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专题03 抽象函数大全培优归类
题型1 抽象函数基础：单调性型证明
解答抽象函数问题，用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.
赋值主要从以下方面考虑：
① 令
等特殊值求抽象函数的函数值；
② 令
或
，且
，判定抽象函数的单调性；
③ 令
，判定抽象函数的奇偶性；
④ 换
为
，确定抽象函数的周期；
⑤ 用
或换x 为
等来解答有关抽象函数的其它一些问题.
1．（24-25 云南昭通·模拟）已知函数
的定义域为
，且
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
为增函数
D．
为奇函数
【答案】C
【分析】利用赋值法求出
、
及
的值，从而判断AB；令
，结合
的值，可得
，从而判断CD.
【详解】对于A，令
，则
，
1
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又因为
，所以
，
令
，则
，解得
，故A 错误；
对于B，令
，则
，又
，
解得
，故B 错误；
对于C，令
，则有
，
又因为
，所以
，
所以函数
为单调递增函数，故C 正确；
对于D，由C 可知
，为非奇非偶函数，故D 错误.
故选：C.
2．（24-25 高三·河北保定·阶段练习）已知定义域为
的函数
满足
，
，且
时，
，则下列说法正确的（ ）
A．
B．
为减函数
C．
为奇函数
D．不等式
的解集为
【答案】D
【分析】首先令
得到
，令
，求出
可判断A；当
时，由
可得
进而确定单调性可判断B；令
，结合
得
可判断C；根据
的单调性和
解不等式可判断D.
【详解】令
，则
，得
，
对于A，令
，则
，故A 错误；
对于B，若
，则
，此时
，
所以
，
即
时，
，所以
为
上的增函数，故B 错误；
对于C，令
，则
，所以
，
不满足
，所以
不是奇函数，故C 错误；
对于D，因为
为
上的增函数，且
，
所以当
时，
；当
时，
，
不等式
的解集为
，故D 正确.
故选：D
3．（24-25 高三安徽蚌埠·开学考试）已知函数
的定义域为
，对
、
，满足
，当
时，
，且
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，
且
，则
，利用函数单调性的定义推导出函数
在
2
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上单调递减，计算得出
，将所求不等式变形为
，结合函数
的定义域和单调
性可得出关于
的不等式组，解之即可.
【详解】因为函数
的定义域为
，对
、
，满足
，
又当
时，
，令
，
且
，则
，则
，
所以
，所以
在
上单调递减，因为
，所以
，
，
则不等式
可化为
，
所以，
，解得
．因此，不等式
的解集为
.故选：B.
4．（24-25 高三·湖北武汉·模拟）已知函数
的定义域为
，对任意的
，都有
，当
时，
，且
，若
，则不等式
的解
集是（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
【答案】D
【分析】先由题设结合赋值法求出
和
，接着求出函数
是单调递减函数，再利用函
数单调性解不等式得
，解该不等式即可得解.
【详解】因为对任意的
，都有
，
，且
，
所以
，且
，
设任意
，则
，则
，
又
，所以
，
若
，则当
时，
，则
，矛盾，
所以
，所以
，所以函数
是单调递减函数，
所以不等式
等价于
，所以
，
故
即
，解得
.
所以不等式
的解集是
.
故选：D
3
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【点睛】关键点睛：解决本题的关键1 是巧妙赋值求出求出
和
，关键2 是由所给条件结
合单调性定义求出函数
是单调递减函数.
题型2 抽象函数基础：奇偶性型
抽象函数奇偶性证明，严格遵守奇偶性定义，构造f（x）与f（-x）的关系。
1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数
满足：对于任意的x，
，都有
成立，且
，则
（ ）
A．2025
B．2024
C．1013
D．1012
【答案】C
【分析】赋值法依次求出
的值，以及关系式
，进而推得
，求
出函数的周期.进而结合
的值，可得出当i 为偶数时，
；当i 为奇数时，根据二项式定
理展开式得出
除以4 的余数为1，即可得出对应值，求和即可得出答案.
【详解】令
时，因为
，
所以
.
