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专题2.12函数的图象（解析版）_2027版高中《举一反三》同步讲义（数学）

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专题2.12 函数的图象（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1
作出函数的图象】.......................................................................................................................................1
【题型2
函数图象的识别】.......................................................................................................................................5
【题型3
根据函数图象选择解析式】.......................................................................................................................8
【题型4
函数图象的变换】..................................................................................................................................... 11
【题型5
根据实际问题作函数图象】.....................................................................................................................13
【题型6
函数图象的应用】.....................................................................................................................................17
第二部分分层突破
A 组
基础跟踪练
B 组
培优提升练
C 组
真题·实战演练
【题型1
作出函数的图象】
1．（25-26 高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象．
(1)�= log2(�+ 1) ；
(2)�=
2�−1
�−1 ；
(3)�= �2 −2|�| −1．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【解题思路】（1）根据图象翻折变换求解即可.
（2）根据图象平移变换求解即可.
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（3）首先根据题意得到为偶函数，再根据偶函数的性质画图即可.
【解答过程】（1）将函数�= log2�的图象向左平移1 个单位长度，
再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数�= log2(�+ 1) 的图象，
如图①所示．
（2）原函数解析式可化为�= 2 +
1
�−1，
故函数图象可由函数�=
1
�的图象向右平移1 个单位长度，
再向上平移2 个单位长度得到，如图②所示．
（3）因为�= �2 −2�−1, �≥0,
�2 + 2�−1, �< 0, ，且函数为偶函数，
先用描点法作出[0, + ∞)上的图象，再根据对称性作出( −∞, 0)上的图象，
最后得函数图象如图③所示．
2．（25-26 高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象
(1)��= lg�；
(2)��= lg �；
(3)��= lg �−1||；
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
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【解题思路】（1）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换作图即可；
（2）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换作图即可；
（3）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换及平移变换作图即可.
【解答过程】（1）先作出�= lg�的图象，再将横轴下方的图象沿横轴上翻，并去除横轴下方的图象，
如下：
（2）先作出�= lg�的图象，保留并作关于纵轴对称的图象，如下：
（3）同上先作出�= lg �，将图象向右平移一个单位得到�= lg �−1 的图象，
再保留横轴上方的图象，并将横轴下方的图象向上翻折，去除横轴下方的图象可得，
如下：
3．（25-26 高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知函数��= �+ 3 −�−1 ．
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)在平面直角坐标系中直接画出函数�= ��的图象.
【答案】(1)��=
−4, �<−3
2�+ 2, −3 ≤�≤1
4, �> 1
(2)作图见解析
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【解题思路】（1）根据绝对值定义将函数分成三段，即可求得函数解析式；
（2）根据分段函数解析式直接画出图象即可.
【解答过程】（1）当�<−3 时，��=−�+ 3 + �−1 =−4；
当−3 ≤�≤1 时，��= �+ 3 + �−1 = 2�+ 2；
当�> 1 时，��= �+ 3 −�−1 = 4，
所以��=
−4, �<−3
2�+ 2, −3 ≤�≤1
4, �> 1
.
（2）由（1）知��的图象如图所示：
4．（2026 高三·全国·专题练习）作出下列各函数的图象：
(1)�=
2�−1
�−1 ；
(2)�= �2 −4�−5 ；
(3)�=
1
2
|�−1|
−1．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【解题思路】（1）化简�=
2�−1
�−1 可得�= 2 +
1
�−1，根据函数图象的平移规律即可得其图象；
（2）根据图象的翻折变换得到图象；
（3）根据图象的翻折变换得到�=
1
2
|�|
的图象，再由平移变换得解.
【解答过程】（1）原函数解析式可化为�= 2 +
1
�−1，
所以函数图象可由函数�=
1
�上的图象向右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度得到，如图所示．
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（2）�= �2 −4�−5 的图象可由函数�= �2 −4�−5 的图象保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分
翻折到x 轴上方得到，
如图所示．
（3）�=
1
2
|�−1|
−1，其图象可看作由函数�=
1
2
|�|
的图象向右平移1 个单位长度，再向下平移1 个单位长
度得到，
而�=
1
2
|�|
=
1
2
�
, �≥0
2�, �< 0
，其图象可由�=
1
2
�
的图象保留�≥0 时的图象，然后将该部分关于y 轴对称得
到，
所以�=
1
2
|�−1|
−1 的图象如图所示．
【题型2
函数图象的识别】
5．（2026·河北廊坊·一模）函数��=
ln �−1
e�
的大致图象是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可．
【解答过程】解：��=
ln �−1
e�
，定义域为��≠1 ，
��=
ln �−1
e�
= 0，解得�= 0 或�= 2，
∴��过0,0 和2,0 ，故CD 不符合题意；
又�→+ ∞时，��→0，
所以A 不符合题意，B 符合题意．
故选：B.
6．（2026·山西忻州·模拟预测）函数��= 2�+ 2−�
�
�的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】根据函数的定义域判断D，根据奇偶性判断A，再由函数自变量�> 0, �< 0 时，函数值的变化
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趋势判断C.根据函数性质，判断B.
【解答过程】函数��的定义域为−∞, 0 ∪0, + ∞，排除选项D；
�−�= 2−�+ 2�
−�
−�=−2−�+ 2�
�
�=−��，
故函数��为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A；
当�> 0 时，��= 2�+ 2−�
�
�= 2�+ 2−�> 2 2�× 2−�= 2；
当�< 0 时，��=−2�+ 2−�<−2 2�× 2−�=−2，排除选项C；
综上所得，选项B 符合题意．
故选：B．
7．（2026·江西·三模）函数��= �+ e�−e−�cos�的部分图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】利用奇偶性的定义可排除C，D.，由�∈0,
π
2 ，��> 0，可排除B.
【解答过程】因为�−�=−�+ e−�−e�cos�=−��，所以该函数为奇函数，可排除C，D.
当�∈0,
π
2 时，e�−e−�> 0,cos�> 0，所以��> 0，排除B.
故选：A.
8．（2026·广东广州·模拟预测）函数�(�) =
ln( �2+1+�)
e�+e−�
的图象大致为（
）
A．
B．
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C．
D．
【答案】A
【解题思路】先判断出�(�)为奇函数，排除BD；再根据当�趋向于+∞时，�(�)趋向于0，C 错误，A 正确.
【解答过程】�2 + 1 + �> 0 恒成立，故�(�) =
ln
�2+1+�
e�+e−�
的定义域为R，
�−�=
ln
�2+1−�
e−�+e�
=
ln
�2+1+�
−1
e�+e−�
=−
ln
�2+1+�
e�+e−�
=−��，
故�(�)为奇函数，BD 错误；
当�趋向于+∞时，�= e�+ e−�的增长速度远大于�= ln
�2 + 1 + �的速度，
故�(�) =
ln
�2+1+�
e�+e−�
趋向于0，C 错误，A 正确.
