专题2.11 函数的图象（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）
表示函数
(2)会画简单的函数图象
(3)会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题
高考真题
考点
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统计
函数的图象
全国甲卷（文数）：第
8 题，5 分
全国甲卷（理数）：第
7 题，5 分
北京卷：第4 题，4 分
天津卷：第3 题，5 分
上海卷（春考）：第
15 题，5 分
天津卷：第4 题，5 分
命题规律
分析
1、函数的图象
函数图象是高考常考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，高
考试题中主要以考查函数图象的识别与变换为重点和热点，也可能考查利用
函数图象研究函数性质、解不等式等问题，一般以单选题的形式出现，难度
不大。
知识点1
函数的图象的作法与识别
1．作函数图象的一般方法
(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图
象的关键点直接作出.
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，
并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
2．函数图象识别的解题思路
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(1)抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)利用函数的零点、极值点判断.
(3)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
知识点2
函数图象的应用及其解题策略
1．利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借
助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2．利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略
利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思
想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
【题型1
作出函数的图象】
【例1】（25-26 高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象：
(1)�= �−|�−1|；
(2)�= �2 −2|�| −1.
【变式1-1】（25-26 高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象．
(1)�= �2 −4�−5 ；
(2)�=
1
2
|�−1|
−1．
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【变式1-2】（25-26 高一上·重庆·期末）已知函数��=
1 −�2,
�> 0
2,
�= 0
2�−1,
�< 0
.
(1)求��2
的值；
(2)画出函数��的图象，并写出函数��的单调递增区间.
【变式1-3】（25-26 高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象：
(1)�=
2�−1
�−1 ；
(2)�= �2 −2 �−3；
(3)�=
1
2
�−1
−1．
【题型2
函数图象的识别】
【例2】（2026·江西上饶·二模）函数��=
�
2�+2−�的大致图象为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2026·安徽合肥·三模）当�< 0 时，函数��=
e�
�2−��的图象大致是（
）
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A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数�=
�2
e|�|−2的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2026·陕西渭南·三模）函数��=
3�−�3
2+cos�的部分图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
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【题型3
根据函数图象选择解析式】
【例3】（2026·天津·二模）已知函数�= ��的部分图象如图，则��的解析式可能为（
）
A．��=
�
e�+e−�
B．��=
�
e�+e−�
C．��=
�2
e�+e−�
D．��=−
�
e�+e−�
【变式3-1】（2026·四川成都·二模）已知函数�= �(�)(�> 0)的图象如图所示，则其解析式可能为（
）
A．�= 2�−2
B．�= 2 −�−1
C．�= log2(2�)
D．�= 3 −22−�
【变式3-2】（2026·辽宁·模拟预测）若函数��的部分图象如图所示，则函数��可能为（
）
A．��= tan�⋅ln �
B．��= tan�⋅ln �
C．��=−tan�⋅ln �
D．��=−tan�⋅ln �
【变式3-3】（2026·四川成都·模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间−8,8 上的大致图象，则
该函数可能是（
）
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A．��=
�4sin�
e�+e−�
B．��=
�4 sin�−�
e�+e−�
C．��=
�4cos�
e�+e−�
D．��=
�4 cos�−�
e�+e−�
【题型4
函数图象的变换】
【例4】（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数�= log2 4�−1 的图象，只需要把�= log2�图象上所有
的点（
）
A．横坐标变为原来的
1
2（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
C．向右平移1 个单位（纵坐标不变）
D．向上平移2 个单位（横坐标不变）
【变式4-1】（25-26 高一上·甘肃武威·开学考试）将函数�= −�2 + 1 + 2 向左、向下分别平移2 个、3 个
单位长度，所得图象为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2026 高一·全国·专题练习）若定义在−2,2 上的函数�= ��的图象如图所示，则函数�= �2 −
�的图象为（
）
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A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2026·河北沧州·一模）将函数��=
2 �+2
2�2+8�+9的图象向右平移2 个单位长度得到函数��的图
象，则��的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【题型5
根据实际问题作函数图象】
【例5】（25-26 高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车
的速度为100 千米/小时，特快车的速度为150 千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000 千米，两车同时出
发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（
）
A．
B．
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C．
D．
【变式5-1】（2026·山东·二模）如图所示，动点�在边长为1 的正方形����的边上沿�→�→�→�运动，
�表示动点�由A 点出发所经过的路程，�表示△���的面积，则函数�= ��的大致图像是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2026·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）
上匀速跑步，他从点�处出发，沿箭头方向经过点�、�、�返回到点�，共用时80 秒，他的同桌小陈在固定
