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2022-2023 学年北京市密云区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 函数y=√ x−2中，自变量x的取值范围是( )
A. x≤2 B. x<2 C. x>2 D. x≥2
2. 下列各组数中能够作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6
3. 下列二次根式中，为最简二次根式的是( )
√1
A. √ 18 B. √ 10 C. D. √ 1.6
5
4. 下列各点中，在直线y=−3x上的点是( )
A. (1,3) B. (3,1) C. (1,−3) D. (3,−1)
5. 已知 ABCD中，∠A+∠C=140°，则∠B的度数为( )
A. 100°▱ B. 110° C. 120° D. 140°
6. 如图，一次函数y=−2x+4与y=kx+b(k≠0)的图象交于点P，则关于x、y的方程组
{y=−2x+4
的解是( )
y=kx+b
{ x=3 {x=−2 { x=2 {x=−3
A. B. C. D.
y=−2 y=3 y=−3 y=2
7. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位.书中记载了一道“荡秋
千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争
蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离
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学科网（北京）股份有限公司 1 1地1尺，将它往前推送两步(两步=10尺)时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很
直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为( )
A. x2+102=(x+1) 2 B. (x+1) 2+102=x2
C. x2+102=(x−4) 2 D. (x−4) 2+102=x2
8. 如图1，动点P从点A出发，在边长为1的小正方形组成的网格平面内运动.设点P经过的
路程为s，点P到直线l的距离为d，已知d与s的关系如图2所示.则下列选项中，可能是点P
的运动路线的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 计算√ (−2) 2= ______ ．
10. 计算(√ 2+√ 3)(√ 2−√ 3)的结果为______．
11. 将函数y=5x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为
______ ．
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学科网（北京）股份有限公司 2 112. 若实数x，y满足√ x−2+(y−√ 3) 2=0，则x y的值为______．
13. 函数y=kx+b(k≠0)的图象上有两个点A(x ,y )，B(x ,y )，当x y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
写出一个满足条件的函数表达式______ ．
14. 如图，在2×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，
C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧交网格线于点D，则
CD的长为______ ．
15. 某测评中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸和电池寿命四个方面对新投入市场
的两款智能手机进行测评.各项得分均按十分制计，然后再按操作系统占30%，硬件规格占
30%、屏幕尺寸占20%、电池寿命占20%，计算这两款智能手机的综合得分.这两款智能手
机的各项得分如表所示：由此计算得到A款智能手机的综合得分为6.3，B款智能手机的综
合得分为______ ．
手机款式 操作系统 硬件规格 屏幕尺寸 电池寿命
A 7 8 6 3
B 6 8 4 5
16. 为增强员工身体素质，营造“健康生活、快乐工作”的氛围，某公司开展了健步走计
步打卡活动.以下统计图反映的是某位员工6月1日——14日连续两个星期健步走的步数.根
据统计图提供的信息，有下列三个结论：
①该员工这14天健步走的步数的众数和中位数都是1.8万步；
②该员工两个星期健步走的步数从高到低2.0排名，6月7日所走步数在这14天中排名第三；
③若该员工6月1日——7日健步走的步数的方差记作S2 ，6月8日——14日健步走的步数
1
的方差记作S2 ，则S2>S2.其中所有正确结论的序号是______
．
2 1 2
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学科网（北京）股份有限公司 3 1三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
√1
计算：2√ 6×3 ÷√ 3．
2
18. (本小题5.0分)
已知x=√ 2+1，求代数式x2−2x+4的值．
19. (本小题5.0分)
下面是小茜设计的“作一个已知角的平分线”的尺规作图过程.已知：如图1，∠AOB.求
作：射线OP，使得OP平分∠AOB.作法：如图2，
①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧交射线OB于点D；
②分别以点C，D为圆心，OC长为半径作弧，两弧相交于点P(异于点O)，连接PC和PD；
③作射线OP.所以射线OP平分∠AOB．
根据小茜设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明，并在括号内填写推理依据．
证明：∵OC=OD=PC= ______ ，
∴四边形OCPD是______ (______ )，
∴OP平分∠AOB(______ ).
