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专题04 数列
题号
1
2
3
4
5
答案
B
A
ABD
BC
BC
1．
2．
3．
题号
1
2
答案
D
ABD
3．(1)
，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意求出等差数列
的公差，即可得到其通项公式；由数列
满足
，
.根据等比数列的定义可证明数列
是等比数列；
（2）由分组求和法，结合等差数列、等比数列的前
项和公式可求得
.
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，由
，
，
得
，解得
.
考点1
等差数列
考点2
等比数列
考点3
数列求和
1
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所以
.
由
得
，即
，
又
，
所以
是一个以4 为首项，3 为公比的等比数列.
（2）由（1）可得
，所以
.
所以
.
所以
.
4．(1)
，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出
和
，并作差比较即可；
（2）将原不等式等价于
，设
，求导后分
、
、
三种情况讨论单调性，结合单调性判断即可；
（3）根据
，结合
求出
的通项表达式，再令
，由（2）可得不等
式
，又令
，可得
，再结合裂项相消法证明即可．
【详解】（1）当
时，
，则
，
2
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所以
，
所以
，
所以
．
（2）由题可知，因为
，
所以原不等式等价于
，即
，
设
，因为
，
，
令
，
，
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
，也即
在
上单调递减，
，所以
不符题意；
当
时，又
，令
，解得
，
则
时，
，所以
在
上单调递减，
又因为
，所以必存在
，使得
时，
，
也即
在
上单调递减，
，所以
不符题意；
当
时，
，则
时，
，
所以
在
上单调递增，
，
也即
在
上单调递增，
，所以
符合题意；
综上所述，a 的取值范围为
．
3
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（3）因为
，所以
，
即
，又
，
所以
，
也即当
时，
，又
，
所以
，
由（2）可知，当
时，
，也即
，
令
，则
，即
，
所以
．
5．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列基本量的计算可求数列
的通项公式；
（2）由（1）可推得
，进而利用裂项相消法求
即可.
【详解】（1）设等差数列
的首项为
，公差为
，
由题意得
，解得
，
所以
.
4
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（2）由（1）知
，则
，
所以
，
得
.
6．(1)
，
（或
，答案不唯一）
(2)
【分析】（1）直接求出
，由
求得
.由
，求得数列
的通项公式；
（2）根据裂项相消法求得数列
的前
项和
．
【详解】（1）由条件知
.
当
为偶数时，
；
当
为奇数且
时，
也符合.
数列
的通项公式为
，（或
，答案不唯一）
（2）由题意可知：
当
为奇数时，
，
，则
；
当
为偶数时，
，
，则
.
综上可得，
.
所以
，
5
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所以
.
7．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得
，结合等比数列的定义可得
，即可求解；
（2）由（1），结合错位相减法计算即可求解.
【详解】（1）由
，得
，
即
，得
，又
，
所以
是以
为首项，以
为公比的等比数列，
则
，所以
.
（2）由（1）知，
，
，
两式相减得
，
所以
.
6
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7