点�位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为�（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为�（单位：米），
若�= ��，则��的图象大致为（
）
A．
B．
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C．
D．
【变式5-3】（25-26 高一上·广东梅州·期末）寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔
子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，
就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，
但结果还是乌龟赢了.下图“路程�一时间�”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（
）
A．
B．
C．
D．
【题型6
函数图象的应用】
【例6】（2026·广东深圳·模拟预测）函数�=
1
1−�的图像与函数�= 2sinπ(�+ 2026)（−2 ≤�≤4）的图像
所有交点的横坐标记作��，则
�=1
�
��
σ
=（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【变式6-1】（2026·内蒙古赤峰·三模）已知函数��=
�2 + 4�+ 3, �≤0
1 + log1
3�, �> 0 ，若函数��= ��−�恰有3
个零点，则�的取值范围为（
）
A．−1,3
B．0,3
C．−1,0
D．3, + ∞∪−1
【变式6-2】（2026·山西临汾·二模）已知函数��=
2�−1 , �≤2,
3
�−1 , �> 2,
若方程��
2 −�+ 5 ��+ 5�= 0
有三个不同的实数根，则�的取值范围为（
）
A．0,1
B．0,2
C．0,3
D．1,3
【变式6-3】（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数��=
2�−2 , �≥0
−2�−2, �< 0 ，若存在实数�1 < �2 < �3，使
得��1 = ��2 = ��3 ，则
�1��1
�3−�2 的取值范围为（
）
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A．−2log32,0
B．−
3
2 log32,0
C．−
3
4 log32,0
D．
1
2 log32, + ∞
一、单选题
1．（2026·山东枣庄·三模）函数��=
�e−�−e�
�2−1
的部分图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·天津北辰·三模）函数�(�) =
�cos2�
ln(�2+1)的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（
）
A．�=
sin2�
�2+1
B．�=
�
�2+1
C．�=
cos�
�2+1
D．�=
e�+e−�
2 e�−e−�
4．（2026 高二上·山东枣庄·学业考试）某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，
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发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中�轴表示该学生离家的距离，�轴表示所用的时间，下列图象与该同
学走法相吻合的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三上·云南曲靖·期末）已知函数��的定义域是0,3 ，其图象如图所示，则不等式2�−4 ��<
0 的解集是（
）
A．0,1
B．1,2
C．0,2
D．1,3
6．（2026·北京顺义·二模）把函数��= ���> 0, �≠1 的图象�1向右平移2 个单位长度，再把所得图象
上所有点的纵坐标变为原来的
1
4倍，得到图象�2，若此时图象�1恰与�2重合，则�的值为（
）
A．4
B．2
C．
1
2
D．
1
4
7．（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（
）
A．�= e�+ e−�sin�
B．�= e�−e−�sin�
C．�= e�+ e−�cos�
D．�= e�−e−�cos�
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8．（2026·山东·模拟预测）若函数��=
�
e�−
�
�有且只有一个零点，则实数�的取值范围为（
）
A．
4
e2 , + ∞
B．
4
e2 , + ∞∪0
C．−∞, 0 ∪
4
e2 , + ∞
D．−∞, 0 ∪
4
e2 , + ∞
二、多选题
9．（2026·山西临汾·二模）函数��= �e�−ln�的图象可以是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·广西·模拟预测）已知函数��是定义在�上的奇函数，且��在�∈−∞, 0 内单调递减，则函
数�= ��+ 1
+ 1 的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·湖南岳阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2 的正三角形ABC 沿着x 轴连续滚动(滚
动时无滑动)，若顶点A 在滚动中恰好经过坐标原点，设顶点��, �满足函数关系式�= ��，则下列判断
正确的有（
）
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A．�1 =
3
B．函数�= ��图象的对称轴方程为�= 1 + 6�, �∈�
C．不等式��≥
3的解集为−1 + 6�, 3 + 6�, �∈�
D．直线�=
2
7 �与函数�= ��的图象恰有3 个交点
三、填空题
12．（25-26 高二下·河北张家口·阶段检测）已知直线�= �与函数�=
ln�
�的图象有两个交点，则实数�的取
值范围为___________．
13．（2026·海南·模拟预测）已知�(�) = �(�+ 3)为奇函数，若�= �(�)与�=
1
�−3的图象有10 个交点，设
交点的横坐标从小到大依次为�1, �2, ⋯, �10，则�1 + �2 + ⋯+ �10 =___________.
14．（2026·上海闵行·一模）已知函数��=
�−2 , �≥0
2�+1, �< 0 ，若函数�(�) = ��−�有三个零点�1, �2, �3，
且�1 < �2 < �3，则
�2⋅��1
�3(�2+�3)的取值范围是________.
四、解答题
15．（25-26 高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象：
(1)�= �2 −4�−5 ；
(2)�= log2 �+ 1 ．
16．（25-26 高一上·宁夏银川·期末）若�= ��是定义在R 上的偶函数，当�≥0 时，��= �2 −2�．
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(1)画出函数��的图象并求出函数��的解析式；
(2)若关于�的方程��= �有2 个不同的实数解，求实数�的取值范围．
17．（25-26 高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数��的解析式为��=
�+ 2, �≤−1
�2, −1 < �≤2
−�+ 6, �> 2
.
(1)画出函数��的图象，写出函数��的单调减区间并求函数��的最大值；
(2)解关于�的不等式��< 2.
18．（25-26 高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数��= �+ 2, �≤0
log��, �> 0 ，且点4,2 在函数��的图象上.
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(1)求函数��的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数��的图象；
(2)结合图像简单说明，求不等式��> 1 的解集；
19．（25-26 高二·全国·暑假作业）函数��= 2�(�> 0)和��= �2(�> 0)的图象如图所示.设两函数的图
象交于点��1, �1 ，��2, �2 ，且�1 < �2.
(1)请指出图中曲线�1，�2分别对应的函数；
(2)求点�，�的坐标；
(3)结合函数图象，判断�3 ，�3 ，�2024 ，�2024 的大小.
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