故选：A.
【题型3
根据函数图象选择解析式】
9．（2026·天津河东·二模）如图所示，图象对应的函数解析式为（
）
A．�(�) =
|�|cos�
2�−2−�
B．�(�) =
|�|cos�
2�+2−�
C．�(�) =
|�|sin�
2�+2−�
D．�(�) =
|�|sin�
2�−2−�
【答案】D
【解题思路】函数图象关于�轴对称，排除A ，C，由�(
π
2 ) = 0 排除B，利用排除法即可.
【解答过程】函数图像关于�轴对称，则函数是偶函数，
对于A，∵�(�) =
|�|cos�
2�−2−�,�∈−∞, 0 ∪0, + ∞,
∴�( −�) =
|−�|cos −�
2−�−2�
=
|�|cos�
−2�−2−�=−�(�),
即函数�(�) =
|�|cos�
2�−2−�是奇函数，故A 错，
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对于B，∵�(�) =
|�|cos�
2�+2−�，�∈−∞, 0 ∪0, + ∞，
∴�( −�) =
|−�|cos −�
2−�+2�
=
|�|cos�
2�+2−�= ��，
∴�(�) =
|�|cos�
2�+2−�是偶函数，
当�=
π
2时，�(
π
2 ) =
|π
2|cos
π
2
2
π
2+2−π
2 = 0，故B 错，
对于C ，∵�(�) =
|�|sin�
2�+2−�，�∈−∞, 0 ∪0, + ∞，
∴�( −�) =
|−�|sin −�
2−�+2�
=−
|�|sin�
2�+2−�=−�(�)，
∴�(�) =
|�|sin�
2�+2−�是奇函数，故C 错，
对于D，�(�) =
|�|sin�
2�−2−�，�∈−∞, 0 ∪0, + ∞，
∴�( −�) =
|−�|sin −�
2−�−2�
=
−|�|sin�
−2�−2−�=
|�|sin�
2�−2−�= �(�)，
∴�(�) =
|�|sin�
2�−2−�是偶函数，�
π
2 > 0，符合题意，故D 正确.
故选：D.
10．（2026·辽宁·二模）函数��的部分图象大致如图所示，则��的解析式可能是（
）
A．��=
ln �+1
�+1
B．��=
�
�+1
C．��=
ln �+1
�2+1
D．��=
e�−e−�
�+1
【答案】B
【解题思路】由图象可知，函数��在−1, + ∞上单调递增，且�2 < 2，进而结合特例判断ACD；结合导
数判断B.
【解答过程】由图象可知，函数��在−1, + ∞上单调递增，且�2 < 2.
对于A，由��=
ln �+1
�+1 ，则�1 =
ln2
2 =
ln8
6 ，�7 =
ln8
8 ，
显然�1 =
ln8
6 > �7 =
ln8
8 ，不符合题意；
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对于B，��=
�
�+1，�>−1，则�′ �=
�+1−�⋅
1
2 �+1
�+1
=
�+2
2 �+1
�+1 > 0，
所以函数��在−1, + ∞上单调递增，
且�< 0 时，��< 0；�> 0 时，��> 0；�= 0 时，��= 0，符合题意；
对于C，由��=
ln �+1
�2+1 ，则�1 =
ln2
2 =
ln8
6 ，�7 =
ln8
50，
显然�1 =
ln8
6 > �7 =
ln8
50，不满足题意；
对于D，由��=
e�−e−�
�+1 ，则�2 =
e2−e−2
3 ，
下面证明：
e2−e−2
3
> 2，即证明e2 −e−2 > 2 3，
即证明e4 + e−4 −2 > 12，即证明e4 + e−4 > 14，显然成立，
所以�2 =
e2−e−2
3
> 2，不符合题意.
故选：B.
11．（2026·陕西·模拟预测）已知函数��的部分图象如图所示，则��的解析式可能为（
）
A．��= e�−e−�
B．��= 1 −
2
e�+1
C．��= �
�
D．��=
�
ln �2+2
【答案】D
【解题思路】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入�= 2 判断C 错误，则可得到D
正确.
【解答过程】根据函数�(�) 的图象，知�(1) ≈1，而对A 选项�1 = e −e−1 > 2 排除A；
对B 选项��= 1 −
2
e�+1，因为e�+ 1 > 1，则
2
e�+1 ∈0,2 ，
则��= 1 −
2
e�+1 ∈−1,1 ，但图象中函数值可以大于1 ，排除B；
根据C 选项的解析式，�(2) = 2 2 ≈2.8，而根据函数�(�) 的图象，知�(2) ≈1，排除C.
故选：D.
12．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数��的图象如图所示，则函数��的解析式可能为（
）
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A．��=
e�−e−�
�
B．��= sin2�⋅ln
�2+1
�2
C．��=
e�+e−�
�
D．��= cos2�⋅ln
�2+1
�2
【答案】B
【解题思路】根据图象得到该函数的定义域、奇偶性、零点等性质，据此逐项判断即可.
【解答过程】根据题意，由函数的图象，�(�)的定义域为{�∣�≠0}，其图象关于原点对称，为奇函数；在(0, + ∞)
上，函数图象与�轴存在交点.
由此分析选项：
对于A，��=
e�−e−�
�
，其定义域为��≠0 ，有�−�=
e−�−e�
−�
=
e�−e−�
�
= ��，
�(�)为偶函数，不符合题意；
对于B，�(�) = sin2�⋅ln
�2+1
�2 ，其定义域为{�∣�≠0}，
有�−�= sin −2�⋅ln
�2+1
�2 =−sin2�⋅ln
�2+1
�2 =−��，�(�)为奇函数，其图象关于原点对称；
当�= �π +
π
2 �∈�时，sin2�= 0, �(�) = 0，函数图象与�轴存在交点，符合题意；
对于C，�(�) =
e�+e−�
�
，当�> 0 时，e�+ e−�> 0, �> 0，故�(�) > 0 恒成立，所以该函数图象在(0, + ∞)
上与�轴不存在交点，不符合题意；
对于D，�(�) = cos2�⋅ln
�2+1
�2 ，其定义域为{�∣�≠0}，
有�( −�) = cos( −2�) ⋅ln
�2+1
�2 = cos2�⋅ln
�2+1
�2 = �(�)，�(�)为偶函数，不符合题意.