令
，
则
，所以
.
令
，则
，
所以
，则
，所以4 为
的一个周期.
又
，
所以由周期性可知
，即
．
当i 为偶数时，
为偶数，所以
；
当i 为奇数时，设
，
则
，
故
被4 除的余数为1，所以
，
所以
．
故选：C．
【点睛】方法点睛：求解与抽象函数有关的值时，常采用赋值法，代入计算.
2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在
上的函数
满足对任意
均有
，则称
为“
函数”.已知
为“
函数”，且
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．1
【答案】A
4
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【分析】由新定义赋值得
的图象关于直线
对称，进一步赋值得
为奇函数，
是周期为8
的周期函数，故只需求出
的值即可.
【详解】令
，则
，所以
；
令
，则
，
所以
的图象关于直线
对称；
令
，则
，
因为
不恒成立，所以
恒成立，所以
为奇函数，
所以
，所以
，
所以
是周期为8 的周期函数，令
，则
，
解得
，又
为奇函数，所以
，
所以
.
故选：A.
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数
的定义域为
，且对任意的实数
，都有
，且
，则下列说法错误的是（ ）
A．
为偶函数
B．
为周期函数且周期为12
C．
D．
【答案】D
【分析】用
代替
，可得
，可判断C；用
替换
，结合偶函数的性质可
得A 正确；用
替换
，结合偶函数的性质可得B 正确；由函数的周期性可得D 错误.
【详解】因为
，用
代替
，可得
，
令
，得
，即
，
令
，得
，所以
，C 正确；
用
替换
，可得
，所以
，
所以函数
为偶函数，A 正确；
用
替换
，可得
，
所以
，所以
，
所以
，即
．
所以
，
故
是以12 为周期的周期函数，B 正确；
，
所以
；
，
，
，
所以
，D 错误.
5
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故选：D.
4．（2025·山东·二模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】利用赋值法可得
是以4 为周期的周期函数，利用周期性可得答案.
【详解】令
，则
，可得
，
令
，则
，可得
，
令
，则
，可得
，
令
，则
，可得
，
令
，则
，可得
，
令
，则
，可得
，
可得
是以4 为周期的周期函数，
则
.
故选：D.
题型3 抽象函数基础：周期型
在赋值判断基础上，可以借助类比“正余弦函数周期”方式来判断抽象函数的周期。
1．（2025·河北保定·一模）已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用赋值法可得
，且
为奇函数，再结合已知的偶函数求得8 为
的一个周期，借助性质求出目标值.
【详解】函数
的定义域为
，且有
，
令
，得
，解得
；
令
，得
，则
，
而
，即
不恒为0，因此
，函数
为奇函数，
由
为偶函数，得
，则
，
于是
，
，8 为
的一个周期，
由
，得
，即
，因此
，所以
.
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.
6
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2．（24-25 高三上·河北衡水·阶段练习）定义在
上的函数
满足
且
，有
，且
，
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合题设赋值可得
，再根据函数的单调性以及定义域即可求解.
【详解】因为
，所以
，即
，
因为
，
所以
，可转化为
，
即
，即
.
因为
满足
且
，有
，
所以
在区间
上单调递增，
即
，解得
，
即不等式
的解集为
.
故选：C.
3．（24-25 高二下·安徽宿州·期末）已知函数
的定义域为
，
为奇函数，且
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．0
D．
【答案】B
【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换的方法，推出函数的对称中心，进而推
出其周期，再结合赋值法求得
，
，
，
，结合函数的周期性，即可求得答案.
【详解】由题意知函数
的定义域为
，且
，
，
令
，则
，即
，故
为偶函数；
又由
为奇函数，可得
，令
，则
，得
，
又由
可得
的图象关于点
成中心对称，则
；
又由
可得
，又结合
为偶函数，
则
，故
，即4 为
的周期，
故
，则
，
故
故选：B.
4．（24-25 高三·山西吕梁·阶段练习）已知函数
的定义域为
，且
，
．若对任意实数
，
都有
，则
（ ）
7
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A．
B．
C．0
D．1
【答案】D
【分析】利用赋值可得到递推关系
，再证明周期性，即可求解.
