高考真题拆解｜三角恒等变换的四大入手方向：2025年新课标Ⅱ卷第8题

考场上拿到这道题，条件只给了半个角：cos(α/2) = √5/5，问的却是 sin(α − π/4). 三角恒等变换的题，一般从四个方向去想：统一角度、统一函数名、关注式子的结构特征、构造角度. 一个题未必四个方向都用得上，本题最顺手的是前两个：把半角先统一成整角，或者把弦统一成切. 先自己动笔，再看下面的拆法.

【真题】2025 年新课标Ⅱ卷 · 第 8 题

建议先动笔做一遍，再往下看.

【解析】参考答案与解析

【拆解】四个入手方向，本题落点在哪

(1) 方向一 · 统一角度（对应方法一）.给 cos(α/2)，求 α 的三角函数值，先把半角统一成整角：余弦二倍角 cos α = 2cos²(α/2) − 1 = −3/5. 这一步顺带锁定题眼：cos α 为负，配上 0 < α < π，把 α 锁进 (π/2, π)，开方求 sin α 才敢取正号，得 sin α = 4/5. 收口交给两角差的正弦：sin(α − π/4) = (√2/2)(sin α − cos α) = 7√2/10.

(2) 方向二 · 统一函数名（对应方法二：弦化切）.0 < α < π 说明 α/2 在第一象限，tan(α/2) = sin(α/2)/cos(α/2) = 2. 用万能公式把 sin α 与 cos α 统一换成 tan(α/2)，也就是把弦统一成切，通分后 sin α − cos α = (tan²(α/2) + 2tan(α/2) − 1)/(1 + tan²(α/2)) = 7/5，再乘 √2/2 收口. 这条路不开方、不用定符号，但多一道通分.

(3) 方向三 · 结构特征，方向四 · 构造角度.结构特征可体现为「先盯住题目中式子的形状」，看看有没有符合哪个公式的局部结构特征，如果有的话，则可以考虑用该公式；构造角度一般是用于给值求值和给值求角的题型.

(4) 高频易错.一是开方不定符号：sin α = ±4/5，要靠 cos α 为负与 0 < α < π 联合锁定正号，这步跳不得；二是差角展开后 cos α 本身是负数，减去一个负数变成加法，符号一错就落到错误选项；三是弦化切时万能公式的分母 1 + tan²(α/2) 别漏.

【考查目标】

【备考建议】

【留言区聊聊】

这道题你先想到的是法一（统一角度）还是法二（弦化切）？打个一或二就行.