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参照秘密级管理★启用前
2026 年烟台市初中学业水平考试
数学试题
注意事项：
1．本试卷共8 页，共120 分；考试时间120 分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交
回．
2．答题前，务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题
卡规定的位置上．
3．选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题必须用0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效．
6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验．
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题3 分，满分30 分．每小题都给出标号为A，B，C，
D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的）
1.
1
2
−
的相反数是（ ）
A.
1
2
−
B. 1
2
C.
2
−
D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数，
∴
1
2
−
的相反数是1
2 ．
2. 一笔画图形是指用一根连续不间断的线条，在不重复路径的情况下完成整个图形绘制的特殊贯通图．下
列一笔画图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
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【分析】把一个图形绕某一点旋转180 度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫
做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图
形，据此进行判断即可，熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
3. 2026 年1 月，百度发布并上线原生全模态大模型文心5.0 正式版，该模型参数达24 千亿，实现原生的全
模态统一理解与生成，多项权威评测稳居全球第一梯队．24 千亿用科学记数法表示为（ ）
A.
11
24 10
B.
11
2.4 10
C.
12
2.4 10
D.
12
0.24 10
【答案】C
【解析】
【详解】解：1亿
8
10
=
，
则1千亿
8
3
8
11
1000 10
10
10
10
=
=
=
，
则24 千亿
11
12
24 10
2.4 10
=
=
．
4. 如图是一个双耳罐器具，它的左视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
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【分析】根据三视图的定义，主视图是从正面看得到的图形，左视图是从左面看得到的图形，俯视图是从
上面看得到的图形. 结合实物图及“从正面看”的提示，判断各选项，进而推断左视图．
【详解】解：左视图是从物体左侧向右观察得到的视图，题干给出的是双耳罐的立体图，两个耳分别在罐
身的左右两侧．
选项A、从左侧观察双耳罐时，两个耳沿左右方向分布，会重合在视图的中间位置；由于双耳有厚度，因
此会在视图顶部中间呈现出两条平行的竖线，罐身轮廓保持罐子的外形，符合左视图特征．
选项B、左右带耳，是主视图．
选项C、呈现同心圆与耳的横向轮廓线，是俯视图．
选项D、没有画出双耳线条，未体现耳的存在；错误．
5. 下列运算结果为
5
m 的算式是（ ）
A.
3
2
m
m
B.
5
m
m
C. (
)
3
2
m
D.
3
2
m
m
+
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查幂的基础运算法则，根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方对应
运算法则计算各选项结果，即可得到答案．
【详解】选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴
3
2
3 2
5
m
m
m
m
+
=
=
，符合要求；
选项B：同底数幂相除，底数不变，指数相减，
∴
5
5 1
4
m
m
m
m
−
=
=
，不符合要求；
选项C：幂的乘方，底数不变，指数相乘，
∴ (
)
3
2
2 3
6
m
m
m
=
=
，不符合要求；
选项D：
3
m 和
2
m 不是同类项，不能合并，结果不为
5
m ，不符合要求．
6. 如图，某行李箱的齿轮密码是三位数，每一位数都是0 ~ 9中的一个数字，开箱时发现忘记密码的最后一
位，则一次成功打开该行李箱的概率是（ ）
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A. 1
2
B. 1
3
C. 1
9
D. 1
10
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，在10 个数中选择一个，结合概率的计算即可求解．
【详解】解：每一位数都是0 ~ 9中的一个数字，
∵0 ~ 9共有10 个数，在其中选择一个数，
∴打开该行李箱的概率是1
10
．
7. 如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为AB ，CD ．若
AB
CE
∥
，
36
CAB
=
，则
CDB
的度数为（ ）
A. 14
B. 16
C. 18
D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】如图，延长AC 到点F，由平行线的性质求出
36
FCE
CAB
=
=
，然后结合折叠的性质求
解．
【详解】解：如图，延长AC 到点F，
∵AB
CE
∥
，
36
CAB
=
，
∴
36
FCE
CAB
=
=
，
由折叠得，
1
18
2
FCD
ECD
FCE
=
=
=
∵AB
CE
∥
，
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∴
18
CDB
FCD
=
=
．
8. 若整数m 使关于x 的一元一次不等式组
3
0
4
3
x
x
m
−
+
，有且只有3 个整数解，且关于y 的分式方程
3
4
2
1
1
m
y
m
y
y
−
−
+
−
=
的解为非负数，则符合条件的所有整数m 的和为（ ）
A. 0
B.
1
−
C.
2
−
D.