【详解】将
用
替换，由对任意实数
，
都有
，
可得
，
由
，所以
，即
，
所以
，所以函数的周期
，
令
，则
，因为
，
所以
，所以
．
故选：D
题型4 抽象模型：直线型
线性抽象函数，过原点型：
--过原点直线型f（x）=kx
1．（23-24 高三上·北京·阶段练习）已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
．给出以下四个结论：
①
；
②
可能是偶函数；
③
在
上一定存在最大值
；
④
的解集为
．
其中正确的结论为（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
【答案】C
【分析】令
，即可判断①；令
，结合奇偶性得定义即可判断②；设
，结合当
时，
，判断出函数的单调性，即可判断③④.
【详解】对于①，令
，则
，所以
，故①正确；
对于②，令
，则
，
8
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所以
，所以
为奇函数，
又当
时，
，所以
不是常函数，不可能是偶函数，故②错误；
对于③，设
，则
，
则
，
所以
，所以
是减函数，
所以
在
上一定存在最大值
，故③错误；
对于④，因为
为减函数，
，
由
，得
，解得
，
所以
的解集为
，故④正确.
故选：C.
2．（23-24 高三·四川成都·阶段练习）若
且函数
在
上单调，
则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件先分析出
的奇偶性和单调性，然后根据条件将
转化为
（
为实数），再根
据单调性和奇偶性解不等式求出解集.
【详解】令
，所以
，所以
，
令
，所以
，
所以
且
的定义域为
关于原点对称，
所以
是奇函数；
又因为
且
在
上单调，所以
在
上单调递增；
又因为
，所以
，
所以不等式
等价于
，
又因为
在
上单调递增，所以
，
故选：A.
【点睛】本题考查抽象函数的综合应用，其中涉及到抽象函数的单调性和奇偶性判断、根据单调性解不等
式，对学生的分析与转化问题的能力要求较高，难度较难.
3．（22-23 高三·重庆沙坪坝阶段练习）已知连续函数
对任意实数
恒有
,当
时,
,
,则以下说法中正确的是( )
①
②
是
上的奇函数
③
在
上的最大值是
④不等式
的解集为
A．①③
B．①②
C．①②③
D．①②③④
【答案】C
【分析】因为函数
对任意实数
恒有
,当
时,
,
,先证明其奇
偶性和单调性,在逐项判断,即可求得答案..
【详解】奇偶性证明:
令
令
即
又
故
是定义域为
的奇函数单调性证明:
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任取
且
,则
;
令
时,
时,
又
为奇函数
在
上是减函数;
对于①,因为
,故①正确;
对于②,因为
是定义域为
的奇函数,故②正确;
对于③,
,可得
令
,可得
,
,
,
在
上是减函数
在
上的最大值是
,故③正确；
对于④,
不等式
即
则
在
上是减函数
,解得:
或
,故④错误.故选:C．
【点睛】本题考查了判断抽象函数的奇偶性和单调性,解函数不等式,解题关键是掌握判断奇偶性和单调性
的方法,灵活使用赋值法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
4．（22-23 高三·云南玉溪·阶段练习）设定义在R 上的函数
对任意实数x，y 满足
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．4
【答案】B
【分析】根据题设条件令
，求出
，再令
，
，得出
，即可得出
的值.
【详解】由题意令
，则有
，故得
令
，
，则有
又
∴
∴
故选:B
【点睛】本题主要考查了抽象函数求函数值，属于基础题.
