第13讲认识二次函数（知识点+3题型）（暑假预习讲义）（原卷版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_2026年新9年级数学《暑假自学课衔接课》复习讲义+预习讲义+测试卷（北师）

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第13 讲认识二次函数（知识点+3 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 列二次函数关系式
题型2 二次函数的识别
题型3 根据二次函数的定义求参数
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
二次函数的定义
二次函数的一般形式
二次函数的识别
根据实际问题列二次
函数关系式
二次函数自变量的取
值范围
1. 经历从具体问题抽象出二次函数概念的过程，理解二次函数的定义，掌握
二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c(a≠0)，能准确识别二次函数，正确确定
二次项系数、一次项系数和常数项。
2. 能分析简单实际问题中的数量关系，找出变量之间的二次函数关系，列出
对应的二次函数关系式，体会二次函数是刻画现实世界变量关系的重要数学
模型。
3. 能根据实际问题的背景和意义，确定二次函数自变量的取值范围，并能根
据自变量的值求出对应的函数值。
4. 感受二次函数与现实生活的密切联系，在探索概念的过程中发展抽象思维
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和数学建模能力。
学习重点：二次函数的概念与识别，二次函数的一般形式，根据实际问题列二次函数关系式。
学习难点：准确分析复杂实际问题中的数量关系，建立正确的二次函数模型，根据实际意义确定自变
量的取值范围。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 二次函数的定义
一般定义：形如ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ,ܾ,ܿ是常数，ܽ
≠Ͳ）的函数叫做二次函数。
三个必备条件：①整式函数；②自变量最高次数为2；③二次项系数ܽ
≠Ͳ。
几何语言：
若函数满足ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ，且ܽ
≠Ͳ，则ݕ是ݔ的二次函数。
即时即练
1．下列函数中，一定属于二次函数的是（
）
A．ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
B．ݕ= ݔ+ ʹ
C．ݕ=
ͳ
ݔD．ݕ= ݔʹ
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【易错提醒】
判断时极易忽略三点：分式、根式形式不是整式，不属于二次函数；最高次数为2 但a=0 时退化为一次/常
数函数；含x
2但被抵消也不是二次函数。
知识点02
二次函数的特殊形式
函数类型
具体解析式
字母取值要求
对应易错提醒
标准一般式
ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ，ܾ、ܿ任意ܾ
、ܿ可以等于0，仅限制ܽ
不为0
缺一次项
ݕ=ܽ
ݔʹ +ܿܽ
≠Ͳ，ܾ
= Ͳ
不要误判为一次函数，仍属于二次函数
缺常数项
ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔܽ
≠Ͳ，ܿ= Ͳ
图像必过原点(Ͳ,Ͳ)，做题常漏该特征
最简纯二次式
ݕ=ܽ
ݔʹܽ
≠Ͳ，ܾ
=ܿ
= Ͳ
顶点在原点，对称轴为y 轴，区分正比例函数
即时即练
2．下列ݕ关于ݔ的函数中，属于二次函数的是（
）
A．ݕ= ʹݔ ͵
B．ݕ= ݔʹ +
ͳ
ݔ
C．ݕ= ݔʹ ݔ