3
−
【答案】B
【解析】
【分析】先解一元一次不等式组，根据整数解的个数确定m 的范围，再解分式方程，根据解为非负数且分
母不为0 进一步确定m 的取值，最后，找出所有符合条件的整数m ，求和即可得到答案．
【详解】解：解不等式组
3
0
4
3
x
x
m
+
−
，
解不等式
3
0
x+
，得
3
x −，
解不等式4
3
x
m
−
得
3
4
m
x
+
，
∴原不等式组的解集为
3
3
4
m
x
+
−
，
∵不等式组有且只有3 个整数解，
∴不等式组的3 个整数为2, 1,0
−
−
，
∴
3
0
1
4
m+
．
解得
3
1
m
−
．
解分式方程
3
4
2
1
1
m
y
m
y
y
+
−
=
−
−
，
方程两边同乘(
)1
y −
，得：(
)
2
1
3
4
y
m
y
m
−
+
=
+
，
整理，得
2
y
m
=
+
．
∵分式方程的解为非负数，且分母不为0，
∴
0
1
y
y
，即
2
0
2
1
m
m
+
+
，解得
2
m − 且
1
m −．
综上，m 的取值范围为
2
1
m
−
，且
1
m −，
∵m 为整数，
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∴符合条件的整数m 为2,0,1
−
．
∴符合条件的所有整数m 的和为
2 0 1
1
−+ + = −．
9. 如图，直线
1
2
2
y
x
=
+
与x 轴，y 轴交于A，B 两点，与反比例函数
k
y
x
=
的图象交于C ，D 两点，
CE
x
⊥
轴，垂足为E ，连接DE ．若
2
OA
OE
=
，则
CDE
△
的面积是（ ）
A. 8
B. 12
C. 16
D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】先利用一次函数求出点A的坐标，由
2
OA
OE
=
推出点E 的坐标，再次利用一次函数求出点C 的
坐标，进而求得反比例函数的解析式，联立一次函数与反比例函数求出点D 的坐标，最后利用割补法求出
CDE
△
的面积．
【详解】解：将
0
y =
代入
1
2
2
y
x
=
+
，得
4
x = −，
∴点A的坐标为(
)
4,0
−
，
∴
4
OA =
，
∵
2
OA
OE
=
，
∴
2
OE =
，
6
AE =
，
∴点E 的坐标为(
)
2,0 ，
∵CE
x
⊥
轴，
∴
2
C
E
x
x
=
=
，
将
2
x =
代入
1
2
2
y
x
=
+
，得
3
y =
，
∴点C 的坐标为(
)
2,3 ，
将点
(
)
2,3
C
代入
k
y
x
=
，得
6
k =
，
∴反比例函数的解析式为
6
y
x
=
，
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联立一次函数与反比例函数得，
1
2
2
6
y
x
y
x
=
+
=
，
解得
2
3
x
y
=
=
或
6
1
x
y
−
−
=
=
，
∴点D 的坐标为(
)
6, 1
−
−
，
1
1
1
1
6 1
6 3
3 9
12
2
2
2
2
CDE
ADE
ACE
D
C
S
S
S
AE y
AE y
=
+
=
+
=
+
= +
=
．
10. 如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+
的部分图象与x 轴交于点
(
)
1,0
A
，与y 轴的交点C 位于点(
)
0, 2
−
和
点(
)
0, 3
−
之间，顶点为点P ，对称轴为直线
2
x =
．下列说法：①
0
abc
；②4
0
a
b
+
=
；③
2
1
3
a
−
−
；④设抛物线与x 轴的另一交点为B ，当
90
CPB
=
时，
2
2
a = −
．其中正确的是
（ ）
A. ②③④
B. ②③
C. ②④
D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与y 轴的交点分别判断a 、b 、c 的正负，进而判断abc 的
正负；②用对称轴公式
2
0
2
b
x
a
−
=
=
变形推导等式；③把
4
b
a
−
=
、
(
)
1,0
A
代入解析式得
3
c
a
=
，
结合c 的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得B 点坐标，据
3
c
a
=
得C 点坐标，将
2
x =
，
3
c
a
=
，
4
b
a
−
=
代入
2
y
ax
bx
c
=
+
+
得出点P 的坐标，根据勾股定理列方程求出a ．
【详解】解：二次函数图象开口向下，
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0
a
，
对称轴为
2
0
2
b
x
a
−
=
=
，
0
b
，
二次函数的图象与y 轴的交点C 位于(
)
0, 2
−
和(
)
0, 3
−
之间，
0
c
，
0
abc
，①错；
对称轴为
2
2
b
x
a
−
=
=
，
4
b
a
−
=
，
4
0
a
b
+
=
，②正确；
二次函数的图象与x 轴交于点
(
)
1,0
A
，
0
a
b
c
+ + =
，
4
b
a
−
=
，
4
0
a
a
c
−
+ =
，
3
c
a
=
，
二次函数图象与y 轴的交点C 位于(
)
0, 2
−
和(
)
0, 3
−
之间，
可得3
3
2
c
a
−
−
=
，
2
1
3
a
−
−
，③正确；
二次函数的图象与x 轴交于点
(
)
1,0
A
，对称轴为
2
x =
，
点B 的坐标为(
)
3,0 ，
3
c
a
=
，
点C 的坐标为(
)
0,3a ，
当
2
x =
，可得
4
2
y
a
b
c
=
+
+
，
将
3
c
a
=
，
4
b
a
−
=
代入，可得y
a
−
=
，
点P 的坐标为(
)
2, a
−
，
2
2
4 16
PC
a
=
+
，
2
2
1
PB
a
= +
，
2
2
9
9
BC
a
=
+
，
90
CPB
=
，
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2
2
2
PC
PB
BC
+
=
，
可得
2
2
2
4 16
1
9
9
a
a
a
+
+ +
=
+
，
解得
2
2
a =
或
2
2
a = −
，
0
a
，
2
2
a = −
，④正确．
综上，正确的说法为②③④．
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，满分18 分）
11. 若
2
1
x
x−
在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是__________．
【答案】
1
2
x
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可得被开方数大于0，据此列不等式求解即可.