综上所述，只有选项B 的函数满足，
故选：B．
【题型4
函数图象的变换】
13．（25-26 高一上·北京·阶段检测）为得到函数�=
2�
2 + 1 的图象，只需把函数�= 2�的图象上的所有点（
）
A．向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位
B．向左平移1 个单位，再向上平移1 个单位
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C．向左平移2 个单位，再向上平移2 个单位
D．向右平移2 个单位，再向下平移2 个单位
【答案】A
【解题思路】化简函数�=
2�
2 + 1，由函数图象的平移得到答案.
【解答过程】�=
2�
2 + 1 = 2�−1 + 1，
∴将函数�= 2�的图象上的所有点向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位即可得到函数�=
2�
2 + 1 的图象，
故选：A.
14．（2026 高一上·重庆·专题练习）已知函数��= log3�，将函数�= ��的图像向右平移1 个单位长度，
再将所得的函数图像关于y 轴对称，然后将所得的图像上的点的纵坐标伸长为原来的3 倍，横坐标不变，
得到函数�= ��的图像，则函数��的解析式为（
）
A．��= 3log3 1 −�
B．��=
1
3 log3 −�−1
C．��= 3log3 −�−1
D．��=
1
3 log3 1 −�
【答案】C
【解题思路】根据函数图象的平移、伸缩与对称变换求解即可.
【解答过程】由函数��= log3�的图象向右平移1 个单位长度得到函数�= log3 �−1 的图象，
再将所得的函数图象关于y 轴对称，得到函数�= log3 −�−1 的图象，
然后将函数�= log3 −�−1 图象上的点的纵坐标伸长为原来的3 倍，横坐标不变，
得到函数��= 3log3 −�−1 的图象.
故选：C.
15．（2026·北京密云·一模）为了得到�=
4�
4�+1的图象，只需把函数�=
2�
2�+1的图象上所有点的（
）
A．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的
1
2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变）
D．纵坐标变为原来的
1
2倍（横坐标不变）
【答案】B
【解题思路】根据函数图象的平移、伸缩变换，逐项判断求解即可.
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【解答过程】对于A，把函数�=
2�
2�+1的图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得�=
2
1
2�
2
1
2�+1
，
A 错误；
对于B，把函数�=
2�
2�+1的图象上所有点的横坐标变为原来的
1
2倍（纵坐标不变），得�=
22�
22�+1，B 正确；
对于C，把函数�=
2�
2�+1的图象上所有点的纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变），得�= 2 ⋅
2�
2�+1，C 错误；
对于D，把函数�=
2�
2�+1的图象上所有点的纵坐标变为原来的
1
2倍（横坐标不变），得�=
1
2 ⋅
2�
2�+1，D 错误.
故选：B.
16．（2026·辽宁本溪·模拟预测）函数��的图象可看作是由函数��=
2 �−1
2�2−4�+3的图象向左平移1 个单位
长度后得到的，则��的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】利用平移变换可得��=
2 �
2�2+1，判断函数��的奇偶性，结合赋值法可得结论.
【解答过程】因为��=
2 �−1
2�2−4�+3 =
2 �−1
2(�−1)2+1，所以��=
2 �
2�2+1，其定义域为�，
且�−�=
2 −�
2(−�)2+1 =
2 �
2�2+1 = ��，所以��为偶函数，故排除BC；
又�> 0 时，�′ �=
4�2+2−8�2
2�2+1
2 =
2−4�2
2�2+1
2，
当�→0+时，�′ �→2，故排除A，
故选：D.
【题型5
根据实际问题作函数图象】
17．（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形����是上底为2，下底为3 2，高为2的等腰梯形，记梯
形����位于直线�= �(�> 0)左侧的阴影部分的面积为��，则�= ��的大致图象是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】写出�= ��的表达式，再根据分段函数性质选出图象即可.
【解答过程】根据题意可知在梯形����中，∠���= ∠���= 45∘；
当0 < �≤
2时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为��=
1
2 �2；
当2 < �< 2 2时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形，
其面积为��=
1
2 ×
2
2 +
2 �−
2 =
2�−1；
当�≥2 2时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积，
即��=
1
2
2 + 3 2 ×
2 −
1
2 3 2 −�
2 =−
1
2 �2 + 3 2�−5；
所以可得��=
1
2 �2, 0 < �≤
2
2�−1,
2 < �< 2 2
−
1
2 �2 + 3 2�−5,2 2 ≤�≤3 2
；
根据函数类型对比图象可得A 正确.
故选：A.
18．（25-26 高一上·全国·课后作业）某天0 时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午
时他的体温基本正常（正常体温为37 ℃），但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发
烫了.下面能大致反映出小鹏这一天（0 时至24 时）体温变化情况的图像是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据体温变化过程结合图像可得答案.
【解答过程】选项A 反映，体温逐渐降低，不符合题意；选项B 不能反映下午体温又开始上升的过程；选
项D 不能反映下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫这一过程.
故选：C.
19．
（25-26 高一上·湖南邵阳·期末）如图，点�在边长为1 的正方形边上运动，�是��的中点，当点�沿�−�−
�−�运动时，点�经过的路程�与△���的面积�的函数�= ��的图象的形状大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】求出点�在对应线段上时的解析式，结合图象判断即可得.
【解答过程】当点�在��上时，�=
1
2 × ��× ��=
�
2，
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当点�在��上时，�= ��× ��−
1
2 × ��× ��−
1
2 ��× ��−
1
2 ��× ��
= 1 −
1
2 �−1 −
1
2 ×
1
2 −
1
2 ×
1
2 2 −�=
3
4 −
�
4，
当点�在��上时，�=
1
2 × ��× ��=
1
2
5
2 −�=
5
4 −
1
2 �，
其中A 选项符合要求，B、C、D 都不符合要求，故A 正确.
故选：A.
20．（25-26 高一上·北京海淀·期中）如图，给定菱形ABCD，点P 从A 出发，沿�−�−�在菱形的边上运
动，运动到C 停止，点P 关于AC 的对称点为Q，PQ 与AC 相交于点M，R 为菱形ABCD 边上的动点（不
与P，Q 重合），当��= �时，△���面积的最大值为y，则y 关于x 的函数图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】分��= �≤��和��< ��= �≤��两种情况讨论△���面积的最大值，然后根据解析式判断
图象即可.
【解答过程】
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连接��交��于点�，
当��= �≤��时，点�在点�处时△���面积最大，此时�=
1
2 ��⋅��= �tan∠���⋅��−�，
当��< ��= �≤��时，点�在点�处△���面积最大，此时�=
1
2 ��⋅��= ��−�tan∠���⋅�，
∠���= ∠���且为定值，��为定值，设tan∠���= tan∠���= �，��= �，
所以�关于�的函数为�= ��−��.
故选：C.