题型5 抽象模型：上下平移型
线性抽象函数上下平移型，不过原点直线型型：
10
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1．（24-25 高三·江苏南京·阶段练习）已知函数
的定义域为
，对任意实数
，
满足
，且
，当
时，
．给出以下结论：①
；②
；③
为
上减函数；④
为奇函数；其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④
B．①④
C．①②
D．①②③④
【答案】A
【分析】利用抽象函数的关系式，令
判断①的正误；令
，
判断②的正误；令
，可得当
时，
，再令
，结合单调性的定义判断③的正误；令
判断④的正误；
【详解】因为
，故令
，可得
，
即
，解得
，故①正确；
令
，
，可得
，又
，
即
，解得
，再令
，可得
，
即
，故②正确；
令
，可得
，即
因为
，则
，可得
，所以
，
令
，不妨设
，可得
，即
，
因为
，则
，则
，可得
，即
，
所以
为
上增函数，故③错误；
令
，可得
，即
，整理得
，
所以
为奇函数，故④正确；
故选：A．
2．（24-25 高一上·河南驻马店·期末）已知函数
对于任意
、
，总有
，
且当
时，
，若
，则不等式
的解集为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，分析出函数
是柯西函数方程，所以
，代入
求出
，根据
代入计算即可.
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【详解】令
，可得
，可得
，
令
，则
，对任意的
、
，
总有
，则
，这是柯西函数方程.
由于当
时，
，可得对于
时，
，表明
是一个线性函数，
形式为
，
，因此
.
因为
，所以将
代入
，得到
，即
，
因此函数
，又因为
，
所以
，即
，
因此，不等式
的解集为
.
故选：D.
3．（2024 高三下·全国·专题练习）若对
，
，有
，则函数
在
上的最大值和最小值的和为（ ）
A．4
B．8
C．6
D．12
【答案】B
【分析】利用赋值法可得
以及
，即可构造函数
，判断奇偶性，即可
根据奇偶性的性质可得
为奇函数以及最值.
【详解】
，
．有
，
取
，则
，故
，
取
，则
，故
，
令
，则
,故
为奇函数，
，设
，
，故
为奇函数，故
为奇函数，
故
，
则
，
故
故函数
在
上的最大值和最小值的和是8，
故选：B．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
的定义域为R，对任意实数x，y 都有
，当
时，
，且
，则关于x 的不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意利用定义证明函数在R 上单调递增，继而转化不等式，求解即可.
【详解】任取
，从而
,
因为
，所以
，所以
，则
在R 上单调递增．
不等式
等价于不等式
，
即
．因为
在R 上单调递增，
所以
，解得
．故选：A.
12
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题型6 抽象模型：一元二次型
一元二次函数型模型：
模型特征：线性抽象+xy 型
1．（24-25 高三上·山东菏泽·模拟）已知函数
的定义域为
，且满足
，
，则
（ ）
A．4
B．8
C．14
D．16
【答案】C
【分析】依题意利用赋值法代入计算即可得出结果.
【详解】根据题意令
，则
，可得
，
再令
，则
，可得
.
故选：C
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数
满足
，若
，则
（ ）
A．25
B．125
C．625
D．15625
【答案】C
【分析】利用赋值法结合条件可得
进而即得；或构造函数
求解.
【详解】解法一：由题意取
，可得
即知
则
.
解法二：令
，则
，
所以
，
13
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即
，所以
，则
.
解法三：由
可构造满足条件的函数
，
可以快速得到
.故选：C.
3．（23-24 高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数
满足
，则
（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】A
【分析】分别令
，
，
得出
与
的关系后可得结论．
【详解】令
，得
；
令
，
，得
；
令
，
得
.
将以上三式相加得
，即
.
故选：A．
4．（2023·全国·三模）已知对于每一对正实数
，
，函数
满足：
，若
，则满足
的
的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】利用递推式判断
在
上的符号及单调性，并得到
，即可判断
的个数.
【详解】令
且均属于
，则
，又
，
所以
，
所以当
，
，
所以，满足
仅有
，即
仅有1 个.
故选：A
题型7 抽象模型: 一元三次型
14
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一元三次函数型
1．（21-22 高三上·黑龙江牡丹江·模拟）已知函数
对任意的实数
都有
，且
，若当
，且
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
可得
，利用累加法可求
时
的解析式，利用参变分离
及基本不等式可求实数
的取值范围.
【详解】令
可得
，
化简可得
，故
，
，
累加可得
，
，
不等式
等价于
，
因为
，故
在
上恒成立，
又
，当且仅当
时等号成立，
所以
，故选A.
