F的横坐标 的取值范围．
试卷第6页，共3页1．C
【分析】根据题意得 ，进行计算即可得．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件，正确计算．
2．B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫
做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．
3．C
【分析】根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方运算，逐项分析判断即
可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方运算，掌握以上
运算法则是解题的关键．
4．D
答案第1页，共2页【分析】把小于1的正数用科学记数法写成 的形式，即可得．
【详解】解： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法．
5．A
【分析】根据平面直角坐标系中，关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵
坐标不变进行求解即可．
【详解】解：点M 关于y轴的对称点N的坐标是 ,
故选择：A
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特征，点P 关于y轴的对称点 的坐
标是 ．
6．C
【分析】根据任何多边形的外角和是 度即可求出答案．
【详解】解：正五边形的外角和是 ．
故选：C．
【点睛】考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是 度．外角和与多边形的
边数无关．
7．D
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．
8．C
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以 三个顶点为等腰三角形的顶点可以画出4
个等腰三角形，分别以三条边 等腰三角形的底边可以作出3个等腰三角形，最多可以作出
7个不同的等腰三角形
答案第2页，共2页【详解】①以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ， 是等腰三角形，
②以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ， 就是等腰三角形；
③以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ， 就是等腰三角形，交 于点 ,
是等腰三角形；；
④作 的垂直平分线交 于点 ， 就是等腰三角形；
答案第3页，共2页⑤作 的垂直平分线交 于 ，则 是等腰三角形；
⑥作 的垂直平分线交 于 ，则 和 都是等腰三角形，此情形点 与点 重
合与④的情形重合，共计2个等腰三角形．
综上所述，最多有7个等腰三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．
9．1
【分析】根据分式的值为零的条件即可得出．
【详解】解：∵分式 的值为0，
答案第4页，共2页∴x-1=0且x≠0，
∴x=1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值
为零．
10．
【分析】根据多项式除以单项式的法则计算即可.
【详解】解：
故答案为
【点睛】本题考查多项式除单项式的运算, 多项式除单项式先用多项式的每一项除以单项
式,再把所得的商相加.
11． （答案不唯一）
【分析】根据全等三角形全等的方法判断即可．
【详解】解：根据AAS判定 ，可以添加 ，
根据ASA判定 ，可以添加 ，
根据SAS判定 ，可以添加 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属
于中考常考题型．
12．9
【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别为4和9，
∴分两种情况：（1）腰长为4，底边为9，但是4+4＜9，所以不能组成三角形，
（2）腰长为9，底边为4，符合题意，所以第三边长为9.
故答案为：9
13．a2-b2=（a+b）（a-b）
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b
的小正方形的面积，等于a2-b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a-b）的
长方形，面积是（a+b）（a-b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【详解】解：阴影部分的面积=（a+b）（a-b）=a2-b2；
因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a-b）=a2-b2，
答案第5页，共2页故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题
的关键．
14．
【分析】根据同底数幂乘法的逆用得 ，再把 ， 代入进行计算即可
得．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用，解题的关键是理解题意，掌握同底数幂乘法的
逆用．
15．4
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出 ，即得出 和 是等
底同高的三角形， 和 是等底同高的三角形，即可推出 ，即可求
出答案．
【详解】解：∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ 和 是等底同高的三角形， 和 是等底同高的三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键．
16．（0，2）
【分析】根据对称性，作出点 关于y轴的对称点 ，连接 与y轴交于点P,，根据两点
之间线段最短即可得结论．
答案第6页，共2页【详解】
如图所示，作出点 关于点y轴的对称点 ，连接 交y轴与点Ｐ，此时
根据两点之间线段最短，所以点P的坐标为
故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握对称性性质．
17．(1)
(2)
【分析】（1）提取公因式m，运用平方差公式即可得；
（2）提取公因数2，运用完全平方公式即可得．
【详解】（1）解：原式＝
＝ ；
（2）解：原式＝
＝ ．
【点晴】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解，平方差公式，完全平方公式．
18．4
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值的运算法则计算即可．
【详解】解：
答案第7页，共2页．
【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关
键．
19．
【分析】先把分子与分母进行因式分解，再把除法转换成乘法进行约分，最后再进行分式
的加法运算.
