专题2.11 函数的图象（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）
表示函数
(2)会画简单的函数图象
(3)会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题
高考真题
考点
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统计
函数的图象
全国甲卷（文数）：第
8 题，5 分
全国甲卷（理数）：第
7 题，5 分
北京卷：第4 题，4 分
天津卷：第3 题，5 分
上海卷（春考）：第
15 题，5 分
天津卷：第4 题，5 分
命题规律
分析
1、函数的图象
函数图象是高考常考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，高
考试题中主要以考查函数图象的识别与变换为重点和热点，也可能考查利用
函数图象研究函数性质、解不等式等问题，一般以单选题的形式出现，难度
不大。
知识点1
函数的图象的作法与识别
1．作函数图象的一般方法
(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图
象的关键点直接作出.
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，
并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
2．函数图象识别的解题思路
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(1)抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)利用函数的零点、极值点判断.
(3)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
知识点2
函数图象的应用及其解题策略
1．利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借
助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2．利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略
利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思
想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
【题型1
作出函数的图象】
【例1】（25-26 高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象：
(1)�= �−|�−1|；
(2)�= �2 −2|�| −1.
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析.
【解题思路】（1）（2）写出函数的分段形式，再结合一次函数、二次函数的性质画出函数图象.
【解答过程】（1）由�= �−|�−1| =
1, �≥1
2�−1, �< 1 ，其函数图象如下，
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（2）由�= �2 −2|�| −1 =
�2 + 2�−1 = (�+ 1)2 −2, �≤0
�2 −2�−1 = (�−1)2 −2, �> 0 ，
所以函数在( −∞, −1), (0,1)上单调递减，在( −1,0), (1, + ∞)上单调递增，函数图象如下，
【变式1-1】（25-26 高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象．
(1)�= �2 −4�−5 ；
(2)�=
1
2
|�−1|
−1．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【解题思路】（1）由二次函数图象，根据函数图象的翻折变换，可得答案；
（2）由指数函数的图象以及分段函数图象，根据函数图象的平移变换，可得答案.
【解答过程】（1）�= �2 −4�−5 的图象可由函数�= �2 −4�−5 的图象保留x 轴上方的部分不变，
将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得到，如图所示：
（2）�=
1
2
|�−1|
−1，其图象可看作由函数�=
1
2
|�|
的图象向右平移1 个单位长度，
再向下平移1 个单位长度得到，而�=
1
2
�
=
1
2
�
, �≥0
2�, �< 0
，
其图象可由�=
1
2
|�|
的图象保留�≥0 时的图象，然后将该部分关于y 轴对称得到，
则�=
1
2
|�−1|
−1 的图象如图所示：
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【变式1-2】（25-26 高一上·重庆·期末）已知函数��=
1 −�2,
�> 0
2,
�= 0
2�−1,
�< 0
.
(1)求��2
的值；
(2)画出函数��的图象，并写出函数��的单调递增区间.
【答案】(1)−7
(2)图象见解析；( −∞, 0).
【解题思路】（1）根据分段函数计算函数值；
（2）先画出函数图象，再根据函数图象判断函数的单调递增区间.
【解答过程】（1）��2
= �1 −22 = �−3 = 2 × −3 −1 =−7；
（2）
由图象知函数��的单调递增区间为( −∞, 0).
【变式1-3】（25-26 高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象：
(1)�=
2�−1
�−1 ；
(2)�= �2 −2 �−3；
(3)�=
1
2
�−1
−1．
【答案】(1)
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(2)
(3)
【解题思路】（1）结合反比例函数图象，及图象的平移变换即可作出图象；
（2）写出函数的分段形式，结合二次函数图象，及图象的翻折变换即可作出图象；
（3）写出函数的分段形式，结合指数函数图象，及图象的平移，翻折变换即可作出图象．
【解答过程】（1）由�=
2�−1
�−1 = 2 +
1
�−1，
其图象可看作由函数�=
1
�的图象向右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度得到，
所以�=
2�−1
�−1 的图象如下图所示：
（2）由�= �2 −2 �−3 = �2 −2�−3, �≥0
�2 + 2�−3, �< 0 ，
所以�= �2 −2 �−3 的图象如下图所示：
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（3）对于�=
1
2
�−1
−1，其图象可看作由函数�=
1
2
�
的图象向右平移1 个单位长度，再向下平移1 个单
位长度得到，
而�=
1
2
�
=
1
2
�
, �≥0
2�, �< 0
，其图象可由�=
1
2
�
的图象保留�≥0 时的图象，然后将该部分关于y 轴对称得
到，则�=
1
2
�−1
−1 的图象如下图所示：
【题型2
函数图象的识别】
【例2】（2026·江西上饶·二模）函数��=
�
2�+2−�的大致图象为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值法判断.
【解答过程】��定义域为�，且�−�=
−�
2−�+2�=−��，
故��为奇函数，可排除C；
又�1 =
1
21+2−1 =
2
5，可排除A、D；
故函数��=
�
2�+2−�的大致图象为B.
故选：B.
【变式2-1】（2026·安徽合肥·三模）当�< 0 时，函数��=
e�
�2−��的图象大致是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】求出函数��的定义域，结合�< �时，��的符号，结合排除法可得出合适的选项.