【详解】解：∵
2
1
x
x −
在实数范围内有意义，
∴2
1
0
x−
，
移项得2
1
x ，
系数化为1得
1
2
x
12. 计算(
)
3
0
1
π
1
16
2
−
−
+ −
+
的结果为__________．
【答案】
3
−
【解析】
【详解】解：原式=1−8+4=−3．
13. 路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？
设有x 辆车，y 个人，根据题意，可列关于x ，y 的方程组为__________．
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【答案】
(
)
5
3
4
9
y
x
y
x
−
=
=
+
【解析】
【分析】根据五人同车三车空，四人同车九步行，列方程组即可解决．
【详解】解：设有x 辆车，y 个人，由题意得，
(
)
5
3
4
9
y
x
y
x
−
=
=
+
．
14. 如图，正五边形ABCDE 的边长为10，连接AC ，以AB 为直径作
O
，与AC 交于点F ，与CB 的
延长线交于点G ，则阴影部分扇形GOF 的面积为__________．
【答案】15 π
2
【解析】
【分析】根据正五边形的定义得出AB
CB
=
，
108
ABC
=
，根据等边对等角和三角形内角和定理求出
36
ACB
=
，根据直径所对的圆周角是直角得出
90
AGB
=
，最后根据直角三角形的性质求解即可
90
54
FAG
ACG
=
=
－
，进而得
2
108
GOF
GAF
=
=
，然后，再求扇形的面积即可．
【详解】解：如图，连接AG ，
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∵在正五边形ABCDE 中，
∴
10
AB
CB
=
=
，
(
)
5
2
180
108
5
ABC
−
=
=
，
∴
(
)
1 180
36
2
BAC
ACB
ABC
=
=
−
=
，
∵AB 为
O
的直径，
∴
90
AGB
=
，
1
5
2
OG
OB
AB
=
=
=
，
∴
90
54
FAG
ACB
=
−
=
，
∴
2
108
GOF
GAF
=
=
．
∴
2
108π 5
15 π
360
2
GOF
S
=
=
扇形
．
15. 如图，以原点O为顶点作边长为2 的菱形
1
2
3
OA A A ，点
3
A 在x 轴上，且
1
3
60
AOA
=
，将点
3
A 向右
平移2 个单位得到点
4
A ，以
4
A 为顶点作与菱形
1
2
3
OA A A 全等的菱形
4
5
6
7
A A A A ，点
7
A 在x 轴上；再将点
7
A 向右平移2 个单位得到点
8
A ，以
8
A 为顶点作与菱形
1
2
3
OA A A 全等的菱形
8
9
10
11
A A A A ，点
11
A 在x 轴
上；…；按照以上规律作图，则点
126
A
的坐标为__________．
【答案】(
)
125,
3
−
【解析】
【分析】如图，过点
1A 作
1A H
x
⊥
于点H，从
1A 开始，每8 个点记为1 组，根据126
8 15 6
=
+
得到
126
A
的位置和第1 组中
6
A 的位置相同，然后求出
(
)
6 5,
3
A
−
，
(
)
14 13,
3
A
−
，
(
)
22 21,
3
A
−
，发现规
律求解即可．
【详解】解：如图，过点
1A 作
1A H
x
⊥
于点H，
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∵所以菱形都两两全等
∴从
1A 开始，每8 个点记为1 组，
∵126
8 15 6
=
+
∴
126
A
的位置和第1 组中
6
A 的位置相同，
∵
1
3
60
AOA
=
∴
1
30
OA H
=
∵菱形
1
2
3
OA A A 的边长为2
∴
1
1
2
3
2
OA
A A
OA
=
=
=
∴
1
1
1
2
OH
OA
=
=
∴
2
2
1
1
3
A H
OA
OH
−
=
=
∴
(
)
1 1, 3
A
∴
(
)
2 3, 3
A
，
(
)
3 2,0
A
，
由平移得，
3
4
2
A A =
∴
4
3
3
4
4
OA
OA
A A
=
+
=
∴
(
)
4 4,0
A
，
(
)
7 6,0
A
∵菱形
1
2
3
OA A A 与菱形
4
5
6
7
A A A A 全等
∴同理可得，
(
)
6 5,
3
A
−
，
(
)
14 13,
3
A
−
，
(
)
22 21,
3
A
−
∴
(
)
6 8
5 8 ,
3
n
A
n −
+
+
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∴
(
)
6 8 15 5 8 15,
3
A
−
+
+
∴
(
)
126 125,
3
A
−
．
16. 如图1，点P 从矩形ABCD的顶点A出发，沿A
B
C
D
→
→
→
的方向运动至点D 停止，连接AP ，
Q 为AP 的中点，连接BQ ．设点P 的运动路程为x ，线段BQ 的长为y ，图2 表示点P 从A运动到C 的
过程中y 与x 的函数关系．当点P 运动到CD中点时，BQ 的长度为__________．
【答案】145
2
【解析】
【分析】根据函数图象可知，当点P 运动到点B 时，BQ 取得最小值，当点P 运动到点C 时，BQ 长度为
5，利用直角三角形斜边中线性质求出AB 和AC 的长，进而求出BC 的长，确定矩形边长，当点P 在CD
