文档内容
北京二中教育集团 2023-2024 学年度第一学期初二数学期末考试试卷
考查目标
1．知识：人教版八年级上册《三角形》、《全等三角形》、《轴对称》、《整式的乘法与因
式分解》、《分式》的全部内容．
2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分
类讨论能力．
考生须知
1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷8页，答题卡6
页。全卷共三大题，28道小题．
2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．
3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．
4．考试结束，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题 共16分）
一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项）
1. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产
生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小
篆体字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x≠2 B. x≠﹣2 C. x＝2 D. x＝﹣2
3. 华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发
射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与
应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅 米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
5. 如果把分式 中的 、 同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（ ）
A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的
6. 如图， 的外角的平分线 与 相交于点 ，若点 到 的距离为 ，则点 到 的距离
为（ ）
A. B. C. D.
7. 若关于x 的方程 的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
8. 如图，正方形 的边长为 ，其中 ， ，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则
重叠部分 的面积为（ ）
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（共16分，每题2分）
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学科网（北京）股份有限公司9. 若分式 的值为0，则x的值是______．
10. 一个多边形的每个外角都等于 ，则这个多边形的边数是__________．
11. 分解因式： _______．
12. 已知 则 的值为________．
13. 如图，在 中， ， ， 和 的平分线交于O点，过点O作 的平
行线交 于M点，交 于N点，则 的周长为________________．
14. 若 ，则 等于______．
15. 已知 可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为__________．
16. 如图， 中， ， ， ，D是线段AB上一个动点，以BD为边
在 外作等边 ．若F是DE的中点，当CF取最小值时， 的周长为____________．
三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7
分）
.
17 计算： ．
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学科网（北京）股份有限公司18. 计算： ．
19. 解方程：
20. 先化简，再求值：已知 ，求代数式 的值．
21. 小刚同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果有一个锐角是 ，那么这个锐角所对的
直角边等于斜边的一半，下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹）：已知一条线段 ，作出等边 （点 在线段 上方），再作
的角平分线交 于 ；
（2）补全证明过程（写出结论依据）：
由作图可知：
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ 垂直平分 （________）， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
即 在中， ， ，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司22. 已知：如图，点 ， ， ， 在一条直线上， ， ， ．求证：
．
23. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 ， ， 均在正方形网格的格点上．
（1）画出 关于 轴对称的图形 ，并写出顶点 的坐标；
（2）在 边上画出点 ，使 的面积恰好是 的面积的一半；
（3）已知 为 轴上一点，若 与 的面积相等，写出点 的坐标．
24. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，
BE=AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠BAC=75°，求∠B的度数．
25. 列分式方程解应用题
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中
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学科网（北京）股份有限公司学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买 ， 两种型号“文房四宝”共40套，
共花费4300元，其中 型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套 型号的“文房四宝”的价格比 型
号的“文房四宝”的价格高 ，求每套 型号的“文房四宝”的价格．
的
（1）某学习小组用表格 形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整：
单价
型号 总价（元） 购买套数
（元/套）
型
型 3000
（2）请你完整解答本题．
26. 已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像 ，
这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种：
例如化简 ，方法一：需把原式写成 后化简，化简的结果为 ；方法二：繁
分式的分子分母同乘 进行化简，化简的结果为 ．
请根据以上方法，回答下面的问题：
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学科网（北京）股份有限公司（1）繁分式 化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式 有意义， 的取值范围是
_______；
（2）若实数 ， 满足 ， ．
① _______（用含 的式子表示）；
②求证：不论 取何值，分式 化简后都为一个定值，并求出该定值．
27. 已知等边 ，点 为 边上一点，连接 ，在 的右侧作射线 ，使
，延长 交射线 于点 ，连接 ，作 于点 ．
（1）如图1，当点 为 中点时， _______ ， 的值为_______；
（2）如图2，当点 在 上运动时．
①直接写出 的度数；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
28. 对于平面直角坐标系 中的点 和图形 ，给出如下定义：
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学科网（北京）股份有限公司若图形 上存在点 ，满足 ，则称图形 是点 的“ 关联图形”．
（1）已知原点 是点 的“ 关联图形”，则点 的坐标是_______；
（2）如图1，已知点 ， ，当线段 是点 的“ 关联图形”时，在图1中画出所有
满足条件的点 所形成的图形，并指出线段 可以通过怎样的几何变换得到该图形；
（3）如图2，已知 是点 的“ 关联图形"，其中点 ， ， ．
①当点 在第一、三象限角平分线上时， 的取值范围是_______；
②当 时，请在图3中画出所有满足条件的点 所形成的区域，并直接写出该区域的面积．
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