D．ݕ= ʹʹ + ݔ
知识点03
二次函数各项名称
解析式ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
中：ܽ
ݔʹ：二次项，ܽ
为二次项系数；ܾ
ݔ：一次项，ܾ为一次项系数；ܿ
：常数项（不含自变量）。
即时即练
3．函数解析式ݕ= ݔʹ + ʹݔ ͳ 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
）
A．ͳ，ʹ，ͳ
B．ͳ，ʹ， ͳ
C．Ͳ，ʹ， ͳ
D．Ͳ， ʹ， ͳ
【易错提醒】
系数自带前面符号，如y=2x
2-3x+1 中b=-3，易漏掉负号；常数项是单独数字，不含x。
知识点04 实际情境列二次函数关系式
建模思路：找出等量关系，用含ݔ代数式表示ݕ，整理成整式形式，注明自变量取值范围。
即时即练
4．用一段ͶͶ 米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x 米，面积为y 平方米，则y 关于x
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的函数关系式为（
）
A．ݕ= ݔʹ ͶͶݔ
B．ݕ= ݔʹ + ͶͶݔ
C．ݕ= ݔʹ ʹʹݔ
D．ݕ= ݔʹ + ʹʹݔ
【易错提醒】
整理等式时移项符号出错；忘记化简整理成y=ax
2+bx+c 标准形式；不标注自变量实际取值范围。
题型1 列二次函数关系式
【例1】一个正方形的边长为ͺcm，它的边长增加ݔcm 后，得到新的正方形的面积为ݕcmʹ，则y 关于x 的
函数解析式为________．
【技巧归纳】
通用四步：审清题意→设两个变量（自变量ݔ，因变量ݕ）→找等量关系→整理成一般式
高频模型：
面积问题：用含ݔ的式子表示长和宽，面积=长×宽
利润问题：总利润=单件利润×销售量（同一元二次方程）
几何动点：用运动时间ݐ表示线段长度，再表示面积
必做步骤：标注自变量的取值范围（如边长>0，销量≥0），这是最易遗漏的点
【变式1-1】
1．设圆的半径为r，面积为S．
(1)试写出S 与r 之间的函数关系式；
(2)画出这个函数的图象．
ݎ
ڮ
ͳ
͵
ʹ
ʹ
ڮܵ
ڮ
π
ͻπ
Ͷ
Ͷπ
ڮ
【变式1-2】
2．已知直角三角形两条直角边的长的和为ͳͲcm．
(1)当它的一条直角边的长为Ͷ为ͷcm 时，求这个直角三角形的面积；
(2)设这个直角三角形的一条直角边的长为ݔcm，面积为ܵcmʹ，求ܵ
与ݔ之间的函数关系式．
题型2 二次函数的识别
【例2】下列各式中，ݕ是ݔ的二次函数的是（
）
A．ݕ= ʹݔ ͵
B．ݕ= ݔʹ ͷݔ+ ͳ͵
C．ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
D．ݕ= ݔʹ 
ͳ
ݔ+ ʹ
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【技巧归纳】
条件1：必须是整式函数（分母、根号下不含自变量）
条件2：只含有1 个自变量
条件3：自变量的最高次数是2
隐含条件：二次项系数ܽ
≠Ͳ
技巧：先化简再判断，化简后二次项系数为0 的不是二次函数
【变式2-1】
1．下列函数中，属于二次函数的是（
）
A．ݕ=
ʹݔʹ ͵
B．ݕ= (ݔ+ ʹ)ʹ ݔʹ
C．ݕ= ͵ݔʹ + ͳ
D．ݕ=
ͷ
ݔʹ
【变式2-2】
2．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y 与变量x 之间是二次函数关系的是（
）
A．铅笔的单价不变，总价y 与支数x
B．路程一定，列车运行的平均速度y 与时间x
C．正方体的表面积y 与它的棱长x
D．速度一定，列车的行驶路程y 与行驶时间x
题型3 根据二次函数的定义求参数
【例3】若函数ݕ=݉
 ʹ ݔ݉
ʹ ʹ + ݔ是关于ݔ的二次函数，则݉
为（
）
A．ʹ
B．േʹ
C． ʹ
D．Ͳ
【技巧归纳】
第一步：令自变量的最高次数等于2，解出参数的所有可能值
