初中数学 | 三角形＂外面＂的角也有大用处!外角等于不相邻两内角之和,记住了!

教材定位：人教版八年级上册 · 第十一章 三角形 · 11.2 三角形的外角

一、什么是三角形的外角？

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。

• 每个顶点处有两个外角（它们相等，对顶角）；
• 一个三角形共有6 个外角；
• 外角是"外面的角"，与内角互补（加起来 180°）。

二、外角的性质

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

即：∠ACD = ∠A + ∠B（∠ACD 是顶点 C 处的外角，与它不相邻的是 ∠A、∠B）。

由此推出：外角大于任何一个与它不相邻的内角。

三、外角和定理

三角形的三个外角之和等于 360°。

证明：每个外角 = 180° − 相邻内角，三个加起来 = 3×180° − 180° = 360°。

四、怎么用外角性质？

遇到"已知两个内角求外角"或"已知外角和一个内角求另一个"，直接用：

• 求外角：∠ACD = ∠A + ∠B；
• 求内角：∠A = ∠ACD − ∠B。

外角性质是求角题的"快速通道"，比内角和少一步。

五、三个必踩的坑，一个都不能踩

坑一：外角等于相邻内角之和

∠ACD = ∠C + ∠A ✗

正确：外角等于不相邻的两个内角之和（∠A + ∠B），不含相邻内角。

坑二：外角是延长线画反

延长线方向画错 ✗

正确：沿一边的反向延长，形成的外角与相邻内角互补。

坑三：外角和记错

外角和写成 180° ✗

正确：三个外角和是 360°（每个外角与内角互补）。

六、例题实战：一步一步来

例1：∠A = 50°，∠B = 70°，顶点 C 处的外角是多少？

外角性质：∠ACD = ∠A + ∠B。

解：120°。

例2：外角 ∠ACD = 110°，∠A = 45°，∠B 是多少？

外角性质：∠B = ∠ACD − ∠A。

解：65°。

例3：三角形的三个外角之和是多少？

外角和定理：每个外角与内角互补。

解：360°。

例4：直角三角形一个锐角 30°，另一个锐角处的外角是多少？

先求内角：另一锐角 90° − 30° = 60°。

外角：不相邻内角之和 = 90° + 30° = 120°（或 180° − 60°）。

解：120°。

七、易错陷阱总盘点

八、练一练

① ∠A = 60°，∠B = 80°，顶点 C 处外角是多少？② 外角 ∠ACD = 130°，∠A = 55°，∠B 是多少？③ 三角形外角和是多少度？④ 三角形一个内角 40°，它的相邻外角是多少？⑤ 判断：外角等于相邻内角之和。（对 / 错）

答案放评论区，做完来对。三角形学会了，升级到"多边形"——四边形、五边形内角和怎么算？下篇：多边形及其内角和。

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