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高中数学人教版必修一(A版)第一章《集合与常用逻辑用语》单元测试题
高中数学人教版必修一(A版)第一章《集合与常用逻辑用语》单元测试题人教版高中数学必修第一册（A版） 第一章《集合与常用逻辑用语》单元测试题 （满分 150 分 考试时间 120 分钟） 一、单项选择题（共 40 分。） 1. 下列各组对象能构成集合的是（ ） A. 某班性格开朗的同学 B. 与 1 接近的实数 C. 所有的正实数 D. 著名的数学家 2. 已知集合 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则 A ∩ B =（ ） A. {2, 3} B. {1, 2, 3, 4} C. {1, 4} D. {1, 2, 3} 3. 命题 “∀x∈R，x² + 1 > 0”的否定是（ ） A. ∀x∈R，x² + 1 ≤ 0 B. ∃x∈R，x² + 1 ≤ 0 C. ∃x∈R，x² + 1 > 0 D. ∃x∈R，x² + 1 < 0 4. 已知集合 A = {x | -1 < x < 3}，B = {x | 0 ≤ x < 4}，则 A ∪ B =（ ） A. {x | 0 ≤ x < 3} B. {x | 3 ≤ x < 4} C. {x | -1 < x ≤ 4} D. {x | -1 < x < 4} 5. “x = 1”是“x² = 1”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充要 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要 6. 已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 5}，A = {1, 3, 5}，则 ∁ᵤA =（ ） A{1, 2, 3} B{2, 4} C{1, 3, 5} D{2, 3, 4} 7. 若集合 A = {x | x² - 3x + 2 = 0}，则集合 A 的子集个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 8 8. 已知条件 p：x > 2，条件 q：x > 0，则 p 是 q 的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分不必要条件 二、多项选择题（每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分） 9. 下列关系式正确的是（ ） A.0 ∈ N B.√2 ∈ Q C.π ∈ R D.-1 ∈ Z 10. 已知集合 A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，则下列说法正确的是（ ） A. A ⊆ B B. B ⊆ A C. A 是 B 的真子集 D. ∅ ⊆ A 11. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. ∀x∈R，x² ≥ 0 B. ∃x∈R，x² < 0 C. ∃x∈Z，x² = 2 D. ∀x∈N，x² + 1 > 0 12. 已知条件 p：a > 1，条件 q：a > 0。下列说法正确的是（ ） A. p 是 q 的充分条件 B. p 是 q 的必要条件 C. q 是 p 的必要条件 D. q 是 p 的充分条件 三、填空题（共 20 分） 13. 用符号“∈”或“∉”填空： （1）0 ______ N；（2）√3 ______ Q。 14. 若集合 A = {x | x² = 4}，则用列举法表示 A = ____________。 15. 命题“∃x∈R，x² - x + 1 ≤ 0”的否定是 ____________。 16. 已知集合 A = {x | -1 ≤ x ≤ 2}，B = {x | x > a}，若 A ⊆ B，则实数 a 的取值范围是 ____________。 四、解答题（共 70 分） 17.（10 分）已知集合 A = {x | x² - 5x + 6 = 0}，B = {x | x² - 4 = 0}。 （1）用列举法分别表示集合 A 和集合 B； （2）求 A ∪ B，A ∩ B。 18.（12 分）已知全集 U = R，集合 A = {x | 1 < x < 4}，B = {x | x ≤ 2}。 （1）求 A ∩ B，A ∪ B； （2）求 ∁ᵤ(A ∩ B)。 19.（12 分）已知集合 A = {x | a - 1 < x < 2a + 1}，B = {x | 0 < x < 3}。 （1）若 a = 1，求 A ∩ B； （2）若 A ⊆ B，求实数 a 的取值范围。 20.