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学科网（北京）股份有限公司 4 120. (本小题5.0分)
1
在平面直角坐标系xO y中，已知一次函数y=− x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A和
2
点B．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
(3)结合图象直接写出当y>0时，x的取值范围．
21. (本小题5.0分)
√ 1
阅读材料，并回答问题：小君在学习二次根式时，化简 的过程如下：
12
√ 1
解：
12
√ 1
= …第①步；
√ 12
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学科网（北京）股份有限公司 5 11
= …第②步；
4√ 3
1×4√ 3
= …第③步；
4√ 3×√ 3
√ 3
= …第④步．
3
(1)上述解答过程中，从第______ 步开始出现了错误(填序号)；
(2)在下面的空白处，写出正确的解答过程．
22. (本小题5.0分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E，求证：
BC=DE．
23. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xO y中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(0,−1)和点
B(1,0)．
(1)求一次函数的表达式；
(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx+2(m≠0)的值小于一次函数y=kx+b的值，
直接写出m的取值范围．
24. (本小题6.0分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，
延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若AB=13，AC=10，求AE的长．
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学科网（北京）股份有限公司 6 125. (本小题6.0分)
五一期间，某移动公司推出三种手机流量套餐的优惠方案，具体如表所示：其中，A，B，
C三种套餐每月所需的费用y 、y 、y (元)与每月使用的流量x(GB)之间的函数关系如图
A B c
所示．
每月基本费用(元) 每月免费使用流量(GB) 超出流量每GB收费(元)
A套餐 20 10 n
B套餐 56 30 n
C套餐 188 无限
(1)写出表中n的值；
(2)在A套餐中，若每月使用的流量不少于10GB，求每月所需的费用y (元)与每月使用的
A
流量x(GB)之间的函数表达式；
(3)如果从节省费用的角度考虑，根据图象与表达式可知：
当每月使用的流量x的取值范围是______ 时，选择A套餐最省钱；
当每月使用的流量x的取值范围是______ 时，选择B套餐最省钱；
当每月使用的流量x的取值范围是______ 时，选择C套餐最省钱．
26. (本小题6.0分)
每年的6月5日是世界环境日，它反映了世界各国人民对环境问题的认识和态度，也表达了
人类对美好环境的向往和追求.为了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，
某校分别从七、八年级随机抽取了80名学生的环保知识测试成绩(百分制，单位：分)，并对
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学科网（北京）股份有限公司 7 1数据(测试成绩)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.a.七年级80名学生环保知识
测试成绩的频数分布直方图如下：(数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，
70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)；b.七年级80名学生环保知识测试成绩在70≤x<80
这一组的是(单位：分)70，72，73，73，74，74，75，76，76，76，77，77，78，78，
78，78，78，79；c.七、八两年级80名学生环保知识测试成绩的平均数、中位数和众数如
表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 74.3 m 81
八年级 75 79 78
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)写出表中m的值；
(3)七年级小颖同学的测试成绩是76分.她认为：“76分高于本年级测试成绩的平均数，所
以自己的成绩高于本年级一半学生的成绩”.你认为她的说法正确吗？请说明理由；
(4)若八年级400名学生都参加此次环保知识测试，估计八年级学生环保知识测试的总成绩．
27. (本小题7.0分)
如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE
的垂线交CB延长线于点F，连接EF．
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学科网（北京）股份有限公司 8 1(1)计算∠AEF的度数；
