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专题03 导数及其应用小题综合
百强名校-核心考点突破
例题1．已知函数
，若
，则
．
【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026 学年高三上学期第三次摸底考试数学试题
例题2．函数
在
处的切线与直线
垂直，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【来源】湖北省部分市州2025 届高三上学期元月期末联考数学试卷
例题3．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，
圆锥的底面半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025 届高三下学期模拟（一）数学试卷
例题4．已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【来源】重庆市南开中学2025 届高三第九次质量检测数学试题
例题5．不等式
对任意
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026 届高三上学期第四次诊断考试数学试题
1
例题6．已知正实数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．-1
D．
【来源】陕西省榆林市2025 届下学期4 月全国仿真模拟考试数学试题
例题7．过点
可以做三条直线与曲线
相切，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【来源】江苏省盐城中学2025 届高三第三次模拟考试数学试题
例题8．已知可导函数
的定义域为
，
是
的导函数，且
为偶函数
为奇
函数，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【来源】江西省重点中学盟校2025 届高三下学期第一次联考数学试卷
例题9．（多选）设函数
，则（ ）
A．当
时，
在
处取极大值
B．当
时，方程
有个实根
C．当
时，
是
的极大值点
D．存在实数
，
恒成立
【来源】山西省山西大学附属中学校2025-2026 学年高三上学期10 月模块诊断（总第四次）数学试题
例题10．（多选）已知函数
有两个极值点
，则下列结论正确的是（ ）
2
A．
B．
C．
D．若
，则
的取值范围为
【来源】2025 届重庆市部分区县高三5 月三诊考试数学试卷
百强名校-必刷真题精练
一、单选题
1．已知一个圆锥的母线长为
，则当其体积最大时，该圆锥的内切球半径为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025 学年高三第一次模拟考试数学试卷
2．过点
且与抛物线
有且仅有1 个公共点的直线的条数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【来源】内蒙古包头市多校联考2025 届高三下学期4 月模拟数学试题
3．当
，且
时，函数
与
图象的交点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【来源】浙江省宁波市镇海中学2025 届高三高考模拟数学试卷
4．若
满足
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【来源】广东省潮州市2024-2025 学年高三上学期期末教学质量检测数学试题
5．已知函数
，若
时，关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
3
A．
B．
C．
D．
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025 学年高三第一次模拟考试数学试卷
6．已知函数
，当
时，函数
极值点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【来源】山东省聊城市百师联盟2025-2026 学年高三上学期第一次调研考试数学试题
二、多选题
7．已知
是定义在
上的奇函数，其导函数为
，且
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
在
上单调递增
C．
D．
【来源】重庆市2024-2025 学年高三上学期12 月月考数学试题
8．设函数
有三个不同的零点，从小到大依次为
，则（ ）
A．
B．函数
的对称中心为
C．过
引曲线
的切线，有且仅有1 条
D．若
成等差数列，则
【来源】安徽省合肥市第一中学2025 届高三最后一卷数学试题
9．已知
，若
，则下列选项正确的是（ ）
A．
有两个极值点
B．当
时，
4
C．当
时，
D．对任意的实数，
【来源】浙江省宁波市镇海中学2025 届高三高考模拟数学试卷
10．函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 学年高三下学期5 月适应性检测数学试题
11．已知函数
，则（ ）
A．
的极小值是1
B．
恰有2 个零点
C．方程
恰有1 个实根
D．对任意的
，都有
【来源】陕西省西安交通大学附属中学2026 届高三上学期第四次诊断考试数学试题
5
12．若函数
有三个零点
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．若
成等差数列，则
D．若
成等比数列，则
【来源】重庆市2025 届高三上学期第一次质量检测数学试题
13．已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为非常数函数，
，
为奇函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【来源】辽宁省实验中学2026 届高三第二次模拟考试数学试卷
14．已知
，若
，则下列关系式能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【来源】2025 届重庆市南开中学高三第八次质量检测数学试卷
15．对于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．若
是函数
的导数，则
C．对任意
都有
，则
6
D．设
在定义域上有两个不同的极值点
，则
【来源】重庆市南开中学校2025 届高三下学期高考模拟数学试题
16．Swish 函数
和
函数
是人工智能领域的两个重要激活函数，
关于这两个函数下列说法正确的是（ ）
A．
函数在定义域上单调递增
B．不等式
的解集为
C．若函数
满足
恒成立，则称
为“可交换算子”，Swish 函
数和ReLU 函数是“可交换算子”
D．
，当
时，
【来源】湖北省黄冈中学2025 届高三下学期第四次模拟考试数学试卷
三、填空题
17．已知函数
过原点
作曲线
的切线，其切线方程为 ．
【来源】广东省2025 届高三上学期第一次调研考试数学试题
18．已知函数
在点
处的切线与直线
垂直，则
．
【来源】浙江省宁波市镇海中学2025 届高三高考模拟数学试卷
19．已知
，若不等式
对任意实数
恒成立，则
的最大值为 .
【来源】山东省青岛市第二中学2024-2025 学年高三下学期打靶考试数学试题
7
20．不等式
对任意
成立，则实数
的取值范围是 .
【来源】湖南省长沙市长郡中学2024-2025 学年高三下学期数学模拟试卷（一）
21．已知函数
恰有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ．
【来源】河北省定州中学2025-2026 学年高三上学期开学考试数学试题
22．已知函数
的定义域为R，
，若对任意
，都有
，则不等式
的解集为 ．
【来源】黑龙江省实验中学2025-2026 学年高三上学期第一次阶段考试数学试题
23．已知
，则
的最小值为 ．
【来源】江苏省盐城中学2025 届高三第三次模拟考试数学试题
24．设函数
，若
恒成立，则
的最小值为 .
【来源】陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026 学年高三上学期一模数学试题
25．已知关于
的方程
有三个实数解，则实数
的取值范围是 ．
【来源】辽宁省实验中学2026 届高三第二次模拟考试数学试卷
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