第二步：必须检验，将参数值代入二次项系数，舍去使ܽ
= Ͳ 的解
若参数只出现在一次项或常数项，不影响二次函数的判定
若题目注明“关于ݔ的二次函数”，则默认二次项系数≠0
【变式3-1】
1．已知ݕ=݉
+ ʹ ݔ݉
是关于x 的二次函数，那么m 的值为（
）
A． ʹ
B．2
C．േʹ
D．0
【变式3-2】
2．函数ݕ=݉
+ ʹ ݔ݉
ʹ +ʹ݉是关于ݔ的二次函数，则݉
=______．
一、单选题
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1．下列函数中，是二次函数的是（
）
A．ݕ=
ʹ
ݔ
B．ݕ= ݔ+ ͳ
C．ݕ= ݔʹ + ͳ
D．ݕ= ݔʹ +
ͳ
ݔ
2．若关于ݔ的函数ݕ=ܽ
 Ͷ ݔʹ ݔ是二次函数，则ܽ
的取值范围（
）
A．ܽ
≠Ͳ
B．ܽ
≠Ͷ
C．ܽ
′ Ͷ
D．ܽ
‴ Ͷ
3．已知ݕ= (݉
+ ͳ)ݔʹ + ʹݔ ͵ 是二次函数，则݉
的取值范围是（
）
A．݉
‴ ͳ
B．݉
′ ͳ
C．݉
≠ͳ
D．݉
≠ ͳ
4．在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系ܧ=
ͳ
ʹ݉
ݒʹ，则下列说法正确
的是（
）
A．当݉
一定时，ܧ与ݒ满足一次函数关系
B．当݉
一定时，ܧ与ݒ满足二次函数关系
C．当ݒ一定时，ܧ与݉
不满足函数关系
D．当ݒ一定时，ܧ与݉
满足二次函数关系
5．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7 月份售出1500
个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率ݔ，请问9 月份的销售量ݕ关于每月增加的百分率ݔ的函
数解析式是（
）
A．ݕ= ͳͷͲͲ ͳ + ݔʹ
B．ݕ= ͳͷͲͲ + ͳ ݔʹ
C．ݕ= ͳ + ݔʹ + ͳͷͲͲ
D．ݕ= ݔʹ + ͳͷͲͲ
6．下列函数：①ݕ= ݔʹ；②ݕ= ݔʹ + ͳ；③ݕ= ݔ＋ͳ
ݔ ͳ ；④ݕ=
ͳ
ݔʹ；⑤ݕ=
ݔʹ + Ͷ；⑥ݕ=
ݔʹ+ʹܽ
ʹ+ʹ（a
为常数）；⑦ݕ= ͵ ݔ+ ͳ ʹ ͳ，其中是二次函数的有（
）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
7．长为ʹͲcm，宽为ͳͲcm 的矩形，四个角上分别剪去边长为ݔcm 的小正方形，然后把四边折起来，做成
底面积为ݕcmʹ的无盖的长方体盒子，则ݕ与ݔ之间的函数关系式为（
）
A．ݕ= ͳͲ ݔ
ʹͲ ݔ(Ͳ ′ ݔ′ ͷ)
B．ݕ= ʹͲͲ Ͷݔʹ(Ͳ ′ ݔ′ ͷ)
C．ݕ= ͳͲ ʹݔ
ʹͲ ʹݔ(Ͳ ′ ݔ′ ͷ)
D．ݕ= ʹͲͲ + Ͷݔʹ(Ͳ ′ ݔ′ ͷ)
8．下列函数解析式中，一定为二次函数的是(
)
A．ݕ= Ͷݔʹ (ʹݔ+ ͳ)ʹ
B．ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
C．ݏ= ʹݐʹ ʹݐ ͳ
D．ݕ= ݔʹ +
ͳ
ݔ
9．已知二次函数ݕ= ݔʹ +ܾݔ+ܿ
可化为ݕ= ݔ ʹ ʹ ͵ 的形式，则ܾ
+ܿ
的值是(
)
A． ͵
B．3
C． ͷ
D．5
10．二次函数ݕ=݉
ݔʹ + ʹݔ+ ͳ 与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（
）
A．݉
′ ͳ 且݉
≠Ͳ
B．݉
൑ͳ 且݉
≠Ͳ
C．Ͳ ′݉
′ ͳD．݉
′ Ͳ
11．若函数ݕ=ܽ
 ͵ ݔܽ
ʹ ͵ܽ+ʹ ͳ 是关于x 的二次函数，则（）．
A．ܽ
= Ͳ
B．ܽ
= ͵
C．ܽ
≠Ͳ
D．ܽ
= Ͳ 或ܽ
= ͵
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12．下列函数关系中，可以看作二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ）模型的是（