(2)如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG.用等式表示线段CF与DG之间的数
量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xO y中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等
于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P、Q两点为垂距等点.如图所示P、Q两点即为垂距等
点．
(1)已知点A的坐标为(−2,3)．
①在点M(1,4)，N(7,−2)，T(−5,0)中，为点A的垂距等点的是______ ；
②若点B在y轴的负半轴上.且A、B两点为垂距等点，则点B的坐标为______ ；
(2)直线l：y=x−4与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①当E为线段CD上一点时，若在直线x=n上存在点F，使得E、F两点为垂距等点，求n的
取值范围；
②已知正方形ABK L的边长为2，(t,0)是对角线AK、BL的交点，且正方形的任何一条
边均与某条坐标轴垂直.当E为直线l上一动点时，若该正方形的边上存在点G，使得E，G两
点为垂距等点，直接写出t的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司 9 1第 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 10 1答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意得，x−2≥0，
解得x≥2．
故选：D．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】C
【解析】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故此选项正确；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项错误．
故选C．
欲判断是否是直角三角形的三边长，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股定理逆定理，解答此题要掌握勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足
a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
3.【答案】B
【解析】解：√ 18=√ 9×√ 2=3√ 2，
则A不符合题意；
√ 10是最简二次根式，
则B符合题意；
√1 √ 5
= ，
5 5
则C不符合题意；
√16 2√ 10
√ 1.6= = ，
10 5
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学科网（北京）股份有限公司 11 1则D不符合题意；
故选：B．
若一个二次根式中，被开方数中不含分母并且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的
二次根式即为最简二次根式，据此进行判断即可．
本题考查最简二次根式的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】C
【解析】解：A.当x=1时，y=−3×1=−3，−3≠3，
∴点(1,3)不在直线y=−3x上，选项A不符合题意；
B.当x=3时，y=−3×3=−9，−9≠1，
∴点(3,1)不在直线y=−3x上，选项B不符合题意；
C.当x=1时，y=−3×1=−3，−3=−3，
∴点(1,−3)在直线y=−3x上，选项C符合题意；
D.当x=3时，y=−3×3=−9，−9≠−1，
∴点(3,−1)不在直线y=−3x上，选项D不符合题意．
故选：C．
代入各选项中点的横坐标，求出y值，再将其与点的纵坐标比较，即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式
y=kx+b”是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：在 ABCD中有：∠A=∠C，AD//BC，
∴∠A+∠B=1▱80°，
∵∠A+∠C=140°，
∴∠A=∠C=70°，
∴∠B=180°−∠A=110°．
故选：B．
根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司 12 16.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=−2x+4与y=kx+b(k≠0)的图象交于点P(3,−2)，
{y=−2x+4 { x=3
∴关于x、y的方程组 的解是 ．
y=kx+b y=−2
故选：A．
根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解．
本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成
的方程组的解．
7.【答案】D
【解析】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：x2=102+(x−4) 2．
故选：D．
设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=(x−4)尺，利用勾股定理可得x2=102+(x−4) 2．