【解答过程】对于函数��，因为�< 0，由�2 −��≠0 可得�≠�且�≠0，
故函数��的定义域为−∞, �∪�, 0 ∪0, + ∞，排除AC，
当�< �时，��=
e�
��−�> 0，排除D.
故选：B.
【变式2-2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数�=
�2
e|�|−2的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】先求出函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果.
【解答过程】∵�=
�2
e|�|−2，
∴e|�| −2 ≠0，则�≠± ln2，即定义域为{�|�≠± ln2}，
设��= �=
�2
e|�|−2，则�−�=
−�2
e|−�|−2 =
�2
e|�|−2 = ��，
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故��= �=
�2
e|�|−2为偶函数，图象关于�轴对称，排除BC，
当�> ln2 时，e|�| > 2，e|�| −2 > 0，
�2
e|�|−2 > 0，��> 0，排除A，
所以选项D 正确.
故选：D.
【变式2-3】（2026·陕西渭南·三模）函数��=
3�−�3
2+cos�的部分图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】根据题意，求得函数��为奇函数，排除C、D 选项，再由��> 0，结合选项，即可求解.
【解答过程】由函数��=
3�−�3
2+cos�，可得其定义域为R，
且�−�=
3(−�)−(−�)3
2+cos(−�) =−
3�−�3
2+cos�=−��，
所以函数��是R 上的奇函数，其图象关于原点对称，可排除C、D 项；
当�≥0 时，令��> 0，即
3�−�3
2+cos�> 0，即3�−�3 > 0，
可得�3 −3�= �(�2 −3) < 0，解得0 < �<
3，
即�∈(0,
3)时，��> 0，所以B 选项符合题意.
故选：B.
【题型3
根据函数图象选择解析式】
【例3】（2026·天津·二模）已知函数�= ��的部分图象如图，则��的解析式可能为（
）
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A．��=
�
e�+e−�
B．��=
�
e�+e−�
C．��=
�2
e�+e−�
D．��=−
�
e�+e−�
【答案】A
【解题思路】根据函数性质，利用排除法可得正确选项.
【解答过程】由图象可知，函数�(�)定义域为R，为奇函数，且�(1) > 0，
因为�(�) =
�
e�+e−�定义域为[0, + ∞)，不符合题意，故排除B 选项；
因为�( −�) =
(−�)2
e−�+e−(−�) =
�2
e�+e−�= �(�)，
所以�(�) =
�2
e�+e−�是偶函数，不符合题意，故排除C 选项；
因为�(1) =−
1
e+e−1 < 0，故�(�) =−
�
e�+e−�不符合题意，故排除D 选项；
因为�( −�) =
−�
e−�+e−(−�) =−
�
e�+e−�=−�(�)，�(1) =
1
e+e−1 > 0，
所以�(�) =
�
e�+e−�定义域为R，为奇函数，且�(1) > 0，
故�(�)的解析式可能为�(�) =
�
e�+e−�，A 符合题意.
故选：A.
【变式3-1】（2026·四川成都·二模）已知函数�= �(�)(�> 0)的图象如图所示，则其解析式可能为（
）
A．�= 2�−2
B．�= 2 −�−1
C．�= log2(2�)
D．�= 3 −22−�
【答案】C
【解题思路】根据函数图像，结合函数的性质逐项判断即可求解.
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【解答过程】对于A，�= 2�−2 的图像是一条直线，故A 错误；
对于B，�= 2 −�−1的定义域为−∞, 0 ∪0, + ∞，
又�> 0 时，−�−1 < 0 ⇒2 −�−1 < 2，所以�< 2，故B 错误；
对于C，�= log2 2�对数函数在0,+∞单调递增，满足题意，故C 正确，
对于D ，�= 3 −22−�的定义域为R，又�= 3 −22−�= 3 −4 ×
1
2
�
，
由�> 0，0 <
1
2
�
< 1，所以−1 < �< 3，故D 错误.
故选：A.
【变式3-2】（2026·辽宁·模拟预测）若函数��的部分图象如图所示，则函数��可能为（
）
A．��= tan�⋅ln �
B．��= tan�⋅ln �
C．��=−tan�⋅ln �
D．��=−tan�⋅ln �
【答案】B
【解题思路】由图象可知函数�= ��为奇函数，且当�∈0,1 时，��< 0；逐项判断是否符合要求即可得.
【解答过程】由图象可知函数�= ��为奇函数，且当�∈0,1 时，��< 0；
A，�−�
= tan −�
⋅ln −�= tan�⋅ln �= ��，该函数为偶函数，A 不符；
B，�−�= tan −�⋅ln −�=−tan�⋅ln �=−��，该函数为奇函数，
且当�∈0,1 时，tan�> 0，ln �< 0，此时��< 0，B 符合题意；
C，函数��=−
tan�⋅ln �为偶函数，C 不符；
D，当�∈0,1 时，��> 0，D 不符.
故选：B.
【变式3-3】（2026·四川成都·模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间−8,8 上的大致图象，则
该函数可能是（
）
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A．��=
�4sin�
e�+e−�
B．��=
�4 sin�−�
e�+e−�
C．��=
�4cos�
e�+e−�
D．��=
�4 cos�−�
e�+e−�
【答案】A
【解题思路】利用函数图象并结合奇偶性的定义与函数值的正负逐个排除求解即可.