中点时，延长BQ ，CD，相交于点E，证明
(
)
ABQ
PEQ AAS
≌
，得到BQ
EQ
=
，
6
PE
AB
=
=
，
根据勾股定理求出BE ，即可解答．
【详解】解：由图2 可知，当x
a
=
时，y 取得最小值3，此时点P 运动到点B，
∵点P 与点B 重合，且点Q 是AP 的中点，
∴
1
3
2
BQ
AB
=
=
，
∴
6
AB =
；
∵当x
b
=
时，
5
y =
，此时点P 运动到点C，
∵四边形ABCD是矩形，
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∴
90
ABC
=
，
∵点Q 是AC 的中点，
∴
1
5
2
BQ
AC
=
=
，
∴
10
AC =
，
∴在Rt
ABC
△
中，
2
2
2
2
10
6
8
BC
AC
AB
−
=
=
−
=
，
∴在矩形ABCD中，
8
AD
BC
=
=
，
6
CD
AB
=
=
．
延长BQ ，CD，相交于点E，
∵点Q 是AP 的中点，
∴AQ
PQ
=
，
∵在矩形ABCD中，AB
CD
∥
，
∴
ABQ
E
=
，
BAQ
EPQ
=
，
∴
(
)
ABQ
PEQ AAS
≌
，
∴BQ
EQ
=
，
6
PE
AB
=
=
．
∵点P 是CD的中点，
∴
1
1
6
3
2
2
CP
CD
=
=
=
，
∴
3 6
9
CE
CP
PE
=
+
= +
=
，
∵在矩形ABCD中，
90
C
=
，
∴在Rt BCE
中，
2
2
2
2
8
9
145
BE
BC
CE
=
+
=
+
=
，
∵BQ
EQ
=
，
∴
1
145
2
2
BQ
BE
=
=
．
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三、解答题（本大题共8 个小题，满分72 分）
17. 先化简，再求值：
2
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x
x−
+
−
−
+
，其中
1
x =
．
【答案】
化简结果为
3
1
x
x
+
−
，值为1
−
【解析】
【详解】解：
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
3
1
1
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
+
+
+
−
+
−
+
+
−=
−=
−=
−
=
=
−
+
−
−
−
−
−
−
−
，
∵
1
x =
，
∴
1
x = ，
当
1
x =
时，原式无意义；
当
1
x = −时，原式
1 3
2
1
1 1
2
−+
=
=
= −
−−
−
．
18. AI 技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个AI 智慧自习教室，引进了“数字人模型”和“AI
助教模型”两种模型供学生使用．使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷
涉及两种模型，评分均为0~10 的整数，单位：分），并随机抽取了20 份调查问卷，对数据进行整理、分析，
得到如下图表：
类别
平均数/分
中位数/分
众数/分
数字人模型
a
b
7
AI 助教模型
8
8
c
请根据上述信息解答下列问题：
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（1）填空：a = __________，b = __________，c = __________，m = __________；
（2）运营商准备对“ AI 助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20 份调查问卷中，有2 名男生和1 名女
生对该模型的评分为6 分，现从这3 人中随机抽取2 人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽到2 名
男生的概率．
【答案】（1）7.2 ，7 ，8 ，30
（2）1
3
【解析】
【分析】（1）利用求平均数的公式求出a ，利用中位数和众数的定义求出分别求出b ，c ，先求出扇形统计
图中8 分所占百分比，用整体1 减去其他各部分的百分比即可求解m ；
（2）用树状图列出所有可能性，利用概率公式进行计算即可．
【小问1 详解】
解：
5 6
8 7
5 8
2 9
7.2
20
x
+ + +
=
=
，
∴
7.2
a =
；
一共20 个数据从小到大排列，第10和11个数据的平均数是中位数，
由柱状图知第10和11个数据都是7 ，
∴中位数为7 ，
即
7
b =
；
由扇形统计图可知“ AI 助教模型”中8 分出现次数最多，
∴
8
c =
；
∵扇形统计图中8 分占百分比为：144 100%
40%
360
=
，
∴1 5% 15% 10%
40%
30%
−
−
−
−
=
，
即
30
m =
；
【小问2 详解】
解：
共有六种等可能性的结果，其中恰好抽到两名男生的情况由2 种，
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∴P (抽到2 名男生)
2
1
6
3
=
=
．
19. 如图，矩形ABCD 中，AC 是对角线，请解决下列问题：
（1）将ABC
绕点A旋转后，点B 的对应点为点E ，点C 的对应点为点F ，且点E 在线段AC 上，