【题型6
函数图象的应用】
21．（2026·四川成都·一模）已知定义在�上的奇函数�(�)在[0, + ∞)上的图象如图所示，则不等式(�−
3)�(�) > 0 的解集为（
）
A．( −3,0) ∪( 3, 3)
B．( −3,0) ∪(0,3)
C．( −∞, −3) ∪(0,3)
D．( −∞, −3) ∪( 3, 3)
【答案】A
【解题思路】根据函数为奇函数可得函数的图象，进而由数形结合可得不等式的解集.
【解答过程】因为�(�)是定义在�上的奇函数，所以函数�(�)图象关于原点对称，故得函数的图象如下：且�( −
3) =−�(3) = 0.
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由图象可知，要使(�−
3)�(�) > 0，当�>
3时，�(�) > 0，得3 < �< 3；
当�<
3时，�(�) < 0，得−3 < �< 0；
当�=
3，不等式不成立；
综上，不等式(�−
3)�(�) > 0 的解集为( −3,0) ∪( 3, 3).
故选：A.
22．（2026·河南郑州·二模）函数��= 2sin 2�+
�
6 与函数��= log2�的图象交点个数为（
）
A．3
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【解题思路】利用五点法作出三角型函数图象，再用两点法作出对数函数图象，即可通过图象观察交点个数.
【解答过程】
通过五点法
π
6 , 2 ,
5π
12 , 0 ,
2π
3 , −2 ,
11π
12 , 0 ,
7π
6 , 2 作出周期函数��的图象，
再通过两点法1,0 , 4,2 作出单调函数��= log2�的图象，
因为4 ∈
7π
6 ,
17π
12 ，所以通过图象可判断它们有3 个交点，
故选：A.
23．（2026·贵州毕节·一模）已知函数�(�) = −�2 −2�+ 3, �≤0
ln�, �> 0
，则函数�= �(�) 2 −5�(�) + 6 的零点
个数为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【解题思路】由[�(�)]2 −5�(�) + 6 = 0 可得�(�) = 2 或�(�) = 3，作出图形，结合图形即可求解.
【解答过程】由题意，令[�(�)]2 −5�(�) + 6 = 0，解得�(�) = 2 或�(�) = 3，
作出�= �(�)的图象，如图，
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由图可知，直线�= 2 与�= �(�)图象有3 个交点，
直线�= 3 与�= �(�)图象有4 个交点，
所以原方程有7 个解，
即函数�= [�(�)]2 −5�(�) + 6 有7 个零点.
故选：C.
24．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数�(�) = −�2 −2�, �≤0
ln�, �> 0
，函数��= ��−�有三个零点
�1, �2, �3，则�1 ⋅�2 ⋅�3的取值范围是（
）
A．0,1
B．
1
e , 1
C．
1
e ,e
D．0,e
【答案】D
【解题思路】由��= ��−�有三个零点，可转化为�= �(�)与�= �图象有三个不同的交点�1, �2, �3，作
出图象，可得a 的范围，根据韦达定理可得，�1 ⋅�2 = �，根据对数的性质，可得�3 = e�，即可得�1 ⋅�2 ⋅�3
的表达式，构造函数，利用导数求得单调性，可求出最值，即可得答案.
【解答过程】当�≤0 时，�(�) =−�2 −2�=−(�+ 1)2 + 1，为开口向下，对称轴为�=−1 的抛物线，
因为��= ��−�有三个零点�1, �2, �3，不妨令�1 < �2 < �3，
所以��= ��−�= 0 有三个不相等的根�1, �2, �3，
即�= �(�)与�= �图象有三个不同的交点�1, �2, �3，
作出图象，如图所示
所以0 ≤�< 1，
因为�1, �2为方程−�2 −2�= �，即�2 + 2�+ �= 0 的两个不相等实根，
所以�1 ⋅�2 = �，
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因为�3为方程ln�= �的根，所以�3 = e�，
所以�1 ⋅�2 ⋅�3 = �⋅e�，
令ℎ(�) = �e�, �∈0,1 ，
则ℎ′(�) = e�+ �e�= (1 + �)e�> 0，
所以ℎ(�)在0,1 上单调递增，
所以ℎ(0) ≤ℎ(�) < ℎ(1)，即0 ≤ℎ(�) < e，
所以�1 ⋅�2 ⋅�3 = �⋅e�∈0,e .
故选：D.
一、单选题
1．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（
）
A．��= ln
�2 + 1 + �
B．��= ln
�2 + 1 −�
C．��= ln �2 + 1 + �
D．��= ln �2 + 1 −�
【答案】B
【解题思路】应用函数对称性判断C，D，再根据�> 0 时，��> 0 排除A.
【解答过程】由图可知函数图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，
��= ln �2 + 1 + �中，�2 = ln 5 + 2, �−2 = ln 5 −2，−�2 ，�−2 不相等，所以C 选项错误；
��= ln �2 + 1 −�中，�2 = ln 5 −2, �−2 = ln 5+2，−�2 ，�−2 不相等，所以D 选项错误；
对于��= ln
�2 + 1 + �)，当�> 0 时，��> 0，与图象不符，故排除A.
故选：B.
2．（2026·广西柳州·一模）已知函数��的部分图象如图所示，则��的解析式可能为（
）
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A．��=
2�+2−�
4 �−3
B．��=
2�−2−�
3−4 �
C．��=
2�−2−�
4 �−3
D．��=
�
�−1
【答案】C
【解题思路】利用函数��在(1, + ∞)上的值排除B, 利用奇偶性排除A, 利用函数��在(1, + ∞)上的单调
性排除D
【解答过程】对于A，��=
2�+2−�
4|�|−3，定义域为−∞, −
3
4 ∪−
3
4 ,
3
4 ∪
3
4 , + ∞，
又�−�=
2−�+2�
4|−�|−3 =
2�+2−�
4|�|−3 = �(�)，所以�(�)为偶函数，故A 错误；
对于B，当�> 1 时��=
2�−2−�
3−4�，
易知2�−2−�> 0，3 −4�< 0，所以�(�) < 0，不满足，故B 错误；
对于D，当�> 1 时，��=
�
|�|−1 =
�
�−1 = 1 +
1
�−1，
由反比例函数的性质可知，��在(1, + ∞)上单调递减，故D 错误；
检验选项C，��=
2�−2−�
4 �−3满足图中性质。
故选：C.
3．（25-26 高一上·江西吉安·期中）已知函数�(�)是定义在�上的增函数，则函数�= �(|�−1|) + 1 的图象
可能是（
）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据函数的对称性及单调性，结合函数图象的平移得出函数性质，进而判断即可.
【解答过程】由函数�(�)是�上的增函数，得函数�= �(|�|)是�上的偶函数，且在(0, + ∞)上单调递增，
函数�= �(|�−1|) + 1 的图象是函数�= �(|�|)的图象向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位而得，
因此函数�= �(|�−1|) + 1 的图象关于直线�= 1 对称，且在(1, + ∞)上单调递增，选项ABD 不符合题意，
C 符合.