【点睛】本题考查函数解析式的求法以及含参数的不等式恒成立问题，属于中档题，注意利用参变分离可
把恒成立问题转化为函数的最值问题.
2．（2024·青海·二模）已知定义在R上的函数
，其导数为f
' (x)，且满足
，
，
，给出下列四个结论：①
为奇函数；②
；③
：④
在(0,1)上单调递减.其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②
B．①③
C．②③④
D．①②④
【答案】D
【分析】令
求出
.令
可判断①；令
，得
，再求出
、
可判断③；利用累加法求出f
' (x)可判断②；利用导数可判断④.
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【详解】对于①，令
，得
，所以
.
令
，得
，所以
为奇函数，故①正确；
对于③，令
，得
，
所以
，
，故③错误.
对于②，因为
，
所以
，
，
，
，
，以上各式相加得
，所以
，故②正确.
对于④，当x∈(0,1)时，f
' (x)<0，所以
在(0,1)上单调递减，故④正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：②中的解题的关键点是利用累加法求出
的解析式.
3．（多选）（24-25 高三上·陕西安康·开学考试）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
，当
时，
，且
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
为偶函数
B．
C．
在
上单调递增
D．
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义计算判断AB；利用单调性定义推理判断C；利
用复合函数求导，赋值计算，结合函数
的周期计算判断D.
【详解】对于A，取
，得
，解得
，
取
，则
，即
，又
，
因此
为奇函数，A 错误；
对于B，
，
解得
，因此
，B 正确；
对于C，
，则
，
，
，函数
在R上单调递增，C 正确；
对于D，取
，则
，求导得
，
于是
，解得
，由
，
求导得
，则
，
，
又函数
的周期为4，
，
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所以
，D 正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：探讨抽象函数的性质，关键是适当地赋值，结合已知确定函数的奇偶性、单调性及
相关函数值.
4．（多选）（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数
的定义域为
，且
，则（ ）
A．
B．
或
C．
是
上的增函数
D．
是
上的增函数
【答案】AC
【分析】A.令
判断；B.令
，分别令
，
判断；CD.由
，令
判断.
【详解】解：在
中，
令
，得
，即
．
因为函数
为非常数函数，所以
，A 正确．
令
，则
．
令
，则
，①
令
，则
，②
由①②，解得
，从而
，B 错误．
令
，则
，即
，
因为
，所以
，所以C 正确，D 错误．
故选：AC
题型8 抽象模型: 正切函数型
分式正切函数两角和公式型
1．（多选）（20-21 高三上·广东汕头·阶段练习）下列指定的函数
中，一定有
的有（ ）
A．指定的函数
是奇函数；
B．指定的函数
满足：
，都有
；
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C．指定的函数
满足：
，都有
且当
时，
；
D．设
，指定的函数
满足：
都有
.
【答案】BD
【解析】由
在
处可能没有意义可判断A；令
可判断B；令
可判断C；直接可计算
，即可判断D.
【详解】对于A，函数
在
处可能没有意义，所以A 错；
对于B，令
中
得
，所以B 对；
对于C，令
，
因为有
，∴
，
，所以C 错；
对于D，由
，所以D 对.
故选：BD.
【点睛】本题考查抽象函数的相关计算，属于基础题.
2．（多选）（22-23 高三上·福建宁德·期末）已知函数
满足
有定义，
，当
时，
，且当
都有意义时，
，则以下说法正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是周期函数
C．
在
上是增函数
D．
的图象关于直线
对称
【答案】ABC
【分析】利用赋值法能够确定选项ABD，利用函数的单调性可判断C.
【详解】由题知，令
，
，则有
，当
时，解得
；
令
，且在定义域内，则
，则
，即
，
是奇函数，A 正确；
由题知，
=
，所以周期为
，故B 正确；
由
，而
，所以D 选项错误；
关于C，对于任意
，且
，
有
，
因为
，
，所以
，
所以
也即
，所以
在
上单调递增；
且在
时，
；任取
，且
，
则
，
，
18
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且
，
所以
，所以
，
所以函数
在
上单调递增，所以
在
上是增函数，故C 正确.
