文档文本内容
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第01 讲平方根与立方根
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：10 大核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 平方根
(1)定义：一般地，如果一个数的平方等于a, 那么这个数叫作a 的平方根，也叫作a 的二
次方根，记为"
a
",
读作"正负根号a". 如下：
b²=a→
a
=b
其中把a 称之为被开方数.
(2)特性：正数有两个平方根，且互为相反数；负数没有平方根；0 的平方根还是0.
知识点2 算术平方根
(1)定义：非负数的非负平方根称为算术平方根.一个数a(a≥0)的算术平方根记作
a ,读作
"根号a".0 的算术平方根为0.
(2)算术平方根的双重非负性：被开方数a 是一个非负数，其结果“
a
”也是一个非负数.
知识点3 平方根与算术平方根的联系与区别
1)联系：
(1)算术平方根是平方根中的一部分，是取了一个数a
的平方根
a
中的非负部分；
(2)平方根和算术平方根的被开方数必须是非负数，负数没有平方根和算术平方根；
(3)0 的平方根和算术平方根都是0.
2)区别：
(1)个数上；正数的平方根有两个，且互为相反数，必有一正一负.而算术平方根只有一
个，取它的正平方根
(2)表示方法：
a
表示平方根，前面的“ ”表示其值有正负；
a
表示算术平方根.特别
注意的是：
a
≠
a
知识点4 立方根
.
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(1)定义：一般地，一个数的立方等于a,这个数就叫作a 的立方根，也叫作a 的三次方根，记为“ 3 a ”,读作
"三次根号a".即可以表示如下
b³=a→3 a =b
其中，a 是被开方数，3 是根指数.
(2)特性：每个数都有一个立方根，且正数有且仅有一个正的立方根，负数有且仅有一个负的立方根，0 的
立方根是0.
推广：一个数的奇次方根有且只有一个.
(3)与平方根的主要区别：表示方法的不同；负数也有立方根，但是没有平方根.
知识点5 几个关于平方根、立方根的记忆点
(1)一个数的平方根是本身，这个数是0;
(2)一个数的算术平方根是本身，这个数是0,1
(3)一个数的立方根是本身，这个数是-1,0,1.
(4)几个常见平方根的近似值：
2 =1.414,
3 =1.732,
5 =2.236.
课本典例1（习题10.1 第5 题）
(1)
哪两个相邻的整数之间?
(2) 3.1<
<3.2 正确吗?
(3) 下列四个结论中，正确的是（
）
A.3.15<
<3.16
B.3.16<
<3.17
C.3.17<
<3.18
D.3.18<
<3.19
课本典例2（习题10.1 第6 题）
已知x 的一个平方根是-8，求x 的立方根.
课本典例3（习题10.1 第7 题）
如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一
量筒量得溢出的水的体积为40.5cm。然后，小华将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.62cm。
求烧杯内部的底面半径和正方体铁块的棱长.(用计算器计算，结果精确到0.1cm)
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题型一求一个数的平方根
1．（22-23 八年级上·江苏连云港·阶段练习）
4 的平方根是
．
2．（24-25 八年级上·江苏盐城·期中）
2
2024 的平方根是（）
A．2024
B．2024
C．2024
D．
2024
3．（24-25 八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法正确的是（
）
A．4
是16 的平方根
B．0 没有平方根
C．25 的平方根是5
D．
49
7
题型二利用算数平方根的非负性解题
4．（23-24 七年级下·四川泸州·期中）已知
2
1
0
x
y
，那么
2024
x
y
的值为
．
5．
（24-25 八年级上·云南昭通·期末）若实数a，b，c 分别表示
ABC
V
的三条边，且a，b 满足
4
8
0
a
b
，
则
ABC
V
的第三条边c 的取值范围是（
）．
A．
4
c
B．
12
c
C．4
