高中数学|椭圆与直线过定点:设线、韦达、因式分解,三步收网

“直线与椭圆交于两点，证明直线过定点”是圆锥曲线大题里的常客，很多孩子不是不会算，而是算到一半被一串字母吓退。本题从离心率求标准方程入手，再把”P、Q纵坐标之和为定值”这个几何条件逐层翻译成代数等式，最后靠因式分解把参数收网。全程只需要一条主线：设线、联立韦达、消元化简。

已知椭圆经过点A(2,1)，且离心率。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点，B为椭圆上顶点，直线BM、BN交直线x=−3于P,Q两点，已知P,Q两点纵坐标之和为。求证：直线MN过定点，并求此定点坐标。

第一步：两个条件定两个未知数，先求标准方程。椭圆经过点A(2,1)，代入得；离心率，即，平方得a²=2c²。又a²=b²+c²，所以b²=c²。代回第一式：，得c²=3，于是a²=6，b²=3。椭圆方程为

第二步：设线联立，韦达定理打底。设M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂)，联立，消去y得

(1+2k²)x²+4kmx+2m²−6=0.

判别式Δ=16k²m²−4(1+2k²)(2m²−6)>0，展开合并得6k²−m²+3>0——这是参数必须跨过的隐形门槛。由韦达定理，

第三步：把P、Q的纵坐标用M、N表示。上顶点为。直线BM的斜率是，方程为；令x=−3，得

同理。

第四步：翻译”纵坐标之和为“，消元化简。代入求和：

把y₁=kx₁+m、y₂=kx₂+m拆进分子，，于是括号内等于。条件化为，两边乘x₁x₂移项：

第五步：代入韦达，因式分解收网。代入x₁+x₂与x₁x₂，去分母：

分解，提取公因式：

方括号内展开为，所以

第六步：逐因式检验，舍退化、留真解。若，直线恰好经过点，M、N中必有一点与B重合，直线BM按题意无法作出，舍去。若，即，此时

无论k取何值（在使交点存在且异于B的范围内），直线恒过定点。故直线MN过定点。

椭圆过定点问题有一套标准流水线：设线（y=kx+m）→联立韦达→把几何条件翻译成关于k、m的等式→因式分解→逐因式检验取舍。本题的等式分解成两个因式，一个是”直线过顶点B“的退化陷阱，一个是真正的定点，取舍的依据不是直觉，而是回到题设：M、N必须是异于B的两点。做完不妨再验一验隐形门槛：把代回6k²−m²+3>0，得，即k>0或，k=0恰好被排除——那正是直线过下顶点、x₁x₂=0的退化情形。留心这些”被条件自动挡掉”的参数，是圆锥曲线大题拿满分的最后一公里。