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24 带电粒子在复合场中的运动
1．在如图所示的平行板器件中，匀强电场E 和匀强磁场B 互相垂直。一束初速度为
的带电粒子从左侧垂
直电场射入后沿图中直线②从右侧射出。粒子重力不计，下列说法正确的是( )
A．若粒子沿轨迹①出射，则粒子的初速度一定大于
B．若粒子沿轨迹①出射，则粒子的动能一定增大
C．若粒子沿轨迹③出射，则粒子的动能一定增大
D．若粒子沿轨迹③出射，则粒子的电势能可能增大
【答案】D
【详解】
初速度为v 的带电粒子从左侧垂直电场射入后沿图中直线②从右侧射出，则
AB．若粒子沿轨迹①出射，粒子所受向上的力大于向下的力，但由于粒子电性末知，所以粒子所受的
电场力与洛伦兹力方向不能确定，故AB 均错误；
C．同理可知，若粒子沿轨迹③出射，粒子所受向下的力大于向上的力，但由于粒子电性末知，所以粒
子所受的电场力与洛伦兹力方向不能确定，不能确定动能的变化，故C 错误；
D．若粒子沿轨迹③出射，如果粒子带负电，所受电场力向上，洛伦兹力向下，电场力做负功，粒子的
电势能增大，故D 正确。
故选D。
2．(2020·浙江湖州·高三月考)如图所示，空间中存在水平方向的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左，
磁场方向垂直纸面向里。一带电小球恰能以速度v0沿与水平方向成30°角斜向右下方做匀速直线运动，
最后进入一轴线沿小球运动方向且固定摆放的一光滑绝缘管道(管道内径略大于小球直径)，下列说法正
确的是( )
A．小球带负电
B．磁场和电场的大小关系为
C．若小球刚进入管道时撤去磁场，小球仍做匀速直线运动
D．若小球刚进入管道时撤去电场，小球的机械能不断增大
【答案】C
【详解】
A．经分析，洛伦兹力不做功，重力做正功，而小球动能不变，电场力一定做负功，小球带正电，故A
错误；
B．仅当支持力为零，电场力、重力、洛伦兹力三力平衡时，有
即
故B 错误；
C．因为电场力、重力、洛伦兹力三力平衡时，电场力和重力的合力与洛伦兹力方向相反，说明合力和
速度方向垂直，撤去磁场后，重力和电场力合力不做功，支持力不做功，则小球仍沿杆做匀速直线运动，
故C 正确；
D．撤去电场，只有重力对小球做功，小球的机械能不变，故D 错误。
故选C。
3．(2020·河北唐山一中高三期中)如图所示，半径为R 的
光滑绝缘圆形轨道固定在竖直面内，以圆形轨
道的圆心O 为坐标原点，沿水平直径方向建立x 轴，竖直方向建立y 轴。y 轴右侧存在竖直向下范围足
够大的匀场强电场，电场强度大小为
，第二象限存在匀强电场(方向与大小均未知)。不带电的
绝缘小球a 质量为M，带电量为+q 的小球b 质量为m，a 球从与圆心等高的轨道A 处由静止开始沿轨道
下滑，与静止于轨道最低点的b 球正碰，碰撞后b 球恰好能通过轨道最高点C，并落回轨道A 处，小球
落回A 处时的速度大小与小球离开最高点C 时速度大小相等，重力加速度为g，小球b 的电量始终保持
不变。试求：
(1)第一次碰撞结束后，小球a 的速度大小；
(2)第二象限中电场强度E2的大小和方向。
【答案】(1)
；(2)
，水平向右
【详解】
(1)设小球a 滑动到最低时速度为v，由机械能守恒定律得
设a、b 小球在B 点碰撞后的速度分别为v1、v2，b 球过最高点速度为vc，由动量守恒定律得
由动能定理得
在C 点，由牛顿第二定律得
联立解得
(2)要让b 小球落回A 处时的速度大小与小球离开最高点C 时速度大小相等，电场力qE2与mg 的合力应
垂直于AC 边斜向下，把运动沿CA 方向与垂直CA 方向分解，CA 方向做匀速直线运动，垂直CA 方向
做匀减速运动，如图所示
则有
由几何关系得，设小球b 从C 运动到A 点时间为t，CA 长
小球b 垂直CA 方向加速度大小为a，有
解得
。小球从C 到A 受到的合力
由几何关系电场力大小为
则
方向水平向右。
4．(2020·江苏高二期中)如图甲所示，以两虚线 M、N 为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的电场，
M、N 间电压UMN的变化图像如图乙所示，电压的最大值为 U0、周期为 T0；M、N 两侧为相同的匀强
磁场区域Ⅰ、Ⅱ，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B，t=0 时，将一带正电的粒子从边界线 M 上
的A 处由静止释放，经电场加速后进入磁场，粒子在磁场中做圆周运动的周期也为T0。两虚线 M、N
间宽度很小，粒子在其间的运动时间不计，也不考虑粒子所受的重力。
(1)求该粒子的比荷
；
(2)求粒子第 1 次和第4 次到达磁场区域Ⅰ的左边界线 N 的两位置间的距离Δd；
(3)若粒子的质量增加为
倍，电荷量不变，t＝0 时，将其在 A 处由静止释放，求 t＝2T0 时粒子的速
度。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】
(1)粒子进入磁场后，据题意有