故选：ABC
3．（多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，
，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
为周期函数，且4 为
的周期
D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A：令
中
，即可得出答案；
对于选项B：令
中
，得出
，根据已知得出其定义域关于
轴
对称，即可根据函数奇偶性的定义得出答案；
对于选项C：令
中
，得出
，即可根据周期定义得出答案；
对于选项D：根据周期得出答案.
【详解】A 选项：令
，得
，故A 正确.
B 选项：令
，则
，因此
，
又
的定义域为
，关于
轴对称，所以
为奇函数，故B 错误.
C 选项：令
，则
，
所以
，因此
，
所以
为周期函数，且周期为4，故C 正确.
D 选项：
，故D 正确.
故选：ACD.
4.（2007·山东·高考真题）给出下列三个等式：
，
，
．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】依据指、对数的运算性质，和角公式，逐一验证各个选项满足的某个等式即可判断作答
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【详解】对于A，因
，则
满足
，A 不是；
对于C，因
，则
满足
，C 不是；
对于D，因
，则
满足
，D 不是；
对于B，显然
不能变形，
，因此
不满足三个等式中任一
个，B 是.
故选：B
题型9 抽象模型: 余弦与双曲余弦型
余弦与双曲余弦模型
1．定义域为
的函数
，对任意
，且
不恒为0，则下列
说法错误的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．若
，则
【答案】D
【分析】对于A，令
，
或
，结合
不恒为0，可得
，由此即可判断；
对于B，由
，不妨令
，即可判断；
对于C，令
，通过换元即可判断；
对于D，令
，得
关于(1,0)中心对称，结合
为偶函数，可得
为周期为4 的函数，算出
即可判断.
【详解】对于A，令
，有
，所以
或
，
若
，则只令
，有
，即
恒为0，
所以只能
，故A 正确；
对于B，由A 可知
，不妨令
，
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有
，
即
，且函数
的定义域为全体实数，它关于原点对称，
所以
偶函数，即
为偶函数，故B 正确；
对于C，令
，有
，
令
，由x∈R，得
，
所以当
时，有
，即当x∈R时，
，故C 正确；
对于D，若f (1)=0，令
，有
，
所以
关于(1,0)中心对称，
又
为偶函数，
所以
，所以
是周期为4 的周期函数，
又
，f (1)=0，
所以
，
所以
，
所以
，故D 错误.
故选：D.
2.已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数C．
有零点
D．
【答案】D
【分析】利用赋值法，结合奇函数的定义、零点的定义逐一判断即可.
【详解】A：在
中，
令
，得
，
因为
，所以
，所以本选项不正确；
B：函数的定义域为全体实数，由上可知
，显然不符合f (−x)=−f (x)，因此本选项不正确；
C：在
中，
令
，得
，或
，
显然函数y = f (x)没有零点，故本选项不正确，
D：在
中，
令
，
得
，所以本选项正确，
故选：D
3.函数
的定义域为
，且
，
.若对任意实数
，
都有
，则
（ ）
A．
B．-1
C．0
D．1
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【答案】D
【解析】将
用
替换，
用
替换，可得
，从而可得
，进而可得
，可求出函数的周期
，再令
，可求出
，由
即可求解.
【详解】将
用
替换，
用
替换，
由对任意实数
，
都有
，
可得
，由
，
所以
，即
，
所以
，所以函数的周期
，
令
，则
，因为
，
所以
，
所以
，
故选：D
【点睛】本题考查抽象函数及其应用，利用函数的周期性定义求出函数的周期，解决抽象函数的问题一般
应用赋值法，此题属于中档题.
4.设函数
的定义域为R，且
，
，若对于任意实数x，y，恒有
则下列说法中不正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，即可求解
，
令
，
，即可求出
，
令
，
，可得结论，
令
，
，
.