【解答过程】根据图象可知，��是奇函数，
对于A，由题意得�−�=
−�4sin −�
e�+e−�
=−
�4sin�
e�+e−�=−�(�)，
则��是奇函数，符合题意，故A 正确，
对于B，�−�=
−�4 sin −�−−�
e�+e−�
=−
�4 sin�−�
e�+e−�
=−�(�)，
则��是奇函数，令�(�) = sin�−�，则�′(�) = cos�−1 < 0，
当�∈(0, + ∞)时，�(�)在(0, + ∞)上单调递减，
则�(�) = sin�−�< 0，与图象不符，故B 错误，
对于C，由题意得�1 =
14cos1
e1+e−1 =
cos1
e+e−1，�−1 =
−1 4cos −1
e1+e−1
=
cos1
e+e−1，
则�1 + �−1 =
cos1
e+e−1 +
cos1
e+e−1 =
2cos1
e+e−1 ≠0，
可得��不是奇函数，故C 错误，
对于D，由题意得�1 =
14 cos1−1
e1+e−1
=
cos1−1
e1+e−1，
�−1 =
−1 4
cos −1 −−1
e1+e−1
=
cos1+1
e1+e−1，
则�1 + �−1 =
cos1−1
e1+e−1 +
cos1+1
e1+e−1 =
2cos1
e+e−1 ≠0
可得��不是奇函数，故D 错误.
故选：A.
【题型4
函数图象的变换】
【例4】（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数�= log2 4�−1 的图象，只需要把�= log2�图象上所有
的点（
）
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A．横坐标变为原来的
1
2（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
C．向右平移1 个单位（纵坐标不变）
D．向上平移2 个单位（横坐标不变）
【答案】A
【解题思路】根据题意，�= log2 4�−1 = log2 2�，根据图象变换规律即可得解.
【解答过程】因为�= log2 4�−1 = log2 4�−log22 = log2
4�
2
= log2 2�，
所以要得到�= log2 4�−1 的图象，只需要把�= log2�图象上所有的点横坐标变为原来的
1
2（纵坐标不变）.
故选：A.
【变式4-1】（25-26 高一上·甘肃武威·开学考试）将函数�= −�2 + 1 + 2 向左、向下分别平移2 个、3 个
单位长度，所得图象为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象.
【解答过程】∵��=
3 −�2, �∈−1,1
�2+1, �∈−∞, −1 ∪1, + ∞，
∴函数的大致图象如图所示，
将其向左、向下分别平移2 个、3 个单位长度，
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则C 选项符合所得函数图象.
故选：C.
【变式4-2】（2026 高一·全国·专题练习）若定义在−2,2 上的函数�= ��的图象如图所示，则函数�= �2 −
�的图象为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】解法一：利用函数对称和平移直接求解即可；
解法二：先求出�= �2 −�的定义域即可排除BD，再结合特殊值�2 > 0 排除A，即可求解.
【解答过程】解法一：将函数�= ��的图象关于�轴对称，可得函数�= �−�的图象，
再向右平移2 个单位长度得函数�= �−�−2
的图象，即�= �2 −�的图象．
解法二：由�= ��的定义域可知，−2 ≤2 −�≤2，则0 ≤�≤4，
即�= �2 −�的定义域是[0,4]，排除BD，
由题图可知�2 > 0，所以在�2 −�中，�= 0 时，�2 −0 = �2 > 0，
排除A，而C 满足题意.
故选：C．
【变式4-3】（2026·河北沧州·一模）将函数��=
2 �+2
2�2+8�+9的图象向右平移2 个单位长度得到函数��的图
象，则��的图象大致为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】由题求得��的解析式，判断奇偶性可排除AC；当�> 0 时，由对勾函数的性质可判断��
的单调性，可排除D，得解.
【解答过程】因为��=
2 �+2
2�2+8�+9 =
2 �+2
2 �+2 2+1，所以��=
2 �
2�2+1，
其定义域为�，且�−�=
2 −�
2 −�2+1 =
2 �
2�2+1 ≡��，所以��为偶函数，故排除A，C；
又�> 0 时，��=
2�
2�2+1 =
2
2�+1
�
，由对勾函数的性质可知，
��在0,
2
2 上单调递增，在
2
2 , + ∞上单调递减，故排除D.
故选：B.
【题型5
根据实际问题作函数图象】
【例5】（25-26 高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车
的速度为100 千米/小时，特快车的速度为150 千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000 千米，两车同时出
发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（
）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据题意分析可得相遇时间为4 小时，此时两车距离为0，排除B 选项；再求出快车继续行驶
到达乙地所需要的时间排除A 选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D 选
项.
【解答过程】当两车同时相向出发时，相遇时间�1 = 1000 ÷ 100 + 150 = 4 小时，
此时两车距离为0，快车行驶时间为4 小时，故排除B 选项；
相遇时，快车已经行驶的路程为100 × 4 = 400 千米，
还需要行驶1000 −400 ÷ 100 = 6 小时才能到达乙地，故排除A 选项；
特快车相遇时已经行驶的路程为150 × 4 = 600 千米，
只需要再行驶1000 −600 ÷ 150 =
8
3小时才能到达甲地，
所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D 选项.
故选：C.
【变式5-1】（2026·山东·二模）如图所示，动点�在边长为1 的正方形����的边上沿�→�→�→�运动，
�表示动点�由A 点出发所经过的路程，�表示△���的面积，则函数�= ��的大致图像是（
）
A．
B．
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C．
D．
【答案】A
【解题思路】分�∈0,1 ，�∈1,2 ，�∈2,3 求出解析式，然后可知图象.