，所以由周期公式得
故
(2)由于不计粒子穿越
间的时间，则可认为
时刻出发的粒子穿越
的过程中电压始终为
，
如下图所示
第一次加速后
解得
在Ⅰ磁场区域中第一次做圆周运动，故有
可得
同理，之后分别在Ⅱ和Ⅰ磁场中圆周运动的半径分别为
，
粒子第1 次和第4 次到达磁场区域Ⅰ的左边界线
的两位置间的距离为
(3)粒子的质量增加为
，则
因为
，则粒子匀速圆周运动的周期变为
每半个周期为
从
开始到
为止的时间内，根据加速电压图像可知粒子进入电场的时刻分别为
，
，
，
，且加速电压大小分别为
、
、
、
，前两次为加速，最后一次为减速，
由动能定理得
解得
5．(2020·浙江高二期中)如图所示，一个质量为m＝2.0×10－11kg，电荷量q＝＋1.0×10－5C 的带电微粒，从
静止开始经U1＝100V 电压加速后，沿着平行于两金属板面射入偏转电场中，经偏转后进入右侧的匀强
磁场。金属板的上极板带正电，下极板带负电，两板间电压U2＝100V，板长L＝20cm，两板间距
。右侧匀强磁场足够长，宽度D＝10cm，微粒的重力忽略不计，求：
(1)微粒进入偏转电场时的速度v0大小；
(2)微粒射出偏转电场时的速度偏转角
；
(3)为使微粒不会从磁场右边界射出，则最小的磁感应强度B 的大小。
【答案】(1)
；(2)30°；(3)
或
【详解】
(1)微粒在加速电场中，由动能定理有
解得
(2)微粒在偏转电场中做类平抛运动，如图所示
偏转角
(3)微粒进入磁场做匀速圆周运动
进入磁场的速度
微粒恰好不从右边界射出时
解得
为使微粒不会由磁场右边界射出，磁感应强度最小值为
或
。
6．如图所示，在平面直角坐标系xoy 的第二象限内有平行于y 轴的匀强电场，电场强度大小为E，方向沿
y 轴负方向。在第一、四象限内有一个半径为R 的圆，圆心坐标为(R，0)，圆内有方向垂直于xoy 平面
向里的匀强磁场。一带正电的粒子(不计重力)，以速度为v0从第二象限的P 点，沿平行于x 轴正方向射
入电场，通过坐标原点O 进入第四象限，速度方向与x 轴正方向成
，最后从Q 点平行于y 轴离开磁
场，已知P 点的横坐标为
。求：
(1)带电粒子的比荷
；
(2)圆内磁场的磁感应强度B 的大小；
(3)带电粒子从P 点进入电场到从Q 点射出磁场的总时间。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】
(1)由水平方向匀速直线运动得
2h=v0t1
竖直向下的分速度
由竖直方向匀加速直线运动知
vy=at1
加速度为
根据以上式解得
(2)粒子进入磁场的速度为v，有
粒子运动轨迹如图所示
由几何关系得，粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为
r=R
由洛伦兹力提供向心力可知
解得
(3)粒子在磁场中运动的时间为
粒子在磁场中运动的周期为
，粒子在电场中运动的时间为
粒子运动的总时间
代入数据得
7．(2020·江苏省邗江中学高二期中)如图所示，在xOy 坐标系的
的区域内分布着沿y 轴正方向的
匀强电场，在
的区域内分布着垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，MN 为电场和磁场的交界面，
ab 为磁场的上边界。现从原点O 处沿x 轴正方向发射出速率为v0、比荷(电荷量与质量之比)为k 的带正
电粒子，粒子运动轨迹恰与ab 相切并返回电场。已知电场强度
，不计粒子重力和粒子间的相
互作用。试求：
(1)粒子第一次穿过MN 时的速度；
(2)磁场的磁感应强度B 的大小；
(3)粒子在磁场中运动的时间；若增大磁感应强度B，试判断粒子在磁场中运动的时间如何变化。
【答案】(1)
，方向与水平方向成
角斜向右上；(2)
；(3)
，运动时间不变
【详解】
(1)粒子从原点O 处沿x 轴正方向发射，在电场中做类平抛运动，由动能定理，有
将
，
代入，解得
粒子运动轨迹如图：
图中
解得
。
即粒子第一次穿过MN 时的速度为
，方向与水平方向成
角斜向右上。
(2)由图，根据几何关系，有
解得
由牛顿第二定律，有
解得
(3)粒子在磁场中做匀速圆周运动，由
联立解得，粒子运动的周期
故粒子在磁场中运动的时间为
由以上结果可知，粒子在磁场中运动的时间是一个常数，与磁感应强度B 无关，因此增大磁感应强度
B，粒子在磁场中运动的时间不变。
8．(2020·甘肃张掖市第二中学高三月考)如图所示，在一竖直面内建立直角坐标系，在坐标平面第I、IV 象
限内存在方向竖直向上的匀强电场，在
区域内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀
强磁场。在第Ⅱ象限内固定有
光滑绝缘圆弧轨道，轨道与x 轴相切于原点O。一个质量为
、带电荷
量为
的小铁块从
圆弧轨道上高为
的A 点沿轨道下滑至轨道最低点O 时与另一静止且不带电的质量
也为
的小铁球碰撞，之后合为一带电粘合体，带电粘合体沿x 轴做直线运动到C 点后进人电场和磁
场的复合区域，偏转后进入第II 象限并最终落在水平面上D 点。已知
=