【详解】由题意，令
，可得
，
，
，故A 正确，
令
，
，可得
，
，故B 正确
令
，
，可得
，
，
；
，
，故C 正确，
令
，
，可得
，
，故D 错误，
故选D．
题型10 抽象模型: 正弦与双曲正弦型
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正弦与双曲正弦型：
1．（2024·广西南宁·一模）已知函数
的定义域为
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
是增函数
D．
是周期函数
【答案】C
【分析】对A，令
求解即可；对B，令
化简可得
即可；对C，设
，
结合题意判断
判断即可；对D，根据
是增函数判断即可.
【详解】对A，令
，则
，得
，故A 错误；
对B，令
，得
，
由
整理可得
，
将
变换为
，则
，
故
，故
，故
是奇函数，故B 错误；
对C，设
，则
，
且
，故
，则
.
又
，
是奇函数，故
是增函数，故C 正确；
对D，由
是增函数可得
不是周期函数，故D 错误.
故选：C
2．（24-25 高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数
的定义域为R，
，
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且当
时，
，则下列正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是周期函数
C．当
时，
D．当
时，
【答案】D
【分析】对于A，令
，得
，令
，整理得到
判定；对于B，先证明
是增函数，可得
不是周期函数判断；对于C，D 运用单调性可判断.
【详解】对于A
，
令
，则
，得
，
令
，得
，
由
整理可得
，
由题干可知
不恒为0，故
，
即
，故
是奇函数，不是偶函数，A 错误；
对于B，设
，则
，
则
，
且
，
故
，则
，
又
，
是奇函数，故
是增函数，
由
是增函数可得
不是周期函数，故B 错误；
对于C，
时，
，
，
，
，C 错误；
对于D，
时，
，
，
，D 正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再
不断变换求解即可.
3．（23-24 高二下·浙江温州·期末）已知函数
的定义域为
，且满足
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
【答案】B
【分析】利用赋值
判断A，令
可判断C，令
，结合条件求出函数周期可判断BD.
【详解】令
，则
，解得
，故A 正确；
令
，则
，即
，
因为
不恒为0，所以
，且定义域为
，故函数为奇函数，故C 正确；
令
，则
，因为
不恒为0，且
，
所以只能
，从而
，周期为4，
显然
，故B 错误D 正确.
故选：B
4．（24-25 高三上·广西·阶段练习）已知函数
的定义域为
，且当
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时，
，则下列正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是周期函数
C．当
时，
D．当
时，
【答案】D
【分析】对于A,令
，得
，令
， 将
变换为
，得到
判定；对于
B，先证明
是增函数，可得
不是周期函数判断；对于C，D 运用单调性可判断.
【详解】对于A,令
，则
，得
，令
，得
，由
整理可得
.
将
变换为
，则
，故
，故
，故
是奇
函数，故A 错误.
对于B，,设
，则
，
且
，故
，则
.
又
是奇函数，故
是增函数，可得
不是周期函数，故B 错误.
对于C，
时
，故C 错误；
对于D，
时，
.故D 正确.
故选：D.
题型11 抽象模型：对数反比例型
对数反比例型：
1．（22-23 高三上·山东·阶段练习）已知函数
的定义域为
，对任意的
，
，都有
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，且当
时，
恒成立.若
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，得
，令
，得
，得
为奇函数. 令
，得
，得函数
在
上单调递减，利用单调性将不等式
化为
，结合函数的定义域和
可求出结果.