请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若
2
AB =
，
4
BC =
，EF 与AD交于点G ，求FG 的长．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）以A为圆心，AB 为半径画弧，交AC 于E ，以E 为圆心BE 为半径画弧，两弧相交于M ，
作射线AM ，以A 为圆心，AC 长为半径画弧交AM 于F ，则
AEF
即为所求；有作图可知
,
,
AB
AE
FAE
CAB AC
AF
=
=
=
，所以AEF
ABC
≌
，且旋转角为
BAC
；
（2）可证AEG
ADC
∽
，利用对应边成比例可求EG ，则FG
FE
EG
−
=
可求．
【小问1 详解】
解：略；
【小问2 详解】
解：∵在矩形ABCD 中，
∴
90
ABC
D
=
=
，
由（1）知AEF
ABC
≌
，
∴
2,
4,
90
AE
AB
EF
CB
AEF
B
=
=
=
=
=
=
，
∵
,
CAD
EAG
AEG
D
=
=
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∴AEG
ADC
∽
，
∴AE
EG
AD
CD
=
，
∴2
4
2
EG
=
，
∴
1
EG = ，
∴
4 1
3
FG =
−=
．
20. 为庆祝长征胜利90 周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件
20 元，日销售量y （件）与每件售价x （元）的函数关系如图所示．
（1）求y 与x 的函数表达式；
（2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525 元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每
件的售价为多少元？
【答案】（1）
70
y
x
−
=
+
（2）该款文创产品每件的售价为35 元．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可．
【小问1 详解】
第19页/共32页
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解：设y 与x 的函数表达式为y
kx
b
=
+
，
将点(
)
30,40 和点(
)
40,30 的代入得：30
40
40
30
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得：
1
70
k
b
−
=
=
，
y 与x 的函数表达式为
70
y
x
−
=
+
；
【小问2 详解】
解：根据题意得：(
)(
)
20
70
525
x
x
−
−+
=
，
整理得：
2
90
1925
0
x
x
−
+
=
，
解得：
1
35
x =
，
2
55
x =
，
尽可能的让利于顾客，
35
x
=
，
即该款文创产品每件的售价为35 元．
21. 【综合与实践】
活动主题
测算矩形广告牌的面积
测量工具
皮尺、无人机、计时器、计算器等
活动过程
测量过程
如图，矩形广告牌ABCD 的边CD 为
11米，BC 与水平地面垂直，支柱EF
长6.4 米，且垂直于地面．无人机从N
点起飞，以3 米/ 秒的速度竖直向上飞
行8 秒到达M 点，此时测得C 点的俯
角为67.4．D 点的俯角为36.9（图中
各点均在同一平面内）．
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模型建构
参考数据
sin67.4
0.92
，cos67.4
0.38
，
tan67.4
2.40
，
sin36.9
0.60
，cos36.9
0.80
，
tan36.9
0.75
．
问题解决
求矩形广告牌ABCD的面积（结果精确
到1 平方米）．
【答案】矩形广告牌ABCD的面积约为62 平方米
【解析】
【分析】过点
,
C B 分别作MN 的垂线，垂足分别为
,
H P ，则四边形CBPH ，EFNP是矩形，依题意，
3 8
24
MN = =
，
36.9 ,
67.4
GMD
GMC
=
=
，GM
CD
，
11
DC =
，
6.4
PN
EF
=
=
，分别
在
,
Rt MDH Rt MCH
中求得
,
DH CH ，根据
11
DC =
，建立方程，求得MH 进而求得BC 的长，再求
得矩形ABCD的面积，即可求解．
【详解】解：如图，过点
,
C B 分别作MN 的垂线，垂足分别为
,
H P ，则四边形CBPH ，EFNP是矩
形，
依题意，
3 8
24
MN = =
，
36.9 ,
67.4
GMD
GMC
=
=
，GM
CD
，
11
DC =
，
6.4
PN
EF
=
=
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∴
36.9 ,
67.4
MDH
GMD
MCH
GMC
=
=
=
=
设MH
x
=
，则tan
tan36.9
0.75,tan
tan67.4
2.4
x
x
MDH
MCH
DH
CH
=
=
=
=
∴
11
0.75
2.4
x
x
DC
DH
CH
−
=
=
−
=
解得：
12
x =
∴
12
MH =
∴
24 12 6.4
5.6
CB
HP
MN
MH
PN
−
−
=
=
=
−
−
=
∴ABCD的面积=
5.6 11