此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AB、AC的长，掌握直
角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
8.【答案】C
【解析】解：由图得：当点P经过的路程为1时，点P到直线l的距离不变，故点P应先沿平行于l
的线运动，
当点P经过的路程为3时，点P到直线l的距离增加到3，
当点P经过的路程为4时，点P到直线l的距离不变，故点P应沿平行于l的线运动，
当点P经过的路程为5时，点P到直线l的距离变为2，故点P往l方向运动，
故选：C．
分别分析当点P经过的路程为1时、3时、4时、5时的点P到直线l的距离变化情况即可解答此题．
本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键．
9.【答案】2
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学科网（北京）股份有限公司 13 1【解析】解：√ (−2) 2=√ 22=2．
故答案为：2．
直接利用算术平方根化简得出答案．
此题主要考查了算术平方根的化简，正确化简算术平方根是解题关键．
10.【答案】−1
【解析】解：(√ 2+√ 3)(√ 2−√ 3)
=(√ 2) 2−(√ 3) 2
=2−3
=−1，
∴(√ 2+√ 3)(√ 2−√ 3)的结果为−1．
故答案为：−1．
根据平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2，求出算式(√ 2+√ 3)(√ 2−√ 3)的结果为多少即可．
此题还考查了平方差公式的应用：(a+b)(a−b)=a2−b2，要熟练掌握．
11.【答案】y=5x+2
【解析】解：将函数y=5x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数表达式
为y=5x+2．
故答案为：y=5x+2．
根据“上加下减”的平移规律解答即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，
只有b发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．
12.【答案】2√ 3
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学科网（北京）股份有限公司 14 1【解析】
【分析】
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】
{ x−2=0
解：根据题意得： ，
y−√ 3=0
{ x=2
解得： ，
y=√ 3
则x y=2√ 3．
故答案是2√ 3．
13.【答案】y=−x(k<0即可)
【解析】解：∵A(x ,y )，B(x ,y )满足x y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴函数y=kx(k≠0)满足k<0，
∴y=−x(k<0即可)；
故答案为：y=−x(k<0即可)．
根据A(x ,y )，B(x ,y )满足x y 判断出函数图象的增减性即可．
1 1 2 2 1 2 1 2
本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0，y随x的增大而增大；
当k<0，y随x的增大而减小．
14.【答案】3−√ 5
【解析】解：∵AD=AB=3，
∴DE=√ AD2−AE2=√ 32−22=√ 5，
∴CD=3−√ 5，
故答案为：3−√ 5．
由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
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学科网（北京）股份有限公司 15 1本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键．
15.【答案】6分
【解析】解：B款智能手机的综合得分为：6×30%+8×30%+4×20%+5×20%=6(分)．
故答案为：6分．
根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查加权平均数，理解加权平均数的定义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
16.【答案】③
【解析】解：①将该员工这14天健步走的步数按从大到小的顺序排列为(单位：万步)：2.3，2.2，
2.1，2.1，2.0，2.0，1.9，1.8，1.8，1.8，1.7，1.7，1.6，1.3，
在这组数据中，1.8出现了3次，次数最多，
∴这组数据的众数是1.8万步；
将这组数据按照从大到小的顺序排列，其中处于中间位置的两个数分别是1.9，1.8，
1.9+1.8
∴这组数据的中位数是 =1.85(万步)．
2
故本结论错误，不符合题意；
②该员工两个星期健步走的步数从高到低2.0排名，6月7日所走步数在这14天中排名第五．故本
结论错误，不符合题意；
③根据折线统计图可知，该员工6月1日——7日健步走的步数偏离平均值的范围较大，所以方
差较大，而6月8日——14日健步走的步数相对比较集中，偏离平均值的范围较小，所以方差较
小，即S2>S2
，故本结论正确，符合题意；
1 2
故答案为：③．
①利用众数和中位数的定义即可求解；
②利用图中数据即可求解；