）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
二、填空题
1．若二次函数ݕ= ʹݔʹ ܽ
ݔ+ ʹܽ ͳ 的图象经过点 ͳ,Ͷ ，则ܽ
的值为___________．
2．已知点ܣ ͵,ݕͳ ,ܤʹ,ݕʹ ，都在抛物线ݕ= ݔʹ + ʹݔ+ ͵ 上，则ݕͳ_____ݕʹ．（用“‴”，“′”或“=”填空）
3．若ݕ=݉
+ ʹ ݔ݉
ʹ ʹ + ʹݔ+ ͵ 是关于x 的二次函数，则m 的值为______．
4．ܽ
=___________时，ݕ=ܽ
 ͳ ݔܽ
ʹ +ͳ ݔ+ ͳ 是关于ݔ的二次函数．
5．已知二次函数ݕ= ݔʹ +݉
ݔ+ ʹ，定义新运算：对于任意ݔ，称满足等式͵ܽݔ ܾ
=ܿݔ ͳ 的解ݔ为该
函数的“特征值”（其中ܽ
，ܾ，ܿ为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围
是ͳ ൑ݔ൑͵，则݉
的最小值是________．
6．若ݕ= (݉
 Ͷ)ݔ݉
ʹ ͷ݉
+͸ +݉
ݔ是关于ݔ的二次函数，则݉
=_______．
7．当ܽ
=_____时，ݕ=ܽ
 ͳ ݔܽ
ʹ +ͳ + ݔ ͵ 是关于ݔ的二次函数．
8．已知ݕ=݉
 Ͷ ݔ݉
ʹ ݉
+ ʹݔʹ ͵ݔ ͳ．
（1）当݉
的值为______时，它是ݕ关于ݔ的一次函数．
（2）当݉
的值为______时，它是ݕ关于ݔ的二次函数．
9．抛物线ݕ=ܽ
ݔ ͸ ʹ +݇
经过点Ͳ,ʹ ，当ݔ= ͻ 时ݕ‴ ʹ为Ͷ͵，当ݔ= ͳͺ 时ݕ′ Ͳ，则݇
的取值范围是
__________.
三、解答题
1．已知ݕ=ܽ
ݔܽ
ʹ ʹܽ+ʹ是二次函数，求a 的值．
2．已知函数ݕ= (݉
ʹ ݉
)ݔʹ + (݉
 ͳ)ݔ+݉
+ ͳ．
(1)若这个函数是一次函数，且点ܤ( ʹ,ʹ)，在一次函数上，求݉
，ʹ 的值；
(2)若这个函数是二次函数，则݉
满足的条件为______．
3．关于x 的函数ݕ=ܽ
ʹ ʹܽ+ ͹ ݔʹ + Ͷܽݔ+ ͳ（ܽ
为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：
“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？
4．已知函数ݕ=݉
+ ʹ ݔ݉
ʹ ʹ（m 为常数），求当m 为何值时：
(1)y 是x 的一次函数？
(2)y 是x 的二次函数？并求出此时纵坐标为64 的点的横坐标．
5．2020 年，我国新增水土流失治理面积约为6 万kmʹ；2021 年，我国新增水土流失治理面积比2020 年增
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长约͵%．
(1)2021 年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到Ͳ为ͳ 万kmʹ）
(2)如果2022 年、2023 年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023 年我国新增水土流失治理面积为
y 万kmʹ，那么y 的表达式是什么？
6．已知函数ݕ=ܽ
+ ͳ ݔܽ
ʹ +ͳ +ܽ
 ͵ ݔ+ܽ
，其中ܽ
为常数．
(1)当ܽ
取什么值时，它为二次函数？
(2)当ܽ
取什么值时，它为一次函数？
7．已知函数ݕ=݉
ʹ +݉
ݔ݉
ʹ ʹ݉
 ͳ +݉
 ͵ ݔ+݉
ʹ ͳͳ 是关于x 的二次函数．
(1)求m 的值；
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．
8．【定义】对于函数，若存在自变量ݔͲ = ݐ时，函数值ݕͲ = ʹݐ，则称该函数为“倍动点函数”，点ݐ,ʹݐ为
该函数的一个倍动点．
探究1（一次函数）
（1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）；
①ݕ= ͵ݔ+ ʹ 是“倍动点函数”，倍动点为 ͳ, ʹ ；
②ݕ= ʹݔ是“倍动点函数”，且有无数个倍动点；
③ݕ= ݔ+ ͸ 是“倍动点函数”，倍动点为ʹ,Ͷ ．
探究2（二次函数）
（2）若二次函数ݕ= ݔʹ Ͷݔ+ܿ
有一个倍动点为͵,͸ ，求c 的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，
求出这个点．
9．已知：如图，在矩形ܣܤom 中，ܣܤ= ʹͶcm，ܤo = ͳ͸cm，点ܧ为边om 的中点，连接ܤܧ，ܧܨ٣ ܤܧ
交ܣm 于点ܨ，点ܲ
从点ܤ出发，沿ܤܧ方向匀速运动，速度为ʹcmȀs；同时，点ܳ
从点ܣ出发，沿AB 方
向匀速运动，速度为͵cmȀs．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为ݐs
Ͳ ′ ݐ′ ͺ ．解
答下列问题：
(1)当ݐ为何值时，ܲܳ
צ ܧܨ；
(2)连接ܲܳ
，设ᇞܲܳ
ܤ的面积为ݕcmʹ ，求ݕ与ݐ的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻ݐ，使ᇞܲܳ
ܤ为等腰三角形？若存在，直接写出ݐ的值．
10．如图, 在矩形ܣܤom 中，ܣܤ= ͸cm,ܤo = ʹcm．点ܲ
从点ܣ出发，沿射线ܣܤ方向运动，在运动过程
中，以线段ܣܲ
为斜边作等腰直角三角形ܣܲܳ
．当ܲܳ
经过点o 时，点ܲ
停止运动：设点ܲ
的运动距离为ݔcm，
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ᇞܣܲܳ
与矩形ܣܤom 重合部分的面积为ݕcm; ．
(1)当点ܳ
落在om 边上时，ݔ=
cm；
(2)求ݕ与ݔ之间的函数关系式，并写出自变量ݔ的取值范围；
(3)设ܲܳ
的中点为ܯ，直接写出在整个运动过程中，点ܯ移动的距离．