文档内容
2025年河南省洛阳市中考数学三模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）实数 、 、 、 在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是
A． B． C． D．
2．（3分）小 病毒科 ，又称“细小病毒科”，是最小且最简单的 病毒．小
病毒粒是直径约为0.000000021米的二十面体，无囊膜，等轴对称．数据“0.000000021”用科学记数法可
表示为
A． B． C． D．
3．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是
A．对洛阳市区空气质量的调查
B．对某批次汽车的抗撞击能力的调查
C．对“神舟十八号”飞船零部件质量的调查
D．对全市市民观看电影《哪吒之魔童闹海》情况的调查
4．（3分）“学而不思则罔”这六个字写在正方体展开图的六个面内，则“学”对面的字是
A．不 B．思 C．则 D．罔
5．（3分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
6．（3分）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 的方向竖直向下，摩擦力 的方向与
第1页（共20页）斜面平行，支持力 的方向与斜面垂直．若斜面的坡角 ，则支持力 与重力 方向的夹角
的度数为
A． B． C． D．
7．（3分）《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，
不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每
人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有 个人，物品价格为 钱，则下列方程组中
正确的是
A． B．
C． D．
8．（3分）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成 角的叶
片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为 轴建立平面直角坐标系，点 的坐标为 ，在一
段时间内，叶片每秒绕原点 逆时针转动 ，则第2025秒时；点 的对应点的坐标为
第2页（共20页）A． B． C． D．
9．（3分）如图，在 中， ， ， ，点 在 上，点 在 上， ，
，则 的长是
A．2 B．3 C．4 D．
10．（3分）如图是一款简易电子体重计：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 ， 与踏
板上人的质量 之间的函数为 ，其图象如图1所示．图2的电路中，电源电压
恒为12伏，定值电阻 的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为 安，该读数可以
换算为人的质量 ，电流表量程为 安．下列说法错误的是
参考信息：①导体两端的电压 ，导体的电阻 ，通过导体的电流 ，满足关系式
；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
③测量过程电流不能超过电流表量程的最大值．
A．用 表示 为：
B．电流表显示的读数越大，说明踏板上人的质量越大
第3页（共20页）C．当电流表显示0.1安时，踏板上人的质量为80千克
D．电子体重计可称的最大质量为120千克
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作
而成，若用2025个山楂穿了 串冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦的山楂个数是 ．
12．（3分）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值是 ．
13．（3分）2025年3月31日是第30个全国中小学生安全教育日．某学校举行安全教育活动，每位学生
从“交通安全”、“消防安全”和“校园安全”三个主题内容中，随机选取一个参加活动．其中小洛与
小阳选中的主题相同的概率是 ．
14．（3分）如图，在菱形 中， ， ，点 是对角线 的中点，以点 为圆心，
长为半径作圆心角为 的扇形 ，点 在扇形 内，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别为 ， 上一个动点，且
，沿直线 折叠，点 ， 分别落在点 ， 处，点 为 上一点，且 ，则 的
最大值为 ， 的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算： ；
第4页（共20页）（2）化简： ．
17．（9分）为了解甲、乙两校学生的中华文化知识水平，从两校各随机抽取了 30名学生进行中华文化
知识竞赛，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
