ARTICLE · 1117441
基本不等式:各种题型,一网打尽
一、先记牢地基
核心不等式：若 a,b>0，则
当且仅当 a=b 时取等号。
四个常用变形（背下来，比公式本身更常用）：
（和定积最大）
均值链：
求最值三条件——「一正、二定、三相等」
正：各项为正（负数先提负号变正，注意不等号方向）
定：和或积为定值（求和小→凑积定；求积大→凑和定）
相等：等号能取到（取不到就改用对勾函数单调性）
一句话记忆：积定和最小，和定积最大。
二、题型分类（按方法分六大块）
块1｜直接与凑配
例题：
，求 最小值 → 4（）
，求 最小值 → 拆成 12
块2｜"1"的妙用（高频！）
例题：已知 ，求 最小值。
口诀："条件等式中藏有'1'，乘它代换焕新机。"
块3｜换元
单分母：，求 最小 → 令 ，得 9
块4｜化归为单变量
齐次化：正数 满足 ，求 最大 → 同除构造 → 1
对勾： 时求 最小 → 取不到 ，用单调递增得
块5｜结构变形
因式分解：，求 最小 → 令 ， → 7
多次使用：，求 最小 → 5（两次取等须一致）
平方和：，求 最大 →
块6｜判别式与待定系数（拓展）
万能 k：，求 最大 → 令 ， →
三、两大应用方向
① 证明不等式 原理是用基本不等式"组合、分解"，
注意：多次相加时等号要能同取；若"不全相等"则只能取严格大于。
② 恒成立 / 能成立
恒成立 ⟺ 能成立（有解）⟺ 套路：先用基本不等式求目标最值，再转化为参数范围。
例：，若 恒成立 → 求出左边最小 9 →
③ 实际问题（建模） 四步：设变量（标范围）→ 列关系（抓"至少/最多/不少于"）→ 求最值（基本不等式）→ 检验实际意义。
典型模型：
围矩形菜园（周定求面积最大）→ 长=宽时最大
造价最省、利润最大
往返平均速度 （调和平均＜算术平均）
④ 与其他知识交汇
与数列、三角（正弦/余弦定理）、向量、解析几何（椭圆焦点弦、抛物线）、立体几何体积结合——先转化条件，再用基本不等式。
四、看到题怎么选方法？速查
直接能凑成 a+b 或 ab → 直接法
条件里有和为定额、目标含分式 → 乘1 / 1的代换
分母复杂 → 换元
有平方和 → 三角换元 / 整体配凑
多变量有约束 → 消元 / 齐次化
取不到等号 → 对勾函数
含 ab+a+b → 因式分解
分式根式难消、求范围 → 万能 k 法
三变量以上 → 多元均值
五、易错清单（每年丢分重灾区）
忽略"正"：变量为负直接套 ，错。
忽略"定"：想凑定值却凑不出，硬用。
忽略"等"：算完不验证等号能否取到，多选题专挖这个坑。
多次使用取等不一致：两个"当且仅当"不能同时成立却直接连用。
恒成立方向反了：恒成立是 ，别写成 。
实际问题忘定义域/整数：答案不符合实际意义。
六、题型精练
【题型1·直接法】 已知 a>0，b>0，且 ab=4，求 a+b 的最小值。
【题型2·常规凑配】 已知 x>3，求 的最小值。
【题型3·分离常数】 已知 x>-1，求 的最小值。
【题型4·乘"1"法】 已知 a>0，b>0，a+b=4，求 的最小值。
【题型5·"1"的代换】 已知 a>0，b>0，且 ab=a+b，求 a+b 的最小值。
【题型6·双换元】 已知 a>0，b>0，a+b=2，求 的最大值。
【题型7·三角换元】 已知 ，求 的最大值。
【题型8·整体配凑】 已知 x>0，y>0，x+y=1，求 的最小值。
【题型9·代入消元】 已知 x>0，y>0，且 xy=2x+y，求 x+y 的最小值。
【题型10·齐次化】 已知 a>0，b>0，求 的取值范围。
【题型11·二次比一次】 已知 x>0，求 的最小值。
【题型12·对勾函数】 已知 ，求 的最小值。
【题型13·和/积/平方和互化】 已知 a,b>0，且 ，求 a+b 的最大值。
【题型14·因式分解】 已知 a>0，b>0，且 ab=a+b+3，求 a+b 的最小值。
【题型15·多次使用】 已知 a>0，b>0，a+b=1，求 的最小值。
【题型16·根式配凑】 已知 x>0，，求 的最大值。
【题型17·多元均值】 已知 a,b,c>0，a+b+c=1，求 的最小值。
【题型18·万能 k 法】 已知实数 x,y 满足 ，求 x+y 的最大值。
【题型19·待定系数】 已知 x>0，y>0，x+y=1，求 的最小值。
【题型20·证明不等式】 已知 a,b,c 为实数，求证 。
【题型21·恒成立】 已知 a>0，b>0，a+b=1，若 恒成立，求 m 的取值范围。
【题型22·实际应用】 用长 36 m 的篱笆围一个矩形菜园，长、宽各为多少时面积最大？最大面积是多少？
【题型23·知识交汇】 椭圆 上一点 P， 为焦点，求 的最大值。
二、答案与解析部分
，当且仅当 取等。最小值 4。
，当 即 取等。最小值 7。
，当 即 取等。最小值 2。
，当 即 取等。最小值 。
由 ab=a+b 两边除以 ab 得 。于是 ，当 取等。最小值 4。
令 ，则 。原式 ，而 。故最大值 ，当 取等。最大值 。
设 ，则 。最大值 4。
设 ，原式 ，当 取等。最小值 。
由 得 （需 x>1）。令 ，则 ，当 即 取等。最小值 。
令 ，原式 。因 ，故原式 ；又 时原式 。取值范围 。
，当 取等。最小值 3。
等号点在 ，但 。函数在 递增，故 时最小。最小值 。
，故 ，当 取等。最大值 2。
移项配方得 ，于是 ，当 取等。最小值 6。
由 ，且 ，故 ，当 时两处取等同时成立。最小值 。
设 ，则 ，且 。由 ，得 。最大值 （当 取等）。
，当 取等。最小值 9。
令 ，则 ，代入整理得 。有实根需 ，即 。最大值 2（ 时取到；最小值 −2）。
用权方和 ，配系数：，当 即 取等。最小值 。
由 、、 三式相加得 ，即证，当且仅当 取等。
由 ，恒成立只需 。。
设长 x、宽 y，则 ，即 。面积 ，当且仅当 取等。长=宽=9 m 时面积最大，为 81 m²。
由椭圆定义 ，则 ，当 （P 在短轴端点）取等。最大值 25。