多元递推方程组的求解方法

本篇：（一）总述与初等解法

先看一道马尔可夫链模型问题：

【2024年3月金丽衢十二校第二次联考】 已知正方体  的棱长为 1，点  是正方形  上的一个动点，初始位置位于点  处，每次移动都会到达另外三个顶点．向相邻两顶点移动的概率均为 ，向对角顶点移动的概率为 ，如当点  在点  处时，向点 、 移动的概率均为 ，向点  移动的概率为 ，则（　）

A．移动两次后，""的概率为 3/8

B．对任意 ，移动  次后，"平面 "的概率都小于 1/3

C．对任意 ，移动  次后，"平面 "的概率都小于1/2 

 D．对任意 ，移动  次后，四面体  体积  的数学期望 （注：当点  在平面  上时，四面体  体积为 0）

分析：先求出点  在移动  次后，在点 、、、 处的概率，再结合向量法求出线面垂直、线面平行和三棱锥的体积，对选项一一判断即可得出答案．

设移动  次后，点  在点 、、、 的概率分别为 、、、，其中 ，，，，，不难得出：

这里需要求解一个四元递推方程组，怎样求解这个方程组呢？如果没有系统学习递推式组的求解方法，解答这个方程组可能还真有一定的难度．本文的目的，就是对多元递推方程组的解法作系统介绍．

一、概述

形如

由初始条件和两个递推关系式组成的方程组称为二元递推方程组．

递推关系式组的解法要点：把  和  当作未知数，像解二元一次方程组一样，分别解出关于数列 、 的递推式，再解递推式，求出通项  和 ．

在解方程组的过程中，常用的方法是"代入消元法"、"加减消元法"、"待定系数法"、"数学归纳法"、"母函数法"、"特征方程（不动点）法"．此外，还有"行列式法"和"矩阵法"，但涉及到高等代数知识，本文就不展开讨论了．

二、解法展示

Ⅰ．代入消元法

例1．【恩施州·2024高三上期末调研考试】 数列  和  同时满足条件：，，

求通项  和 ．

解：由②得：　③

　④

将③、④代入①得：　⑤

两边都加上 ：

令 

 数列  为等比数列，公比为 3，首项为 ．

，代入③整理得：．

Ⅱ．加减消元法

例2．【2023年·安徽太湖县弥陀中学高三元月月考】 在点  的坐标  与点  的坐标  之间有

，且 ，，试问当  无限增加时，点  向哪一点趋近？

解：；

，．

当  时，，， 趋近于点 ．

掌握了代入消元法和加减消元法之后，我们就可以回头研究一下本文开头的马尔可夫链模型：，，，，，不难得出：

求 ，，， 的表达式．

解析：将四式相加得 ；

②＋④：；

②－④：

．

①－②：；

③－④：，

两式相加得 ，代回即得 ，数列  是首项为 ，公比为  的等比数列，

又 ，

．

（如 ，恰与选项 A 中" 的概率为 "相符．）

求出了通项公式，四个选择支就不难判断其真假了．

例3．【2019新课标Ⅱ，19】 已知数列  和  满足 ，，

（1）证明： 是等比数列， 是等差数列；

（2）求  和  的通项公式．

（1）证明：由题设得 ，即 ．又因为 ，

 是首项为 1，公比为  的等比数列．

由题设得 ，即 ．

又 ，

 是首项为 1，公差为 2 的等差数列．

（2）解：由（1）知，，．

Ⅲ．待定系数法

例4．【2024·湖南岳阳模拟】 两个数列 、 适合关系式

其中 ，，并且 ，，求 ．

解：（待定系数法）

①＋②：

令 （ 为公比），

比较此二式的系数，得

，．

当  时，公比 ，等比数列  的公比为 2，首项为 ，

　③

当  时，公比 ，

等比数列  的公比为 ，首项为 ，

　④

③－④：

③－④：

当  时，

；

当  时，．

Ⅳ．数学归纳法

例5．【强基试题】 设数列  和数列  由下列关系确定：

，，且

试求通项公式  和 ．

解：用数学归纳法．

猜想：

再用数学归纳法证明：

（1）容易验证，当 ，2 时公式成立；

（2）假设当  时，公式成立，即

则当  时，

同理可求

即当  时，公式也成立．故对于一切自然数 ，公式均成立．

未完待续，第二篇将介绍特征方程法（即不动点法）。