③根据折线统计图结合方差的意义即可判断．
本题考查的是折线统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统
计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了众数、
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学科网（北京）股份有限公司 16 1中位数、方差．
3√ 2 √ 3
17.【答案】解：原式=2√ 6× ×
2 3
=√ 6×√ 2×√ 3
=6．
【解析】根据二次根式的乘除法法则计算即可．
本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．
18.【答案】解：x2−2x+4
=x2−2x+1+3
=(x−1) 2+3，
当x=√ 2+1时，
原式=(√ 2+1−1) 2+3
=2+3
=5．
【解析】将x2−2x+4变形整理得(x−1) 2+3，然后代入数值计算即可．
本题考查代数式求值及二次根式的运算，将x2−2x+4变形整理得(x−1) 2+3可简化运算．
19.【答案】PD 菱形 四条边相等的四边形是菱形 菱形的对角线平分每一对对角
【解析】解：(1)补全的图形如图所示；
(2)证明：∵OC=OD=PC=PD，
∴四边形OCPD是菱形(四条边相等的四边形是菱形)，
∴OP平分∠AOB(菱形的对角线平分每一对对角)．
故答案为：PD，菱形，四条边相等的四边形是菱形，菱形的对角线平分每一对对角．
(1)根据题意补全图形图形即可；
(2)根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
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学科网（北京）股份有限公司 17 1本题考查了作图−基本作图，菱形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．
1
20.【答案】解：(1)当y=0时，− x+2=0，
2
解得：x=4，
∴点A的坐标为(4,0)；
1
当x=0时，y=− ×0+2=2，
2
∴点B的坐标为(0,2)；
(2)在图中描出点A，B，连接AB，直线AB即为所求．
(3)观察函数图象，可知：当y>0时，x的取值范围为
x<4．
【解析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A，B的坐标；
(2)描点、连线，画出函数图象；
(3)观察函数图象，找出当y>0时x的取值范围．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，解题的关键是：
(1)利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A，B的坐标；(2)描点、连线，画出直线AB；
(3)观察函数图象，找出结论．
21.【答案】②
【解析】解：(1)上述解答过程中，从第②步开始出现了错误，
故答案为：②；
(2)正确的解答过程如下：
√ 1
12
√ 1
=
√ 12
1
=
2√ 3
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学科网（北京）股份有限公司 18 11×√ 3
=
2√ 3×√ 3
√ 3
= ．
6
(1)利用分母有理化进行计算，逐一判断即可解答；
(2)利用分母有理化进行计算，即可解答．
本题考查了分母有理化，二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解
题的关键．
22.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD=BC，
∴∠E=∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠E=∠DAE，
∴DA=DE，
∴BC=DE．
【解析】由平行四边形的性质得出AB//CD，得出内错角相等∠E=∠BAE，再由角平分线
证出∠E=∠DAE，得出DA=DE，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，
证出∠E=∠DAE是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)将A(0,−1)，B(1,0)代入解y=kx+b得，
{b=−1 { k=1
，解得 ，
k+b=0 b=−1
∴一次函数解析式为y=x−1；
(2)解不等式mx+20时，x< (不合题意，舍去)；
1−m
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当m−1<0时，x> ，
1−m
{m−1<0
∴ 3 ，
≤1
1−m
解得：m≤−2．
【解析】(1)通过待定系数法将A(0,−1)，B(1,0)代入解析式求解．
(2)解不等式mx+274
56−20
【解析】解：(1)∵ =3，
22−10
∴n=3，
(2)由(1)知，在A套餐中，若每月使用的流量不少于10GB，超出流量每GB收费3元，
∴y =20+3(x−10)=3x−10；
A
(3)由图象可得，每月使用的流量x的取值范围是0≤x<22时，选择A套餐最省钱；
由56+3(x−30)=188得x=74，
∴每月使用的流量x的取值范围是2274时，选择C套餐最省钱；
故答案为：0≤x<22，2274．
(1)列式计算可得n的值；
(2)由超出流量每GB收费3元，可列出函数表达式；