【解答过程】当�∈0,1 时，�=
�
2，是一条过原点的线段；
当�∈1,2 时，�=
1
2，是一段平行于�轴的线段；
当�∈2,3 时，�=
3−�
2 ，图象为一条线段.
故选：A．
【变式5-2】（2026·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）
上匀速跑步，他从点�处出发，沿箭头方向经过点�、�、�返回到点�，共用时80 秒，他的同桌小陈在固定
点�位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为�（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为�（单位：米），
若�= ��，则��的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项.
【解答过程】由题图知，小李从点�到点�的过程中，�的值先增后减，
从点�到点�的过程中，�的值先减后增，
从点�到点�的过程中，�的值先增后减，从点�到点�的过程中，�的值先减后增，
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所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即�的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D 选项
合乎题意，
故选：D.
【变式5-3】（25-26 高一上·广东梅州·期末）寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔
子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，
就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，
但结果还是乌龟赢了.下图“路程�一时间�”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】先确定兔子的图象，然后根据开始兔子快，乌龟慢，以及最终乌龟赢了即可得答案.
【解答过程】由于兔子睡了一下，所以所有选项中�有一段不发生变化的折线为兔子的“路程�一时间�” 的图
像
一开始，兔子快，乌龟慢，排除选项C D，
最后乌龟赢了，即乌龟先到达终点，选项B 符合.
故选：B.
【题型6
函数图象的应用】
【例6】（2026·广东深圳·模拟预测）函数�=
1
1−�的图像与函数�= 2sinπ(�+ 2026)（−2 ≤�≤4）的图像
所有交点的横坐标记作��，则
�=1
�
��
σ
=（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【解题思路】在同一坐标系中画出两个函数的图像，利用函数的图像的对称性求得所有交点的横坐标之和.
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【解答过程】��= �= 2sinπ(�+ 2026) = 2sinπ�，与函数��= �=
1
1−�都关于点(1,0)对称，
在同一个直角坐标系中分别画出它们的图像的示意图，
�
1
3 = 2sin
π
3 =
3，�
1
3 =
1
1−1
3
=
3
2，所以�
1
3 > �
1
3 ，
又�
1
2 = 2sin
π
2 = 2，�
1
2 =
1
1−1
2
= 2，�0 = 2sin0 = 0，�0 =
1
1−0 = 1 > �0 ，
又函数�= 2sinπ�，与函数�=
1
1−�为连续函数，
结合函数图像可知在0,1 上函数��与函数��有2 个交点，
由图像可知在−2,0 上函数��与函数��有两个交点，
所以函数��与函数��在−2,1 上有4 个交点，
结合两函数关于点(1,0)对称，可得在−2,4 上两函数共有8 个交点，则
�=1
8
��
σ
= 8
故选：D.
【变式6-1】（2026·内蒙古赤峰·三模）已知函数��=
�2 + 4�+ 3, �≤0
1 + log1
3�, �> 0 ，若函数��= ��−�恰有3
个零点，则�的取值范围为（
）
A．−1,3
B．0,3
C．−1,0
D．3, + ∞∪−1
【答案】A
【解题思路】转化为函数�= ��与�= �的图象有3 个交点，结合��的图象可得答案.
【解答过程】若函数��= ��−�恰有3 个零点，
即函数�= ��与�= �的图象有3 个交点，
��= �2 + 4�+ 3 = �+ 2 2 −1 �≤0 ，
当�= 0 时，��= 3，当�=−2 时，��=−1，
函数�= ��的图象如下，
结合图象可得−1 < �≤3.
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故选：A.
【变式6-2】（2026·山西临汾·二模）已知函数��=
2�−1 , �≤2,
3
�−1 , �> 2,
若方程��
2 −�+ 5 ��+ 5�= 0
有三个不同的实数根，则�的取值范围为（
）
A．0,1
B．0,2
C．0,3
D．1,3
【答案】A
【解题思路】解方程��
2 −�+ 5 ��+ 5�= 0 得��= �或��= 5，数形结合得方程��= 5 无解，
进而得到直线�= �与曲线�= ��有3 个交点，结合图象可得出实数�的取值范围.
【解答过程】由��
2 −�+ 5 ��+ 5�= 0 可得��= �或��= 5，
当�≤0 时，��= 2�−1 = 1 −2�∈0,1 ；
当0 < �≤2 时，��= 2�−1 = 2�−1 ∈(0,3]；
当�> 2 时，��=
3
�−1 ∈0,3 .
作出函数��、�= 5、�= �的图象如下图所示：
由图可知，直线�= 5 与曲线�= ��有0 个交点，即方程��= 5 无解，
所以由题方程��= �有3 个不同的解，即直线�= �与曲线�= ��有3 个交点，则0 < �< 1.
故选：A.
【变式6-3】（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数��=
2�−2 , �≥0
−2�−2, �< 0 ，若存在实数�1 < �2 < �3，使
得��1 = ��2 = ��3 ，则
�1��1
�3−�2 的取值范围为（
）
A．−2log32,0
B．−
3
2 log32,0
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C．−
3
4 log32,0
D．
1
2 log32, + ∞
【答案】B
【解题思路】根据分段函数的解析式作出函数��的图象，然后根据已知条件确定�1, �2, �3，最后将所求表
达式构造新函数，根据函数的单调性求出范围即可.