甲校30名学生的成绩：56，69，69，76，76，77，77，78，79，83，83，83，84，86，87，87，87，
88，89，89，89，89，89，89，92，92，92，93，94，98；
乙校30名学生的成绩：57，61，63，71，72，73，76，79，80，83，84，84，84，85，85，87，87，
88，89，89，90，90，91，92，92，92，92，92，94，94．
各分数段条形统计图：
（1）请根据乙校的数据补全条形统计图；
（2）两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示，请补全表格：
平均数 中位数 众数
甲校 84 89
乙校 83.2 86
， ；
（3）请判断哪所学校学生的中华文化知识水平更好一些，并说明理由．
18．（9分）如图1，小丽在公园散步到 处时，她发现南偏东 方向的湖心岛上的 处有一棵开满粉
色花的树，为更好的观察和拍照，小丽沿正东方向前进了5米到达 处，此时树恰好位于小丽东南方向
上．
（1）小丽还需要走多远离这棵树的距离最近？
（2）如图2，当小丽走至离树最近的点 时，看向树顶端 的仰角 ，若小丽和树在同一水
平面，且树 与地面垂直，小丽眼睛离地面的距离 米，求这棵树 的高度．（结果保留一位
小数，参考数据：
第5页（共20页）19．（9分）如图，一次函数 的图象过点 ，与 轴交于点 ，将线段 向右平移，使
点 落在点 ，点 的对应点 恰好落在反比例函数 的图象上．
（1）求 和 的值；
（2）点 在射线 上，请用无刻度的直尺和圆规作 的角平分线 交 轴于点 （保留作图痕
迹，不写作法）；
（3）在（2）的条件下，求证： ．
20．（9分）洛阳体育技能类选考项目有篮球、足球、排球、乒乓球，考生可选一项进行考试．某学校原
有足球100个、排球50个、篮球100个、乒乓球100个，为了使学生得到更好的训练，学校计划再采购
个足球 为偶数）， 个排球 ．现有 、 两家体育用品公司参与竞标，两家公司的标价都
是足球每个50元，排球每个40元．他们的优惠政策是： 公司足球和排球一律按标价8折优惠； 公司
规定每购买2个足球，赠送1个排球（单买排球按标价计算）．
（1）请用含 ， 的代数式分别表示出在 、 公司购买体育用品的费用；
（2）在训练时，每个同学都只进行一种球类训练，每人需要的球类个数如表：
足球 排球 篮球 乒乓球
1人用1个 1人用1个 2人共用1个 2人共用4个
若学校要满足700名学生同时训练，且采购的排球数量不能超过足球的数量，学校应在哪家公司采购能
第6页（共20页）使费用最少，最少费用是多少？
21．（9分）如图， 是 的直径，点 在 上， 的平分线与 相交于点 ，与过点 的
切线相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 的半径为3， ，求 的长．
22．（10分）“动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是：在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的
兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．
（1）野兔一次跳跃的最远水平距离为2.8米，最大竖直高度为0.98米，以其起跳点为原点，建立平面直
角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围）
（2）若距野兔起跳点2米处有一个高度为0.9米的树桩，通过计算说明野兔是否能成功越过木桩；若不
能，野兔至少需要再向前走多远开始起跳才可成功越过木桩？
23．（10分）【经典再现】人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形 是正方形，
点 是边 的中点， ，且 交正方形外角的平分线 于点 ．求证： ．
【思考尝试】
（1）同学们发现，取 的中点 ，连接 可以解决这个问题．请在图1中补全图形，并解答老师提
出的问题．
【类比探究】
（2）如图2，四边形 是矩形，且 ，点 是边 的中点， ，且 交矩形外角
第7页（共20页）的平分线 于点 ，求 的值（用含 的式子表示）；
【综合应用】
（3）如图3， 为边 上一点，连接 ， ，在（2）的基础上，当 ， ，
时，请直接写出 的长．
第8页（共20页）2025年河南省洛阳市中考数学三模试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C D B A B A C D
11. 12.-1 13. 14. 15. ，
选择题、填空题解法提示
9．解：连接 ，
在 中， ， ， ， ，
，
，
在 中，
， ， ，
， ，
又 ， ，
△ 为等边三角形，
， ， ，
， ，
， ，
又 ，
△ △ ，
，
，
即 ，
故选： ．
10．解：根据题意和反比例函数的性质逐项分析判断如下：
第9页（共20页）根据题意，电路中的总电阻 ，且 ， ，
故 ，
根据 ，得 ，
故 正确，不符合题意；