61.6
62
BC DC
=
=
答：矩形广告牌ABCD的面积约为62 平方米
22. 如图，ABC
中，
90
C
=
，O是边AB 上一点，以OB 为半径作
O
，分别与BC ，AB 交于D ，
E 两点，与AC 相切于点F ，连接EF ，BF ．
（1）求证：
EF
FD
=
；
（2）试用等式表示线段BE ，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：如图，连接OF ，
∵AC 是
O
的切线，
∴1
2
90
+=
∵
90
C
=
，
∴
4
2
90
+=
∴1
4
=
又∵OF
OB
=
第22页/共32页
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∴1
3
=
∴
3
4
=
∴
EF
FD
=
；
（2）
2
BE
BD
CD
=
+
，
证明：如图，连接FD，过点F 作FG
BE
⊥
于点G ，
∴
90
FGB
C
=
=
由（1）可得
FBC
FBE
=
又∵FB
FB
=
∴
(
)
FBC
FBG AAS
≌
∴
,
FC
FG BC
BG
=
=
，
∵
EF
FD
=
∴FD
FE
=
，
∴
(
)
Rt EFG
Rt DFC HL
≌
∴CD
EG
=
∴
2
BE
BG
EG
BC
CD
BD
CD
=
+
=
+
=
+
，即
2
BE
BD
CD
=
+
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质可得1
2
90
+=
，根据直角三角形的两个锐角互余可得
4
2
90
+=
，
则1
4
= ，根据OF
OB
=
得出1
3
= ，等量代换可得
3
4
= ，即可得出
EF
FD
=
；
（2）连接FD，过点F 作FG
BE
⊥
于点G ，证明
(
)
FBC
FBG AAS
≌
得出
,
FC
FG BC
BG
=
=
，进
而证明
(
)
Rt EFG
Rt DFC HL
≌
，得出CD
EG
=
，根据线段的和差关系，即可得证．
【小问1 详解】
略
第23页/共32页
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【小问2 详解】
略
23. 【尝试发现】
（1）如图1，ABC
ADE
∽
，
2
3
AB
AC =
．当点D ，E 分别在边AB 和AC 上时，BD
CE
的值是
__________；
【变式探究】
（2）如图2，将（1）中的ADE
绕点A 按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接CE ，
BD，AC 与BD交于点O ，CE 与BD的延长线交于点F ．
①求BD
CE
的值；
②写出
BAC
和
BFC
的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）如图3，矩形ABCD 中，
3
AB =
，
6
BC =
，点E 在边BC 上且
2
BE =
，连接AE ．F 是
直线BC 上的动点，作AFG
ABE
∽
，连接CG ，EG ．
①当点F 在线段CB 的延长线上，且EG
EA
=
时，求EF 的长；
②当CG 的长度最小时，直接写出此时BF 的长．
第24页/共32页
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【答案】（1）2
3
（2）①2
3
；
②
BAC
BFC
=
，证明如下：
连接AF ，
，
由①得BAD
CAE
∽
，
∴
ABD
ACE
=
，即
ABF
ACF
=
，
∴点A 、B 、C 、F 四点共圆，
∴
BAC
BFC
=
；
（3）①5；②36
13
【解析】
【分析】（1）由相似三角形的性质可得
2
3
AD
AB
AE
AC
=
=
，从而可得
2
3
AD
AE
=
，
2
3
AB
AC
=
，再结合
BD
AB
AD
−
=
，CE
AC
AE
−
=
，计算即可得出结果；
（2 ）①由相似三角形的性质可得AB
AC
AD
AE
=
，
BAC
DAE
=
，从而得出
2
3
AB
AD
AC
AE
=
=
，
BAD
CAE
=
，再证明BAD
CAE
∽
，即可得出结果；②连接AF ，由①得BAD
CAE
∽
，由相
似三角形的性质得出
ABF
ACF
=
，即点A 、B 、C 、F 四点共圆，最后再由圆周角定理即可得
证；
（3）①由矩形的性质得
90
ABC
=
，由勾股定理得
13
AE =
，由相似三角形的性质得
90
AFG
ABC
=
=
，
FAG
BAE
=
，
AGF
AEB
=
，证明点A 、F 、G 、E 四点共
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圆，求出
90
AEG
=
，从而可得
26
AG =
，由正切的定义得出
2
tan
3
FG
FAG
AF
=
=
，设
2
FG
x
=
，
则
3
AF
x
=
，结合勾股定理求出
3
3 2
AF
x
=
=
，从而可得
3
BF =
，即可得出结果；②由主动点F 在
直线BC 上，得出点G 在直线EG 上运动，当
1
CG
EG
⊥
时，CG 的长度最小，为
1
CG ，此时点F 在
1F 处，由①得
90
AEG
=
，结合正切的定义得出
1
1
2
3
CG
EG =
，设
1
1
2
3
CG
EG =
，则
1
3
EG
a
=
，
由勾股定理求得
1
12 13
3
13