，水平面到O 点的距离
，C 点坐标为(
，0)，重力加速度为
，求：
(1)带电粘合体沿x 轴运动的速度大小和第I、IV 象限内匀强电场的电场强度大小；
(2)带电粘合体运动过程中受到的洛伦兹力的冲量；
(3)水平面上D 点的位置坐标和带电粘合体从O 点运动到D 点的总时间。
【答案】(1)
；
；(2)
，负号表示冲量的方向沿x 轴负方向；(3)
；
【详解】
(1)小铁块从A 点运动达到O 点，由机械能守恒定律有
碰撞后，设带电粘合体沿x 轴运动的速度为v，由动量守恒定律有
mv0=2mv
代入数据解得
碰撞后粘合体沿x 轴做直线运动，电场力与重力平衡，有：2mg=qE，解得
(2)如图所示
负号表示冲量的方向沿x 轴负方向
(3)带电粘合体在电场和磁场的复合区域，电场力与重力平衡，洛伦兹力提供向心力有
代入数据解得
带电粘合体在电场和磁场的复合区域运动的时间
带电粘合体在电场和磁场的复合区域运动半周后垂直虚线沿y=-2R 的直线向左做匀速直线运动，经过y
轴上y=-2R 位置后做平抛运动，由平抛运动规律有
，-x=vt3
代入数据解得
，
做水平面上D 点的位置坐标为
，小球从O 点运动到C 点的时间
小球从O 点运动到D 点的总时间
9．(2020·湖北省松滋市言程中学高二月考)如图所示，一个质量为m、电荷量为＋q 的微粒，在A 点(0，3)
以初速度v0=120 m/s 平行x 轴射入电场区域，然后从电场区域进入磁场，又从磁场进入电场，并且先后
只通过x 轴上的P 点(6，0)和Q 点(8，0)各一次。已知该微粒的比荷为
=102 C/kg，微粒重力不计，
求：
(1)微粒从A 到P 所经历的时间和加速度的大小；
(2)微粒到达P 点时速度方向与x 轴正方向的夹角，并画出带电微粒在电磁场中由A 至Q 的运动轨迹；
(3)电场强度E 和磁感应强度B 的大小。
【答案】(1)0.05s，2.4×103m/s2；(2)45°，
；(3)24N/C，1.2T
【详解】
(1)微粒从平行x 轴正方向射入电场区域，由A 到P 做类平抛运动，微粒在x 轴方向上做匀速直线运动,
由
x=v0t
得
t=
=0.05 s
微粒沿y 轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，由
y=
at2
得
a=2.4×103 m/s2
(2)由于
vy=at
tan α=
=1
所以
α=45°
轨迹如图所示。
(3)由
qE=ma
得
E=24 N/C
设微粒从P 点进入磁场以速度v 做匀速圆周运动
v=
v0
由
qvB=m
得
由几何关系
R=
m
所以可得
B=
=1.2 T
10．(2020·江苏高二期中)如图所示，坐标平面第Ⅰ象限内存在大小为E＝4×105N/C、方向水平向左的匀强
电场，在第Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。质荷比
＝4×10－10kg/C 的带正电的粒子，以
初速度v0＝1.5×107m/s 从x 轴上的A 点垂直x 轴射入电场，OA＝0.2m，不计粒子的重力。
(1)求粒子经过y 轴时的位置到原点O 的距离；
(2)求粒子经过y 轴时的速度大小和方向；
(3)若要使粒子不能进入第Ⅲ象限，求磁感应强度B 的取值范围(不考虑粒子第二次进入电场后的运动情
况)。
【答案】(1)0.3m；(2)2.5×107m/s，与y 轴正方向夹角大小为53°；(3)B≥6×10－2T
【详解】
(1)设粒子在电场中运动时间为t，粒子经过y 轴时的位置与原点O 的距离为y，则
代入数据解得
a＝1.0×1015m/s2
xOA＝
at2
代入数据解得
t＝2.0×10－8s
y＝v0t
代入数据解得
y＝0.3m
(2)粒子经过y 轴时在电场方向的分速度为
vx＝at＝2×107m/s
粒子经过y 轴时速度为
v＝
＝2.5×107m/s
与y 轴正方向夹角大小为θ
tanθ＝
＝
θ＝53°
(3)要使粒子不进入第Ⅲ象限，如图所示，此时粒子做圆周运动的半径为R
则
R＋0.8R≤y
解得
1.8R≤y
由
解得
B≥6×10－2T
11．(2020·广东仲元中学高二期末)图所示，在平面直角坐标系xoy 内，第一象限的等腰直角三角形MNP 区
域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，y＜0 的区域内存在着沿y 轴正方向的匀强电场。一质量为
m，电荷量为q 的带电粒子从电场中Q(-2h，-h)点以速度v0水平向右射出，经坐标原点O 射入第一象限，
最后以垂直于PN 的方向射出磁场。已知MN 平行于x 轴，N 点的坐标为(2h，2h)，不计粒子的重力，
求：
(1)电场强度的大小E 和磁感应强度的大小B；
(2)粒子在磁场中运动的时间；
(3)若将磁感应强度大小改为B1，使得粒子刚好不能从PN 射出磁场，求B1的大小。
【答案】(1)
，
；(2)
；(3)
【详解】
(1)粒子在电场中运动过程，有
，
联立解得
粒子从
点射出时
所以粒子射入磁场时，速度大小
方向垂直
，且从
中点射入。
即轨迹圆心，有几何关系得