(3)观察图象可得答案．
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学科网（北京）股份有限公司 21 1本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
26.【答案】解：(1)第三组的频数为80−5−9−18−23−11=14，
补全频数分布直方图如下：
；
77+78
(2)七年级的中位数为m= =77.5；
2
(3)小颖的说法不正确，
理由：76分虽然高于本年级测试成绩的平均数，但低于中位数，所以她的成绩低于本年级一半
学生的成绩；
(4)400×75=30000(分)，
答：估计八年级学生环保知识测试的总成绩为30000分．
【解析】(1)用总数减去其它组的频数求出第三组的频数即可补全频数分布直方图；
(2)根据中位数的定义求解即可；
(3)根据中位数的意义求解；
(4)用400乘以八年级学生环保知识测试的平均数即可．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数的意义及求法，理解各个统
计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
27.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=∠DAB=90°，
∴∠D=∠ABF=90°，∠DAE+∠BAE=90°，
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学科网（北京）股份有限公司 22 1∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴△ADE △ABF(ASA)，
∴AF=A≌E，
∴△AEF是等腰直角三角形
∴∠AEF=45°；
(2)CF=√ 2DG.理由如下：
如图2，取CE的中点M，连接GM，GC，
∵△AEF是等腰直角三角形，AG⊥EF，
∴G是EF的中点，
1
∴AG= EF，
2
1
同理，在Rt△EFC中，CG= EF，
2
∴AG=CG，
∵AD=CD，DG=DG，
∴△ADG △CDG(SSS)，
∴∠ADG≌=∠CDG，
∵∠ADG+∠CDG=90°，
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学科网（北京）股份有限公司 23 1∴∠ADG=∠ADC=45°；
∴GM为△GEC的中位线，
1
∴GM//CF，GM= CF，
2
∴∠DMG=∠DCB=90°，
在Rt△DGM中，∠GDM=∠ADG=45°，
∴△DMG为等腰三角形，
∴DM=GM，
∴DM2+GM2=DG2=2GM2，
∴DG=√ 2GM，
1
∵GM= CF，
2
√ 2
∴DG= CF，
2
∴2DG=√ 2CF，即CF=√ 2DG．
【解析】(1)先证明△ADE △ABF，再利用等腰直角三角形的性质得出结论；
(2)连接CG，先证明△AD≌G △CDG，得出∠ADG=∠CDG=45°，取CE的中点，连接
GM，先证明DM=GM，从≌而得出结论．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边
中线的性质等知识，综合性强，难度适中．
28.【答案】M，T (0,−5)
【解析】解：(1)①∵点A的坐标为(−2,3)，
∴∣−2∣+3=5，
在点M(1,4)，N(7,−2)，T(−5,0)中，
1+4=5，7+∣−2∣=9，∣−5∣+0=5，
∴M、T为点A的垂距等点，
故答案为：M，T；
②∵点B在y轴负半轴上，
∴点B的横坐标为0，
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学科网（北京）股份有限公司 24 1设B(0,y)(y<0)，
∴−y+0=5，
∴y=−5，
∴B(0,−5)；
故答案为：(0,−5)；
(2)①由题意，直线y=x−4与x轴交于C(4,0)，与y轴交于D(0,−4)，
点E在线段CD上，设E点的坐标为(x,x−4)，
0≤x≤4，x−4≤0，
∴点E到坐标轴的距离之和为：
x+4−x=4，
∵E、F两点为垂距等点，
∴点F满足横、纵坐标的绝对值之和等于4，
∴点F在如图所示的正方形CDRS上，
∵R点的坐标为(−4,0)，F点在直线x=n上，
∴−4≤n≤4；
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学科网（北京）股份有限公司 25 1即：n的取值范围−4≤n≤4；
②∵(t,0)是对角线AK、BL的交点，
∴不妨设A(t−1,1)，L(t+1,1)，
由①可知，点E到两坐标轴的距离之和的最小值为4，
∴当t≥1时，由t+1+1≥4，得：
t≥2；
当t<1时，由1−t+1≥4，得：
t≤−2；
∴t的取值范围是t≤−2或t≥2．
(1)①垂距等点的定义一一验证即可；②设B(0,y)(y<0)，所以−y+0=5，解得y=−5，从
而求出B点的坐标；
(2)①设E点的坐标为(x,x−4)，E点在第三象限，结合垂距等点的定义可求出答案；②因为点
E到两坐标轴的距离之和最小值为4，所以可考虑正方形ABK L上的两个顶点A(t−1,1)，
L(t+1,1)，只要A、L两点满足垂距等点的要求，则存在点G使得E，G两点为垂距等点．
本题考查一次函数综合题、正方形的性质、垂距等点的定义的有关知识，解题的关键是理解题意，
把问题转化为熟悉的内容上来，解决数学问题．
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