故选：C.
4．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数��的部分图象如图所示，则��的解析式可能为（
）
A．��=
�
�−1
B．��=
�
1−�2
C．��=−
�2
�+1
D．��=
�2
1−�
【答案】D
【解题思路】利用排除法，根据函数定义域、奇偶性以及单调性分析判定即可.
【解答过程】由图可知：函数��的图象关于y 轴对称，定义域有两个间断点，
对于选项A：令�−1 ≠0，解得�≠± 1，可知��的定义域为�|�≠± 1 ，
且�−�=
−�
−�−1 =−
�
�−1 =−��，可知函数��为奇函数，
其图象关于原点轴对称，故A 错误；
对于选项B：令1 −�2 ≠0，解得�≠± 1，可知��的定义域为�|�≠± 1 ，
当�> 1 时，��=
�
1−�2 =
�
1−�2 =
1
1
�−�，
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因为�=
1
�−�在1, + ∞内单调递减，函数��在1, + ∞内单调递增，故B 错误；
对于选项C：因为�+ 1 > 0，可知��的定义域为�，故C 错误；
故选：D.
5．（2026·河北邢台·三模）函数�(�) =
e�
�2 −
1
�的部分图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】法一，利用特殊值排除；法二，求导得出�(�)在−∞, 0 ，2, + ∞上单调递增也可.
【解答过程】解法一：因为函数�(�)的定义域为( −∞, 0) ∪(0, + ∞)，故排除A；
�(1) = e −1，�( −1) =
1
e + 1，所以�(1) ≠−�( −1)，�(1) ≠�( −1)，
故��非奇非偶函数，故排除B，D.
解法二：由题可知�'(�) =
(�−2)e�
�3
+
1
�2 =
(�−2)e�+�
�3
，
当�< 0 或�> 2 时，�' �> 0，则�(�)在−∞, 0 ，2, + ∞上单调递增，故ABD 错误；
故选：C.
6．（2026·天津武清·模拟预测）已知函数��= 3 �，��= sin�，某函数的部分图象如图所示，则该函数
可能是（
）
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A．�= ��+ ��
B．�= ��−��
C．�= ����
D．�=
��
��
【答案】C
【解题思路】结合函数的奇偶性及特值法可判断.
【解答过程】对于A，令ℎ�= ��+ ��= 3 �+ sin�，由ℎ−�= 3 �−sin�，则ℎ−�≠ℎ�，ℎ−�≠−
ℎ�，
所以�= ��+ ��是非奇非偶函数，由图象不符，故A 错误；
对于B，令��= ��−��= 3 �−sin�，由�−�= 3 �+ sin�，则�−�≠��，�−�≠−��，
所以�= ��−��是非奇非偶函数，由图象不符，故B 错误；
对于D，�=
��
��=
sin�
3 �，当�= 2 时，�=
sin2
9 ∈0,1 ，与图象不符，排除D，故C 正确.
故选：C.
7．（2026·山东·模拟预测）函数��= e�与函数��=
�+1
�−1的图象所有交点的横坐标之和为（
）
A．−ln2
B．ln2
C．0
D．1
【答案】C
【解题思路】根据指数函数、反比例函数的性质及图象的平移变换可知：函数��= e�与函数��=
�+1
�−1的
图象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为�1，�2，则�1，�2是方程e�=
�+1
�−1的解.根据�1是方程e�=
�+1
�−1的解得e�1 =
�1+1
�1−1，再由对称性可知−�1是方程e�=
�+1
�−1的解，即可求解�1 + �2.
【解答过程】∵��=
�+1
�−1 =
�−1+2
�−1 = 1 +
2
�−1，
∴函数��的图象由�=
2
�的图象向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位得到的.
根据反比例函数的性质可知��在−∞, 1 和1, + ∞上单调递减，又��= e�在R 上单调递增，
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故在同一平面直角坐标系下画出函数��= e�与函数��=
�+1
�−1的图象如下图所示.
由图可知：函数��= e�与函数��=
�+1
�−1的图象共有两个交点，
不妨设两个交点的横坐标分别为�1，�2，则�1，�2是方程e�=
�+1
�−1的解.
若�1是方程e�=
�+1
�−1的解，即e�1 =
�1+1
�1−1.
又
−�1+1
−�1−1 =
�1−1
�1+1 =
1
e�1 = e−�1，∴−�1是方程e�=
�+1
�−1的解，
∴�2 =−�1，则�1 + �2 = �1 + −�1 = 0.
故选：C.
8．（25-26 高一上·黑龙江牡丹江·期中）函数�(�) = 2−�的图象与�(�) = log3 �的图象的交点个数为（
）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】C
【解题思路】画出函数图像即可求解.
【解答过程】在同一直角坐标系中，作出两个函数�(�) = 2−�与�(�) = log3 �的图象，
由图可知，两函数的图象的交点个数为4.
故选：C.
9．（2026·天津·一模）已知函数�(�)的部分图象如图所示，则�(�)的解析式可能为（
）
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A．�(�) =
ln|�|⋅sin
π
2−�
2
�
B．�(�) =
ln|�|⋅sin
π
2−�
�
C．�(�) =
ln|�|⋅sin
π
2−�
�2
D．�(�) =
ln|�|⋅sin�
�
【答案】B
【解题思路】根据函数的奇偶性，结合选项判断函数的奇偶性，结合�2 < 0 即可求解.
【解答过程】由图象可知�(�)的图象关于原点对称，所以�(�)为奇函数，且�2 < 0，
对于A, �(2) =
ln2⋅sin
π
2−1
2
> 0，故不符合，A 错误，
对于B, �(�) =
ln|�|⋅sin
π
2−�
�
=
ln|�|⋅cos�
�
，�( −�) =
ln|−�|⋅cos −�
−�
= ��则�(�)为奇函数，且满足�2 < 0，故B
正确，
对于C, �(�) =
ln|�|⋅sin
π
2−�
�2
=
ln|�|⋅cos�
�2
, �−�=
ln|−�|⋅cos −�
−�2
= ��，则�(�)为偶函数，不符合，C 错误，
对于D, �(�) =
ln|�|⋅sin�
�
, �( −�) =
ln|−�|⋅sin −�
−�
= ��，�(�)为偶函数，不符合，D 错误，
故选：B.