（12 分）设命题 p：关于 x 的方程 x² + 2x + m = 0 有实数根；命题 q：m < 3 （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）判断“p 是 q 的什么条件”（在充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选择），并说明理由。 21.（本小题满分 12 分）已知集合 A = {x | x² - 3x - 4 ≤ 0}，集合 B = {x | m - 1 ≤ x ≤ 2m + 1}。 （1）当 m = 0 时，求集合 B； （2）若 B ⊆ A，求实数 m 的取值范围。 22.（本小题满分 12 分）某学校组织学生参加社团活动，共有 60 名学生参加。其中参加数学社团的有 35 人，参加物理社团的有 28 人，两个社团都参加的有 15 人。 （1）求至少参加一个社团的学生人数； （2）求两个社团都没有参加的学生人数； （3）求只参加数学社团的学生人数。 参考答案与解题提示 一、单项选择题 1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. B 7. A 8. D 提示：1 题中“正实数”具有确定性，可构成集合；4 题 A = (-1, 3)，B = [0, 4)，故 A ∪ B = (-1, 4)；5 题 x = 1 ⇒ x² = 1，但 x² = 1 不能推出 x = 1，故为充分不必要条件；7 题 A = {1, 2}，含 2 个元素，子集个数为 2² = 4。 二、多项选择题 9. ACD 10. ACD 11. AD 12. AC 提示： 9 题中 √2 是无理数，√2 ∉ Q，故 B 错误； 10 题中 B ⊆ A 不成立； 11 题中 x² ≥ 0 恒成立，故 B 错误，方程 x² = 2 无整数解，故 C 错误； 12 题 a > 1 ⇒ a > 0，故 p 是 q 的充分条件、q 是 p 的必要条件。 三、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13.（1）∈；（2）∉ 14. {-2, 2} 15. ∀x∈R，x² - x + 1 > 0 16. a < -1（即 a ∈ (-∞, -1)） 提示：16 题中 A ⊆ B 要求区间 [-1, 2] 内的每一个数都大于 a，故 a < -1（若 a = -1，则 x = -1 不满足 x > a）。 四、解答题（共 70 分） 17.（1）由 x² - 5x + 6 = 0 得 (x - 2)(x - 3) = 0，x = 2 或 x = 3，故 A = {2, 3}； 由 x² - 4 = 0 得 x = ±2，故 B = {-2, 2}。 （2）A ∪ B = {-2, 2, 3}；A ∩ B = {2}。 18.（1）A ∩ B = {x | 1 < x ≤ 2}；A ∪ B = {x | x < 4}。 （2）∁ᵤ(A ∩ B) = {x | x ≤ 1 或 x > 2}。 19.（1）当 a = 1 时，A = {x | 0 < x < 3}，故 A ∩ B = {x | 0 < x < 3}。 （2）① 当 A = ∅ 时，a - 1 ≥ 2a + 1，解得 a ≤ -2，此时 A ⊆ B 成立； ② 当 A ≠ ∅ 时，需 a - 1 < 2a + 1 且 a - 1 ≥ 0 且 2a + 1 ≤ 3，解得 a > -2 且 a ≥ 1 且 a ≤ 1，即 a = 1。 综上，a 的取值范围是 a ≤ -2 或 a = 1。 20.（1）命题 p 为真，则方程有实数根，Δ = 2² - 4m ≥ 0，解得 m ≤ 1。 （2）由（1）知 p 对应 m ≤ 1，q 对应 m < 3。因为 m ≤ 1 ⇒ m < 3，所以 p ⇒ q，p 是 q 的充分条件；又 m < 3 不能推出 m ≤ 1（如 m = 2），所以 p 不是 q 的必要条件。故 p 是 q 的充分不必要条件。 21. 由 x² - 3x - 4 ≤ 0 得 (x - 4)(x + 1) ≤ 0，故 A = {x | -1 ≤ x ≤ 4}。 （1）当 m = 0 时，B = {x | -1 ≤ x ≤ 1}。 （2）① 当 B = ∅ 时，m - 1 > 2m + 1，解得 m < -2，此时 B ⊆ A 成立； ② 当 B ≠ ∅ 时，需 m ≥ -2 且 m - 1 ≥ -1 且 2m + 1 ≤ 4，解得 0 ≤ m ≤ 3/2。 综上，m 的取值范围是 m < -2 或 0 ≤ m ≤ 3/2。 22.（1）设参加数学社团的学生组成集合 A，参加物理社团的学生组成集合 B，则 |A| = 35，|B| = 28，|A ∩ B| = 15。至少参加一个社团的人数 |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| = 35 + 28 - 15 = 48（人）。 （2）两个社团都没有参加的人数 = 60 - 48 = 12（人）。 （3）只参加数学社团的人数 = |A| - |A ∩ B| = 35 - 15 = 20（人）。