【解答过程】作出函数��的图象，如图所示，设��1 = ��2 = ��3 = �0 < �≤1 ，
所以−2�1 −2 = �，解得：�1 =−
�+2
2 ，2 −2�2 = 2�3 −2 = �，
解得：�2 = log2 2 −�，�3 = log2 2 + �，
所以�1��1 =−
��+2
2
，�3 −�2 = log2 2 + �−log2 2 −�，
令��=−
��+2
2
，则��在0,1 上单调递减，则�1 ≤��< �0 ，即−
3
2 ≤��< 0，
令ℎ�= log2 2 + �−log2 2 −�，则ℎ�在0,1 上单调递增，则ℎ0 < ℎ�≤ℎ1 ，
所以0 < ℎ�≤log23，则0 < log32 ≤
1
ℎ�，
所以
�1��1
�3−�2 =
��
ℎ�，则−
3
2 log32 ≤
�1��1
�3−�2 =
��
ℎ�< 0.
故选：B．
一、单选题
1．（2026·山东枣庄·三模）函数��=
�e−�−e�
�2−1
的部分图象大致是（
）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【解题思路】根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD.
【解答过程】定义域为��≠± 1 ，�−�=
−�e�−e−�
�2−1
=
�e−�−e�
�2−1
= ��，
则��是偶函数，排除A 选项；
当�> 0 时，e2�> 1，则e−�−e�=
1−e2�
e�
< 0，
当0 < �< 1 时，�2 −1 < 0，则��=
�e−�−e�
�2−1
> 0；
当�> 1 时，�2 −1 > 0，则��=
�e−�−e�
�2−1
< 0，排除CD 选项.
故选B.
2．（2026·天津北辰·三模）函数�(�) =
�cos2�
ln(�2+1)的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得��为奇函数，再结合�(1) < 0，即可得到答案.
【解答过程】由函数�(�) =
�cos2�
ln(�2+1)，可得其定义域为( −∞, 0) ∪(0, + ∞)，关于原点对称，
且满足�−�=
−�cos(−2�)
ln[(−�)2+1)] =−
�cos2�
ln(�2+1) =−��，
所以函数��为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D 选项；
又由�(1) =
cos2
ln(12+1) =
cos2
ln2 < 0，可排除C 选项，所以选项A 符合题意.
故选A.
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3．（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（
）
A．�=
sin2�
�2+1
B．�=
�
�2+1
C．�=
cos�
�2+1
D．�=
e�+e−�
2 e�−e−�
【答案】B
【解题思路】A 选项，由正弦函数的周期性可得原函数图象和坐标轴有无数个交点排除A 项；B 选项，对函
数求导，判断单调性和函数图象趋势即可判断；C 选项，对所给函数的奇偶性进行判断即可；
D 选项，判断所给函数的定义域即可.
【解答过程】A 选项，取��=
sin2�
�2+1，则令��= 0，解得：�=
�π
2 ，其中�∈Z，即：�= ��和�轴有无数
个交点，所以A 错误；
B 选项，取��=
�
�2+1，则�′ �=
1−�2
�2+1
2，令�' �< 0，得�> 1 或�<−1，令�' �> 0，得−1 < �< 1，
故��在−∞, −1 和1, + ∞上单调递减，在−1,1 上单调递增，
又因为��=
�
�2+1，所以当�→+ ∞时，��→0 +，当�→−∞时，��→0 −，所以B 正确；
C 选项，取ℎ�=
cos�
�2+1，则函数定义域为�∈R，且ℎ−�=
cos −�
−�2+1 =
cos�
�2+1 = ℎ�，所以�= ℎ�是偶函数，
所以C 错误；
D 选项，��=
e�+e−�
2 e�−e−�，由e�−e−�≠0 可得�≠0，由图知，D 错误.
故选B.
4．（2026 高二上·山东枣庄·学业考试）某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，
发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中�轴表示该学生离家的距离，�轴表示所用的时间，下列图象与该同
学走法相吻合的是（
）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据函数图象呈上升趋势以及上升速度分析可得答案.
【解答过程】依题意可知，�关于�的函数图象呈上升趋势，故B 和D 都错误；
由于该同学是先走后跑，所以�关于�的函数图象上升速度是先慢后快，故A 错误，C 正确.
故选：C.
5．（25-26 高三上·云南曲靖·期末）已知函数��的定义域是0,3 ，其图象如图所示，则不等式2�−4 ��<
0 的解集是（
）
A．0,1
B．1,2
C．0,2
D．1,3
【答案】B
【解题思路】由2�−4 ��< 0 可得2�−4 < 0
��> 0 或2�−4 > 0
��< 0 ，利用指数函数的单调性与图象可得出原不
等式的解集.
【解答过程】因为函数��的定义域为0,3 ，由2�−4 ��< 0 可得2�−4 < 0
��> 0 或2�−4 > 0
��< 0 ，
解不等式组2�−4 < 0
��> 0 ，结合图形可得0 < �< 2
1 < �< 3 ，得1 < �< 2，
解不等式组2�−4 > 0
��< 0 ，结合图形可得2 < �< 3
0 < �< 1 ，得�∈∅.
综上所述，不等式2�−4 ��< 0 的解集为1,2 .