10．（25-26 高一上·福建厦门·期末）设函数��= �2 −�，��= ��+ 1，若曲线�= ��与�= ��
恰有3 个交点，则�=（
）
A．−1
B．1
C．−1 或1
D．2
【答案】B
【解题思路】结合偶函数的对称性可知除对称轴�= 0 处以外两偶函数图象的交点成对出现，由�0 = �0
即可得�的值，并代入检验即可；
【解答过程】易知函数��，��均为偶函数，除对称轴�= 0 处以外两偶函数图象的交点成对出现，
由曲线�= ��与�= ��恰有3 个交点可知，�0 = �0 ，
即�= 1，解得�=−1 或1．
当�=−1 时，��= �2 + 1 ，��=−�+ 1，由图象分析可知恰有1 个交点，不符合题意；
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当�= 1，��= �2 −1 ，��= �+ 1，由图象分析可知符合题意．
故选：B．
11．（2026·天津·二模）函数��的部分图象如图所示，则��的解析式可能为（
）
A．��=
e�−e−�
cos�
B．��=
e�+e−�
cos�
C．��=
e�−e−�
sin�
D．��=
e�+e−�
sin�
【答案】A
【解题思路】通过观察图象，根据函数的奇偶性和定义域即可用排除法进行作答.
【解答过程】根据图象可以看出，函数的定义域不包括±
π
2，
这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D 的定义域包括±
π
2，所以排除C,D.
由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B 中，
因为�−�=
e−�+e�
cos�= ��，说明选项B 中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除.
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故选：A.
12．（2026·云南玉溪·二模）已知函数�= ��与�= ��的图象如图所示，则函数�= ����的图象可
能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】根据函数�= ��与�= ��的图象可知函数�= ����的定义域与奇偶性，即可选出求解.
【解答过程】由图可知函数�= ����的定义域为函数�= ��和函数�= ��的定义域的交集为
−∞, 0 ∪0, + ∞，
故函数�= ����的图象不经过坐标原点，排除选项BC；
又因为函数�= ��是偶函数，函数�= ��是奇函数，所以函数�= ����是奇函数，排除选项D.
故选：A.
一、单选题
1．（2026·广西柳州·模拟预测）已知函数�(�) = �2 + 2�−3, �≤0
−2 + ln�, �> 0
，若方程�(�) = �的实数解恰有两个，
则实数�的取值范围是（
）
A．�≤−4
B．−4 < �<−3
C．�=−4 或�>−3 D．�=−4 或�≥−3
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【答案】C
【解题思路】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数�的取值范围.
【解答过程】当�≤0 时，函数�(�) = �2 + 2�−3 在( −∞, −1]上单调递减，函数值集合为[ −4, + ∞)，
在[ −1,0]上单调递增，函数值集合为[ −4, −3]；
当�> 0 时，�(�) =−2 + ln�在(0, + ∞)上递增，函数值集合为R，
在直角坐标系内作出函数�= ��的图象与直线�= �，
由图象知，当�=−4 或�>−3 时，直线�= �与函数�= ��的图象有两个交点，
即方程��= �有两个实数解.
故选：C.
2．（2026·安徽池州·二模）已知函数��=
e�+ 2, �≤0
�+
1
�, �> 0 ，若�2 �−�+ 2 ��+ 2�= 0 有4 个互不相
同的根，则�的取值范围为（
）
A．2,3
B．2,3
C．3, + ∞
D．3, + ∞
【答案】B
【解题思路】先求解方程�2(�) −(�+ 2)�(�) + 2�= 0，得到�(�)的表达式，再结合函数�(�)的图象，分析�(�)
取不同值时方程根的个数，进而确定�的取值范围.
【解答过程】令�= �(�)，则方程�2(�) −(�+ 2)�(�) + 2�= 0 可转化为�2 −(�+ 2)�+ 2�= 0.
对�2 −(�+ 2)�+ 2�= 0 进行因式分解可得(�−2)(�−�) = 0，则�1 = 2，�2 = �.
所以�(�) = 2 或�(�) = �.
当�≤0 时，�(�) = e�+ 2，因为指数函数�= e�在( −∞, 0]上单调递增，所以�(�) = e�+ 2 在( −∞, 0]上单
调递增，且�(�) ∈(2,3].
当�> 0 时，�(�) = �+
1
�，对其求导，�′(�) = 1 −
1
�2 =
�2−1
�2 =
(�+1)(�−1)
�2
.
令�′(�) = 0，即
(�+1)(�−1)
�2
= 0，解得�= 1（�> 0）.
当0 < �< 1 时，�'(�) < 0，�(�)单调递减；
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当�> 1 时，�'(�) > 0，�(�)单调递增.
所以�(�)在�= 1 处取得极小值，也是最小值，�(1) = 1 +
1
1 = 2.
对于�(�) = 2：
当�> 0 时，�+
1
�= 2，即�2 −2�+ 1 = 0，(�−1)2 = 0，解得�= 1，有1 个根.
因为�2(�) −(�+ 2)�(�) + 2�= 0 有4 个互不相同的根，�(�) = 2 已经有1 个根，所以�(�) = �需要有3
个不同的根.
结合�(�)的图象可知，当2 < �≤3 时，�= �(�)与�= �有3 个不同的交点，即�(�) = �有3 个不同的根.
�的取值范围为(2,3].
故选：B.
3．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数��=
�3, �≥0
−�, �< 0 ，若函数��= ��−��2 −3��∈�恰有4 个
零点，则�的取值范围为（
）
A．−∞, −
1
3 ∪2 3, + ∞
B．−∞, −
1
3 ∪0,2 3
C．−∞, 0 ∪0,2 3
D．−∞, 0 ∪2 3, + ∞
【答案】D
【解题思路】由�(0) = 0，结合已知，将问题转化为�= ��−3 与ℎ(�) =
�(�)
|�| 有3 个不同交点，分�= 0, �<
0, �> 0 三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【解答过程】注意到�(0) = 0，所以要使�(�)恰有4 个零点，
只需方程|��−3| =
�(�)
|�| 恰有3 个实根即可，
令ℎ(�) =
�(�)
|�| ，即�= |��−3|与ℎ(�) =
�(�)
|�| 的图象有3 个不同交点.
而ℎ(�) =
�(�)
�= �2,
�> 0
1,
�< 0 ，�= |��−3|恒过0,3 ，
当�= 0 时，此时�= 3，如图1，�= 3 与ℎ(�) =
�(�)
|�| 有1 个不同交点，不满足题意；
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当�< 0 时，如图2，此时�= |��−3|与ℎ(�) =
�(�)
|�| 恒有3 个不同交点，满足题意；
当�> 0 时，如图3，当�= ��−3 与�= �2相切时，联立方程得�2 −��+ 3 = 0，
令Δ = 0 得�2 −12 = 0，解得�= 2 3（负值舍去），所以�> 2 3.
综上，�的取值范围为−∞, 0 ∪2 3, + ∞.
故选：D.
