一、选择题

1. 1. （）A.B.C.D.

选择B选项。

1. 2. 若 ，表示（）A.是子集B.C.无交D.空集

选择A选项

1. 3. 以下集合不可数的是（）A.B.C.D.

选择D选项。

1. 4. 集合对等的充分必要条件（）A.存在双射 B.包含 C.为空集 D.相等

选择A选项。

1. 5. 正确的是（）A.可数集子集一定可数B.可数C.可数D.所有集合有限

选择A选项。注：可数，但的幂集不可数

1. 6. 设 ，则（）A.B.C.有限D.不可数

选择A选项。注：有双射 

1. 7. 证明不可数常用（）A.归纳法 B.对角线法 C.极限法 D.微分法

选择B选项。

1. 8. 若存在单射 ，则（）A.B.C.D.

选择A选项。注：存在单射 

二、填空题

1. 1. 与 对等记为______。

答案：

1. 2. 有限集合基数等于______。

答案：集合中元素的个数

3.是______集合。

答案：可数无限

4.______。

答案：＝。

5.______。

答案：注：德摩根公式：交的补=补的并；并的补=补的交。

1. 6. 不可数集例子：______。

答案：、…

三、证明题

1. 1. 设 ，求出集列 的上限集和下限集。

解：(i)，当时，，此时，则。因此，不论多大，总有奇数项不含，从而不存在充分大全部属于的正实数。于是 。

(ii)，，取，。若，则 。于是有无穷多个集合包含。所以所有正实数都属于上限集。注意到时，显然。于是 。

得解。

1. 2. 设 ，求出集列 的上限集和下限集。

解：(i)取 ，，，满足充分大的都属于集合。故 。

取，，当，有，。与1(i)同理，有 。

(ii)取，，取，。当，则有 。与1(ii)同理，有 。

得解。

1. 3. 设 是定义在 上的函数，证明：

证：(i) 下证

，则s.t. 。由于，则。于是 。从而。

任取 满足，记。由实数的稠密性，，s.t. 。即，。所以 ，于是 。从而。综上，第一个等式成立。

(ii) 下证第二个等式

任取 满足，，。。即 ，都有 。因此。从而。

下证

反证：设 ，假设 。令 ，则，s.t. 。于是 ，即 。与矛盾。故 。证毕。

综上，得证。

1. 4. 证明：所有系数为有理数的多项式组成一可数集。

证：记。

，集合为次数不超过的有理系数多项式全体。于是 。

作双射 ：。故 。已知可数，则

也可数。则 可数。可数多个可数集的并集仍为可数集。

证毕。

1. 5. 证明：

证：(1) ，则。由 ，，s.t. 。由 ，有 。从而 。即证 。

，，。即 且 。所以 ，且 。即 。即证 。

于是 。

(2) ，则。，都有 ，且 。则 。即 。即证 。，，，即，但。由 ，得 ，且。故 。从而 。综上，有 。

证毕。