故选：B.
6．（2026·北京顺义·二模）把函数��= ���> 0, �≠1 的图象�1向右平移2 个单位长度，再把所得图象
上所有点的纵坐标变为原来的
1
4倍，得到图象�2，若此时图象�1恰与�2重合，则�的值为（
）
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A．4
B．2
C．
1
2
D．
1
4
【答案】C
【解题思路】首先根据平移变换求出图象�2的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出�的值.
【解答过程】把函数��= ��的图象�1向右平移2 个单位长度，
得到函数表达式为�= ��−2，
再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的
1
4倍，
得到图象�2的函数表达式为�=
1
4 ��−2，
因为图象�1与�2重合，所以
1
4 ��−2 = ��，
即
1
4 �−2 = 1，解得�2 =
1
4，�=
1
2 (�> 0).
故选C.
7．（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（
）
A．�= e�+ e−�sin�
B．�= e�−e−�sin�
C．�= e�+ e−�cos�
D．�= e�−e−�cos�
【答案】A
【解题思路】设图象对应函数为��，由图可得��奇偶性，结合�π = 0 可判断选项正误.
【解答过程】设图象对应函数为��，由图可得��为奇函数，
注意到�= e�+ e−�，�= cos�为偶函数，�= e�−e−�，�= sin�为奇函数.
则�= e�−e−�sin�，�= e�+ e−�cos�为偶函数，不满足题设，故BC 错误；
又由图可得�π = 0，eπ −e−π cos π ≠0，则D 不满足题意，
故选A.
8．（2026·山东·模拟预测）若函数��=
�
e�−
�
�有且只有一个零点，则实数�的取值范围为（
）
A．
4
e2 , + ∞
B．
4
e2 , + ∞∪0
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C．−∞, 0 ∪
4
e2 , + ∞
D．−∞, 0 ∪
4
e2 , + ∞
【答案】A
【解题思路】将问题转化为函数��=
�2
e�，�∈−∞, 0 ∪0, + ∞图象与直线�= �有且只有一个交点，然后
利用导数知识研究��性质，画出大致图象，据此可得答案.
【解答过程】��定义域为−∞, 0 ∪0, + ∞，则��有且只有一个零点，
等价于方程
�
e�−
�
�= 0 在−∞, 0 ∪0, + ∞有且只有一个根，
即函数��=
�2
e�，�∈−∞, 0 ∪0, + ∞图象与直线�= �有且只有一个交点.
�′ �=
�2−�
e�
，�′ �> 0 ⇒�∈0,2 ，�′ �< 0 ⇒�∈−∞, 0 ∪2, + ∞，
则��在−∞, 0 ，2, + ∞上单调递减，在0,2 上单调递增.
则��在�= 2 时取得极大值�2 =
4
e2，
又�→−∞时，�2 →+ ∞，e�→0，��→+ ∞；
�→+ ∞时，�2 →+ ∞，e�→+ ∞，e�远远大于�2，��→0.
据此可得��大致图象如下：
则由图可得为使函数��=
�2
e�，�∈−∞, 0 ∪0, + ∞图象与直线�= �有且只有一个交点，�>
4
e2.
故选：A.
二、多选题
9．（2026·山西临汾·二模）函数��= �e�−ln�的图象可以是（
）
A．
B．
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C．
D．
【答案】ABD
【解题思路】对�= 0，�< 0，�> 0 三种情况讨论判断即可.
【解答过程】当�= 0 是，��=−ln�，故A 符合；
当�< 0 时，��= �e�−ln�在0, + ∞上单调递减，且�1 = �e −ln1<0，故B 符合；
当�> 0 时，由�′ �= �e�−
1
�为0, + ∞上的单调递增函数，
令�′ �= 0，则�e�−
1
�= 0，即�=
1
e�⋅�，
因为�= e�⋅�，可得�′ = e��+ 1 > 0，所以�= e��在0, + ∞上的单调递增函数，
所以�= e�⋅�> e0 × 0 = 0，所以�=
1
e�⋅�有唯一解�0 ∈0, + ∞，
当0, �0 时，�′ �< 0，当�0, + ∞时，�′ �> 0，
所以函数��在0, �0 上单调递减，在�0, + ∞上单调递增，故D 正确.
故选：ABD.
10．（2026·广西·模拟预测）已知函数��是定义在�上的奇函数，且��在�∈−∞, 0 内单调递减，则函
数�= ��+ 1
+ 1 的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解题思路】令��= ��+ 1
+ 1，其中�∈�，分析函数��的对称性与单调性，结合排除法可得出合
适的选项.
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【解答过程】令��= ��+ 1
+ 1，其中�∈�，
则�−1 −�= �−1 −�+ 1
+ 1 = ��
+ 1，
�−1 + �= �−1 + �+ 1
+ 1 = ��
+ 1，则�−1 −�= �−1 + �，
故函数��= ��+ 1
+ 1 的图象关于直线�=−1 对称，排除B 选项，
因为函数��是定义在�上的奇函数，且函数��在−∞, 0 上单调递减，
故函数��在0, + ∞上单调递减，
故当�>−1 时，�+ 1 > 0，此时��= ��+ 1 + 1，故函数��在−1, + ∞上单调递减，
排除D 选项.
故选：AC.