二、填空题
4．（25-26 高一上·天津滨海新区·期中）已知函数��=
2�−2 , �< 2
3
�−1 , �≥2
，若函数�= ��的图像与�= �
的图像有3 个不同的交点，则实数�的取值范围为__________.
【答案】(0,2)
【解题思路】画出函数�(�)的图象，结合图象求解即可.
【解答过程】
在坐标系中画出��=
2�−2 , �< 2
3
�−1 , �≥2
，
由图可知，要使�= ��与�= �有三个交点，应使0 < �< 2.
故答案为：(0,2).
5．（2026·江苏·模拟预测）已知函数�(�) =
�3, �≤�
2�−4 , �> �，若存在实数�，使函数�= �(�) −�恰有3 个
零点，则实数�的取值范围是___________．
【答案】0,2
【解题思路】首先分析分段函数的单调性，然后画图，将“存在实数�使得函数�= ��−�恰有3 个零点”问
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题转化为函数��与直线�= �有三个交点的问题，结合图象即可求得�的取值范围.
【解答过程】当�≤�时，��= �3，求导得�' �= 3�2 ≥0，
所以��在−∞, �上单调递增，最大值为��= �3.
当�> �时，��= 2�−4 .
当�> 2 时，��= 2�−4；当�< 2 时，��=−2�+ 4，
画出��的图象如下：
因为存在实数�使得函数�= ��−�恰有3 个零点，这个问题可以转化为函数��与直线�= �有三个交点
的问题.
由图可知�≤0 时，存在实数�使得函数��与直线�= �最多有2 个交点，不合题意.
当�≥2 时，存在实数�使得函数��与直线�= �最多有2 个交点，不合题意.
当0 < �< 2 时，由图可以知道，存在实数�使得函数��与直线�= �恰有3 个交点，符合题意.
故答案为：0,2 .
三、解答题
6．
（25-26 高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知函数��是定义在R 上的奇函数，且当�≥0 时，��= �1 −�.
(1)求�2 ，�−2 的值
(2)求函数��在R 上的解析式.
(3)在给出的直角坐标系中，画出函数��的图象.
【答案】(1)�2 =−2, �−2 = 2
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(2)��= �1 −�, �≥0 ,
��+ 1 , �< 0 .
(3)图象见解析
【解题思路】（1）由解析式和函数奇偶性即可求解；
(2)先用代入法求��在�< 0 的解析式，再合并在一起写成分段函数即可．
(3)利用奇函数图像关于原点对称，先作出当�≥0 时，��= �1 −�的图像，再作出它关于原点的对称
图像即可；
【解答过程】（1）（1）由题意可得：�2 = 2 × −1 =−2，
又函数为奇函数，所以�−2 =−�2 = 2
（2）设�< 0，则−�> 0，
所以�( −�) =−�(1 −( −�)) =−�(1 + �)，
又因为函数��是定义域为R 的奇函数，
所以�−�=−��.
所以当�< 0，��= �1 + �，
综上��的解析式为：�(�) = �(1 −�), �≥0
�(1 + �), �< 0 ．
（3）图像如图示．
7．（25-26 高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数��的解析式为��=
2�, �≤0
�2 −2�+ 1,0 < �< 3
−2�+ 10, �≥3
.
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(1)画出函数的图象，并直接写出函数的值域和单调区间；
(2)解不等式��≥−1；
(3)若直线�= �（k 为常数）与函数��的图象分别有两个和四个公共点，直接写出相对应的k 的范围.
【答案】(1)函数图象见解析；值域为−∞, 4 ，单调递增区间为−∞, 0 ，1,3 ，单调递减区间为0,1 ，3, + ∞；
(2) −∞,
11
2
(3)当�= 0 或1 < �< 4 时，有两个公共点；当0 < �< 1 时，有四个公共点.
【解题思路】（1）画出函数图象，并根据图象得到值域和单调区间；
（2）先从图象得到��=−1 的解，数形结合得到��≥−1 的解集；
（3）从图象得到公共点的个数和相对应的k 的范围.
【解答过程】（1）函数图象如下：
函数的值域为−∞, 4 ，单调递增区间为−∞, 0 ，1,3 ，
单调递减区间为0,1 ，3, + ∞；
（2）��=−1，从图象可知，令−2�+ 10 =−1，解得�=
11
2 ，
故��≥−1 的解集为−∞,
11
2 ；
（3）从图象可以看出，当�= 0 或1 < �< 4 时，直线�= �（k 为常数）与函数��有两个公共点，
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当0 < �< 1 时，直线�= �（k 为常数）与函数��的图象有四个公共点.
8．
（25-26 高一上·青海西宁·阶段检测）已知函数��的图象关于�轴对称，且当�≥0 时，��= �2 + 2�−3．
(1)求��的解析式，并画出��的图象，根据图象写出它的单调区间；
(2)若��+ 1 < �2�−1 ，求实数�的取值范围．
(3)设函数��= ��−�，若��有2 个零点，求实数�的取值范围.
【答案】(1)��= �2 + 2�−3, �≥0
�2 −2�−3, �< 0 ，作图见解析，单调递增区间是0, + ∞，单调递减区间是−∞, 0 ；
(2) −∞, 0 ∪2, + ∞
(3) −3, + ∞
【解题思路】（1）当�< 0 时，−�> 0，求出�−�，再利用��= �−�可求解析式，再利用解析式画出
一元二次函数图象，结合图象写出单调区间；
（2）利用函数的单调性和奇偶性可得；
（3）将问题转化为�= ��与�= �的图象有2 个交点，数形结合即可.
【解答过程】（1）由�≥0 时，��= �2 + 2�−3，
当�< 0 时，−�> 0，可得�−�= −�2 + 2 −�−3 = �2 −2�−3，
因为函数��的图象关于�轴对称，即��为偶函数，
所以��= �−�= �2 −2�−3，
所以��= �2 + 2�−3, �≥0
�2 −2�−3, �< 0 ，
当�≥0 时，对称轴为�=−1，故��在0, + ∞上单调递增，且�0 =−3，
当�< 0 时，对称轴为�= 1，故��在−∞, 0 上单调递减，
故��的图象如图：
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由图象可知：单调递增区间是0, + ∞，单调递减区间是−∞, 0 ；
（2）由��+ 1 < �2�−1 ，结合函数的单调性和奇偶性可得，�+ 1 < 2�−1 ，
平方可得�2 −2�> 0，解得�> 2 或�< 0，
所以实数�的取值范围是−∞, 0 ∪2, + ∞.
（3）函数��有2 个零点等价于�= ��与�= �的图象有2 个交点，所以�>−3，
实数�的取值范围为−3, + ∞．
一、单选题
1．（2026·天津·高考真题）函数�(�)的部分图象如图所示，则�(�)的解析式可能为（
）
A．�+ sinπ�
B．�−sinπ�
C．−�+ sinπ�
D．�⋅sinπ�
【答案】C
【解题思路】A、B、D 项，结合特殊点即可排除；C 项，求出奇偶性和单调性，即可判断.