12
c
D．4
12
c
6．（24-25 八年级上·四川宜宾·期末）已知
1
2
0
a
b
，那么
2025
a
b
的值为
．
题型三平方根的性质与数轴综合
7．（22-23 七年级下·全国·假期作业）实数a，b 在数轴上对应点A，B 的位置如图，化简
2
2
|
|
(
)
a
b
b
a
b
=
．
8．（21-22 七年级下·湖南长沙·期中）如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2 个单位长度到达点B，点A
表示
2
，设点B 所表示的数为m．
(1)求
1
1
m
m
的值；
(2)在数轴上还有C、D 两点分别表示实数c 和d，且有|2c＋6|与
4
d
互为相反数，求2c+3d 的平方根．
9．（20-21 八年级上·四川·阶段练习）解答：
（1）已知2
1
a 的平方根是3
，3
9
a
b
的立方根是2，c 是17 的整数部分，求
2
a
b
c
的算术平方根．
（2）已知实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简
2
2
a
c
a
b
c
．
题型四估算算数平方根的取值范围
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10．（24-25 八年级上·河南郑州·期末）已知,a b 均为正数，且
a
a
，b
b
，则下列说法正确的是（
）
A．
1
a ，
1
b
B．0
1
a
，
1
b
C．
1
a ，0
1
b
D．0
1
a
，0
1
b
11．（24-25 八年级上·河北邯郸·阶段练习）若k 为正整数，且k 的算术平方根在3 和4 之间，写出一个满足
条件的整数k ：
．
12．（24-25 八年级上·山东菏泽·期中）一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（
）
A．4 与5 之间
B．5 与6 之间
C．6 与7 之间
D．7 与8 之间
13．（24-25 八年级上·山东青岛·期中）估算
90 的大小应在（
）
A．9.0-9.5 之间
B．9.5-10 之间
C．8.0-8.5 之间
D．8.5-9 之间
题型五求算数平方根的整数部分和小数部分
14．（23-24 八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知19
2
的整数部分是m ，小数部分是n ，则m
，
n
．
15．（23-24 七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16 平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，
石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
16．（20-21 七年级上·山东泰安·阶段练习）11 的整数部分是
．小数部分是
．
题型六立方根的概念理解
17．（24-25 八年级上·河南郑州·期中）下列说法正确的是（
）
A．64 的立方根是4
B．27
没有立方根
C．立方根等于本身的数是0 和1
D．3
27
3
18．（24-25 八年级上·四川乐山·阶段练习）要使3 1
2
a
有意义，则a 的取值范围（
）
A．
1
2
a
B．
1
2
a
C．
1
2
a
D．a 是一切实数
19．（24-25 八年级上·江苏宿迁·期末）若
3
8
x
，则x 的值为
．
题型七求一个数的立方根
20．（23-24 九年级下·广东惠州·开学考试）8 的立方根是
．
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21．（24-25 八年级上·吉林长春·阶段练习）
1
64
的立方根是（
）
A．
1
8
B．
1
4
C．
1
8
D．
1
4
±
22．（24-25 八年级上·河北邯郸·期末）化简3
8
27
的结果是（
）
A．
2
3
B．2
3
C．
2
3
±
D．2 3
3
题型八已知一个数的立方根求这个数
23．（24-25 八年级上·江西吉安·期末）已知a 的立方根为
2
3
，则a 的值为
．
24．（24-25 八年级上·湖南衡阳·期末）如果一个数的立方根是3，那么这个数是
．
25．（24-25 八年级上·河南南阳·期中）写出立方根是2
的数为：
．
题型九根据立方根的定义解方程