由
得
(2)粒子在磁场中的运动的周期
粒子在磁场中的运动时间
(3)如图，当粒子刚好从
边射出时，由几何关系
得
由
得
12．如图所示，在
，
内某一区域存在一匀强磁场，方向垂直纸面向里。在直线
的上方，直线
与
之间的区域内，另有一沿y 轴负方向的匀强电场，场强大小为E。
一质量为m、电荷量为
的粒子以速度
从
点垂直于磁场方向射入磁场，当速度方向沿
轴
正方向时，粒子恰好从
(
的位置)点正上方的A 点沿y 轴正方向射出磁场，不计粒子重力。
(1)求磁感应强度B 的大小；
(2)若粒子以速度
从
点垂直于磁场方向射入磁场，速度方向沿x 轴正方向成
角(
，
其中粒子射入第一象限，
取正：粒子射入第四象限，
取负)，为使这些粒子射出磁场后在电场中运
动的时间相同且最长，写出磁场边界的轨迹方程。
(3)磁场的边界如题(2)所求，若粒子以速度
从
点垂直于磁场方向射入第一象限，当速度方向沿
轴
正方向的夹角
时，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】
(1)当粒子速度沿x 轴方向入射，从A 点射出磁场时，几何关系知
r=a
由牛顿第二定律得
解得
(2)要使这些粒子射出磁场后在电场中运动的时间相同且最长，则要求进入电场时的速度与电场线平行，
设与y 轴正方向成θ 角的粒子从磁场边界某点P(x，y)射出，由题可知，粒子运动的轨迹对应的圆心角
刚好为
，如图，由几何关系可知P 点的坐标为
消掉θ1可得边界的曲线方程为
即所加磁场在以(a，0)为圆心，半径为a 的圆内，如图中圆所示。
(3)粒子从磁场中的P 点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO1PO2构成菱形，
故粒子从P 点的出射方向与OO1垂直，即与y 轴平行；轨迹如图所示；则粒子从O 到P 所对应的圆心角
为θ1=60°，粒子从O 到P 用时
由几何知识可知，粒子由P 点到x 轴的距离
粒子在电场中做匀变速运动的时间
粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间
粒子由P 点第2 次进入磁场，从Q 点射出，PO1QO3构成菱形；由几何知识可知Q 点在x 轴上，即为
(2a，0)点；粒子由P 到Q 所对应的圆心角θ2=120°，粒子从P 到Q 用时
粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间
13．一绝缘“
”形杆由两段相互平行的足够长的水平直杆
、
和一半径为R 的光滑半圆环
组成，固定在竖直平面内，其中
杆是光滑的，
杆是粗糙的，整个装置处在水平向左的匀强电
场中，在
左侧区域足够大的范围内同时存在垂直竖直平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。现将
一质量为m、带正电电量为q 的小环套在
杆上，小环所受的电场力为重力的
。(已知重力加速度
为g)
(1)若将小环由D 点静止释放，则刚好能到达P 点，求
间的距离；
(2)在满足第一问的情况下，小环在A 点对圆环的压力；
(3)若将小环由M 点右侧5R 处静止释放，设小环与
杆间的动摩擦因数为μ，小环所受最大静摩擦力
与滑动摩擦力大小相等，求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功。
【答案】(1)4R；(2)
mg+ qB
；(3)
或者
mgR
【详解】
(1)设电场强度为E，DM 距离为L，对小环从D 至P，由动能定理：
EqL-mg•2R=0-0
题意有
Eq＝
mg
得
L=4R
(2)设小环在A 点速度为vA，对小环从D 至A 的过程，由动能定理
Eq•5R−mgR＝
由小环在A 点的受力分析及牛顿第二定律得
解得
N=
mg+Bq
。
根据牛顿第三定律，小环a 在A 点对圈环的压力大小为
N=
mg+ qB
方向水平向左。
(3)小环首次到P 点速度不为零，将向右运动，当速度为零时，若满足
(i)当
Eq≤fm=μmg
即
μ≥
小环将保持静止。设此时小环距P 点水平距离为x，则对全程由动能定理
Eq(5R-x)-mg•2R-μmgx=0-0
则克服摩擦力做功
(ii) 当
Eq＞fm=μmg
即
μ＜
小环将来回往复运动，最终会在P 点的速度减为零。
则对全程由动能定理
Eq•5R-mg•2R-Wf=0-0
得克服摩擦力做功
Wf＝
mgR
14．(2020·广东高三月考)如图所示，半径为
的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，半径
与
轴
夹角为
，一电子以平行
轴，速率
从
点沿直径
方向射入磁场，从
点射出进入第Ⅰ象限
磁感应强度为
的磁场Ⅱ中，运动到
点时速度方向与
轴的正方向相同，
点的右侧是竖直向下电
场强度为
的匀强电场，最终电子从
轴
点射出，出射方向与
轴夹角为
，已知电子质量为
、
电荷量为，不计电子重力，求：
(1)圆形磁场区域的磁感应强度大小；
(2)电子从
到
运动的时间.