【详解】解：
=
=
=
= ．
20．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解．
【详解】解：两边都乘以 ，得：
，
解得： ，
检验：当 时， ，
原分式方程的解为 ．
【点睛】考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．80°
【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此即可计算．
【详解】解：解：∵B点在A点的西南方向，船只C在A点南偏东25°方向和B点北偏东
答案第8页，共2页75°方向，
∴ ， ，
∴ ．
答：从船只C看A、B两个水质监测站的视角 的度数是80°．
【点睛】本题考查方向角的概念，关键是掌握方向角的定义．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据所给作法即可得；
（2）根据 等边对等角得 ，根据 是 的角平分线得
，根据三角形外角性质得 ，即 ，可得
，即可得 ．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）证明：∵ ，
∴ ．（等边对等角）
∵ 是 的角平分线，
∴ ．
∵ ，（三角形外角性质）
即 ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了尺规作图，等边对等角，三角形的外角，平行线的判定，解题的关键
是理解题意，掌握这些知识点．
23．7
【分析】先根据整式的乘法化简，然后再整体代入即可求解．
【详解】解：
答案第9页，共2页=
=
∵
∴
∴原式=7．
【点睛】本题考查整式的化简求值．
24．(1)见解析
(2)9
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出 ，根据线段垂直平分线的性质得到
，求出 ，再根据角平分线的性质得到 ；
（2）判定 是等边三角形，即可求出周长．
【详解】（1）证明：∵在 中， ，
∴ ，
∵ 是 边的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ 平分 ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵在 中， ， ，
∴ ，
答案第10页，共2页∵ 是 边的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ 的周长为9．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和
性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
25．
【分析】设普通列车的平均速度为 ，则高铁列车的平均速度为 ，根据乘
坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时列分式方程求解．
【详解】解：设普通列车的平均速度为 ，则高铁列车的平均速度为 ，
解得： ，
经检验： 是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴ ，
答：高铁列车的平均速度为 ．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，正确理解题意找到等量关系列得方程是解题的关键．
26．(1)
(2)① ；②证明过程见详解
【分析】（1）根据“头同尾合十”的速算方法即可求解；
（2）① 表示两个两位数， 表示十位数字， 表示它们的个位数字，由此即可求解；
②计算左边，将左边逐渐转化为右边的形式即可得证．
【详解】（1）解： ，
第一步，算个位和十位上的数字： ；第二步，算百位和千位上的数字：
，
∴ ，
答案第11页，共2页故答案为： ．
（2）解：①∵ 表示两个两位数， 表示十位数字， 表示它们的个位数字，
∴ ，
故答案为： ；
② 证明：
∵
∴
，
∴该速算方法正确，即 成立．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，数字规律，理解数字间的规律，掌握有理数的
混合运算是解题的关键．
27．(1)见解析
(2) ，见解析
【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出 ，进而得出 ，
即可得出结论；
（2）延长 至F，使 ，连接 ，利用等边对等角和三角形的外角得出
，再证明 ，根据全等三角形的性质得出 ，再根据线段的
和差即可得出 ．
【详解】（1）证明：在 中， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
答案第12页，共2页∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
（2） ，
证明：延长 至F，使 ，连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造
全等三角形是解题的关键．
28．(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据“中立点”的定义求解即可；
答案第13页，共2页（2）①连接 ，取 中点 ，求出 的横坐标，连接 ，取 中点 ，根据中点
坐标公式求出 的横坐标，即可得出对答案；
②分D为中立点时和C为中立点时，求出两个临界值即可．
【详解】（1）∵点 ，若点P是点A和原点的中立点，
∴ ，
故答案为： ；
（2）① 连接 ，取 中点 ，如图，
∵ ，
∴ 点的横坐标 ，
连接 ，取 中点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②第一、三象限角平分线所在直线的解析式为 ．
当D为中立点时，点F关于点D的中立点为点Q，
∵点Q的纵坐标是3，
∴点 的纵坐标是 ，代入 ，得
答案第14页，共2页∴ ，即点 的横坐标是 ．
当C为中立点时，点F关于点C的中立点为点L，
∵点L的横坐标是-2， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了新定义，中点坐标公式，正比例函数的性质，数形结合是解答本题的
关键．
答案第15页，共2页