【解答过程】由题意，
由题意及图得，函数�= ��为奇函数，且当�= 1 时，��< 0，
对A 选项，当�= 1 时，1 + sinπ = 1 + 0 = 1 > 0，与图象不符，故A 错误；
对B 选项，当�= 1 时，1 −sinπ = 1 −0 = 1 > 0，与图象不符，故B 错误；
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对D 选项，当�= 1 时，1 × sinπ = 1 × 0 = 0，与图象不符，故D 错误；
对C 选项，在�(�) =−�+ sinπ�中，
�−�=−−�+ sin −π�= �−sinπ�=−��，即该函数为奇函数，
�(1) =−1 + sinπ =−1 + 0 =−1 < 0，与图象相符，故C 正确.
故选：C.
2．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系���中有一图形Ω，过
Ω内任意一点�作垂直于�轴的直线��，满足��∩Ω为一线段.现沿��方向平移这些线段，使得它们的中点均在�
轴上，这样叫做平移对称法.对于−�2 + �+ 1，−�2 −�，直线�= 0 和直线�= 1 围成的封闭图形Ω，对它
进行一次平移对称，得到的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】先作出两函数在区间[0,1]上的图象，根据平移对称法，分别算出�= 0 和�=
1
2时，两函数的函
数值，求得对应线段的中点的纵坐标，从而得出需要将两函数图象上下平移的长度，根据平移后对应点的
坐标结合各选项逐一判断即得；也可以通过计算两函数的函数值差值等分量，根据该函数的类型结合选项
确定答案.
【解答过程】方法一：依题意，作出函数�1 =−�2 + �+ 1 与�2 =−�2 −�在[0,1]上的图象.
按照平移对称法，当�= 0 时，�1 = 1, �2 = 0，线段中点纵坐标为
1
2，
则应将此时的线段沿��方向向下平移
1
2，�1, �2的图象上的对应点纵坐标应分别为
1
2和−
1
2，故排除B 项；
当�=
1
2时，�1 =
5
4 , �2 =−
3
4，线段中点纵坐标为
1
4，则应将此时的线段沿��方向向下平移
1
4，
�1, �2的图象上的对应点纵坐标应分别为1 和−1，故可排除C，D 两项，A 项符合题意.
方法二：根据平移对称法的基本概念，将函数�=−�2 + �+ 1 和函数�=−�2 −�在[0,1]上的函数值差值等
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分在�轴上下两侧，
等分量为�=
−�2+�+1−(−�2−�)
2
= �+
1
2，故在[0,1]上线性变化，结合选项知，只有选项A 符合题意.
故选：A.
3．（2025·北京·高考真题）为了得到函数�= 9�的图象，只需把函数�= 3�的图象上所有点的（
）
A．横坐标变为原来的
1
2倍（纵坐标不变）B．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的
1
3倍（横坐标不变）D．纵坐标变为原来的3 倍（横坐标不变）
【答案】A
【解题思路】由�= 9�= 32�，根据平移法则即可解出．
【解答过程】因为�= 9�= 32�，所以将函数�= 3�的图象上所有点的横坐标变成原来的
1
2倍，纵坐标不变，
即可得到函数�= 9�的图象，
故选：A.
4．（2025·天津·高考真题）已知函数�= ��的图象如下，则��的解析式可能为（
）
A．�(�) =
�
1−|�|
B．�(�) =
�
|�|−1
C．�(�) =
|�|
1−�2
D．�(�) =
|�|
�2−1
【答案】D
【解题思路】先由函数奇偶性排除AB，再由�∈0,1 时函数值正负情况可得解.
【解答过程】由图可知函数为偶函数，而函数��=
�
1−�和函数��=
�
�−1为奇函数，故排除选项AB；
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又当�∈0,1 时1 −�2 > 0, �2 −1 < 0，此时��=
�
1−�2 > 0, ��=
�
�2−1 < 0，
由图可知当�∈0,1 时，��< 0，故C 不符合，D 符合.
故选：D.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）函数��=−�2 + e�−e−�sin�在区间[ −2.8,2.8]的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入�= 1 可得�1 > 0，可排除D.
【解答过程】�−�=−�2 + e−�−e�sin −�=−�2 + e�−e−�sin�= ��，
又函数定义域为−2.8,2.8 ，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又�1 =−1 + e −
1
e sin1 >−1 + e −
1
e sin
π
6 =
e
2 −1 −
1
2e >
1
4 −
1
2e > 0，
故可排除D.
故选：B.
6．（2024·上海·高考真题）现定义如下:当�∈�,�+ 1 时�∈�，若��+ 1 = �′ �，则称��为延展函
数.已知当�∈0,1 时，��= e�且ℎ�= �10，且�(�), ℎ(�)均为延展函数，则以下结论（
）
（1）存在�= ��+ ��,�∈�, �,�≠0 与�= ��有无穷个交点
（2）存在�= ��+ ��,�∈�,�,�≠0 与�= ℎ�有无穷个交点
A．（1）（2）都成立
B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立
D．（1）不成立（2）成立.
【答案】D
【解题思路】由延展函数的定义分段求出�(�), ℎ(�)解析式，作出函数图象，数形结合可得.
【解答过程】当�∈1,2 时，�−1 ∈(0,1)，则�(�−1) = e�−1，
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又�′(�−1) = e�−1，则由延展函数定义可得�(�) = �′(�−1) = e�−1；
同理可得，当�∈2,3 ，�(�) = e�−2；⋯；
任意�∈�，当�∈�,�+ 1 时，�(�) = e�−�.
当�∈1,2 时，�−1 ∈(0,1)，则ℎ(�−1) = �−1 10，则ℎ(�) = 10(�−1)9；
同理可得，当�∈2,3 时，ℎ(�) = 10 × 9(�−2)8；⋯；
当�∈9,10 时，ℎ(�) = 10! (�−9)；
当�∈10,11 ，ℎ(�) = 10!；当�∈11,12 ，ℎ(�) = 0；⋯；
则任意�∈�, �≥11 时，当�∈�, �+ 1 , ℎ(�) = 0.
如图，作出��与ℎ�大致图像，
因为�, �≠0，如图可知，不存在直线�= ��+ �与�(�)图象有无穷个交点，故（1）不成立；
又因为当�∈9,10 ，ℎ(�) = 10! (�−9)，
故当�= 10!, �=−9 × 10!时，
直线�= 10! �−9 × 10!与ℎ�的图象在区间9,10 的函数部分重合，
即有无穷个交点，故（2）成立；
故选：D.
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