EG
a
=
=
，
1
8 13
2
13
CG
a
=
=
，作
1
G M
BC
⊥
于M ，由等面积法得出
1
24
13
G M =
，再证明
1
1
1
AF B
FG M
∽
，由相似三角形的性质计算即可求解．
【小问1 详解】
解：∵ABC
ADE
∽
，
∴
2
3
AD
AB
AE
AC
=
=
，
∴
2
3
AD
AE
=
，
2
3
AB
AC
=
，
∵点D ，E 分别在边AB 和AC 上，
∴BD
AB
AD
−
=
，CE
AC
AE
−
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
3
3
3
3
AC
AE
AC
AE
BD
AB
AD
CE
AC
AE
AC
AE
AC
AE
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
；
【小问2 详解】
解：①∵ABC
ADE
∽
，
∴AB
AC
AD
AE
=
，
BAC
DAE
=
，
∴
BAC
CAD
DAE
CAD
+
=
+
，
2
3
AB
AD
AC
AE
=
=
，
∴
BAD
CAE
=
，
∴BAD
CAE
∽
，
∴
2
3
BD
AB
CE
AC
=
=
；
②略；
【小问3 详解】
解：①∵四边形ABCD 为矩形，
∴
90
ABC
=
，
第26页/共32页
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∴
2
2
13
AE
AB
BE
=
+
=
，
∵AFG
ABE
∽
，
∴
90
AFG
ABC
=
=
，
FAG
BAE
=
，
AGF
AEB
=
，
∵点F 在线段CB 的延长线上，
∴
AGF
AEF
=
，
∴点A 、F 、G 、E 四点共圆，
∴
180
AFG
AEG
+
=
，
∴
90
AEG
=
，
∵
13
EG
EA
=
=
，
∴
2
2
26
AG
AE
EG
=
+
=
，
∵
FAG
BAE
=
，
∴
2
tan
tan
3
BE
FAG
BAE
AB
=
=
=
，
∴
2
tan
3
FG
FAG
AF
=
=
，
设
2
FG
x
=
，则
3
AF
x
=
，
由勾股定理得
2
2
2
AF
FG
AG
+
=
，
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
3
2
26
x
x
+
=
，
∴
2
x =
（负值不符合题意，舍去），
∴
3
3 2
AF
x
=
=
，
∴
2
2
3
BF
AF
AB
−
=
=
，
∴
5
EF
BF
BE
=
+
=
；
②∵主动点F 在直线BC 上，
∴从动点G 必须在某一直线上，
∵当点F 在点B 时，点G 在点E 的位置，
∴点G 在直线EG 上运动，
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当
1
CG
EG
⊥
时，CG 的长度最小，为
1
CG ，此时点F 在
1F 处，
由①得
90
AEG
=
，
∴
90
AEB
BEG
AEB
BAE
+
=
+
=
，
∴
BEG
BAE
=
，
∵
1
BEG
CEG
=
，
∴
1
BAE
CEG
=
，
∴
1
2
tan
tan
3
CEG
BAE
=
=
，
∴
1
1
2
3
CG
EG =
，
设
1
1
2
3
CG
EG =
，则
1
3
EG
a
=
，
由勾股定理得
2
2
2
1
1
CG
EG
CE
+
=
，
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
3
6
2
a
a
+
=
−
，
解得
4 13
13
a =
（负值不符合题意舍去），
∴
1
12 13
3
13
EG
a
=
=
，
1
8 13
2
13
CG
a
=
=
，
作
1
G M
BC
⊥
于M ，
∵
1
1
1
1
1
1
2
2
CG E
S
EG CG
CE G M
=
=
，
∴
1
1
1
12 13
8 13
24
13
13
4
13
EG CG
G M
CE
=
=
=
，
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∵
1
1
1
1
1
90
ABF
AFG
FMG
=
=
=
，
∴
1
1
1
1
1
90
AF B
G FM
FG M
−
=
=
，
∴
1
1
1
AF B
FG M
∽
，
∴
1
1
1
1
1
FG
G M
AF
BF
=
，
∵
1
1
1
2
3
FG
AF =
，
∴
1
1
3
3
24
36
2
2
13
13
BF
G M
=
=
=
综上所述，当CG 的长度最小时，此时BF 的长为36
13
．
24. 如图，直线
6
y
x
−−
=
与x 轴交于点A，与y 轴交于点C ，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+
经过A ，C 两点，
与x 轴的另一个交点为B ．抛物线的对称轴为直线
3
2
x = −
．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D 在抛物线上，横坐标为t ，若点D 到直线AC 的距离为3
2
2
，求出所有满足条件的t 的值；
（3）若H 为抛物线的顶点，P 为对称轴上一点，请直接写出
5
2
PH
PO
+
的最小值．
【答案】（1）
2
1
6
3
y
x
x−
=
+
（2）