【答案】(1)
；(2)
【详解】
(1)由题意得，电子的运动半径恰好等于
解得
(2)电子在圆形磁场中的运动周期
电子在圆形区域的运动时间
电子由
运动到
时速度方向改变了60°角，所以其轨迹对应的圆心角为
，运动的时间为
电子从
点到
点在匀强电场中仅受电场力作用做类平抛运动，根据牛顿第二定律可得
电子由
到
，设电子在
点沿电场方向的速度大小为
，则有
，
解得
所以电子从
到
运动的时间
15．(2020·全国高三月考)在平面坐标系第Ⅰ象限内有沿x 轴负方向的匀强电场，虚线PQ 为在同一平面内
的竖直直线边界，在第Ⅱ、Ⅲ象限内虚线PQ 与y 轴之间有垂直坐标平面向里的大小为B 的匀强磁场。
C、D 两个水平平行金属板之间的电压为U。一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子(不计粒子重力)
从靠近D 板的S 点由静止开始做加速运动，从x 轴上
处的A 点垂直于x 轴射入电场，粒子进入磁
场时速度方向与y 轴正方向
，不计粒子的重力。要使粒子不从PQ 边界射出，求：
(1)粒子运动到A 点的速度大小
；
(2)匀强电场的场强大小E；
(3)虚线PQ 与y 轴之间磁场的最小宽度d。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】
(1)设粒子运动到M 点的速度大小为
，由动能定理得
可得粒子运动到A 点的速度大小：
(2)设粒子进入磁场的速度为v，粒子在电场中竖直方向做匀速运动，水平方向做匀加速运动：
根据动能定理：
解得匀强电场的场强大小：
将
代入解得：
(3)带电粒子进入磁场中洛伦兹力提供向心力，设圆周运动的半径为r，则有：
当粒子运动的轨迹刚好与边界PQ 相切时，粒子不从PQ 边界射出，虚线PQ 与y 轴之间磁场的最小宽度：
解得：
将
代入解得：
16．(2020·广东高三月考)如图甲所示，空间存在垂直纸面向里的有界匀强磁场区域，磁感应强度大小为
，虚线
、
为其竖直边界，圆弧
为其半圆边界，圆心为
，半径为
，
、
、
、
与圆心
共线，
。在边界左侧平行于竖直边界放置一平行板电容器MN，极
板N 上有一粒子源，可产生比荷为
、带负电、初速度为零的粒子。极板M 上有一小孔，
粒子源、小孔和
点正对，粒子可通过
点垂直边界
射入磁场区域。现将电容器MN 接入如图乙所
示的正弦交变电源，粒子在平行极板间加速时间极短，不计粒子间的相互作用及粒子的重力。求：
(1)电压为峰值时进入极板间的粒子在磁场中运动的半径；
(2)粒子在磁场中运动的最短时间及这些粒子从极板N 发射的时刻(最短时间保留一位有效数字)。
【答案】(1)2m；(2)
；
或
，(
)
【详解】
(1)电压为峰值时，粒子在电场中加速，由动能定理可得：
粒子垂直进入磁场后做匀速圆周运动，由圆周运动规律可得
解得
(2)过
点做圆弧
的切线
(
为切点)，由题意可知，粒子沿以
为弦的圆弧在磁场中运动时
所用时间最短，由几何关系可得，轨迹圆的半径为
粒子在磁场中运动所对应的圆心角
设粒子在磁场中运动的最短时间为
，由圆周运动规律可得
解得
运动时间最短时，由圆周运动规律可得
解得
再根据交变电流的表达式
解得在磁场中运动最短时间的粒子的发射时刻为
或
，(
)
17．(2020·安徽高三三模)如图所示，在xOy 平面的第一象限以OA 为分界线分成两部分，OA 与x 轴的夹角
为45°，OA 与y 轴正方向之间有一沿y 轴负方向的匀强电场，OA 与x 轴正方向之间有方向垂直于纸面向
里的匀强磁场。有一质量为m，带电荷量为+q 的粒子，从y 轴上的P 点以速度v0平行于x 轴正方向射入
匀强电场，在电场中运动后从OA 上的M 点垂直OA 方向进入磁场，经磁场偏转后第二次到达OA 上的
N 点(M、N 点图中均未标出)，已知OP=L，不计粒子的重力。求：
(1)匀强电场的电场强度E 的大小；
(2)求O、N 两点间距离的最大值以及所对应的磁感应强度B 的大小。
【答案】(1)
；(2)
；
【详解】
(1)粒子的运动轨迹如图所示，由题意可知
根据粒子在匀强电场中做类平抛运动知
距离关系为
竖直速度为
加速度为
解以上各式得
(2)当粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹与x 轴相切时，O、N 两点间的距离最大如图所示，设此
时圆周运动的半径为R，圆心为
则由几何关系可知
解得
O、N 两点间的距离最大值
根据洛伦兹力提供向心力可知
速度关系为
解得
18．(2020·安徽高三二模)如图所示，在xoy 平面内，第三、四象限内有竖直方向的匀强电场和垂直于纸面
向里的匀强磁场，将一质量为m，带电量为q 的小球从O 点正上方y 轴上某一点以初速度v0水平向右抛
出，小球经过x 轴上P 点(图中未画出)后进入x 轴下方的电磁场区，并沿一段圆弧运动后恰好经过O 点，
求：
(1)匀强电场强度的大小和方向；
(2)匀强磁场磁感应强度的大小。
【答案】(1)
