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实变函数第一章集合与基数模拟试卷(一)
实变函数第一章集合与基数模拟试卷（一）
本习题参考教材为[1] 程其襄,张奠宙,胡善文,薛以锋. 实变函数与泛函分析基础[M]. 4版. 北京:高等教育出版社,2019.
一、选择题
1. 设 ，则 （）A.B.C.D.
选择B选项。
2. 若集合 与 之间存在一一对应，则称（）A. 包含B. 相等C. 对等D. 互斥
选择C选项。注：注意到 且 。而 存在双射 。
3. 下列集合中是可数集的是（）A.B.C.D.
选择C选项。注： 和 都是不可数无限集；有理数集是可数集，自然数集的幂集也是不可数集。
4. 下列关系正确的是（）A.B.C.D.
选择B选项。注：基数的比较在于衡量是否可数、是否有限。主要分为可数有限、可数无限和不可数无限。对于有限集，基数即元素个数；对无限集，若 ，则规定 。(1) 对于可数集和与不可数集，有和(2) 自然数集与整数集之间可以构造一一对应，从而；(3) 由康托定理，任何集合的幂集的基数都严格大于原集合的基数，于是
5. 若 且 为有限集，则（）A.B.C.D. 无法判断
选择C选项。注：对于有限集，当A是B的子集时，A可以是B的真子集，A与B也可以相等。此时，若，就有。但对于无限集，，但，所以在题干中要限定有限集。
6. 集合 的基数为（）A. 有限B. 可数无限C. 不可数D. 连续
选择B选项。注：，所有自然数有序对，为可数无限集，基数为。
7. 康托尔对角线法主要用于证明（）A. 实数不可数性B. 集合运算律C. 极限存在性D. 连续性
选择A选项。注：通过证明单位区间不可数，利用该单位区间与实数对等，证得不可数。
8. 若 ，则（）A.B.C.D.
选择B选项。注：由对等的传递性，有。但这只代表，不一定有，也不一定有包含关系，交集也不一定为空。
二、填空题
注意到可数无限集的基数都是阿列夫零。
1. 两个集合之间存在一一对应关系，则称两个集合______。
答案：对等
2. 自然数集 的基数记为______。
答案：
3. 整数集 是______集合。
答案：可数无限
4. 有理数集 的基数为______。
答案：
5. 与正整数集对等的集合称为______集。
答案：可数
6. ______。
答案：注：德摩根公式，并的补=补的交；交的补=补的并。
7. 的基数为______。
答案：
8. ______。
答案：注：康托尔对角线法证为不可数集的作法。
三、判断题
1. 若两个集合相等，则它们一定对等。（）
答案：注：恒等映射也是双射。
2. 两个无限集合一定具有相同基数。（）
答案：注：还要关心是否可数，如。
3. 偶数集合与自然数集合具有相同基数。（）
答案：注：可构造双射，二者基数都是。
4. 有理数集 是不可数集合。（）
答案：
5. 无限集合一定含有可数无限子集。（）
答案：
6. 实数集 的基数大于自然数集 。（）
答案：注：即 。
四、证明题
1. 证明：
证：
(i) 先证 。任取 ，则 且 。于是 或 ，从而 或 。则 ，即 。
(ii) 再证 任取 ，则 或 。从而 但 或 。于是 ，所以 。即证 。
另证：，由德摩根公式，有上式 。
证毕。
2. 证明：
证：
(i) 若存在，则。下面考察与的相等关系。
(ii) 下证 任取 ，即 ，，有 。于是 。注意到是所有形如的集合取并，故 。
下证 任取 ，于是，s.t. 。即当时，有，至多有限个集合不含，满足下极限定义，因此 。
证得 。
(iii) 用类似方法可证 。因此 。
证毕。
3. 证明整数集合 是可数集合。
证：
即证 。构造映射 。
显然是一一映射。于是 。
证毕。
4. 证明：。
证：
(i)构造映射。当时，。
(ii)下证是双射。已知正切函数在严格递增，值域为。严格单调函数一定是单射，即若，则。，s.t. 。即取 。，满足。于是是满射。从而，。
证毕。