3 3 2
t
−
=
−
或
3 3 2
t
−
=
+
或
3
t
−
=
（3）15
2
【解析】
【分析】（1）根据一次函数先求得
,
A C 的坐标，进而根据对称轴求得点B 的坐标，设抛物线解析式为
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(
)(
)
6
3
y
a x
x−
=
+
，代入
(
)
0
6
C
−
，
，待定系数法即可求解；
（2）根据AOC
是等腰直角三角形，点D 到直线AC 的距离为3
2
2
，取点
(
)
0, 3
E
−
，
(
)
9,0
F −
，过点
,
E F 分别作AC 的平行线1
2
,
l l ，过点
,
E F 分别作AC 的垂线，垂直分别为
,
K G ，得出D 在1
2
,
l l ，根据一
次函数的平移可得1
2
,
l l 的解析式分别为
3
y
x
= −−
，
9
y
x
−−
=
，分别联立抛物线解析式，即可求解；
（3）先求得
3
27
,
2
4
H
−
−
，根据
5
2
PH
PO
+
转化为
5
2 5
2
5
PH
PQ
+
，构造1:2
5
：的直角三角形，
过点P 作PQ
HQ
⊥
使得
2
PQ
QH
=
，则
2
2
5
PH
PQ
QH
QH
=
+
=
，得出
2 5
sin
5
PQ
PHQ
PH
=
=
，
tan
2
PHQ
=
，
5
cos
5
PHQ
=
，当P 在ON 上时，
5
2
PH
PO
+
取得最小值，最小值为
5
2 ON ．进
而求得ON 的值，即可求解．
【小问1 详解】
解：∵直线
6
y
x
−−
=
与x 轴交于点A，与y 轴交于点C ，
当
0
x =
时，
6
y
−
=
，当
0
y =
时，
6
x
−
=
，
∴
(
)
6,0
A −
，
(
)
0, 6
C
−
，
∵抛物线与x 轴的另一个交点为B ，抛物线的对称轴为直线
3
2
x = −
．
∴
(
)
3,0
B
，
设抛物线解析式为
(
)(
)
6
3
y
a x
x−
=
+
，代入
(
)
0, 6
C
−
，
∴6
18a
−
−=
解得：
1
3
a =
∴
(
)(
)
2
1
1
6
3
6
3
3
y
x
x
x
x
−
−
=
+
=
+
；
【小问2 详解】
解：∵(
)
6,0
A −
，
(
)
0, 6
C
−
∴
6
OA
OC
=
=
，
∴AOC
是等腰直角三角形，
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∴
45
ACO
=
设直线AC 的解析式为y
kx
b
=
+
，代入(
)
6,0
A −
，
(
)
0, 6
C
−
∴
6
0
6
k
b
b
−
−
+
=
=
，解得：
1
6
k
b
−
−
=
=
∴直线AC 的解析式为
6
y
x
−−
=
如图，取点
(
)
0, 3
E
−
，
(
)
9,0
F −
，过点
,
E F 分别作AC 的平行线1
2
,
l l ，过点
,
E F 分别作AC 的垂线，垂
足分别为
,
K G ，
∴
45
GCF
ECK
ACO
=
=
=
，
3
EC
FC
=
=
∴
,
ECK
GCF
是等腰直角三角形，
∴
2
3 2
2
2
EK
EC
=
=
，
2
3 2
2
2
FG
FC
=
=
∵点D 到直线AC 的距离为3
2
2
∴D 在1
2
,
l l 上，
∵1
2
,
l l 平行AC ，
∴1
2
,
l l 的解析式分别为
3
y
x
= −−
，
9
y
x
−−
=
联立
2
3
1
6
3
y
x
y
x
x
−−
−
=
=
+
消去y 得，
2
1
6
3
3 x
x
x
−
−−
+
=
解得：
1
2
3
3 2,
3
3 2
x
x
−
−
=
−
=
+
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联立
2
9
1
6
3
y
x
y
x
x
−−
−
=
=
+
消去y 得，
2
1
6
9
3 x
x
x
−
−−
+
=
解得：
3
x
−
=
∵点D 横坐标为t ，
∴
3 3 2
t
−
=
−
或
3 3 2
t
−
=
+
或
3
t
−
=
【小问3 详解】
∵
2
2
1
1
3
27
6
3
3
2
4
y
x
x
x
−
=
+
=
+
−
∴
3
27
,
2
4
H
−
−
如图，过点P 作PQ
HQ
⊥
使得
2
PQ
QH
=
，则
2
2
5
PH
PQ
QH
QH
=
+
=
，
∴
2 5
sin
5
PQ
PHQ
PH
=
=
，tan
2
PHQ
=
，
5
cos
5
PHQ
=
，
∴
2 5
5
PQ
PH
=
，
过点O作ON
QH
⊥
，设HQ 的延长线交x 轴于点T ，PH 交x 轴于点L ，则
90
TON
OTH
PHQ
−
=
=
∴
(
)
5
5
2 5
5
5
2
2
5
2
2
PH
PO
PH
PO
PQ
PO
ON
+
=
+
=
+
∴当P 在ON 上时，
5
2
PH
PO
+
取得最小值，最小值为
5
2 ON ．
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∴
27
4
LH =
∴
27
tan
2
2
LT
LH
PHQ
LH
=
=
=
∴
27
3
15
2
2
TO =
+
=
∴
5
cos
15
3 5
5
ON
OT
TON
=
=
=
，
∴
5
5
5
15
3 5
2
2
2
2
PH
PO
ON
+
=
=
=