，电场方向向下；(2)
【详解】
(1)由于小球经过x 轴上P 点后进入x 轴下方做一段圆弧运动后恰好再次经过O 点
可以判断小球带负电，在x 轴下方做圆周运动，重力与电场力平衡，有
解得
电场方向向下
(2)设小球做平抛运动的时间为t，到达x 轴水平位移为x，则
设小球进入x 轴下方的速度为v，做圆周运动的的半径为R，则有
得
设小球到达x 轴时速度方向与x 轴的夹角为
，则小球平抛运动有
，
解得
19．(2020·广西高三一模)如图所示，在xOy 坐标系中，有垂直坐标平面向里的匀强磁场和沿y 轴正向的匀
强电场，匀强磁场的磁感应强度为B，电场和磁场的分界线为MN，MN 穿过坐标原点和二、四象限，
与y 轴的夹角为θ＝30°。一个质量为m、带电量为q 的带正电粒子，在坐标原点以大小为v0、方向与x
轴正向成θ＝30°的初速度射入磁场，粒子经磁场偏转进入电场后，恰好能到达x 轴。不计粒子的重力，
求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)粒子从O 点射出后到第三次经过边界MN 时，粒子运动的时间。
【答案】(1)
(2)
【详解】
(1)粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律可知
求得
粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，
根据几何关系，粒子出磁场的位置离x 轴的距离为
由于粒子进入电场后速度与电场方向相反，因此粒子做匀减速运动，刚好能到达x 轴，根据动能定理有
求得
(2)粒子在磁场中运动做圆周运动的周期
第一次在磁场中运动的时间
在电场中运动时
qE=ma
第一次在电场中运动的时间
第二次在磁场中运动的时间
则粒子从O 点射出后到第三次经过边界MN 时，粒子运动的时间
20．(2020·河南高三月考)如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一、二象限内有垂直于坐标平面向里的匀
强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，在第三、四象限内有与y 轴夹角为θ=45°的匀强电场，在y 轴上
(0，-L)点处，沿电场方向射出一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，粒子的初速度为
，粒子到达
x 轴时速度为2
，不计粒子的重力。求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)粒子第二次和第三次经过x 轴的位置的横坐标及从释放粒子到第三次经过x 轴所用的时间。
【答案】(1)
；(2)
，
【详解】
(1)带电粒子在电场中做匀加速运动，由题意可知粒子沿电场方向的位移为
L
由动能定理得
可求得匀强电场的电场强度大小为
(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。
由
可得粒子做圆周运动的半径
由几何关系可知，粒子第二次经过x 轴的横坐标为
粒子进入电场后做类平抛运动，垂首于电场方向匀速运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速运动。
沿电场方向的加速度为
垂直于电场方向匀速运动的位移
沿电场方向做初速度为零的匀加速运动的位移
又知
解得
第三次到达x 轴的位置的横坐标是
粒子第一次在电场中运动的时间
第一次在磁场中运动的时间
因此第三次通过x 轴时运动的总时间
21．(2020·河南高三月考)如图所示为平面直角坐标系xOy 平面的俯视图，在第一象限存在方向沿y 轴正方
向的匀强电场，电场强度大小为E1；在第二、第三象限存在方向垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁
感应强度大小为B；在第四象限存在由特殊静电装置产生的匀强电场，电场方向平行坐标平面且与y 轴
正方向的夹角为45°，电场强度大小为E2。一个带负电的粒子，从y 轴上的P 点(0，-d)沿x 轴负方向射
出，速度大小为
，粒子的比荷
，粒子运动依次经过y 轴上的A 点(图中未画出)、x 轴上的C
点、过C 点且平行于y 轴的直线上的D 点(图中未画出)。已知粒子经过C 点时的动能是经过A 点时动
能的2 倍，粒子从C 运动到D 所用时间t2与从A 运动到C 所用时间t1的关系为t2=
t1，不计粒子重力。
求：
(1)A 点的坐标；
(2)电场强度E1和E2的比值
；
(3)从A 点到D 点电场力对粒子做的功W。
【答案】(1)(0，d)；(2)
；(3)
【详解】
分析粒子运动.作出粒子的运动轨速如图所示
(1)粒子在P 点沿x 轴负方向进入勾强磁场，做匀速圆周运动，设半轻为r，则有
代入数据解得
可见粒子做圆周运动的圆心在O 点，A 点在圆周的最高点，竖直坐标为
所以A 点的坐标为(0，d)