根据 ，电流越大， 越小，根据图象知 随 的增大而减小，
故 正确，不符合题意；
当 时， ，根据 得 ，
由 ，得 ，
故 正确，不符合题意；
根据题意，当 时， ，此时 最小， 最大，
，由 ，得：
．
故 错误，符合题意；
故选： ．
14．解：如图，连接 ， ， 交 ， 于点 ， ，过点 作 交 于点 ，
由条件可知 ， ， ，
，
由条件可知 ， ，
第10页（共20页），
，
，
，
△ 为等边三角形，
，
由条件可知 ，
△ △ ，
，
过点 作 交于点 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
15．解：在矩形 中， ， ，如图，连接 与 交于点 ，
， ，
第11页（共20页）， ，
在△ 和△ 中， ， △ △ ，
， ，
过点 作 于点 ， ，
， ，
， ，
， ，
连接 ， ， ，
在直角三角形 中，由勾股定理得： ，
在直角三角形 中，由勾股定理得： ，
沿直线 折叠，点 ， 分别落在点 ， 处，
，
点 在以 为圆心，以5为半径的圆上运动，
当点 ， ， 三点共线，且点 ， 在 的两侧时， 取得最大值， 的最大值为
，
当点 ， ， 三点共线，且点 ， 在 的同侧时， 取得最小值， 的最小值为
，
故答案为： ， ．
解答题参考答案
16．解：（1）原式
；
（2）原式
第12页（共20页）．
17．解：（1）乙校学生中在 的学生有5人，在 的学生有2人，
补全条形统计图如下所示：
（2）由甲校数据可知，甲校学生的第15名学生的成绩是87，第16名学生的成绩是87，
甲校学生成绩的中位数是 ，
；
乙校学生成绩出现次数最多的是92，
乙校数据的众数是 ；
故答案为：87，92；
（3） 两校学生成绩的平均数和中位数相差不多，乙校学生的众数比甲校学生的众数高，
乙校学生的中华文化知识水平更好一些．
18．解：（1）在 处时，发现南偏东 方向的湖心岛上的 处，小丽沿正东方向前进了5米到达 处，
如图，过 作 于 ，
， ，
第13页（共20页）在 △ 中， ，
，
，
在 △ 中， ，
，
，
解得 ，
经检验， 符合题意，
小丽还需要走15米时离这棵树的距离最近；
（2）根据题意，得四边形 是矩形，
米， 米，
在 △ 中， （米 ，
米，即这棵树 的高度为10.3米．
19．解：（1）由条件可得 ，
解得 ；
由 与 轴交于点 ，
故点 ，
由线段 向右平移，使点 落在点 ，点 的对应点 ；
故平移变换是一个向右平移1个单位的变换，
故点 ，
又点 恰好落在反比例函数的图象上，
．
（2）根据基本作图步骤，作图如下：
第14页（共20页）则点 即为所求．
（3）证明：根据平移的性质，得 ， ，
故 ，
根据基本作图，得 ，
故 ，
故 ，
故 ．
20．解：（1）购买 公司体育用品的费用为： ；
购买 公司体育用品的费用为： ；
答：购买 公司体育用品的费用为 元，购买 公司体育用品的费用为 元；
（2）根据题意，需要购买足球和排球数量为： ，
，
由条件可知 ，
解得 ，
，
，
解得 ，
，
购买 公司体育用品的费用为： ，
第15页（共20页），
购买 公司体育用品的费用为： ，
，
学校应在 公司采购能使费用最少，最少费用是10000元．
21．（1）证明： 是 的直径，
，
，
与 相切于点 ， ，
，
，
的平分线与 相交于点 ，与 交于点 ，
，
，
，
；
（2）解： ， ， ，如图，设 交 于点 ，连接 ，则 ，
，
在直角三角形 中，由勾股定理得： ， ，
， ，
，
第16页（共20页），
，
的长为 ．
22．解：（1）该抛物线的顶点坐标为 ，即为 ，
设该抛物线的解析式为 ，
由条件可得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为 ．
（2）当 时， ，
，
野兔不能成功越过木桩，
设起跳点向前移动 米，新抛物线为： ，
要求当 时 ，即 ，
化简得： ，解得： ，
由题意得：野兔至少需要再向前走 开始起跳才可成功越过木桩；
23．解：（1）取 中点 ，连接 ．
第17页（共20页）四边形 是正方形，
， ，
是 中点， 是 中点，
，
则 ， ．
是正方形外角平分线，
， ，
．
又 ， ， ， ，
．
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
；
（2）如图2，
在 上截取 ，连接 ，
时 的中点，
，
不妨设 ，则 ，
，
，
，
由（1）得： ， ，
第18页（共20页）△ △ ，
；
（3）方法一如图3，
， 可设 ， ，
则 ，
延长 ， ，交于点 ，作 ，交 延长线于 ，交 的延长线与 ，作 于 ，
， ， △ 是等腰直角三角形， ，
由（1）知： ，
， △ △ ， ， ，
， ，
， △ △ ， ， ，
，
由（2）知： ，
，
， ， ，
由 得， ， ， （舍去），
．
方法二：延长 ， 交于点 ，过点 作 于点 ， 于点 ，
证明△ △ ，则 ， ，
第19页（共20页）设 ， ，可得出 ，
证明 为 的中点， 是 的中点，则 ，
解直角三角形 可得出答案．
第20页（共20页）