26．（24-25 八年级上·陕西西安·期中）解方程
(1)
2
2
3
9
x
(2)
3
1
1
0
8
x
27．（24-25 八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的x ：
(1)
2
4
25
x
；
(2)
3
1
1
7
x
．
28．（24-25 八年级上·贵州毕节·期末）解下列方程：
(1)
2
4
1
16
x
；
(2)
3
1
27
x
．
题型十平方根与立方根的综合应用
29．（24-25 八年级上·江苏扬州·期中）已知5
2
a
的立方根是3,
1
b 的算术平方根是
3 ．
(1)求a 、b 的值；
(2)求
3
a
b
的平方根．
30．（24-25 八年级上·江苏苏州·期中）已知2
3
x 是49 的算术平方根，
4
13
x
y
的立方根是3
．
(1)求x ，y 的值；
(2)求
2
y
x
的立方根．
31．（24-25 八年级上·四川成都·期中）已知2
2
b
的立方根是2
，4
3
a
b
算术平方根是3．
(1)求a、b 的值；
(2)求2a
b
的平方根．
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一、单选题
1．（22-23 七年级下·上海嘉定·期末）下列运算一定正确的是（
）
A．
2
7
7
B．
2
7
7
C．
2
7
7
D．
3
3
7
7
2．（24-25 八年级上·河南新乡·阶段练习）已知
2
4
49
x
，
3
8
y ，且
0
x
，则x
y
的计算结果为（
）
A．3
2
B．
3
2
C．11
2
D．
11
2
3．（24-25 八年级上·河北保定·阶段练习）魔方可以看作是一个正方体，现有一个体积为
3
125cm 的魔方，则
这个魔方的棱长为（
）
A．5cm
B．4cm
C．3cm
D．
5cm
4．（24-25 八年级上·甘肃天水·阶段练习）下列各数中一定没有平方根的是（
）
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A．m
B．
2
m
C．
2
6
m
D．
2
m
5．（24-25 八年级上·陕西咸阳·期末）下列说法中正确的是（
）
①1的立方根是1；②1
27 的立方根是
1
3
；③
81
无立方根；④互为相反数的数的立方根也互为相反数．
A．①②
B．①③
C．
④
①
D．
④
②
6．（24-25 八年级上·四川宜宾·期中）8
的立方根与81 的平方根的差是（
）
A．7
B．11
C．7 或11
D．7 或11
7．（24-25 八年级上·河北承德·期中）下列说法正确的是（
）
A．6 的平方根是3
B．8 的立方根是2
C．
2
3
3
D．6
没有平方根
8．（24-25 八年级上·河南周口·期中）已知
2
1
0
a
b
，那么
2022
a
b
的值为（
）
A．1
B．1
C．
2022
3
D．
2022
3
9．（24-25 八年级上·广东深圳·期中）
9 （）
A．81
B．3
C．3
D．3
10．（24-25 八年级上·广东茂名·期中）下列计算正确的是（
）
A．81
9
B．
2
5
5
C．3
27
3
D．
4
9
13
二、填空题
11．（24-25 八年级上·北京·期中）若
2
1
4
0
x
y
，则x
y 的值等于
．
12．（24-25 八年级上·广东佛山·阶段练习）5的平方根是
．
13．
（24-25 八年级上·宁夏银川·期中）
3
的相反数是
，
3
的倒数是
，81 的平方根是
．
14．（24-25 八年级上·北京丰台·期中）如图为一个数值转换器，当输入的x 值为
后，经过三次取算
术平方根运算，输出的y 值为
5 ．
15．（24-25 八年级上·甘肃兰州·期中）已知一个正数的平方根是3
1
x 和1 5x
，则这个正数是
．
三、解答题
16．（24-25 八年级上·江苏淮安·期中）已知2
3
a 的平方根是3
，3 2
3
1
b
．求a
b
的算术平方根．
17．（24-25 八年级上·陕西渭南·阶段练习）计算：
2
3
1
64
( 2)
9
．
18．
（24-25 八年级上·河南南阳·阶段练习）如果
2
3
3
a
b
A
a
b
为
3
a
b
的算术平方根，
2
1 125
a b
B
为125
的立方根，求：
8 / 8
(1)
ba 的值；
(2)
3
A
B
的平方根．
19．（15-16 七年级下·云南昆明·期中）若一个正数的两个平方根是2
1
a 和
2
a
，求a 和这个正数．