(2)由题可知粒子在C 点的动能为在A 点动能的2 倍，有
解得
可知
与x 轴正方向的夹角
，粒子沿y 轴负方向的分速度为
在第一象限，粒子做类平抛运动，加速度
在y 轴负方向根据运动学公式有
联立解得
与x 轴的夹角
,根据运动特点可知
OC=2d，运动时间为
由题意有
根据题意和以上分析知，粒子在第四象限受的电场力方向和
的方向垂直
加速度为
C、D 在同一条平行于y 轴的直线上，在x 轴方向位移为0，有
联立解得
则
(3)粒子在D 点的速度大小
根据动能定理可得.电场力做的功
联立解得
22．(2020·浙江杭州高级中学高二期中)如图甲所示，M、N 为竖直放置的两块平行金属板，圆形虚线为与
N 相连且接地的圆形金属网罩(不计电阻)。PQ 为与圆形网罩同心的金属收集屏，通过阻值为r0的电阻
与大地相连。小孔s1、s2、圆心O 与PQ 中点位于同一水平线上。圆心角2θ＝120°、半径为R 的网罩内
有大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。M、N 间相距
且接有如图乙所示的随时间t 变化的电压，
UMN＝U0sin
t(0≤ t ≤T)，UMN＝U0(t＞T)(式中
，T 已知)，质量为m 电荷量为e 的质子连
续不断地经s1进入M、N 间的电场，接着通过s2进入磁场。(质子通过M、N 的过程中，板间电场可视
为恒定，质子在s1处的速度可视为零，质子的重力及质子间相互作用均不计。)
(1)若质子在t＞T 时刻进入s1，为使质子能打到收集屏的中心需在圆形磁场区域加上一个匀强电场，求
所加匀强电场的大小和方向？
(2)质子在哪些时间段内自s1处进入板间，穿出磁场后均能打到收集屏PQ 上？
(3)若毎秒钟进入s1的质子数为n，则收集屏PQ 电势稳定后的发热功率为多少？
【答案】(1)
，方向竖直向下；(2)
和t ≥T；(3)
【详解】
(1)在电场中，由动能定理得
为使质子做匀速直线运动，有
eE＝ev0B
解得
E＝
方向竖直向下。
(2)质子在板间运动，根据动能定理，有
质子在磁场中运动，根据牛顿第二定律，有
若质子能打在收集屏上，轨道半径r 与半径R 应满足的关系
解得
结合图象可知：质子在
和
之间任一时刻从s1处进入电场，均能打到收集屏上。
(3)稳定时，收集屏上电荷不再增加，即在t＞T 时刻以后，此时，UMN＝U0，收集屏与地面电势差恒为
U
U＝Ir0
单位时间到达收集板的质子数n，单位时间内，质子的总能量为
单位时间内屏上发热功率为
消耗在电阻上的功率为
所以收集屏发热功率
23．(2020·深圳实验学校高三月考)如图所示，在边长为L 的正方形
区域内存在图示方向的匀强电场，
正方形的内切圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场。现有一质量为m、带电量为
的粒子从
边中点e
以速度
沿内切圆直径
射入场区，粒子恰沿直线从
边的中点f 射岀场区。保持粒子入射位置及速
度大小、方向均不变，仅撤去磁场，粒子射出电场时速度偏向角
。已知
，不计粒
子重力。
(1)求仅撤去磁场时粒子在电场内运动的时间
及电场强度E 的大小；
(2)若保持粒子入射位置及速度大小、方向均不变，仅撤去电场，求粒子在磁场中的运动时间。
【答案】(1)
；
；(2)
【详解】
(1)当只有电场时，粒子做类平抛运动，设粒子出电场时沿电场方向分速度为
速度偏向角的正切值
沿初速度方向
沿电场力方向
可得
可知粒子一定是从c 点射出电场，可得
加速度
沿电场方向分速度
可得
(2)设磁场的磁感应强度大小为B，当电场和磁场共存时粒子做直线运动，则
当只存在磁场时粒子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得
粒子运动轨迹如图所示
由几何关系可知偏转角
满足
粒子在磁场内运动周期
粒子在磁场内运动时间
24．(2020·河南洛阳一高高二月考)如图所示，在无限长的竖直边界NS 和MT 间充满匀强电场，同时该区域
上、下部分分别充满方向垂直于NSTM 平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为
和
，
KL 为上下磁场的水平分界线，在NS 和MT 边界上，距KL 高
处分别有P、Q 两点，NS 和MT 间距为
。质量为
、带电量为
的粒子从P 点垂直于NS 边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，
重力加速度为
。
(1)求该电场强度的大小和方向。
(2)要使粒子不从NS 边界飞出，求粒子入射速度的最小值。
【答案】(1)
，方向竖直向上；(2)
【详解】
(1)设电场强度为E，由题意有
解得
方向竖直向上
(2)如图所示
设小球不从NS 边飞出的入射速度最小值为vmin，对应的小球在上下区域运动的半径为r1和r2，圆心的连
线与NS 的夹角为φ，由公式
得
则有
有
由
，