11．（2026·湖南岳阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2 的正三角形ABC 沿着x 轴连续滚动(滚
动时无滑动)，若顶点A 在滚动中恰好经过坐标原点，设顶点��, �满足函数关系式�= ��，则下列判断
正确的有（
）
A．�1 =
3
B．函数�= ��图象的对称轴方程为�= 1 + 6�, �∈�
C．不等式��≥
3的解集为−1 + 6�, 3 + 6�, �∈�
D．直线�=
2
7 �与函数�= ��的图象恰有3 个交点
【答案】ACD
【解题思路】根据题意作出函数�= ��图象，即可判断A，结合函数图象分析周期性和对称性，即可判断
B；根据图象交点判断CD.
【解答过程】如图，�在图中一段一段的扇形上运动，
对于选项A：初始时�在原点，当�= 1 时，�=
3即为正三角形的高，
所以�1 =
3，故A 正确；
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对于选项B：由图可知：��的一条对称轴为�= 1，周期为6，每经过半个周期均为��的对称轴，
所以函数��的对称轴方程为�= 1 + 3�, �∈�，故B 错误；
对于选项C：如图所示，
若��≥
3，解得−1 + 6�≤�≤3 + 6�, �∈�，
所以不等式��≥
3的解集为−1 + 6�, 3 + 6�, �∈�，故C 正确；
对于选项D：令
2
7 �= 2，解得�= 7 2 < 10，
结合图象可知：直线�=
2
7 �与函数�= ��的图象恰有3 个交点，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（25-26 高二下·河北张家口·阶段检测）已知直线�= �与函数�=
ln�
�的图象有两个交点，则实数�的取
值范围为___________．
【答案】0,
1
e
【解题思路】利用导数求出函数�=
ln�
�的单调区间及极值，作出其大致图象，结合图象即可得解.
【解答过程】由函数�=
ln�
�得，�′ =
1−ln�
�2 ，
令�′ = 0 得，�= e，当�∈0,e 时，�′ > 0，当�∈e, + ∞时，�′ < 0，
所以函数�=
ln�
�在0,e 上单调递增，在e, + ∞上单调递减，
函数在�= e 处取得最大值
1
e，
且�→0 时，
ln�
�→−∞, �→+ ∞时，
ln�
�→0，
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作出函数�=
ln�
�的大致图象，
由图可知当直线�= �与函数�=
ln�
�的图象有两个交点，
则实数�的取值范围为0,
1
e ．
故答案为：0,
1
e ．
13．（2026·海南·模拟预测）已知�(�) = �(�+ 3)为奇函数，若�= �(�)与�=
1
�−3的图象有10 个交点，设
交点的横坐标从小到大依次为�1, �2, ⋯, �10，则�1 + �2 + ⋯+ �10 =___________.
【答案】30
【解题思路】根据奇函数的定义以及图像平移可知与的图像的交点关于点(3,0)对称，结合对称性即可得结果.
【解答过程】因为�(�) = �(�+ 3)为奇函数，所以�(�)的图象关于原点对称，
又�(�)的图象可由�(�+ 3)的图象向右平移3 个单位长度得到，
所以�(�)的图象关于点(3,0)对称.
又�=
1
�−3的图象也关于点(3,0)对称，
所以�= �(�)与�=
1
�−3的图象的交点关于点(3,0)对称，
所以�1 + �10 = 6, �2 + �9 = 6, ⋯, �5 + �6 = 6，
故�1 + �2 + ⋯+ �10 = 5 × 6 = 30.
故答案为：30.
14．（2026·上海闵行·一模）已知函数��=
�−2 , �≥0
2�+1, �< 0 ，若函数�(�) = ��−�有三个零点�1, �2, �3，
且�1 < �2 < �3，则
�2⋅��1
�3(�2+�3)的取值范围是________.
【答案】0,
3
2 −
2
【解题思路】由函数图象得到函数零点的关系，然后得到�3的取值范围.由等量关系化简
�2⋅��1
�3(�2+�3)，利用双勾
函数的单调性求出�3 +
8
�3的取值范围，从而得到
�2⋅��1
�3(�2+�3)的取值范围.
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【解答过程】函数��大致图象如下，
若�1 < �2 < �3，且�(�1) = �(�2) = �(�3)，则�2 + �3 = 4,2 < �3 < 4
所以
�2⋅�(�1)
�3(�2+�3) =
(4−�3)⋅�(�3)
4�3
=
1
4
(4−�3)(�3−2)
�3
=
1
4 6 −(�3 +
8
�3 )
∵�3 +
8
�3 ≥2 �3 ×
8
�3 = 4 2，当且仅当�3 =
8
�3，即�3 = 2 2时取等号，
当�3 = 2 时，�3 +
8
�3 = 2 +
8
2 = 6，当�3 = 4 时，�3 +
8
�3 = 4 +
8
2 = 6，
由双勾函数的单调性可知�3 +
8
�3 < 4 +
8
4 = 6，
即4 2 ≤�3 +
8
�3 < 6，
∴
�2⋅�(�1)
�3(�2+�3) ∈0,
3
2 −
2 .
故答案为：0,
3
2 −
2 .