【详解】在
中，令
，得
，得
，
在
中，令
，得
，即
，
所以
为奇函数，令
，则
，所以
，
因为
，所以
，
，所以
，因为
，所以
，所以
，
，
所以
，因为当
时，
恒成立，所以
恒成立，
所以
，即
，所以函数
在
上单调递减，
由
及函数
的定义域可知，
，
又由已知
，可得
，可得
，由
得
，
因为函数
在
上单调递减，所以
，所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，
所以
，结合
，可得
.故选：D
2．（22-23 高三·浙江·模拟）定义在
的函数
，当
时
，若
，
，
，则P，Q，R 的大小为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
26
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【分析】在已知等式中取
，可求得
，x=0,则-f(y)=f(-y),故函数在(-1,1)上是奇函数，再由
已知等式把
化为一个数的函数值，通过做差则三个数的大小即可比较．
【详解】取
，则
，
所以，
，令x=0,则-f(y)=f(-y),故函数在(-1,1)上是奇函数，
当-1<x<0 时，f(x)<0,则当0<x<1 时，f(x)>0,所以P>R,Q>R,
由
，得：
=
所以
所以
所以
．
故选D．
【点睛】本题考查了不等关系与不等式，考查了特值思想，解答此题的关键是能够运用已知的等式证出函
数是给定区间上的减函数，同时需要借助于已知等式把P 化为一个数的函数值，属于中档题．两个式子比
较大小的常用方法有：做差和0 比，作商和1 比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代
入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.
3．（多选）（2023·浙江·模拟预测）若定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则下列结论正确的是（ ）．
A．若
，
，
，则
B．若
，则
C．若
，则
的图像关于点
对称
D．若
，则
【答案】BC
【分析】根据已知应用单调性分情况可以判断A 选项，应用单调性结合反证法可以判断D 选项，赋值法可
以求出B 选项，根据对称性可以判断C 选项.
【详解】令
，则
，
∴
为奇函数，把y 用
代替，得到
，
设
，
，∴
．
又∵当
时，
，∴
，
∴
在
上单调递减．
∵
，
，
当
时，
，则当
时，则
，
，
当
时，则
，
．
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综上，
，∴A 错误．
令
，得
，∴
，
令
，得
，∴
，∴B 正确．
由
，得
，得
，
又∵
，
为奇函数，∴
，
则
，则
的图像关于点
对称，∴C 正确．
，
假设
，可得
，即
，
当
时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D 错误．
故选：BC.
【点睛】方法点睛：抽象函数已知奇偶性结合单调性定义得出单调性，结合对称性可以确定对称中心进而
可以解题.
4．（多选）（20-21 高三湖南·阶段练习）定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
为单调递减函数
D．
为单调递增函数
【答案】ABC
【解析】A.令
求解判断；B.令
求解判断；CD.令
，
，且
，由
判断其符号即可.
【详解】令
得
，即得
，A 正确；
在定义域范围内令
得
，即得
是奇函数，B 正确；
令
，
，且
，所以
，又
且
，
，所以
，即
，所以
，所以
是单调减函数，C 正确，D 错误．
故选：ABC．
题型12 抽象模型：反比例型
反比例模型：
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1.（24-25 高三·湖南·阶段练习）定义在
上的函数
满足条件①
，
，②
，
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
求出
，即可求出
，再令
求出
，最后根据
计
算可得.
【详解】
，
，
令
，得
，又
，
，
，
再令
，
，
，
.
故选：B
2.（多选）（23-24 高三上·山东·阶段练习）对于任意非零实数x，y﹐函数
满足
，且
在
单调递减，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
为奇函数
D．
在定义域内单调递减
【答案】AC
【分析】赋值法可判断A，根据等比数列求和公式判断B，利用奇偶函数的定义及赋值法判断C，由函数的
特例可判断D.
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【详解】令
，则
，解得
，故A 正确；
因为
，即
，
所以
是以
为首项，2 为公比的等比数列，
故
，故B 错误；
由题意，函数
的定义域为
，关于原点对称，
令
，则
，
令
代换
，则
，
由两式可得
，化简可得
，所以
为奇函数，故C 正确；
因为
在
单调递减，函数为奇函数，可得
在
上单调递减，
但是不能判断
在定义域上的单调性，例如
，故D 错误.
故选：AC
3.（24-25 高三·宁夏石嘴山·期末）定义在
上的函数
满足条件①
，②
，
，则
的值为（ ）
A．0
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】由
，取
可求
，由
，取
可求
，再取
，
，可求结论.
【详解】因为
，取
可得
，
又
，可得
，
因为
，取
可得
，所以
，又
30
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，由
，取
，
，可得
，
故选：D.
结束
31