解得小球入射速度的最小值为
25．(2020·辽宁高三月考)如图在第一象限内存在沿y 轴负方向的匀强电场，在第二、三、四象限内存在垂
直
平面向外的匀强磁场。一带正电粒子从x 轴上的M 点以速度
沿与x 轴正方向成
角射入第
二象限，恰好垂直于y 轴从N 点进入匀强电场，从x 轴上的P 点再次进入匀强磁场，且粒子从N 点到P
点的过程动量变化量的大小为
，已知磁场的范围足够大，
，粒子的比荷为k，不计粒子
重力。求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
(2)匀强电场的电场强度E 的大小；
(3)粒子从P 点进入匀强磁场再次到达x 轴的位置与M 点的距离以及经历的时间。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
；
；
【详解】
(1)设粒子从M 点做圆周运动到N 点，圆的半径为r1，根据洛伦兹力提供向心力
由几何关系
解得
(2)粒子从N 点运动到P 点，做类平抛运动，根据几何关系
粒子在电场中运动，x 方向动量不变，y 方向的初始动量为0，设离开电场时其y 方向的速率分量为
，
则有
即
根据动能定理
求得
(3)设粒子从P 点进入磁场时速度与x 轴正方向夹角为
，则有
则
由类平抛规律可得
由
解得
可得过P 点作速度v 的垂线与y 轴交点
即为圆心，设粒子再次回到x 轴到达
点，可得
与P 关于
原点O 对称，故
则与M 点相距为
，从P 到
点经历时间为
26．(2020·江苏高二月考)如图所示，在y 轴左则有一平行x 轴方向的匀强电场，电场强度
，
在y 轴右侧存在垂直纸面向里的匀强 磁场，第一象限内磁场的磁感应强度大小
，第四
象限内磁场的磁感应强度大小为
．现有一比荷
的粒子中，从电场中与y 轴相距
10cm 的P 点(图中未标出)由静止释放，粒子运动一段时间后从M 点进入磁场，并一直在磁场中运动且
多次垂直通过x 轴，不计粒子重力，试求：
(1)粒子进入磁场时的速度大小；
(2)从粒子进入磁场开始计时到粒子第三次到达x 轴所经历的时间；
(3)粒子轨迹第一次出现相交时所对应的交点坐标。
【答案】(1)2×104m/s；(2)
π×10-4s ；(3)P(
m，
m)
【详解】
(1)对粒子在电场中，由动能定理
得
(2)粒子进入磁场做匀速圆周运动，轨迹如图所示
根据向心力公式
又
得
，
所以粒子从进入磁场到第三次运动到x 轴所用的时间为
代入数值可得
(3)设粒子第一次出现相交时的轨迹交点为P，如图所示
由图可知，三角形
为等边三角形，则有
根据向心力公式有
解得
根据几何关系可得，P 点坐标
所以P 点坐标为P(
)
27．(2020·福建高三月考)如图，平行板电容器两极间的电势差为
，两板间距为
，板间同时存在
磁感应强度大小
、方向垂直纸面向里的匀强磁场.电容器右侧有一倾角
的斜面，斜
面上方有一正三角形区域
，区域内分布有磁感应强度大小
、方向垂直纸面向里的匀强
磁场.质量为
、带电量为
的粒子(重力不计)，从板间以速度
水平射入电容器，
做直线运动，然后穿过
边进入正三角形区域，仍从
边离开，最后恰好垂直打在斜面上，其运动
轨迹如图所示.求：
(1)粒子入射速度
的大小；
(2)粒子在三角形区域中运动的时间；
(3)正三角形区域的最小边长。
【答案】(1)
；(2)
；(3)0.09m
【详解】
(1)根据平衡条件可得
又
联立解得
(2)由几何关系可知，粒子在三角形磁场中运动的圆心角为
则
又
根据洛伦兹力提供向心力
解得
(3)由几何关系可知其边长
联立解得
28．(2020·浙江省新昌中学高三月考)如图所示，在平面直角坐标系中第II 象限有沿y 轴负方向的匀强电场，
第I 象限和第IV 象限存在垂直xOy 平面向里的匀强磁场，第I 象限的磁感应强度是第IV 象限的两倍。
一质量为m、带电荷量为+q 的粒子从P(－2a，a)以初速度
沿x 轴正方向射出，粒子恰好从坐标原点
进入磁场，不考虑粒子重力。
(1)求电场的电场强度大小E；
(2)若第IV 象限磁场磁感应强度为B，求带电粒子进入第IV 象限磁场运动半径；
(3)若带电粒子在运动过程中经过了点Q(L，0)，L>0，求第IV 象限磁场的感应强度的可能值。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
(n=1，2，3……)
【详解】
(1)由题意可知，粒子在第II 象限运动时，有
解得
(2)粒子由P 点到O 点的过程中，x 轴方向做匀速直线运动，y 轴方向做匀加速直线运动
设到达O 点时沿y 轴方向的速度为
，则
得
粒子穿过O 点时的速度大小为
即
方向与x 轴正方向夹角为
，由公式
解得
(3)设粒子在第IV 象限运动时的轨迹半径为r，第IV 象限磁场感应强度为B，根据
可知，粒子在第I 象限运动时的轨迹半径为
，粒子的运动轨迹如图所示
运动过程中经过点Q(L，0)，则需满足
(n=1，2，3……)
又
得
(n=1，2，3……)
