高二数学自学指导三十五|圆上到直线距离为定值的点的个数问题

高二数学自学指导三十五｜圆上到直线距离为定值的点的个数问题

在学习直线与圆的位置关系时，很多同学只会判断相交、相切、相离这三种基础情况。但考试常考一个进阶模型：圆上有多少个点，到某条定直线的距离等于给定常数。

这类题型极易凭直觉出错，解题核心只有一个：对比圆心到直线距离、圆的半径、给定定值三者的大小关系。本节课我们系统梳理解题模型、临界结论与做题步骤，彻底吃透这一高频考点。

一、核心概念回顾

设圆 ，圆心  到直线  的距离为 ，圆上动点  到直线  的距离为定值 。

我们的解题核心：通过对比 、、 的大小，精准判断满足条件的点的个数。

二、分类结论（重点背诵）

结合平行线与圆的位置关系，总结出5类核心结论，覆盖所有考题场景：

1. 若 ：两条平行线均与圆无交点，圆上0个点满足条件；

2. 若 ：其中一条平行线与圆相切，圆上1个点满足条件；

3. 若 ：一条平行线相交、一条相离，圆上2个点满足条件；

4. 若 ：一条平行线相交、一条相切，圆上3个点满足条件；

5. 若 ：两条平行线均与圆相交，圆上4个点满足条件。

三、表格速查版（考场秒用）

四、标准化做题步骤

所有同类题型，统一按照以下4步解题，零失误、不丢分：

① 整理圆的方程，求出圆心坐标和半径 ；

② 利用点到直线距离公式，计算圆心到已知直线的距离；

③ 对比  与 、 的大小关系；

④ 对照速查表格或核心结论，确定满足条件的点的个数。

五、典例剖析+变式训练

典例（动直线过圆心模型）

已知直线  与圆 ，若圆  上存在点到直线  的距离等于 ，求参数  的取值范围。

步骤1：化简圆方程，求圆心与半径

对圆的一般方程配方整理：

可得：圆心 ，半径 。

步骤2：分析动直线，确定定点

整理直线方程：

无论  取任意实数，直线恒过定点，即圆心。

因此圆心到直线的距离 。

步骤3：套用结论求解

题目给定距离定值 ，满足 。

根据直线过圆心的特殊结论：此时圆上有4个点满足条件。

也就是说，任意实数都符合题意，即 。

变式训练（含参数·求取值范围·高频考题）

已知圆 ，直线 ，若圆  上恰有2个点到直线  的距离等于 ，求实数  的取值范围。

精简解题过程：

由题得：圆心 ，半径 ，定点距离定值 。圆心到直线  的距离：

根据点到直线距离公式，圆心到动直线 ，即  的距离为：

圆上恰有2个点满足条件，核心判定条件：

代入 ，得不等式组：

，化简得有效范围：

1. 由  得：，平方化简得 ，解得  或 

2. 由  得：，化简得 ，对任意  恒成立。

思路复盘

1. 遇到动直线题型，优先找定点，快速判断直线与圆的位置关系，锁定  范围；

2. 严格区分 （圆心距）与（题目定值），避免概念混淆；

3. 依托固定不等式结论解题，无需画图猜测，高效且精准。

六、课堂小结

本节课的核心题型，本质是平行线与圆的交点计数问题，所有解题依据都来自两组临界值：

▪  → 1个点（临界相切）

▪  → 3个点（临界相切）

快速判点口诀：

两临界之间为2点，大于临界为4点，小于临界为0点。

只要掌握  三者的大小关系，即可秒杀所有选择、填空题型。

作者简介：张革革，灵宝一高数学高级教师，深耕高中数学一线教学多年。专注高二基础题型梳理、重难点突破，擅长极简解题模型，助力学生高效提分。

参考文献：人教版高中数学选择性必修第一册

话题标签：#高中数学 #高二自学指导 #直线与圆 #圆上点到直线距离