四、解答题
15．（25-26 高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象：
(1)�= �2 −4�−5 ；
(2)�= log2 �+ 1 ．
【答案】(1)
(2)
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【解题思路】（1）结合二次函数的图象，及图象的翻折即可作出图象；
（2）结合对数函数的图象，及图象的平移，翻折即可作出图象．
【解答过程】（1）�= �2 −4�−5 的图象可由函数�= �2 −4�−5 的图象保留�轴上方的部分不变，将�
轴下方的部分翻折到�轴上方得到，如下图所示：
（2）�= log2 �+ 1 ，其图象可由�= log2�的图象向左平移1 个单位长度，再保留�轴上方部分不变，将�
轴下方部分翻折到�轴上方得到，如下图所示：
16．（25-26 高一上·宁夏银川·期末）若�= ��是定义在R 上的偶函数，当�≥0 时，��= �2 −2�．
(1)画出函数��的图象并求出函数��的解析式；
(2)若关于�的方程��= �有2 个不同的实数解，求实数�的取值范围．
【答案】(1)��= �2 −2�, �≥0
�2 + 2�, �< 0 ；
(2){ −1} ∪(0, + ∞).
【解题思路】（1）结合二次函数对称轴及偶函数性质作图即可；求出当�< 0 时对应的函数解析式，结合�=
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�(�)是定义在R 上的偶函数，以分段函数形式写出解析式即可；
（2）将方程�(�) = �有2 个不同的实数解转化为函数图象交点问题，观察图象即可得到范围.
【解答过程】（1）
当�< 0 时，−�> 0，所以�−�= −�2 −2 −�= �2 + 2�，
又�= ��是定义在�上的偶函数，所以当�< 0 时，��= �−�= �2 + 2�，
综上，函数��的解析式为��= �2 −2�, �≥0
�2 + 2�, �< 0 ；
（2）若��= �有2 个不同的实数解，即函数��与直线�= �有2 个交点，
所以由（1）中图象可知，实数�的取值范围为�> 0 或�=−1，
即�∈{ −1} ∪(0, + ∞).
17．（25-26 高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数��的解析式为��=
�+ 2, �≤−1
�2, −1 < �≤2
−�+ 6, �> 2
.
(1)画出函数��的图象，写出函数��的单调减区间并求函数��的最大值；
(2)解关于�的不等式��< 2.
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【答案】(1)
；单调减区间为( −1,0), (2, + ∞)，最大值为4
(2) ��<
2 或�> 4
【解题思路】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求单调递减区间和最值；
（2）分段求解不等式，再求并集即可得.
【解答过程】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象（在答案处）
则函数的单调减区间为−1,0 ，2, + ∞，
当�= 2 时，��取得最大值4；
（2）当�≤−1 时，�+ 2 ≤1，所以��< 2 恒成立；
当−1 < �≤2 时，�2 < 2 ⇔−
2 < �<
2，所以−1 < �<
2；
当�> 2 时，−�+ 6 < 2 ⇒�> 4，所以�> 4；
综上可知，�<
2或�> 4，
所以不等式的解集为��<
2 或�> 4 .
18．（25-26 高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数��= �+ 2, �≤0
log��, �> 0 ，且点4,2 在函数��的图象上.
(1)求函数��的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数��的图象；
(2)结合图像简单说明，求不等式��> 1 的解集；
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【答案】(1)��= �+ 2, �≤0
log2�, �> 0 ，作图见解析
(2) −1,0] ∪(2, + ∞
【解题思路】（1）将点4,2 代入函数解析式可得�= 2，即可画出函数图象；
（2）根据函数与方程的思想，分别画出函数��与�= 1 的图象，可得不等式解集.
【解答过程】（1）点4,2 在函数的图象上，
∴�4 = log�4 = 2，则�= 2，
��= �+ 2, �≤0
log2�, �> 0 ，则函数的图象如图所示：
（2）从图象上来看即观察该函数图象在直线�= 1 以上的部分，
令
�> 0
log2�= 1 和
�≤0
�+ 2 = 1 ，
解得�=−1 和2，则直线�= 1 与函数交点分别为−1,1 ，2,1 ，
则由图知不等式��> 1 的解集为( −1,0] ∪2, + ∞.
19．（25-26 高二·全国·暑假作业）函数��= 2�(�> 0)和��= �2(�> 0)的图象如图所示.设两函数的图
象交于点��1, �1 ，��2, �2 ，且�1 < �2.
(1)请指出图中曲线�1，�2分别对应的函数；
(2)求点�，�的坐标；
(3)结合函数图象，判断�3 ，�3 ，�2024 ，�2024 的大小.
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【答案】(1)��= �2(�> 0)，��= 2�(�> 0)
(2)�2,4 ，�4,16
(3)�2024 > �2024 > �3 > �3
【解题思路】（1）根据幂函数与指数函数性质分析即可；
（2）根据幂函数与指数函数图象与性质分析即可；
（3）根据幂函数与指数函数图象与性质分析即可.
【解答过程】（1）当�> 0，幂函数增长较指数函数慢，故�1对应的函数为��= �2(�> 0)，
�2对应的函数为��= 2�(�> 0).
（2）因为�2 = 4，�2 = 4，�4 = 16，�4 = 16，
所以�2,4 ，�4,16 .
（3）由题图和（2）可知，
当0 < �< 2 时，��> ��，
当2 < �< 4 时，��< ��，
当�> 4 时，��> ��，
所以�2024 > �2024 ，�3 < �3 ，
又因为��在0, + ∞上为增函数，
所以�2024 > �3 ，故�2024 > �2024 > �3 > �3 .
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